Elementi di topologia

Elementi di topologia

Tutte le coppie ordinate di questo tipo. A partire da (x, y) ∈ R², ossia { (x, y) : x, y ∈ R }, si definisce l'applicazione distanza:

√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) ≥ 0

La distanza è 0 se entrambe le coordinate dei punti coincidono, inoltre d(A, B) = d(B, A). Dalla disuguaglianza triangolare sappiamo che, preso un altro punto C:

d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)

Definizione di limite in più variabili

Adesso si comincia a dare la definizione di limite in più variabili, prendendo come esempio un cerchio. Data una coppia ordinata (x₀, y₀) ∈ R², un’altra coppia tende ad essa se esiste δ > 0 tale che:

{ (x, y) ∈ R² : |x - x₀| < δ e |y - y₀| < δ }

Ossia, tradotto geometricamente, un punto tende ad un altro se la differenza in modulo di questi due è minore del raggio del cerchio formato da (x₀, y₀) e dal punto (x, y).

Punti interni e insiemi aperti

Un punto è interno ad un determinato insieme X se e solo se in questo insieme esiste un intorno completo di questo punto. L’insieme X si dice aperto se ogni punto di esso è interno, quindi se e solo se tutti i punti interni ad X sono l’insieme X stesso, viceversa un insieme è chiuso se il suo complementare è aperto. R² e l’insieme vuoto sono aperti e chiusi.

Insiemi non ordinati

L’insieme R² non è ordinato, un punto (1, 3) non si può dire che è più piccolo di un punto (7, 9), si possono analizzare le singole coordinate al massimo.

Punti di accumulazione

Dato un determinato punto (x₀, y₀), si definisce punto di accumulazione rispetto ad un insieme X se per ogni intorno I(x₀, y₀) meno il punto stesso, risulta che I(x₀, y₀) - { (x₀, y₀) } ≠ ∅, ossia che esiste almeno un elemento appartenente ad X tale che appartenga all’insieme intorno meno il punto (x₀, y₀).

Cerchi e punti di accumulazione

In un insieme viene definito un cerchio di raggio r. Un punto (x, y) è appartenente ad un insieme X se |(x - x₀)| < r. Se un punto appartiene a D(X) (l’insieme dei punti di accumulazione dell’insieme X), non è detto che quel punto appartenga ad X e viceversa. Nel secondo caso, ad esempio, se il punto giace sulla circonferenza, non esistono intorni completi di questo punto all'interno dell'insieme X.