Elementi topologia funzioni più variabili

Criteri di convergenza per le serie numeriche

Se e = 0 → per il criterio della radice per le serie numeriche, la serie converge assolutamente ∀x ≠ 0 → raggio di convergenza = +∞

Se e = +∞ → per il criterio della radice, la serie non converge assolutamente ∀x ≠ 0 → raggio di convergenza = 0

Se 0 < e < +∞ per il criterio della radice, la serie non converge assolutamente. In questo caso: ¹⁄_|x|1 > ¹⁄_|x|2 → raggio di convergenza = ¹⁄_e

Teorema di D'Alembert

Se a_n ≠ 0 ∀n ∈ ℕ, e sia J il limite.

• 0 se e = +∞
• ¹⁄_e se 0 < e < +∞
• +∞ se e = 0

Elementi di topologia

Indicheremo con R² l'insieme costituito dalle coppie ordinate di numeri reali: R² = { (x,y) x ∈ R, y ∈ R }

Prendiamo come riferimento cartesiano (O, x, y); sappiamo che vi è una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate di R². Talvolta si identifica il punto P (x,y) con il vettore Y = (x,y) con applicazione nell'origine degli assi e componenti x,y.

Il vettore (x,y)

Quindi, R² si può strutturare come spazio vettoriale (R², +, •) introducendo le operazioni di somma, prodotto scalare e prodotto per uno scalare.

Operazioni nello spazio vettoriale

Somma: v₁ + v₂ = (x₁+x₂, y₁+y₂)

Usando la regola del parallelogrammo, geometricamente è dato:

Prodotto per uno scalare: k ∈ ℝ ponendo k⋅v = (kx, ky)

Vettore nullo è (0, 0)

Prodotto scalare: Siano due vettori; v₁=(x₁,y₁), v₂=(x₂,y₂), il loro prodotto scalare sarà: (v₁, v₂)=x₁x₂ + y₁y₂

Modulo o norma

È la distanza dall’origine del punto (x, y) o anche “lunghezza” del vettore v ed è:

|v| = |(x, y)| il modulo norma di v è la quantità:

|v| = √ (x² + y²)

N.B: Ha lo stesso simbolo del valore assoluto di un numero reale. Non confondere.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Siano v₁, v₂ due vettori di ℝ² indicando con |v₁| e |v₂| i loro moduli e con (v₁, v₂) il loro prodotto scalare. Risulta che:

|(v₁, v₂)| ≤ |v₁| |v₂| il prodotto scalare modulo è ≤ del prodotto dei moduli.

Dimostrazione: Siamo v₁ = (x₁, y₁) e v₂ = (x₂, y₂) ∀ λ ∈ ℝ risulta che:

0 ≤ (x₁+λx₂)² + (y₁+λy₂)² = (x₁² + y₁²) + λ²(x₂² + y₂²) + 2λ(x₁x₂ + y₁y₂) = |v₁|² + |v₂|² + 2λ(v₁, v₂)

L’equazione di 2° grado è → (perché 0 ≤ 0 (lineare) (v₁, v₂)² ≤ |v₁|²|v₂|² cioè la tesi.

Intorno circolare

Sia x_o un elemento fissato di ℝⁿ. Un intorno circolare (o sferico) è per definizione una sfera aperta e non vuota di centro x_o, e raggio δ>0; quindi ∃ δ ∈ Ξ tale che (x_o/y_o) con il centro (x_o, y_o) e raggio δ >0.

F IO = { (x,y) ∈ ℝ² : √(x-x₀)²+(y-y₀)² < δ }

Il punto C(x₀,y₀) ∈ A si dice interno ad A se ∃ IS (intorno circolare) α (x₀,y₀). IS ⊂ A

(x₀,y₀) ∉ A si dice esterno ad A se ∃ un intorno circolare (is) contenuto nel complementare di A. (x₀,y₀) ∈ A è punto di frontiera di A se in ogni intorno circolare (is) di (x₀,y₀) si ha i punti di A che del complementare di A. (x₀,y₀) ∈ ℝ² si dice di accumulazione per l'insieme A ⊆ ℝ² <=> in ogni intorno circolare di (x₀,y₀) cade almeno un punto di A ≠ x₀,y₀).

Proprietà dei punti

• Ogni punto interno di A è di accumulazione per A
• Ogni punto di ℝ² esterno ad A non è di accumulazione per A
• I punti della frontiera di A possono non essere di accumulazione per A.

Insiemi limitati

Un insieme A ⊂ ℝ² è limitato se è contenuto in un IS dell'origine cioè:

∃ H > 0: I (x,y)I = √x²+y² ≤ M ∀(x,y) ∈ A

• A è limitato
• A non è limitato

(Non necessariamente un insieme A ⊂ ℝ² è aperto e chiuso. Gli insiemi che sono contemporaneamente aperti e chiusi sono quelli in ℝ²; la chiusura F di un insieme F A ⊂ ℝ² è l'unione di A con i suoi punti di accumulazione, F = A ∪ A.)

Dominio

Un dominio di ℝ² è la chiusura di un insieme aperto.