Elettrotecnica

Resistore

u(t) = R i(t)

Condensatore

u(t) = C ^{d r(t)}/_{d t}

Induttore

u(t) = L ^{d i(t)}/_{d t}

Induttore Mut. Acc. (puntini acinsati)

• u₁ = L₁ ^{d I₁}/_{d t} + M ^{d I₂}/_{d t}
• u₂ = L₂ ^{d I₂}/_{d t} + M ^{d I₁}/_{d t}

Nullore

{ I₁ = 0u₁ = 0

Bilanciato

Sbilanciato

Resistore

u(t) = R i(t)

Condensatore

u(t) = C ^du(t) / _dt

Induttore

u(t) = L ^du(t) / _dt

Induttore Mut. Acc. (Puntini Accoppiati)

• u₁ = L₁ ^di₁ / _dt + M ^di₂ / _dt
• u₂ = L₂ ^di₂ / _dt + M ^di₁ / _dt

Nullore

• i₁ = 0
• u₁ = 0

TRASFORMATORE

U₂ = m U₁I₂ = ¹⁄_m I₁

GIRORE

U₂ = -h I₂U₂ = h I₁

GENERATORI CONTROLLATI

Metodi di Analisi per un Circuito

Metodo Maglie e Anelli

Scegliere se possibile un albero il cui co-albero contenga tutti i generatori di corrente, nel caso in cui non siato riusciti a comprendenre tutti i generatori nel co-albero, per ogni generatore escluso avrete un'equazione aggiuntiva detta equazione di vincolo

[Z] · [I] = [V]

Esempio

Non si considerano tutte le tensioni ma solo quelle dei generatori di tensione

Metodo Nodi

Algoritmo da utilizzare negli esercizi

1. Individuare tutti i nodi possibili e daregli un nome
2. Eliminare le resistenze 80 con non scorre corrente
3. Creare il sistema seguente

[R][V_A,B,...]=[I_GEN]

• In [R] vanno le resistenze
• In [V_A,B,...] vanno le tensioni ai nodi
• In [I_GEN] vanno solo le componenti provenienti da generatori che non passano per delle resistenze

4. Trovo vincoli e sviluppo le eq. costitutive
5. Tratto le tensioni fittizie coi vincoli passano le eq costitutive
6. Sostituisco le eq costitutive nella matrice e la risolvo

Sintetica e ReciproicitÃ

Quando devo caratterizzare un bipolo/tri polo o altro, analyizzo prima i componenti.

Se sono presenti solo resistori ed induttori la piave da caratterizzare verità definita reciproca e quindi di aspetto di avere una matrice con un anti diagonale uguale.

[_α ^ββ _γ]

solo reciproco

Nel caso in cui ho un circuito sintetico con tutti componenti reciproci allora la matrice avrm i valori sulla diagonale principale uguali.

[_α ^ββ _α]

Reciproco b=bSinditico a=a

Circuti Inerti

Un circuto in cui sono spenti tutti i genetori independenti. La Vth è 0 sempre ma c'è solo unaRth≠0

Teorema di Sostituzione

Dati 2 circuiti accessibili da una sola porta e connessi fra loro, ancora è possibile sostituire uno di essi con un generatore di tensione o di corrente indipendenti di valore pari alla grandezza di porta presente nella connessione.

CircuitoC₁

CircuitoC₂

Teorema Di Thevenin

Assegnata una rete lineare comunque complessa, composta cioè da forti elementi lineari quali generatori di tensione e corrente, resistenze, ecc., presi 2 morsetti A e B ai capi di un carico R_C, tutta la rete che sta a monte del carico è equivalente ad un circuito costituito da una tensione equivalente V_eq e da una R_eq equivalente posti in serie e collegati al carico posto in egual modo rispetto il circuito di partenza.

La rete a monte ha lo stesso comportamento di V_eq e R_eq serie

• Ricorda che se hai un tripolo o quadripolo invece di una resistenza hai una matrice Z da trovar

Come Calcolo V_eq ed R_eq?

Bisogna costruire 2 circuiti per trovare le 2 incognite

Circuito per V_eq

V_eq è la tensione a vuoto tra A e B, fossendo quindi il carico.

Circuito per R_eq

R_eq va calcolata annullando i generatori di tensione e corrente indipendenti nella rete a fronte del carico aperto.

• I generatori di tensione vanno cortocircuitati
• I generatori di corrente vanno aperti (circuito aperto)

Devo trovare V in funzione di I per calcolare R_eq = V/I

Teorema Di Norton

Assegnata una rete lineare comunque complessa composta da tutti elementi lineari, presi 2 morsetti A e B ai capi di un carico Rc, il circuito a monte del carico è sostituibile in un circuito composto da un generatore di corrente e da una resistenza tra loro in parallelo con valori pari alla corrente che si scorge in Rc e dalla resistenza, essi sono pari alla resistenza del circuito a vuoto.

Come calcolare I_eq e R_eq?

Circuito I_eq

I_eq è la corrente che scorre tra i morsetti A e B cortocircuitando il carico.

Circuito per \( G_{eq} \)

Uso la teoria di Thevenin, ma così

Devo trovare \( I \) in funzione di \( V \)

È trovero la mia \( G_{eq} = \frac{I}{V} \)

• Ricorda che se hai un tripolo o quadrupolo, invece di una semplice resistenza ho da calcolare una matrice \( B_{q} \)

TRASFORMAZIONI CIRCUITALI

1) SERIE

A

B

R_tot = R₁ + R₂

2) PARALLELO

A

B

R_tot = ¹/_{(¹/R1 + ¹/R2)}

3) ELIMINAZIONE DI V_g

A

B

I_g

ELIMINAZIONE I_g

TRASFORMAZIONE I_g → V_g

TRASFORMAZIONE V_g → I_g

TRASFORMAZIONE GENERATORE CON IN PARALLELO UNA RESISTENZA

R_eq = ^V_g2/_R

Rappresentazione L-porte

Matrice [Z]

V₁ = z₁₁I₁ + z₁₂I₂V₂ = z₂₁I₁ + z₂₂I₂

Matrice [Y]

I₁ = y₁₁V₁ + y₁₂V₂I₂ = y₂₁V₁ + y₂₂V₂

Se abbiamo un tripolo di questo tipopossiamo comunque rappresentare con lo schema sopra il tripolo

Attenzione: se V₁ o V₂ sono nulle si elimina nel primo caso il circuito di sinistra e a destra resta solo 1/z₂₂.Nel secondo caso (V₂ = 0) si elimina il circuito di destra e rimane solo la "Y₁₁".

2-PORTA RECIPROCI

MATRICE [Z] _sbilanciata

[Z] = z₁₁ z₁₂ z₂₁ z₂₂ >

=>

z₁ = z₁₂

z₂₂ - z₁₂

z₂₂

R₁ R₂

=>

[Z] = R₁ + R₃ R₃ R₃ R₂ + R₃ >

MATRICE [Y] SBILANCIATA

[Y] = y₁₁ y₁₂ y₁₂ y₂₂ >

=>

-1/y₁₂

1/y₁₁ + y₁₂

y₂₂ + y₁₂

Calcolo valori Z/Y dopo Bartlett

Nel caso simmetrico

V₂^' = V₁^'

I₂^' = I₁^'

Nel caso antisimmetrico

V₂^'' = -V₁^''

I₂^'' = I₁^''

Per la sovrapposizione degli effetti

Tensione

V₁ = V₁^' + V₁^''

V₂ = V₁^' + V₁^''

Corrente

I₂ = I₁^' + I₂

I₂ = I₁^'' + I₂^''

Allora i termini di Z ed Y sono

Matrice Z

z₁₁ = z₂₂ = ^V₁/_I1

z₁₂ = z₂₁ = ^V₂/_I1

Matrice Y

y₁₁ = y₂₂ = ^I₁/_V1

y₁₂ = y₂₁ = ^I₂/_V1

Componenti Trasformati

Componente [Z] [Y]

1/δc δc

δL 1/δL

R R

APPLICAZIONE TEOREM A DI BARTLETT

Si calcola per circuiti simmetrici, ponendosi l'apporto (suppresso eletto) mediante un biplo o quadripolo.

Alla fine si otterrà sempre un circuito come quello qui a sx.

I generatori V_TH e V_TM possono non essere presenti nel corso della sfruttazione un circuito normale.

CIRCUITO INVERTE

È un circuit in cui sono presenti tutti i generatori indipendenti (tale circuito contiene soltanto generatori piloti, resistori e doppi bipoli reciproci).

ESEMPIO APPLICAZIONE TEOREM A DI BARTLETT

Questo è un circuit simmetrico con alimentazione asimmetrico (analize anche speculare), quindi eseguendo un taglio la tensione V_TH e V_TM sono presenti solo su una delle due metà (sx).

Esse sono:

• Per eliminazione di correnti v_n e simmetricamente di potenziale (c.c.) se e simmetrico si apre (c.c)

Quindi c'è un cortocircuito V_n = 3/2.

Esso vi deve ora riparentare il circuito di parenza e nuovamente analisi, quindi c.c. generatori di tensione originari (c.c.) quelli di corrente independently; per simmetricamento (a clamatro via risonificamento da signalfacanstale).

Come risolvere l'ultimo punto dell'esercizio 1

Per la corrente

In DC

I_in^(DC)(t) = I_u / I₀₂ |_s=0 · I₀₁ + I_car / I₀₂ |_s=0

In AC

I_in^(AC)(t) = I_u / I₀₂ |_s=s · (I₀₁ + I_RL / I₀₂) · (I₀₂) |_s=s

Per la tensione se ho 2 V₀₁, V₀₂ guarda la struttura dello stesso per la corrente

In DC

V_in^(DC)(t) = V_in / V_g |_s=0 · V_g

In AC

V_in^(AC)(t) = V_in / I_g |_s=s · I_g

V_{in tot} = V_in^(DC)(t) + V_in^(AC)(t)

I_in(t) = I_in^(DC)(t) + I_in^(AC)(t)

Potenza Attiva

Bipolo

P_a = 1/2 Re [V̅ ⋅ Ī̅^*]

dove

V̅ = |V̅| e^jΦ_V

Ī̅ = |Ī̅| e^jΦ_I

Da questo possiamo dedurre che:

1. P_a = 1/2 Re [|V̅| |Ī̅| e^{j (Φ_V - Φ_I)}] = 1/2 |V̅| |Ī̅| cosΦ

Sapendo che V̅ = Ī̅ ⋅ Z

Possiamo scrivere anche:

2. P_a = 1/2 Re [Ī̅ ⋅ Ī̅^* ⋅ Z] = 1/2 |Ī̅|² ⋅ Re[Z]

= 1/2 |Ī̅| ⋅ |V̅|/|Z| ⋅ Re[Z]

Ora senza uguaglianza P_a con P_a

1/2 |Ī̅| |V̅|/|Z| Re[Z] = 1/2 |V̅| |Ī̅| cosΦ → cosΦ = Re[Z]/|Z|

Trasformate di Laplace

L{e^at} = ¹/_s-a

L{sen(at)} = ^a/_{s² + a²}

L{e^btsen(at)} = ^a/_{(s-b)² + a²}

L{cos(at)} = ^s/_{s² + a²}

L{e^btcos(at)} = ^s-b/_{(s-b)² + a²}

L{u(t)} = ¹/_s

L{t u(t)} = ¹/_s²

L{¹/_(m-1)!t^m-1} = ¹/_s^m

L{ ¹/_b-a(e^-at - e^-bt) } = ¹/((s+a)(s+b))

Trasformazioni Circuitali

2-Porte

Y_t = [Y] +

1. o o
2. -k o

IN DC

∞

0

IN AC

1/jωC

jωL

FAI ATTENZIONE AI GENERATORI.

• IN DC I GENERATORI SINUSOIDALI (QUELLI ESRESSI CON: COS CON IL SENO ) SONO DA ELIMINARE
• IN AC I GENERATORI CONTINUI SONO DA ELIMINARE

Massimo trasferimento di potenza attiva ai capi di un bipolo

Annullo tutti i generatori nel modo opportuno e cerco una impedenza equivalente rispetto al bipolo. Devo applicare il Teorema di Thévenin.

Quindi prima applico la tensione a vuoto, trovando Vth e per calcolo Zth.

Ricavo di passare però ai fasori e quindi i valori resistenti a regime sinusoidale diventano:

• 1/R
• -j/C
• j/L

1

4

2

=

1/4₁₁

4

1

2

=

1/4₂₂

1. Anche se c'è un generatore di tensione ma il circuito è aperto, come in questo caso:

I = 0

Allora la corrente I è nulla perché non passa corrente.

2. Un generatore di tensione produce una corrente, è da tenere in considerazione quando si disegnano i circuiti.

V

I_x

Un generatore di corrente produce una tensione incognita.

V_x

I

(3) Quando definisco le correnti fittizie nel dettami delle tacche, è possibile

equagliarle ad una determinata corrente

se e solo se il patto di quel circuito in cui passa una corrente I è un patto di una

ed unica sola tacca.

Esempio:

La corrente I_a = -I₁mentre la correnteI_b = I₂.

Da la correnteI = I_b - I_a

Infatti nei patto in comune la corrente che scorre è pari alla differenza delle correnti fittizie di tacca.

(4) Controllare che il nodo di riferimento non sia uno dei nodi scelti

5) Quando ci sono tanti elementi in parallelo, posso scambiare l'ordine nei componenti lasciandoli orientati in quel modo

Tra i componenti non ci devono essere altri componenti.

6) Le resistenze tra un nodo ed un altro devo essere inserite senza passare per il nodo di riferimento

7) Le correnti nel detorno dei nodi esterni vanno considerate solo sul nodo preso in considerazione ed esse devono derivare solo da generatori (tensioni costanti) statici (π o [4], trasformatori, generatori, nucleo)

Quindi sul nodo C c'è I_oo mentre su B i non venuti considerati poiché non venuti da generatori.

8) IN UN NUCLEO BISOGNA CONSIDERARE ANCHE LA CORRENTE DI USCITA.

IN GENERALE QUESTO VALE PER OGNI TIPOLO BASTA FARE UNA KLC PER CAPIRE PERCHÉ

I₀ + I₀₀ - I_MU = 0 ⇒ I_MU = I₀ + I_∞ = I_∞

UTILE PER TROVARE DEI VINCOLI

9) IN UN TRASFORMATORE LE EQ. COSTITUENTI DEVONO ESSERE CONSIDERATE COME COND.

INFATTI LE CORRENTI (TENSIONI) DEI TRASFORMATORI POSSONO ESSERE UGUALI. SE AVVIENE L'UNICA SOLUZIONE ALLE EQUAZIONI

• V₂ = mV₁
• I₂ = - ¹/_m I₂

E CHE LE CORRENTI SIANO UGUALI A ZERO (VALE ANCHE PER LA TENSIONE)

10) Se la corrente va nello stesso verso della tensione (dal - al +) allora la tensione è positiva, viceversa sarà negativa.

11) Nel metodo dei nodi bisogna prendere in considerazione tutti i nodi possibili, non posso scegliere di escluderne qualcuno.

12) Posso eliminare dei componenti se e solo se questi componenti hanno una relazione costitutiva tensione-corrente e se una di queste è uguale a zero.

Il trasformatore è un unico componente.

13) Posso spezzare un circuito di nodi applicando Thèvenin o Norton al circuito che voglio cammimizzare. Deve essere un bipolo.

14. Se dei vincoli sono uguali delle equazioni di maglia allora quelli non sono da considerarsi vincoli. Non posso utilizzarli nello svolgimento partito dall'assunto es.9, in maglia.

15. Potenza attiva: Potenza necessaria a compiere un lavoro

Potenza reattiva: Potenza di scambio tra conduttori o tra un conduttore e la rete. Questa è una potenza che di teoria potenza attiva

16. Partitore di tensione

V₂ = V₁ * (R₂ / (R₁ + R₂))

17)

In generale quando si utilizza Bartlett si pongono i generatori di prova a destra e a sinistra del circuito da caratterizzare.

• Se il circuito è un quadripolo è indifferente utilizzare generatori di tensione o corrente.
• Se il circuito è un bipolo è importante la scelta dei generatori da utilizzare. Essa dipende dalla grandezza che si trova dal lato opposto alla porta considerata.

Si ricordi che:

18)

Splittare parallelo