Elettromagnetismo, esercizi riassunti

Es. Nigo Vai 2.10

(Preparazione esame...)

In un condensatore piano (S,l₁) viene inserita una lastra dielettrica a facce piane e parallele di area S e spessore x. Calcola di quanto varia la capacità del condensatore e quanto lavoro viene speso per inserire la lastra nei seguenti casi:

1. Inserimento a carica costante
2. a V costante.

Schematizzazione:

2 condensatori in serie

C₀ = ε₀S/l₁

1/Cf = x₂/c₀ + x₁/c₀ => Cf = ε₀S/l₂

ΔC = Cf - C₀ = ε₀S/l₂ - ε₀S/l₁

= ε₀S(r₁-r₂) = ε₀Sx/l₁(l₁-x)

la capacità è aumentata.

1. Inserimento a carica costante:

Effettuato l'inserimento a carica costante si ha che la carica sulle armature è sempre Q₀, per cui rimane costante σ, e quindi E₀:

ΔV = Q₀/ε₀(h-x) = σ/ε₀(h-x) = E₀(h-x)

= E₀(l₁-x) - Q₀/ε₀(l₁-x)

2- Inscatolamento a V costante

W_o = -2 C_x ^ε₁S₁/_h V_o²

W_x = -2 C_x ^ε₁S₁/_(h-x) V_o²

V = costante

W_o - W_x = -2 ^ε_oε₁/h V_o² [^h(h-x)] =

= -1/2 ^ε_oε₁/h² [-2(x-x)] =

= +1/2 ^ε_oε₁/h(h-x)

Es. Vigna Voa 2.20

Calcolate l'energia elettrostatica del campo prodotto da una carica q distribuita uniformemente sulla superficie di una sfera di raggio R. Ripetere il calcolo se la stessa carica è distribuita uniformemente su tutto il volume della sfera.

Caso superficie:

0 < h < R : E = 0

h > R : E ancora 4πh² = ^q/_εo -> E = ^q/_4πh²εo

U = ∫_R^∞ 1/2 ^ε_oq2/4πh₂ε_o ^4πh2d = ^q2/8πε R

Caso volume:

0 < h < R : E ancora 4πh² = ^q(n)/_εo = ^{∫₀h ρ 4πh2}/ε_o = ^{ρ 4πh3}/3ε_o

-> E = ^ρh/_3εo - ^q/_4πh³

h > R : E ancora 4πh² = ^q/_ε = ^{∫∞ρ 4πh2}/_εo = ^{ρ 4πh3}/3ε_o

-> E = ^{ρ R3}/_3εoh² = ^q/_4πh²

c) il valore del potenziale rispetto all'∞ sull'asse z nel punto z=2:

contenuto sfera piena:

V(R) - V(∞) = _Qtot/ _4πε0 = ^{ρ∫2πr²dr}/_4πε0R = ^ρR³/_3ε0R = ^ρR²/_3ε0

contenuto 2 cavità:

V(2) - V(∞) = _Qtot/ _{4πε0(d²+R²)¹ʹ²} = ^{-2(ρ)∫2πr²dr}/_{4πε0(d²+R²)¹ʹ²} = -^2ρπR³/_{3ε0(d²+R²)¹ʹ²}

= -^2ρR³/_{3ε0(d²+R²)¹ʹ²}

dunque per il principio di sovrapposizione dei potenziali si ha

V(R) - V(∞) = ^ρ/_3ε0 { R² - ^2R³/_{(d²+R²)¹ʹ²} }

Esercizio 2

Due bolle di sapone sferiche conduttrici, una dentro l'altra hanno spessori d e raggi re e R; la bolla interna ha carica nulla, la bolla esterna possiede una carica Q tale che V(R) - V(∞) = V₀. Ad un certo istante la bolla esterna si rompe collassando in una goccia di 'raggio r', conservandone l'acqua sapone e la conduttività (calcoli):

a) la carica Q posseduta dalla bolla interna.

→ →

per induzione nella bolla esterna si avrà -Q sulla sup. interna e +Q in quella esterna.

Esercizio 2

Guscio sferico isolante di raggio R, semi carico con densità s. Filo rettilineo indefinito uni carico con densità λ passante per il centro O del guscio.

1. Determina E_s ed E₁ (rispettivamente di filo) nei punti appartenenti ad una retta passante per O ed inclinata di α = π/6 rispetto al filo.

E_guscio = ...

E_filo = ...

2. Calcola il lavoro necessario per spostare una carica q lungo la retta r da un punto P^. interno al guscio ad un punto P’ esterno al guscio.

ρ_P = -div P_→ = -1 / r² 2 / ∂r [r² (ε_r-1)ε₀ Q / 4πkδk] =

2 / ∂r [(ε_r-1) Q / 4πk] =

-1 / r² 2Q / 4πk = -2Q / 4πk

5) Verifica che il dielettrico risulta neutro:

Q ¹/_{P 4πr2R2} = - (κ-R₂²) Q / R₂²

Q ² = ρ_P 4πr ḋr

Q ⁴ + Q ² + Q ^(V) = -Q / κ + Q / κ R₂² + Q / κ - Q / κ R₂² = 0

1^o compito di esercizio 25/02/2005

Esercizio 1

a) determina l'espressione del campo elettrico e del potenziale lungo l'asse x

Teorema di Gauss

Vale per qualunque campo vettoriale additivo e che per sorgenti puntiformi abbia modulo α all'inverso del quadrato della distanza e sia diretto come la congiungente con il punto sorgente.

Campo vettoriale A e integro su S.

dϕ(A) = A · dS = A · n_^ dS = A dS cos θ = flusso

ϕ_S(A^⃗) = ∮ dϕ(A)] = ∮ A · dS

“ℓ è flusso del campo elettrostatico nel vuoto ε₀ attraverso il sup. chiusa S è pari alla somma algebrica delle cariche contornate all'interno di S, dunque per ε₀ –> ϕ_S(ε₀) = ∮ ε₀ · dS”

dϕ(ε₀) = ε₀ · dS = 1/ε₀ ∑ Q_int = Q_tot/ε₀

= 1/4πε₀ Q/r² cos θ dS = Q/4πε₀ dS_M/r²

dS_M = (dS_M = dS cos θ)

dS_M/r²

angolo solido d_Ω del cono, con vertice in Q delimitato dall'elemento di sup dS

dϕ(ε₀) = Q/4πε₀ d_Ω

ϕ(ε₀) = ∮ dϕ = ∮ d_Ω = ∮ d² = Q/4π

= Q/ε₀

se all'interno delle sup ci sono + cariche Q_i:

dϕ(ε₀) = ε₀ · dS – (∑ ε₀ dS_OC dS) – ∑ ε₀ dS) = ∑ dϕ_i

∮ ϕ = ∮ dϕ = ∑ ∮ dϕ_i = ∑_ε ∮ ϕ_i = ∑_ε ∮ dϕ_i = ∑_ε Q_int/ε₀

le relazioni scritte prima sono utilizzabili solo qualora tutte le sorgenti siano localizzate in una regione limitata dello spazio. se una sorgente si sposta (detto)

contributo di dr^''' al

potenziale V₀(r^') nel punto P:

dV₀ = ₁/^4πε₀ ∫ ρdr^''

avremmo supposto dC = 0

dunque dV = ₁/^4πε₀ ∫ ρdr^''₁/^{|→r - → r'|} - ₁/^4πε₀ ∫ ρdr^''₁/^{|→r - → r''|}

V₀(r^') = ₁/^4πε₀ ∫∫ ρdr^'' [ ₁/^{|→r - → r''|} - ₁/^{|→r - → r'|} ]

E_o · d →e = -dV_o ⇒ grad V_o · d →e = dV_o

E_o = -grad V_o

_dVo /^dℓ = -gradV_o cosα