Es. Nigro-Voci 2.10 (preparazione esame)
Inserimento di una lastra dielettrica in un condensatore piano
In un condensatore piano (Σ₁, h) viene inserita una lastra dielettrica a facce piane e parallele di area Σ₁ e spessore x. Calcola di quanto varia la capacità del condensatore e quanto lavoro viene speso per inserire la lastra nei seguenti casi:
- Inserimento a carica costante
- V costante
Schematizzazione: 2 condensatori in serie
C0 = ε0Σ₁/h, Cf = ε0Σ₁/x + ε0Σ₁/h-x ⇒ Cf = ε0Σ₁h/hx - x2
ΔC = Cf - C0 = ε0Σ₁x/h(h-x)
La capacità è aumentata.
Inserimento a carica costante
Effettuato l'inserimento a carica costante si ha che la carica sulle armature è sempre q₀, per cui rimane costante σ e quindi il campo E₀:
ΔV = σ(h-x)/ε0Σ₁ = σ(h-x) = q₀/ε0Σ₁ (h-x)
Wx = q₀ΔV = q₀/2ε0Σ₁ (h-x)2
Es. Nigro-Voci 2.10 (preparazione esame)
Inserimento di una lastra conduttrice in un condensatore piano
In un condensatore piano (Σ, h) viene inserita una lastra conduttrice a facce piane e parallele di area Σ e spessore x. Calcola di quanto varia la capacità del condensatore e quanto lavoro viene speso per inserire la lastra nei seguenti casi:
- Inserimento a carica costante
- A V costante
Schematizzazione: il condensatore si serve
C0 = ε0 Σ / h, 1 / Cf = x2 / ε0Σ + x1 / εΣ, Cf = εΣ h / (ε0 (h-x) + ε x)
ΔC = Cf - C0 = εΣε x / (ε0 (h-x) + ε x)
La capacità è aumentata.
Inserimento a carica costante
Effettuato l'inserimento a carica costante si ha che la carica sulle armature è sempre Q₀, perciò rimane costante σ e quindi il campo ε0:
ΔV = σ (h-x) / ε0Σ = εσ (h-x) + Q₀ / ε0Σ (h-x)
Wx = σ02 Σ εΣx / (2 × εε0) = 1 / 2 × εΣx (h-x) / (h-x) + ε/ε0 x
ΔV = σL = ΔW = W0 - Wf = 1 / 2 × ε0Σ / ((h-x) + ε / ε0 x)
Uscimento a V costante
W0 = 1/2 CV02 = 1/2 ε0 Si Vb2 Vo2
Wf = 1/2 CVo2 = ε0 S1 (n-x)/2 n Vo2
Wcosti = ± ΔW1 = Wf - W0 = 1/2 ε1 S1 V02 = 1/2 εo S1 [(h/h-x)]
Es. Nigro Voci 2.20
Calcolo dell'energia elettrostatica
Calcolare l'energia elettrostatica del campo prodotto da una carica q distribuita uniformemente sulla superficie di una sfera di raggio R. Ripetere il calcolo se la stessa carica è distribuita uniformemente su tutto il volume della sfera.
Caso superficie
- 0 ≤ r < R: E = 0
- r > R: E · 4πr2 = q/ε0 → E = q/4π ε0 ε
U = ∫R∞ 1/2 ε0 q2/16π2 ε20 4πr2dr = q2/8π ε0 ∫R∞ 1/r2 dr = q2/8π εR
Caso volume
- 0 ≤ r < R: E · 4πr2 = q(r)/ε0 = ∫0r ρ 4πx2dx = ρ4πr3/3εo
- q = ρ x 4π → E = ρr/3εo = q(r)/4π εR3
- r > R: E · 4πr2 = q/ε0 = ∫0R ρ4πx2dx = ρ4πR3/3εo → E = ρR3
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