Elettromagnetismo - parte tre

Circuiti Magnetici

12/05

1. legge rifrazione delle linee di forza di B e H

   tg θ₁ / tg θ₂ = μ'_r / μ₀ con μ'_r >> μ₀

   le linee di forza sono perpendicolari al mezzo

2. Le linee di forza di B sono chiuse. Usando del ferro, passano in aria e tornano al ferro

   incontrano una resistenza grande in aria

   tendono a rimanere nel ferro

concludo che il "flusso disperso" uscente dal ferro è trascurabile

3. si ha H_t1 = H_t2 → B_t1/μ'₀ = B_t2/μ₀

   ovvero B_t1 = μ/μ'₀ B_t2

   ovvero B_t4 >> B_t2

   B_fe >> B_aria sulla sup. di separazione

Si definisce circuito magnetico la zona

di spazio nella quale le linee di forza

di B si svolgono lungo materiali

ferromagnetici.

• composti da nuclei ferromagnetici di sezione S tale che S << c
• ha varie zone d’area chiamate trareni o intaleni
• posso avere segmenti avvolti da fili con correnti quantitativamente e lavorosamente

Facciamo le seguenti approssimazioni: - flusso supposto evitabile

La legge di Hopkinson permette di calcolare con buona approssimazione il campo B nei ferromagneti

es) Elettromagnete

è un circuito magnetico di "ferro dolce" con ciclo di isteresi stretto (nulla magnetizzazione residua)

→ il flusso disperso è nullo

→ ϕ = ϕ₀ → BS = B₀S₀ → B = B₀ campo nel traferro nulla!

Cerchiamo ora la riluttanza in aria:

R_aria = ¹⁄_μ0 d⁄S = ^μ⁄_μ0 d⁄μ_S = ^{(H₀ d)}⁄_μSS = ^ℓ⁄_μSS → operare come se fosse un tratto

l = μ_dd di ferro

d ≈ 1 cm → ℓ = 10³·1 cm = 1 m

Consideriamo 2 sistemi S_o e S con S in moto a velocità v

dQ, in S_o la densità è: ρ_o = ^dQ/_dτo

In S

dτ = dx dy dz = dτ_o¹/_γ

γ = ¹/_√1-β², β = v/c

Avrò inoltre una densità di corrente: J = ρ v = ρ γ v = ρ_o γ v

ρ e J sono componenti di un 4-vettore

J (ρ c, J)

- ρ c componente temporale

- J componente spaziale

J_x = ρ γ v, J_y = 0, J_z = 0

Un S

corrente → Forza di Lorente

_L = Q _V x _B = Q _V ⁰_-b^0b = Q _V B ẑ → _F = (0, 0, QVB)

_F = (0, 0, QVB)

quantità di moto radiale

inoltre si ha: _dPx / dt = QV H_o / 2_πr ≤ ∑ mgV

B

stratone del filo

^S_x

Un S'

ho una densità di carica sul filo ^λ' = mg_γV_c² _Q → λ' = λ^' ∑ * 1

unità di lunghezza

Il campo E' del filo è: _E' = 1 / 2_πε_o λ' / r = 1 / 2 _πε_o 1 / r ∑ mg_γV_c²Q_δ

l'eq. del moto è: _{dPx'⁽ⁿ⁾} / dt' = Q _E' = 1 / 2_πε_o 1 / r ∑ mg_γV_c²Q _δ

^noto c² = 1 / μ_oε_o

_{dPx'⁽ⁿ⁾} / dt' = H_o / r ∑ mg_γVQ_δ = dP_x / dt γ

ma dt' è il tempo della particella a riposo → dt = γ dt'

_{dPx'⁽ⁿ⁾} = dP_x

si conserva perchè è trasversale al moto

Se il circuito è fermo _T=0 → _i=

-(^*) flusso di costante con il circuito

(^*)=∮_S^*̂∙ con squilibrio con bordo il circuito

∮_C·=-d^*()/dt=-d/dt∫_S^*̂∙ può variare sia che la geometria del circuito

Legge di Lenz

La fem indotta genera una corrente indotta che produce un flusso di campo magnetico indotto ^* che si oppone al campo generatore

<0 per la scelta di ̂

Se avvicino il magnete <0

Il campo indotto cerca di allontanare il campo ^* che aumenta

Il circuito genera un polo nord

Se ho casi di flusso tagliato, la f.i. è riconducibile alla forza di Lorentz.

Circuiti in moto relativo e f.e.m. indotta

C con galvanometro e C' con corrente I

Se avvicino e allontano C' ho passaggio di corrente.

Se mi metto solidale a C, non spiega il fenomeno con la legge di Lorentz ⃗=⃗×⃗ perché non è in movimento.

Lo spiega con =−/d

Spiego il fenomeno con due leggi diverse!

In contraddizione con principio di relatività

b) Caso più generale: Circuito in forma variabile in moto con

B(t) variabile.

\( \mathcal{E}_i = \oint_{e} \vec{E}_i \cdot d\vec{e} = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{1}{dt} \left\{ \int_{S(t+dt)} \vec{B}(t+dt) \cdot \hat{n} \, ds - \int_{S(t)} \vec{B}(t) \cdot \hat{n} \, ds \right\} \)

\( \vec{B}(t+dt) = \vec{B}(t) + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \, dt \)

\( \Rightarrow \oint_{e} \vec{E}_i \cdot d\vec{e} = - \frac{1}{dt} \left\{ \int_{S(t+dt)} \vec{B}(t) \cdot \hat{n} \, ds - \int_{S(t)} \vec{B}(t) \cdot \hat{n} \, ds \right\} = - \frac{1}{dt} \int_{S(t+dt)} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \hat{n} \, ds \)

variazione di flusso

flusso tagliato: \( d\Phi = - \Phi_\varepsilon = - dt \oint_{e} \vec{v} \times \vec{B} \cdot d\vec{e} \)

\( \Rightarrow \oint_{e} \vec{E}_i \cdot d\vec{e} = \frac{1}{dt} \oint_{e} \vec{v} \times \vec{B} \cdot d\vec{e} = \int_{S(t+dt)} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \hat{n} \, ds \)

\( \Rightarrow \oint_{e} \left(\vec{E}_i - \vec{v} \times \vec{B} \right) \cdot d\vec{e} = - \int_{S(t+dt)} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \hat{n} \, ds \) e poiché \( \vec{E}_i = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \)

\( \Rightarrow \oint_{e} \vec{E} \cdot d\vec{e} = \int_{S} - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \hat{n} \, ds \quad \text{Nel limite } dt \to 0, \, S(t+dt) \to S(t) \to S \)

\( \int_{S} \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \hat{n} \, ds \Rightarrow \text{Analogamente a prima: } \boxed{\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}} \quad \text{III^a equazione di Maxwell}

caso non stazionario