Elementi di topologia

ELEMENTI DI TOPOLOGIA

2 , ossia tutte le coppie ordinate di questo tipo. A partire da

( ) ∈

={ }

R x , y : x , y R x , y

( )

x , y

due coppie ordinate e ), entrambe date da , si definisce

R × R

2 2

1 1 ¿

l’applicazione distanza:

√ 2 2

( ) ( )

−x + −

x y y ≥ 0

2 1 2 1

La distanza è 0 se entrambe le coordinate dei punti coincidono, inoltre

( )=d ( ) , inoltre dalla disuguaglianza triangolare sappiamo che, preso

d A , B B , A ( ) ( ) ( )

+

un altro punto C: .

d A , B ≤ d A , C d C , B

Adesso si comincia a dare la definizione di limite in più variabili, prendendo

¿

x , y 2

come esempio un cerchio, data una coppia ordinata ( , un’altra

∈ R

0 0

{ } | |

2

( ) ( )

( ) ( )−

∈

> <δ

coppia tende ad essa se esiste

(x ) δ 0 :I x , y , x , y R : x , y x , y

, y δ 0 0 0 0

, ossia tradotto geometricamente, un punto tende ad un altro se la differenza in

modulo di questi due sono minori del raggio del cerchio formato da

(x )

, y

quest’ultimo e dal punto . Altro modo per definirlo, un punto è interno

0 0

ad un determinato insieme X se e solo se in questo insieme esiste un intorno

completo di questo punto. L’insieme X si dice aperto se ogni punto di esso è

interno, quindi se e solo se tutti i punti interni ad X sono l’insieme X stesso,

2

viceversa un insieme è chiuso se il suo complementare ( è aperto.

− ¿

R X

2 e l’insieme vuoto sono aperti e chiusi.

R 2

L’insieme non è ordinato, un punto (1, 3) non si può dire che è più piccolo

R

di un punto (7, 9), si possono analizzare le singole coordinate al massimo.

¿

x , y

Dato un determinato punto ( , si definisce di accumulazione rispetto ad

0 0 { }

( ) ( ) ∅

−

I X x , y ≠

un insieme X ∀ risulta che , ossia che esiste

 ( )

I x , y A 0 0

0 0

almeno un elemento appartenente ad X tale che appartenga

( )

x , y ¿

x , y

all’insieme intorno meno il punto ( .

0 0

2

In un insieme viene definito come un cerchio di raggio , un punto

r

R | |

( )

( ) − <

x , y x , y r

( ) è appartenente ad un insieme X se . Se un punto

x , y 0 0

appartiene a (l’insieme dei punti di accumulazione dell’insieme X) non è

D X

detto che quel punto appartenga ad X e viceversa (nel secondo caso ad

esempio se il punto giace sulla circonferenza [non esistono intorni che lo

comprendano]).

DEFINIZIONE DI LIMITE IN DUE VARIABILI REALI

2 2

( )

⊆ ∈

Data è data la seguente definizione:

f : X R → R , x , y R , DX , l∈ R

0 0 | | |

{ }

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )− ( ) (

∀ ∃δ ∈ ∃ ∈

=l↔ >0, >0 < −

lim f x , y ε : x , y X : x , y x , y δ , I :∀ x , y X ∩ I x , y ,→ f x

0 0 δ 0 0

( )

x , y

0 0

( ) )

x, y →(x , y

0 0 ( )

x , y

Per il limite che tende ad un numero uguale a i ragionamenti

± ∞

0 0

sono analoghi ai limiti di funzioni in una variabile: la prima parte è uguale solo