Elettromagnetismo - parte due

Elettrostatica in presenza di dielettrici

Fino ad ora nel vuoto → ora in materiali isolanti (isotropi e omogenei) dielettrici.

Consideriamo un condensatore piano su cui pongo Q:

• nel vuoto: C₀ = Q/∆V₀
• rompo ora lo spazio tra le armature con materiale dielettrico ottengo ∆V < ∆V₀
• C = Q/∆V > C₀

Si osserva che C/C₀ = ε_r è indipendente dalla forma del condensatore (ε_r > 1)

→ costante dielettrica relativa rispetto al vuoto

→ posso scrivere quindi C = ε_r C₀ = ε_r ε₀ S/d = (ε S/d)

→ ε = ε₀ ε_r costante dielettrica del mezzo isolante [ε] = F/m

* Q = C₀ΔV₀ ; Q = CΔV → C₀ΔV₀ = CΔV → ΔV = C₀^.ΔV₀ = ^ΔV₀/_εr

** ΔV₀ = E₀^.d → ΔV = E₀d → E^.d = ^E₀.d/_εr → ε = ^E₀/_εr

ovvero il campo viene “abbattuto” di un ε_r

OSS

potrei interpretarlo come se mi si aggiungessero delle cariche opposte che abbattano il campo:

E = ^{σ + σ'}/_ε0 e sapendo che ε = ^E₀/_εr

^{σ + σ'}/_ε0 = ^σ/_ε0εr → σ + σ' = ^σ/_εr σ' = ^σ/_εr − σ

→ σ' = − ^ε_r−1/_εr σ

ovvero ho caricare di segno opposto

Polarizzazione Dielettrica

In un conduttore gli atomi sono disposti in un reticolo cristallino con celle elementari (r. es. cubiche) dove i vertici sono occupati dagli atomi.

• Per agitazione termica ogni atomo ha 1-2 elettroni liberi di muoversi → formano gas di Fermi

In un isolante gli elettroni sono legati →

• rimovibili solo tramite un grande impulso

Atomi con sotto l’effetto di un campo elettrico possono però polarizzarsi

Cerco ora il valor medio

<n> = ∫₀^π η₀ cosϑ dP(cosϑ)

= ∫₀^π η₀ E_L cosϑ _{sum dϑ>} ∫₀¹ cosϑ e^{−b cosϑ} d cosϑ

<n> = η₀ ∫₀^π e^{b cosϑ} _{sum dϑ>}

∫₀^b e^{b y} dy

= η₀ = η₀ [ coth (b) − 1/b ]

= L(b)

Ln H₂O

b = n₀ 6 E_L ∼ 1.5 ∙ 10⁻³

η₀ = 6 ∙ 10⁻³⁰ cm

k = 1.38 ∙ 10⁻²³ J/k

T = 300 k

L(b)= coth (b) − 1/b

= b/3 + a³/45 + …

<n> = η₀ E_L b₃

Se invece consideriamo le distribuzioni _P e σ_P avremmo:

V(r) = ¹/_4πε0 ∫ σ_P(r') ds' +¹/_{4πε0 ∫ ρP(r')/|r - r'|} dr (2)

ma il potenziale è unico! - confrontando le due si ha

σ_P = P · n sulla superficie

ρ_P = - ∇ · P nel volume

OSS

1. In un dielettrico omogeneo, P non dipende dalla posizione∇ · P = 0 → ρ_P = 0! → ho solo σ_P sulla superficie
2. / - - n - - - - - -+ | / / / / / / / / / / | fi s pn hs| / di / | |_{bottom / | / - - - - - - -+ = P · n = σcos / Q1 = Sσcos → Q1 = Q2}

per solidi anisotropi ho una struttura cristallina non cubica → devo scrivere P →|α| E con α tensore di polarizzarione

posso considerarla come se fosse nel vuoto ma con carica Q

da cui = ¹/_4πε0 ^Q/_εr ̂

= ¹/_4πε ^Q/_² ̂

Ma dentro il dielettrico?

= -∇⋅ = ¹/_² / (²) - ¹/_² / [ ^{- 1}/_4πℓ2] = 0 => = 0

OSS

• sulla superficie ≠ 0 , = 0 , ma in totale è neutro!
• annullo una - all'infinito

esempio 2

condensatore piano

da Gauss = => = /_ε

mentre = ₀ = ^{- 1}/_r

e la carica = ̂ = - = - ^{- 1}/

e vedendo il campo come se nel vuoto ma con carica _TOT = + =>

= /₀ = ¹/₀ ( - ^{- 1}/ ) = /_0r = ^₀/

Energia Elettrostatica nei Dielettrici

Vale ancora U = ¹⁄₂ ∫ ρ V dτ

Ripetendo i passaggi fatti nel vuoto con β = ∇ · D

U = ∫ u dτ con u = ¹⁄₂ D · E

- se dielettrico perfetto isotropo → u = ¹⁄₂ ε E² = ¹⁄₂ ^D⁄_ε

esempio

ho un condensatore piano con due dielettrici:

1. ∫ P₁
2. ∫ P₂

so che D "non vede" le cariche di polarizzazione (solo nelle cond. a contorno)

D = σ = ^Q⁄_S → D₁ = D₂ = D

esempio

1. 1 mm
2. 2 mm

E_d1 = (E₂d₁ + E₄d₂) ΔV

E_d2 = (E₁d₁ + E₂d₂) ΔV

1. porcellana
2. vetro

ε_r

7

5,5

→ con i valori della resistenza →

• ΔV < 227 kV
• ΔV < 53 kV

valori massimi

- Applico 150 kV a 1 mm di porcellana → E = (ΔV)_1mm = 370 kV/cm ok

- Applico 150 kV al doppio strato → si rompe prima il vetro, poi la porcellana!