Elaborazione numerica dei segnali - Appunti

T



 T

c f (

t ) e dt

n T 0

RICHIAMO: prodotto interno

Si definisce prodotto interno qualunque funzione dotata delle seguenti proprietà:

 

  

se f (

t ) 0 f (

t ), f (

t ) 0

     

  

c f (

t ) c f (

t ), g (

t ) c f (

t ), g (

t ) c f (

t ), g (

t )

1 1 2 2 1 1 2 2

5

La componente a coefficiente c con n = 0, è l’elemento costante rappresentante un segnale ed è pari al

n

valore medio di quest’ultimo.  

   

per n 0 f t c 1 c

0 0

Esempio: sviluppo in serie di Fourier complessa

Sia dato il segnale periodico f(t) così definito:

     

  

  

f (

t ) sin 10 t 3 sin 2 t 5 cos 6 t

Le funzioni trigonometriche che costituiscono il segnale si possono riscrivere in forma esponenziale,

applicando le relazioni che derivano dall’Identità di Eulero.

     

1 3 5

     

  

     

i

10 t i

10 t i 2 t i 2 t i 6 t i 6 t

f (

t ) e e e e e e

2

i 2

i 2

Distribuendo i coefficienti: 1 1 3 3 5 5

     

  

     

i

10 t i

10 t i 2 t i 2 t i 6 t i 6 t

f (

t ) e e e e e e

2

i 2

i 2

i 2

i 2 2

Per determinare esattamente le frequenze in Hertz dei componenti che costituiscono il segnale f(t) (ossia il

fattore n che le moltiplica) occorre raccogliere 2π agli esponenti della combinazione lineare:

1 1 3 3 5 5

     

  

     

i 2 5 t i 2 5 t i 2 t i 2 t i 2 3

t i 2 3

t

f (

t ) e e e e e e

2

i 2

i 2

i 2

i 2 2

Risulta che il segnale f(t) è rappresentato dai seguenti coefficienti:

3 3 5 5 1 1

       

c ; c ; c ; c ; c ; c

  

1 1 3 3 5 5

2

i 2

i 2 2 2

i 2

i

Ciascun coefficiente (complesso) esprime un’ampiezza e una fase che, una volta razionalizzati i termini

rispetto all’unità i, risultano dalle relazioni relative alle coordinate polari dei numeri complessi.

 

 

r 3 2 r 3 2

 

3 3



  

 

c i c i 3

 

  



1 1

2 2

 

 

2 2

 

 

r 5 2 r 5 2

5 5

 

 

c c



 

 

3 3

 

0 0

2 2

 

 

r 1 2 r 1 2

 

1 1 

  

 

c i c i

3

  

 



5 5

2 2

 

 

2 2

Indicando, per le frequenze che compongono il segnale, i rispettivo modulo e fase è possibile tracciarne lo

spettro, che lo rappresenta nel dominio delle frequenze.

5. Trasformata di Fourier

La serie di Fourier (reale o complessa) consente la rappresentazione in frequenza dei soli segnali periodici.

Dato un segnale aperiodico f(t) ne si considera un intervallo limitato di lunghezza T dove f(t) sia diverso da 0

e si immagina di replicarlo più volte, fino ad ottenere un nuovo segnale f (t) che, all’infinito, approssimi f(t).

T

6



f (

t ) lim f (

t )

T





T

Tale segnale, periodico, può essere rappresentato a partire dallo sviluppo in serie di Fourier.

 n

n

 



  1

 i 2 t i 2 t

T



 

T T

f t c e con c f (

t ) e dt

n n T 0

 

n

Tuttavia occorre definire alcune trasformazioni…

n

   frequenza dell' ennesima armonica

n T 1

  

     

1 incremento tra una frequenza e la successiva

n n T

 

  

F c T nuova funzione definita

n n

Applicando tali trasformazioni alle formule di partenza risulta che:



   

 

 

 

i 2 t

f t F e n

T n

 

n

  T 2

 

 

 i 2 t

F f (

t ) e dt

n

n T



T 2

Se T tende all’infinito f (t) approssima (è uguale a) f(t) e l’incremento Δν tra una frequenza e la precedente

T

tenderà ad annullarsi. Lo sviluppo in serie, modificato attraverso le sostituzioni date, si può quindi riscrivere

nella forma di un integrale definito: 

     

 

  



 

i 2 t 1

F

f t F e d F ( )



 

   

 

 

 

i 2 t F

F f (

t )

e dt f (

t )

 

La funzione F(ν) costituisce la trasformata di Fourier del segnale f(t) (detto antitrasformata o trasformata

inversa) e ne fornisce la rappresentazione in frequenza: essenzialmente, indica il peso di ciascuna armonica

componente il segnale.

APPROFONDIMENTO: esistenza della trasformata di Fourier

Non tutti i segnali ammettono la trasformata di Fourier. Si considerano le Condizioni di Dirichlet:

- il segnale f(t) deve essere assolutamente integrabile, cioè:

  

  

f t dt



-

- il segnale f(t) deve avere un numero finito di minimi e di massimi in ogni intervallo finito;

- il segnale f(t) deve avere un numero finito di discontinuità in ogni intervallo finito.

Tali condizioni sono sufficienti, non necessarie, pertanto è possibile ottenere la trasformata di Fourier di segnali che

non le soddisfino pienamente. Un caso particolare riguarda la delta di Dirac, che non verifica la prima condizione.

 



  

  

  

   

  

i 2 t i 2 t

F t t e dt e 1



t 0





Questo ricordando che la delta di Dirac è definita unicamente per t = 0 e il suo integrale definito in tale intervallo

infinitesimo è pari a 1.

La trasformata di Fourier è in generale una funzione a valori complessi. Per visualizzarla graficamente

occorre separare modulo e fase, applicando le relazioni opportune.

     



    





  

 

2 2

F Re F Im F

7   





 

  Im F

  



phF arctan  

  





 

Re F

Ricordando l’Identità di Eulero si ha che:

 

  

       

    

 

   

 

Re F f t cos 2 t dt Im F f t sin 2 t dt



 



Poiché le funzioni coseno e seno sono rispettivamente pari e dispari, il modulo e la fase della trasformata di

Fourier sono anch’essi una funzione pari e una funzione dispari.

  

   

    

   

    

Re F Re F F F

  

   

    

   

      

Im F Im F phF phF

Ciò consente di determinare lo spettro di un generico segnale f(t) (reale) considerando esclusivamente le

frequenze ν positive della sua trasformata.

Supporto dello spettro

Si definisce supporto dello spettro di un segnale f(t) l’insieme delle frequenze ν tali per cui la trasformata

F(v) del segnale non sia nulla.  

 

  

F 0

Un segnale si dice a spettro limitato (o a banda limitata) se, data la sua trasformata, esiste una frequenza

W tale per cui:  

 

  

se W F 0

In caso contrario si parla di segnali a spettro (o banda) illimitato.

Esempio: calcolo della trasformata

Sia data la funzione rettangolo f(t) = rect(t), di cui si ricorda la definizione:

 1



1 se t



    2

  

f t rect t 1

 

0 se t

 2

La trasformata di Fourier della funzione si calcola come segue (ricordando la forma esponenziale del seno e

la definizione della funzione sinc):    



    1 1

1 2

 

    

1 2

   

        

i 2 t i 2 t i 2 t i i

F rect(

t ) rect t e dt 1 e dt e e e



 

1 2

   i 2 i 2

1 2  



     

1 1 sin

   



    

i i

e e sin sinc

  

i 2

Risulta che la trasformata della funzione rettangolo è la funzione sinc e, viceversa, che la trasformata della

funzione sinc è la funzione rettangolo.

Inoltre, si può affermare che la funzione rettangolo è a banda illimitata, mentre la funzione sinc è a banda

limitata.

6. Proprietà della trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier ammette una serie di proprietà che ne semplificano il calcolo e l’analisi.

8

Linearità

La trasformata di Fourier gode della proprietà di linearità per cui, dati due generici segnali f e g e due

costanti moltiplicative a e b, si ha che:        

 

  

af t bg t aF bG

Infatti (per linearità dell’integrale e applicando la definizione di trasformata):

 

  

               

  

    

  

      

i 2 t i 2 t i 2 t

af t bg t af t bg t e dt a f t e dt b g t e dt aF bG



 

 



Dualità

La trasformata gode della proprietà di dualità (o simmetria) per cui, dato un segnale f(t) e la sua

trasformata F, risulta che la trasformata di F rispetto alla variabile t è pari al segnale f rispetto a -ν.

 

  

      

 

 

   

 

   

i 2 t i 2 t

F F t F t e dt F t e dt f

  



Questo ricordando la definizione di antitrasformata:



     

 

  



 

i 2 t 1

F

f t F e d F ( )





Traslazione

La trasformata di Fourier di un segnale f(t) traslato nel tempo (di un valore fissato t ) si calcola rico