Elettrotecnica

LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI (KCL)

La somma algebrica delle correnti entranti in (o uscenti da) un nodo è uguale a 0 ogni istante di tempo

[∑ i_k(t) = 0]

LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE TENSIONI (KVL)

La somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso orientato è uguale a 0 ogni istante di tempo

[∑ v_k(t) = 0]

BIPOLI

CONVENZIONE UTILIZZATORI

• POTENZA ENTRANTE (assorbita)

  [p_e(t) = V(t)·i(t)]

• POTENZA USCENTE (erogata)

  [p_u(t) = -V(t)·i(t)]

CONVENZIONE GENERATORI

• POTENZA ENTRANTE

  [p_e(t) = -V(t)·i(t)]

• POTENZA USCENTE

  [p_u(t) = V(t)·i(t)]

TEOREMA DI TELLEGEN

Sia dato un circuito con N bipoli. V_k e i_k tensioni e correnti bipolo K. V_k(t) e i_k(t) soddisfano KVL e KCL

[∑ p_e,k(t) = 0] ∀t

[∑ p_u,k(t) = 0] ∀t

RELAZIONE COSTITUTIVA

v espresso in funzione di i → COMANDO IN TENSIONE

i = g(v)

i espresso in funzione di v → COMANDO IN CORRENTE

v = r(i)

RESISTORE LINEARE

[r.e.: COST.: i = G·v]G: CONDUTTANZA

[v = R·i] R: RESISTENZA

GENERATORE IDEALE DI TENSIONE

Conv. generatori

Rel costitutiva

• v_t = v_s(t) V

Comando in corrente

• P_M ≤ 0 assorbe
• P_M > 0 eroga

GENERATORE IDEALE DI CORRENTE

Conv. generatori

Rel costitutiva

• i_s = i_s(t) V

• P_M ≤ 0 assorbe
• P_M > 0 eroga

CORTOCIRCUITO E CIRCUITO APERTO

CORTOCIRCUITO

• Rel costitutiva: v_s = 0 V

CIRCUITO APERTO

• i_s = 0 V

1. Caso limite di generatore appunto

   v_s(t) = 0

   • P₂ = 0

2. Caso limite

   Resistore

   R = 0

   Resistenza nulla

   • G = 0

   Conduttanza nulla

EQUIVALENZA ESTERNA DI BIPOLI

Due bipoli sono equivalenti esternamente (o equivalenti ai morsetti) se hanno la stessa relazione costitutiva.

Se "i" è lo stesso => Non si è in grado di distinguere i due bipoli.

Se sostituisce l'uno con l'altro non modifica il circuito.

Connessione di Resistori

• Stella
• Triangolo

Caso Generale Δ→Y

• r_a = ^{R_b R_c} / _Ra+Rb+Rc
• r_b = ^{R_c R_a} / _Ra+Rb+Rc
• r_c = ^{R_a R_b} / _Ra+Rb+Rc

Caso Generale Y→Δ

• R_a = r_a+r_b+^{r_b r_c} / _ra
• R_b = r_a+r_c+^{r_a r_c} / _rb
• R_c = r_a+r_b+^{r_a r_b} / _rc

È importante come chiamare i resistori

è quello sul lato opposto

Caso Speciale: Resistenze Uguali

• r_Y = ^R_Δ / ₃
• R_Δ = 3 r_Y

Circuiti Dinamici del 1^o Ordine

A. Condensatore

1. Determinare condizione iniziale
   • Regime permanente (t=0⁻) V_C(0⁻)
   • Continuità V_C(0⁺) = V_C(0⁻) = V_C(0)
2. Determinare soluzione a regime per t➝∞
   • Sostituire il condensatore il suo modello a contatto
3. Determinare costante di tempo
   • τ= R_eq C
4. Soluzione per la variabile di stato
   • V_C(t)= [V_C(0⁺)-V_C(∞)] e^-t/τ + V_C(∞), per t ≥ 0
5. Eventuale altre richieste

B. Induttore

1. Condizione iniziale
   • i_L(0⁻)
   • Continuità i_L(0⁺)=i_L(0⁻)=i_L(0)
2. Soluzione a regime
3. τ= L / R_eq
   • R_eq è la resistenza eq. vista dall'induttore nel ramo di Norton
4. i_L(t)= [i_L(0⁺)-i_L(∞)] e^-t/τ + i_L(∞), per t ≥ 0

POTENZA APPARENTE

Modulo della potenza complessa

S = √(P² + Q²)

S = √V²I²cos²φ + V²I²sin²φ

P(t) = VI [cosφ·cos(2ωt + 2φ_Z + φ₁)] = P + S cos (2ωt + 2φ_Z)

TRIANGOLO DELLE POTENZE

S = √(P² + Q²)

cosφ = catq P / S = catq V_Imφ / V_Icosφ = φ

tgφ = Q / P Q = S sin φ

FATTORE DI POTENZA

cos φ

V = Z I

V_cart = ∠Z I

∠Z = φ_P - φ_Z = φ

φ > 0 RITARDO RESISTIVO - INDUTTIVO

φ < 0 ANTICIPO RESISTIVO - CAPACITIVO

TEOREMA DI BOUCHEROT

∑_{K = 1}^N I_KV_K = 0

∑_{K = 1}^N P_K = 0

∑_{K = 1}^N Q_K = 0