Teoria ed Enunciati - Analisi Complessa

Proprietà delle serie di potenze e integrazione sul piano complesso

C̄,Si può notare che la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie di potenze iniziale.11 −1|a ||na | = lim sup = Rlim sup n nnn n→∞n→∞log n 1/n1/n → ∞ ⇒se n n = 1n = e nRicorda: ∞ 1X k |z|z = < 1−1 zk=0Formula di stirling: −kk∼ → ∞k! k e per k3 Integrazione sul piano complessoUna curva sul piano complesso è un’applicazione continua L’immagine dell’applicazione→γ : [a, b] C. γ:∈ ∈γ∗ = z C : z = γ(t), [a, b]è detto della curva.sostegnoSe allora diremo che è una curva chiusa. Una curva semplice chiusa divide il piano complessoγ(a) = γ(b), γin esterno e interno della curva.Una curva si dice se è continua e differenziabile in [a,b]; la sua derivata non si annulla in nessunregolarepunto dell’intervallo. Inoltre si dirà se ordinati in modo che:∃t$\in \gamma$ , t , ..., t R,regolare a tratti 1 2 na = t < t < ... < t < t = b1 2 n−1 ne tali che è regolare su ogni intervallo [t ].$\gamma$ , tn−1 n 5Sia una curva regolare a tratti, definiamo $rarr>\gamma$ : [a, b] → C γlunghezzab bZ Z q 2 2′ ′ ′|$\gamma$L($\gamma$) = (t)| = x (t) + y (t) dta a(? fatta dall’esercitatrice)Disuguaglianza di BardeauSia f continua su allora:$\gamma$ Z ≤ ·L sup f (z)f (z)dz $\gamma$ z∈$\gamma$γTeoremaSia una curva regolare a tratti e sia continua e limitata, ovvero$\gamma$(t) f (z)|f ≤ ∀z ∈(z)| M, $\gamma$allora: Z ≤ ·L Mf (z)dz$\gamma$Dati su D, con gli stessi estremi, le curve sono dette se esiste una mappa continua che le$\gamma$ , $\gamma$ γomotope1 2connette.3.1 Dominio semplicemente connessoè semplicemente connesso se ogni curva chiusa in D può essere deformata con continuità ad un punto, ovveroDse ogni curva chiusa èomotopa ad un punto. 3.2 Integrali di funzioni complesse su curve Sia f e γ continua su D che contiene γ allora: → ≤ ≤γ : t γ(t) = x(t) + i y(t), a ≤ t ≤ b f (z) = u(x, y) + iv(x, y), γ è continua e possiamo definire l'integrale di f lungo γ: ∫_γ f(z)dz = f(γ(t))γ'(t)dt a ≤ t ≤ b ∫_γ f(z)dz = [u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))] (x'(t) + iy'(t))dt a ≤ t ≤ b Sia data una curva chiusa γ e sia z allora per ogni z si dice o→ ∈ γ : [a, b] Ĉ Ω = Ĉ/γ^*, Ω indice winding number di z rispetto a γ: Z₁ dξInd(z) = γ - 2πiξ zγ La funzione Ind(z) definita è una funzione olomorfa in a valori e assume valore costante ∀ ∈ z Ĉ/γ^* Ω, interisu ogni componente connessa in cui è diviso C. Inoltre è 0 sulla componente di C connessa illimitata. Il significato

La definizione di indice è il conteggio di quante volte una curva chiusa si avvolge attorno ad un certo punto.

Teorema della primitiva:

Se f è continua su D, allora:

∫_γ f(z)dz = 0 per ogni curva chiusa γ in D.

Teorema di Cauchy:

Sia Ω aperto e f una funzione olomorfa in Ω semplicemente connesso. Se γ è un cammino chiuso in Ω tale che Ind(z) = 0 per ogni z ∉ Ω, allora f ha una primitiva continua in Ω.

Vale anche se f è olomorfa su Ω ma è continua in a - {a}.

Teorema di Cauchy globale:

Il teorema continua a valere anche se Ω è convesso, basta che sia semplicemente connesso.

Se γ è una curva chiusa che racchiude una regione semplicemente connessa Ω, allora per Cauchy:

∫_γ f(z)dz = 0.

Conseguenza: omotope1 = omotope2.

1 2Formula integrale di CauchySia f una funzione olomorfa in D(α, r) [disco di centro e raggio r] e sia un cerchio di raggio e centroα C ρρcon 0<ρ<r, allora vale:α, Z1 f (z)Ind(C , a)f (a) = dzρ −2πi z aCρDa questa definizione deduciamo un’importante proprietà delle funzioni olomorfe: se una funzione è olomorfaè derivabile infinite volte e si può espandere in serie di potenze, di conseguenza è analiticaTeorema di LiouvilleOgni funzione olomorfa su C (intera) e limitata, cioè per qualche M e è costante. La|f ∀ ∈(z)| < M z Cfunzione è limitata se e solo se è costante.Corollario: ogni polinomio P(z) non costante ha almeno uno zero in C.Teorema del valor medioDato olomorfa in allora è il valor medio su ogni cerchio di centro z in cioe:f Ω, f (z) Ω,2πZ1 iθf (z + ρe )dθf (z) = 02πi 0Teorema del massimo moduloSia f olomorfa,

non costante, su D con chiusura e f sia continua su (bordo di D), allora ha|fD̄ ∂D (z)|massimo sul bordo di D. Se anche il minimo di si trova sul bordo di D.̸ |ff (z) = 0 (z)|(Inverso di Cauchy)Teorema di MoreraSia continua su D semplicemente connesso, se chiusa in D vale che R∀f (z) γ f (z)dz = 0Γè olomorfa⇒ f (z) 7Teorema di unicitàData olomorfa in con D aperto e connesso e su una successione di punti∈ ∈ ∀f (z) D C f (z ) = 0 z z D nn n nche converge a e allora:∈z D lim z = z0 n→∞ n 0 ∀ ∈f (z) = 0 z D3.3 Lemmi di Jordan• Lemma 1:Se è continua su e valef (z) γ R Z|z ⇒lim f (z)| = 0 lim f (z) = 0R→∞|z|→∞ γ R• Lemma 2:Se eiαz ∈ |g(z)|f (z) = e g(z) α R lim = 0|z|→∞Z iαz⇒ lim e g(z) = 0R→∞ γ Rse la semicurva viene chiusa sopra;α > 0– se la semicurva viene chiusa

sotto;_α < 0–4 Serie di Laurent 4.1 Serie di Taylor ∞ (n)f (a)X n–(z – a)f (z) = n!n=0 4.2 Serie di Laurent Sia f continua su due curve circolari chiuse e interamente contenute in Ω, delle quali γ è la maggiore, allora f è sviluppabile in serie di potenze sia positive sia negative, convergente in Ω e avrà la forma: f (z) = ∞ ∑ a_n (z – a)ⁿ n=0 ove: Z₁ f (ξ) a = —————— dξ n n+1 –2πi (ξ – a)ⁿ⁺¹ γ₁ Z₁ n–1 –b = f (ξ)(ξ – a) dξ 2πi γ₂ Se a è nella regione di olomorfia di Ω, allora per il teorema di Cauchy, lo sviluppo di Laurent si riduce alla serie di Taylor: Z_n–1 –f (ξ)(ξ – a) dξ = 0 γ Le condizioni che deve soddisfare un dominio D affinché si possa sviluppare in serie di Taylor e in serie di Laurent convergente in D: • D = circonferenza per Taylor; • D = anello per Laurent; Nel caso di

espansioni attorno a singolarità:

• Eliminabili: la parte principale della serie è nulla;
• Di polo di ordine n: la parte principale avrà n termini;
• Essenziali: la parte principale ha infiniti termini.

4.3 Prodotto in serie di Cauchy ∞ ∞X XS = d T = bn nn=0 n=0∞X·S T = cnn=0nX ·c = a bn n n−kk=0

Determinare la regione di convergenza di una serie: 1|z| |b |r < < R r = lim sup nnn→∞ 1R = lim sup 1an→∞ nn

4.4 Residui

Si dice residuo di f nel punto z0, e si indica con Res(f, z0) oppure il coefficiente b0 espresso inf z Res (z, 0) Res[f, z ], f 0 1precedenza. I1 f (z)dz =1 2πi

Il residuo esprime il valore dell’integrale della funzione su un cammino attorno al punto considerato

La curva è un cammino chiuso tale da non comprendere al suo esterno nessuna singolarità. Residuo all’infinito

Data la curva chiusa che circonda in senso antiorario tutte le singolarità a z finito di f,

definiamo: γ fZ1∞]Res[f, = f (z)dz2πi −γil residuo all’infinito;oppure mappiamo in 0 ponendo 1∞ z = w Z Z 1 1→ −f (z)dz = f dw2w w′−γ γcirconda w=0 in senso antiorario.’γSe definisco 1 1− → ∞]g(w) = f Res[f, = Res[g, 0]2w wTeorema dei residuiData olomorfa su D con singolarità in (isolate)f (z) z , z , ..., z1 2 nnZ Xf (z) = 2πi Res[f, z ]iγ i=19circonda .γ z , z , ..., z1 2 nPiù in generale: nZ Xf (z) = 2πi n(γ, z ) Res[f, z ]i iγ i=1La somma di tutti i residui incluso quello all’infinito è zero:nX ∞]Res[f, z ] + Res[f, = 0ii=1Calcolo dei residui• Se la singolarità è eliminabile: Res[f, z ] = 00Se la singolarità eliminabile per definizione la parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent è nulla. Diconseguenza lo sarà anche il residuo;• Se la singolarità è

di tipo polare occorre trovare l'ordine di polo:

Se è un polo semplice (p=1):

z - 0 - Res[f, z ] = lim [f (z)(z - z0)]

Se è un polo di ordine ≥ 2:

- 0 ( )p-1d1 p-lim [f (z)(z - z0 ) ]Res[f, z ] = 0

(p - 1)! dz

Se è singolare: