Elementi di topografia e cartografia

I

LA GEODESIA

1.1

PREMESSA

La geodesia è una scienza che studia la forma, le dimensioni della terra e il suo campo gravitazionale.

La geodesia si può dividere in:

1. geodesia teorica che studia la forma e la dimensione della terra, compreso il campo gravitazionale;
2. geodesia operativa che mette in pratica la teoria con dei procedimenti per risolvere i problemi relativi alla superficie terrestre.

La topografia è un parte della geodesia operativa che si occupa soprattutto del rilievo.

Rilevare una superficie terrestre significa determinare la posizione di un numero sufficiente di punti appartenenti a questa superficie terrestre.

2.1

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO, LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO, I SISTEMI DI COORDINATE

Per definire la posizione dei punti, occorre definire un sistema di riferimento e anche una superficie di riferimento che possa approssimare la superficie della terra e che possa permettere di svolgere i calcoli in modo semplice.

Può essere anche necessario definire un sistema di coordinate, cioè un modo che permetta di collocare in modo corretto i punti del rilievo nel sistema di riferimento e nella superficie di riferimento.

2.1.1

I SISTEMI DI RIFERIMENTO

Per sistema di riferimento si intende una terna cartesiana che bisogna saper collocare nel modo migliore nello spazio.

I sistemi di riferimento si possono dividere in:

1. sistemi di riferimento globali;
2. sistemi di riferimento locali.

2.1.1.1

I SISTEMI DI RIFERIMENTO GLOBALI

Sono definiti da della convenzioni e sono volti a collocare il risultato del rilievo sulla terra.

Un sistema di riferimento globale deve essere realizzato considerando diversi parametri tra cui:

1. la forma irregolare della terra;
2. i moti di rotazione e rivoluzione.

Solitamente un sistema globale comune è il sistema geocentrico che si presenta come una terna cartesiana con l'origine nel centro della massa terrestre e l'asse z coincidente con l'asse di rotazione terrestre.

2.1.1.2 I SISTEMI DI RIFERIMENTO LOCALI

I sistemi di riferimento locali vengono scelti di volta in volta dal soggetto che svolge il rilievo, inoltre lo stesso soggetto ha la possibilità di scegliere l’origine della terna cartesiana.

2.1.2 LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO

Una superficie di riferimento è la superficie su cui viene sviluppato il rilievo della superficie fisica reale e deve avere due caratteristiche:

1. La superficie deve essere definita da un’espressione analitica, la più semplice possibile (cioè in forma canonica), in modo da darle una geometria;
2. la forma e la dimensione della superficie devono approssimare al meglio la superficie reale del nostro pianeta.

2.1.2.1 LE SUPERFICI EQUIPOTENZIALI

Si sa che il campo gravitazionale ammette un potenziale, quindi esisteranno delle superfici equipotenziali del campo gravitazionale. Nella superficie di riferimento si possono definire:

1. un verticale n, cioè il versore ortogonale alla superficie equipotenziale (cioè al geoide) in un punto;
2. una normale n’, cioè il versore ortogonale ad una superficie di riferimento (cioè all’ellissoide).

Se consideriamo il geoide, cioè la superficie equipotenziale passante per il livello medio dei mari, allora si può pensare che questa sia la superficie equipotenziale più adatta per essere considerata come superficie di riferimento terrestre; questa superficie risulta però troppo complessa per poter essere espressa in forma analitica. Si è quindi passati dal geoide ad una superficie approssimata di esso, ovvero un ellissoide di rotazione. Se è vero che al geoide verrà corrisposto un unico ellissoide, il quale costituirà la migliore approssimazione in termini globali, è altrettanto vero che, considerando solo parti del geoide, sarà possibile determinare superfici approssimative (cioè ellissoidi) che approssimeranno meglio il geoide in quella determinata area; si può parlare quindi anche di superfici di riferimento approssimate locali e globali.

L’equazione dell’ellissoide è _x²⁄_a² + _y²⁄_a² + _z²⁄_b² = 1.

2.1.2.2 IL GEOIDE

Si sa però che le acque marine non sono in equilibrio dinamico, infatti sono perturbate dai movimenti dovuti ai venti, dalle differenze di concentrazioni saline, dalle correnti e dalle maree, le quali dipendono principalmente dall’azione attrattiva del sole e della luna. Osservando i livelli della superficie del mare si nota che essi raggiungono variazioni anche dell’ordine di 20 m in un giorno.

LA GEODESIA

e il raggio di curvatura del meridiano è \(\rho = \frac{a(1-e^2)}{\sqrt{(1-e^2.\sen^2\varphi)^3}}\); l'altra sezione principale prende il nome di Gran Normale N e si ottiene dall'intersezione tra l'ellissoide e il piano tangente al parallelo in quel punto. Il raggio di curvatura della Gran Normale è

\(N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2.\sen^2\varphi}}\). Definito N, possiamo riscrivere in forma semplificata le equazioni delle coordinate geocentriche rispetto alle coordinate geografiche:

\(x = N.\cos\varphi.\cos\omega\) \( y = N.\cos\varphi.\sen\omega\) \( z = N.\sen\varphi(1-e^2)\)

Essendo i punti riferiti sulla superficie terrestre e non sulla superficie di riferimento, risulta chiaro che le relazioni precedenti hanno dei limiti. Dobbiamo quindi considerare l'altezza h e perciò possiamo definire la posizione del punto in coordinate geocentriche rispetto alle coordinate geografiche e mediante queste relazioni:

\(x = (N+h).\cos\varphi.\cos\omega\) \( y = (N+h).\cos\varphi.\sen\omega\) \( z = [N.(1-e^2)+h].\sen\varphi\)

Grazie al teorema di Eulero è possibile definire anche il raggio di curvatura di una sezione normale qualunque che forma con il meridiano che è

\(\frac{1}{R_{\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha}{\rho} + \frac{\sen^2\alpha}{N}\) e per finire possiamo definire il raggio di curvatura medio

\(m = \sqrt{\rho N} = \frac{a\sqrt{1-e^2}}{1-e^2.\sen^2\varphi}\)

Definita in generale la geometria dell'ellissoide di rotazione, diventa quindi importante poter applicare queste formule all'ellissoide più prossimo alla superficie terrestre. Fino ad oggi sono state eseguite una ventina di prove per determinare i parametri ellissoidici, come quello stabilito nel 1984:

• Nome ellissoide: WGS84 (1984)
  • a: 6 378 137 m
  • \(\alpha\): 1:298,3
  • e²: 6,673321•10^-3

Con il passare del tempo c'è stata una ricerca sempre più raffinata per determinare quale fosse il migliore ellissoide che rappresentasse la forma della terra. Anche se l'approssimazione della terra è un ellissoide, facendo un confronto più specifico ci si rende conto come anche l'ultima determinazione dell'ellissoide WGS84 aderisca bene in alcune aree del pianeta, mentre in altre aree l'aderenza non è corretta benissimo. Per applicazioni o rilievi in scala globale l'ellissoide WGS84 è il migliore supporto, ma per le aree più circoscritte, come i Continenti, gli Stati o le Regioni, possono esistere ellissoidi (probabilmente orientati anche in modo diverso) che aderiscono meglio al geoide locale e che quindi costituiscono una superficie di riferimento più adatta.

Questo ragionamento porta alla possibilità di avere, per un'area, più ellissoidi possibili, cioè uno globale, uno continentale e uno nazionale, ciascuno orientato in modo diverso dall'altro.

È possibile perciò definire il Datum geodetico, cioè l'insieme dei parametri volti a definire le dimensioni e l'orientamento dell'ellissoide rispetto al geoide. Si sceglie un punto nel quale si impone che la normale all'ellissoide (cioè il versore ortogonale ad una superficie di riferimento, cioè all'ellissoide) coincida con la verticale (cioè il versore ortogonale alla superficie equipotenziale, cioè al geoide, in un punto); in pratica si assume nulla la deviazione della verticale in quel punto, intesa come l'angolo tra normale e verticale in quel punto. Si definisce prima la direzione della normale in un punto; l'ellissoide non è fissato nello spazio, quindi, per bloccare la posizione dell'ellissoide rispetto al geoide, occorre definire anche il valore di una direzione, dal punto origine ad un altro punto vicino, definendo il valore dell'azimut ellissoidico della direzione.