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 

 

    

  

 

  

    

-

1 -

1

 

F F

h t H rect 2 sinc 2 t non nullo t 0

 

 c c

 

2

 

c

Questo significa che i filtri ideali non sono realizzabili praticamente se si vuole che il segnale di uscita sia in

ogni caso ritardato rispetto all’ingresso.

In particolare non è possibile costruire filtri che contemporaneamente:

abbiano frequenza costante (cioè |H(ν)|) in banda passante e in banda proibita;

- abbiano frequenza di taglio netta;

- abbiano fase lineare, cioè ritardino allo stesso modo tutte le frequenze in banda passante.

-

Nella pratica la funzione di trasferimento H di un filtro qualunque non è costante in banda passante, né è

del tutto nulla in banda proibita. In entrambi i casi si hanno delle oscillazioni (ripple) di ampiezza non

trascurabile.

Tali oscillazioni sono quantificate dal parametro δ , corrispondente alla massima ampiezza che assumono in

2

banda proibita o, equivalentemente, da un fattore di attenuazione R , espresso in decibel:

p

   

 

 

2

R 10 log 20 log

p 10 2 10 2

Nei filtri reali il taglio delle frequenze non è determinato da uno scalino, ma da una curva (banda di

transizione) delimitata dagli estremi ν e ν (frequenza di taglio e frequenza di stop) di ampiezza ovviamente

c s

pari a ν - ν .

s c

Per convenzione si stabilisce la frequenza di taglio ν rifacendosi al concetto di guadagno.

c

APPROFONDIMENTO: guadagno

Se il segnale in uscita G di un filtro generico è dato dal prodotto tra la il segnale in ingresso F e la funzione di

trasferimento H, risulta che quest’ultima esprime quanto l’uscita è stata (de)amplificata rispetto all’ingresso.

 

        G

   

  

G F H H  

F

Infatti, H(ν) > 1 se il segnale in uscita G è maggiore, cioè amplificato, rispetto al segnale in ingresso F e H(ν) < 1 se il

segnale in uscita G è minore, cioè di ampiezza ridotta, rispetto al segnale in ingresso F.

Per questa ragione si definisce guadagno il seguente parametro:

 

 2

G

 

 

2

H  

 2

F

Si può quindi affermare che nei filtri ideali il guadagno è costante in banda passante e nullo in banda proibita, mentre

nei filtri reali è caratterizzato da una certa distorsione.

Precisamente, la frequenza di taglio ν corrisponde alla frequenza per la quale si ha un guadagno del 50%,

c

cioè pari a ½, e un’ampiezza delle oscillazioni pari a 3 dB.

  1

  2 

H

c c 2

Quanto alla frequenza di stop ν la si fa corrispondere al fattore di attenuazione R , che esprime la massima

s p

ampiezza delle oscillazioni del segnale in banda proibita.

Esercizio: analisi in frequenza di un segnale modulato e filtrato

È dato il segnale f(t) a tempo continuo così definito:

     

 

f t 1600 sinc 1600

t 800 sinc 800

t

Lo spettro del segnale f(t) è dato dalla sua trasformata F(ν), calcolata come segue (applicando la proprietà

della trasformata relativa alla variazione di scala): 13

 

 

         

 

 

  

    

i 2 t i 2 t

F

F f (

t ) f t e dt 1600 sinc 1600

t 800 sinc 800

t e dt

   

 

   

 

 

 

  

i 2 t i 2 t

1600 sinc 1600

t e dt 800 sinc 800

t e dt

   

   

   

       

1 1

   

       

1600 rect 800 rect rect rect

   

       

   

1600 1600 800 800 1600 800

È definito un nuovo segnale g(t) ottenuto dalla modulazione di ampiezza del segnale f(t) attraverso la

funzione m(t).      

 

 

m t cos 4000 t cos 2 2000

t

         

 

g t f t m t f t cos 2 2000

t

Lo spettro del nuovo segnale g(t) è dato anch’esso dalla sua trasformata G(ν), calcolata come segue

(applicando la proprietà della trasformata relativa alla modulazione di ampiezza e ricordando la trasformata

del segnale f(t) già ricavata):    

           

1

 

   

      

i 2 t

F

G g (

t ) f t cos 2 2000

t e dt F 2000 F 2000

  2

   

 

   

       

1 2000 2000 2000 2000

   

       

rect rect rect rect

 

       

 

2 1600 800 1600 800

È definito un altro segnale z(t) ottenuto a sua volta dalla modulazione di ampiezza del segnale g(t)

attraverso la funzione 2m(t).          

  

z t g t 2

m t 2 g t cos 2 2000

t

Lo spettro del segnale z(t) è dato dalla sua trasformata Z(ν), calcolata come segue (applicando il

procedimento già seguito per determinare G(ν)):

   

           

 

   

      

i 2 t

F

Z z (

t ) 2 g t cos 2 2000

t e dt G 2000 G 2000

 

   

 

 

       

1 4000 4000

    

       

rect rect rect rect

 

       

 

2 1600 800 1600 800

   

 

 

       

1 4000 4000

    

       

rect rect rect rect

 

       

 

2 1600 800 1600 800

     

 

   

           

1 4000 4000 4000 4000

     

           

rect rect 2 rect 2 rect rect rect

 

           

 

2 1600 800 1600 800 1600 800

È definito un ultimo segnale h(t) ottenuto applicando al segnale z(t) un filtro ideale passa-basso con

frequenza di taglio ν pari a 1000 Hz.

c

Poiché tale filtro annulla tutte le frequenze ν tali che |ν| > 1000 il segnale h(t) è definito, nel dominio delle

frequenze, come segue:  

   

 

  

   

H rect rect

   

1600 800

Ciò significa, guarda caso, che h(t) = f(t). 14

Filtri di Butterworth

I filtri di Butterworth costituiscono una famiglia di filtri reali degna di nota, poiché esibiscono una buona

attenuazione delle oscillazioni in banda passante.

Tali filtri sono caratterizzati da due parametri, l’ordine N e la frequenza di taglio ν .

c

L’ordine determina un particolare termine detto N-esimo polinomio di Butterworth ed è legato in modo

critico all’attenuazione delle oscillazioni in banda proibita.

15

Conversione analogico-digitale

9. Campionamento

Campionare un segnale f(t) a tempo continuo significa rilevarne l’ampiezza su un insieme di valori discreto.

Un campionatore è quindi un sistema che a un segnale continuo f(t) fa corrispondere un segnale a tempo

discreto f(nτ), dove τ indica il periodo di campionamento e n è un valore finito (l’ampiezza di f(t) è rilevata

in corrispondenza dei multipli di τ).

Il valore 1/τ, reciproco del periodo, esprime la frequenza di campionamento.

   

   

     

S f t f n n

NOTA: il campionatore è un sistema lineare.

Teorema del campionamento

Sia dato un generico segnale a tempo continuo f(t), a banda limitata da una generica frequenza pari a B Hz.

La trasformata F del segnale f(t) è dunque nulla per ogni frequenza ν di valore assoluto superiore a B.

 

  

  

F 0 B

Il segnale f(t) può essere univocamente ricostruito a partire dal suo campionamento f(nτ) - con n finito - se

e solo se la frequenza di campionamento A = 1/τ è maggiore o uguale al doppio di B (frequenza di Nyquist).

Infatti, fissata la frequenza di campionamento A ≥ 2B e chiamato τ il periodo di campionamento, risulta che:

   

A A

     

        

A 2 B B perciò se F 0 B allora F 0

2 2

Posto un segnale periodico Q(ν) di periodo A, coincidente con la funzione F(ν) nell’intervallo definito da

A/2, risulta che Q è uguale ad F se moltiplicato per un opportuno rettangolo di base A.

   

       

A A

    

       

Q F , F Q rect

 

   

2 2 A

Essendo Q(ν) un segnale periodico è possibile svilupparlo nella serie di Fourier complessa, cioè nella somma

pesata di elementi esponenziali a coefficienti complessi c .

n n

 

 

1 2 i

A 2

  

 A

c Q e d

 n

 

   2 i n

 

 A A 2

A

Q c e

n

 

n

Poiché che Q(ν) coincide con F(ν) nell’intervallo definito da A/2, vale la seguente uguaglianza:

n n

   

 

   

2 i 2 i

A 2 A 2

 

   

A A

Q e d F e d

 

A 2 A 2

Si può ora applicare la definizione di antitrasformata, in quanto F(ν), nullo al di fuori dell’intervallo definito

da A/2, è riconducibile ad essa a meno di una variazione di scala. 

 

n  

n n n  

 

     

  

 

        n

2 i

2 i 2 i 2 i

A 2 A 2

   

       

    

   

A

A A A

Q e d F e d F e d F e d f  

  

 

 A

A 2 A 2

Perciò (combinando questo risultato con la definizione dei coefficienti c e sostituendo τ a 1/A nell’ultimo

n

passaggio): 16 

 

n  

n n  

 

   

  

       

1 1 1 1 n

2 i

2 i 2 i

A 2 A 2

  

       

      

   

A

A A

c Q e d F e d F e d f f n

n  

  

A A A A A

A 2 A 2

In ultima analisi, risulta che il segnale F(ν), e così la sua antitrasformata f(t), può essere ricostruito a partire

dal campionamento f(nτ), se la frequenza dei campioni rispetta la condizione del teorema.

 

 

  

   

n

 

   2 i

 

   

   

-

1 -

1 -

1

   

F F F A

f (

t ) F ( ) Q ( ) rect c e rect

n

   

   

A A

 

n

   

 

 

       

 

     

     

    

-

1 2 i n -

1 2 i n

   

F F

f n e rect f n e rect

   

   

n n

   

 

       

 

    

     

   

-

1 2 i n -

1 2 ik

F F

f n e rect f k e rect

   

n k

  

  t

 

  

 

f n sinc k

 

n

Spettro dei segnali campionati

Un segnale f(t) sottoposto a campionamento può essere visto come un segnale a tempo continuo f (t) il cui

s

valore è nullo fuorché in corrispondenza dei campioni, selezionati a frequenza 1/τ.

Il segnale f (t) sarebbe quindi la somma di impulsi (i campioni) traslati e moltiplicati per la rispettiva

s

ampiezza, cioè per il valore del segnale originale f(t) in corrispondenza dei campioni.

     

   

 

f t f k t k

s  

k

La rappresentazione in frequenza del segnale campionato f (t) risulta equivalente allo sviluppo della

s

funzione Q(ν), posta per dimostrare il teorema del campionamento, a meno di un fattore moltiplicativo τ.

 

       

   

   

 

F F

F f (

t ) f k t k

s s  

 

k

 

    

      

1

   

     

    

i 2 k

F

f k t k f k e F Q

s

   

k k

Ciò significa che la trasformata F (ν) non è altro che la trasformata F del segnale originale replicata a

s

intervalli regolari.

Se la condizione imposta dal teorema del campionamento non fosse rispettata (segnale sottocampionato),

le repliche della trasformata F si sovrapporrebbero (aliasing) e non sarebbe possibile ricostruire il segnale

originale f(t). In caso contrario un filtro passa-basso sarebbe sufficiente per ottenere la ricostruzione.

10. Quantizzazione

Quantizzare un segnale a valori continui significa approssimarne l’ampiezza secondo un insieme finito di

valori l, per consentirne la memorizzazione.

Si considerano segnali limitati, cioè a valori compresi in un intervallo di ampiezza V.

Si definisce quantizzatore regolare uniforme il sistema che, diviso l’intervallo [-V/2, V/2] in l livelli di uguale

ampiezza Δ = V/l, fa corrispondere a ciascuno di essi un valore intero pari al centro del livello stesso.

NOTA: normalmente il numero di livelli l, detto passo di quantizzazione, è una potenza di 2.

17

Esempio: quantizzatore regolare uniforme

Sia dato un quantizzatore regolare uniforme per un segnale limitato dall’intervallo V = [0, 8] (di ampiezza 8).

2

Scelto un numero di livelli l = 2 = 4, ciascuno di essi ha ampiezza pari a 2 e corrisponde al rispettivo centro.

V 8

    2

l 4

[ 0

, 2 ] 1

( 2

, 4 ] 3

( 4

, 6 ] 5

( 6

,

8

] 7

Errore di quantizzazione

Quale che sia il criterio di approssimazione usato, la quantizzazione introduce una perdita irreversibile di

informazioni, tanto maggiore quanto più è contenuto il numero dei livelli scelto. Tale perdita irreversibile si

definisce errore di quantizzazione.

Dato un segnale approssimato Q, l’errore di quantizzazione e(x) è dato dalla differenza tra il valore di Q(x) e

l’ampiezza del segnale originario.    

 

e x Q x x

Se il valore x del segnale originario eccede l’intervallo V, scelto per la quantizzazione, l’errore prende il

nome di distorsione da overload e può essere arbitrariamente grande.

Se, invece, il valore x del segnale originario è comunque interno all’intervallo V, l’errore di quantizzazione,

detto rumore granulare, è controllato: in valore assoluto non può superare la metà Δ/2 dell’ampiezza dei

livelli. 

 

V V

    

se x e x

2 2 2

In generale, la misura delle prestazioni di un quantizzatore rispetto all’errore che produce è data dal

rapporto segnale-rumore SQNR (Signal Quantization to Noise Ratio), espresso in decibel.

2 2e

Definita σ la varianza del segnale originario e σ l’errore quadratico medio, il rapporto SQNR è così

calcolato:  2

SQNR 10 log dB

10 2

e

Per semplicità, è possibile determinare il rapporto SQNR sostituendo ai termini statistici la nozione di

potenza del segnale e dell’errore, cioè il valore massimo al quadrato che essi possono assumere.

 

 

2

max f t

 t

SQNR 10 log dB

 

 

10 2

max e x

x

Esempio: calcolo del rapporto segnale-rumore SQNR

Sia dato il segnale f(t) definito come segue:    

V 

f t sin 2 t

2

18

Il valore massimo assunto dal segnale f(t) è evidentemente pari al quadrato dell’ampiezza V/2, mentre il

valore massimo dell’errore (supponendo di non avere distorsione da overload) non può superare il

quadrato di Δ/2.   2

  V 2

2  

max f t V V

4

   

 

t

SQNR 10 log 10 log 10 log 20 log dB

 

   

10 10 10 10

 

2 2

max e x

x 4

Se poi, come spesso accade, il rapporto V/Δ pari al passo di quantizzazione (numero dei livelli) è una

potenza di due, si ha: V

    

m

SQNR 20 log 20 log 2 m 20 log 2 m 6

,

02 dB

10 10 10

Ciò dimostra che tanto è maggiore il passo di quantizzazione quanto più diminuisce il rapporto SQNR. Nel

caso specifico il rapporto decresce di circa 6,02 dB per ogni m.

19

Analisi in frequenza dei segnali digitali

È possibile analizzare lo spettro di un generico segnale campionato f(t) supponendo che si tratti di un

segnale f (t) a tempo continuo il cui valore è nullo fuorché in corrispondenza dei campioni, selezionati a

s

frequenza 1/τ (dove τ è, ovviamente, il periodo di campionamento).

     

   

 

f t f n t n

s  

n

La rappresentazione in frequenza del segnale campionato f (t), in quanto periodico, risulta dal suo sviluppo

s

in serie di Fourier complessa. 

   

  

  

 2 in

F f n e

s  

n

Tale rappresentazione non è altro che la replica periodica dello spettro del segnale f(t) non ancora

campionato.

Tempo e frequenza normalizzati

L’analisi in frequenza dei segnali digitali risulta più semplice operando due sostituzioni di variabili analoghe.

Si introduce la nozione di tempo normalizzato t’, sostituendo la variabile t così che la misura del tempo sia

espressa in funzione dell’intervallo di campionamento τ.

t  

  

t ' t t ' (periodo di campioname nto)

Si osserva che quando t corrisponde al campionamento, cioè t = nτ, il tempo normalizzato t’ è pari a nτ/τ,

ossia a n. Ciò significa che, attraverso il tempo normalizzato, un segnale campionato è descritto dalla

sequenza dei suoi campioni.

Allo stesso modo, si introduce la nozione di frequenza normalizzata, sostituendo la variabile ν così che la

misura della frequenza sia espressa in funzione della frequenza di campionamento 1/τ.

  1

  

      (frequenza di campioname nto)

 

La rappresentazione in frequenza di un generico segnale campionato si può quindi riscrivere in funzione

delle nuove variabili, definendo il segnali X (Ω) come segue:

s 

  

  

       

 

2 in 

   

    

  2 in

X F F f n e x n e

s s s      

n n

Questo perché f(nτ) attraverso il tempo normalizzato corrisponde al segnale x(n).

La definizione ottenuta è analoga allo sviluppo in serie di Fourier complessa: X (Ω) è un segnale periodico

s

(di periodo 1) e come tale è univocamente determinato dal modulo |X (Ω)| e dalla fase ph{X (Ω)}, con -½ ≤

s s

Ω ≤ ½.

Inoltre, se Ω = 0 allora anche ν = Ω/τ = 0, mentre Ω = 1/2 corrisponde alla frequenza di Nyquist, cioè alla

metà della frequenza di campionamento (infatti 1/τ = 1).

Trasformata zeta

Data la definizione dello spettro del generico segnale campionato x(n), in funzione di tempo e frequenza

normalizzati, si definisce trasformata zeta del segnale la seguente funzione a variabile complessa:

20

   

 

 n

X z x n z

 

n

La definizione è ottenuta ponendo z come segue:  

 2 i

z e

Infatti:   

           

  

 

 

   

n

     

2 in 2 i n

se X x n e allora X x n e X z x n z

s s

     

n n n

Si osserva che la trasformata zeta è una generalizzazione della trasformata di Fourier ai segnali discreti e

gode di proprietà analoghe a quest’ultima.

Proprietà della trasformata zeta

La trasformata zeta gode della proprietà di linearità, infatti (applicando le proprietà distributiva e

associativa):   

 

           

  

  

    

n n n

ax n by n z a x n z b y n z aX z bY z

     

n n n

La trasformata zeta ammette la proprietà di traslazione, infatti (ponendo k = n - a, e quindi n = a + k):

   

         

   

 

       

    

n a k a k a k a

x n a z x k z x k z z x k z z X z

       

n n n n

Quanto alla convoluzione, si dimostra che risulta ancora pari al prodotto.

Esempio: calcolo della trasformata zeta

Sia dato il sistema (un filtro FIR causale) definito dalla seguente relazione:  

                 

        

y n h 0 x n h 1 x n 1 h 2 x n 2 ... h d x n d con d Z

La trasformata zeta dell’uscita y(n) è calcolata come segue (applicando le proprietà opportune):

                         

   

      

1 2 d n

Y z h 0 X z h 1 z X z h 2 z X z ... h d z X z X z h n z X z H z

n 0

Filtri FIR

Un sistema lineare tempo-invariante (LTI) causale e a tempo discreto, si definisce filtro FIR (Finite Impulse

Response) se la risposta h(n) all’impulso unitario è finita, cioè se è nulla oltre un certo intervallo di tempo.

   

h n 0 per n [

0

, M )

I filtri FIR sono sempre stabili, oltreché causali.

Inoltre, hanno fase lineare se la risposta h(n) all’impulso unitario è simmetrica (pari) o antisimmetrica

(dispari) rispetto al centro fissato in (M-1)/2.

Esempio: analisi di un filtro FIR

Sia dato un filtro FIR con la seguente legge di trasformazione:

     

1 1

  

y n x n x n 1

2 2

21

La funzione di trasferimento di tale filtro risulta dalla convoluzione con l’ingresso x(n) che, nel dominio delle

frequenze, si traduce in un semplice prodotto. Perciò conviene calcolare la trasformata zeta:

 

           

1 1 1 1

 

    

 

1 1

Y z H z X z X z z X z z X z

 

2 2 2 2

 

  

  i i

   

1 1 1 1 1 1 e e

    

         

         

1 2 i 2 i 2 i i i

H z z H e e e e cos e

2 2 2 2 2 2 2

Si ottiene che il filtro dato è lineare, in quanto ha fase pari a -πΩ.

Inoltre, risulta trattarsi di un filtro passa-basso, poiché la sua funzione di trasferimento vale 1 per Ω ≈ 0 e

vale invece 0 per Ω ≈ ½ (ricordando che -½ ≤ Ω ≤ ½).

Filtri IIR

Un filtro la cui legge di trasformazione verifica l’equazione seguente (detta equazione alle differenze finite)

si definisce ricorsivo, poiché l’uscita y(n) dipende dal suo stesso valore a istanti precedenti.

L 1

         

        

y n a x n k b y n 1 b y n 2 ... b y n M

k 1 2 M

k 0

In generale, tale legge di trasformazione caratterizza i filtri IIR (Infinite Impulse Response), cioè i sistemi

lineari tempo-invarianti causali la cui risposta h(n) all’impulso unitario ha valore diverso da zero su un

intervallo di tempo illimitato.

Si osserva che se i coefficienti b , b , … , b sono egualmente nulli, l’equazione suddetta definisce un filtro a

1 2 M

risposta finita, ossia un filtro FIR.

I filtri IIR non hanno mai fase lineare e non sono necessariamente stabili.

Precisamente, un filtro IIR è stabile se e solo se i poli della sua funzione di trasferimento rappresentata in

frequenza hanno modulo strettamente minore di 1.

APPROFONDIMENTO: poli e zeri

Data la legge di trasformazione tipica di un filtro IIR, la sua funzione di trasferimento è rappresentata, nel dominio

delle frequenze, dal rapporto di due polinomi P{z} e Q{z} a variabile complessa.

L 1

         

         

y n a x n k b y n 1 b y n 2 ... b y n M

k 1 2 M

k 0 

L 1

         

    

      

k 1 2 M

Y z a z X z b z Y z b z Y z ... b z Y z

k 1 2 M

k 0 

L 1

         

   

      

1 2 M k

Y z b z Y z b z Y z ... b z Y z a z X z

1 2 M k

k 0

  

L 1

   

   

      

1 2 M k

Y z 1 b z b z ... b z a z X z

1 2 M k

k 0

L 1

  k

a z

k

   

  

k 0

Y z X z

  

   

1 2 M

1 b z b z ... b z

1 2 M

L 1

  k

a z

  k

  P z

   

k 0

H z     

   

1 2 M

Q z 1 b z b z ... b z

1 2 M

Posto che le equazioni di grado n a variabile complessa hanno esattamente n radici (cioè n soluzioni), si definiscono

zeri le radici del polinomio P{z} al numeratore e poli le radici del polinomio Q{z} al denominatore.

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Elaborazione dei segnali per l'esame della prof.ssa Paola Campadelli (A.A. 2008/2009 e successivi), con formule e richiami sui segnali analogici e digitali. Gli argomenti trattati sono i seguenti: segnali analogici, segnali digitali, dominio delle frequenze, conversione analogico-digitale, campionamento, trasformata di Fourier, numeri complessi, filtri, FIR, IIR, spettro, analisi in frequenza, quantizzazione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in comunicazione digitale
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher SteDV di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elaborazione numerica dei segnali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Campedelli Paola.

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