Elaborazione numerica dei segnali - Appunti

Segnali nel dominio delle frequenze

Sviluppo in serie di Fourier reale: prima forma

Si dimostra che un generico segnale periodico f(t) (di periodo T e di frequenza ω radianti al secondo) può essere scomposto in una combinazione lineare di funzioni seno e coseno detta serie di Fourier reale.

      a            0f t a cos n t b sin n t se f t f t T T Dom( f )n 0 n 02  n 1 n 1

Per rappresentare numericamente il segnale f(t) occorre ricavare i coefficienti a₀, a_n, b_n, gli ultimi dei quali rappresentano l'ampiezza della n-esima componente (co)sinusoidale del segnale. Tali coefficienti risultano dal prodotto interno tra il segnale (vettore) f(t) e il generico elemento della base, in quanto quest'ultima è ortonormale.

Richiamo: base ortonormale

La base ortogonale {f₁(t), f₂(t), …, f_k(t), …} di uno spazio di segnali F è anche ortonormale se il prodotto interno con sé stesso di un suo generico elemento f_j(t) è pari a 1.

Segue che i coefficienti a_j della combinazione lineare rappresentante un generico segnale f(t) dello spazio F si ricavano dal prodotto interno tra il segnale stesso e l'elemento della base ortonormale, in quanto:      f_j(t), f_j(t)  f_j(t), f_j(t)

 a_j = f(t), f_j(t)

Per la base costituita dalle funzioni seno e coseno, si introduce una nozione di prodotto interno, per cui:

 2 T / 2  a_n = f(t) cos n t dt_n 0T T / 2  2 T / 2  b_n = f(t) sin n t dt_n 0T T / 2  2 2T / 2 T / 2   a₀ = f(t) cos 0 t dt₀ + f(t) dt₀  T T

Sviluppo in serie di Fourier reale: seconda forma

Lo sviluppo in serie di Fourier reale può essere trascritto equivalentemente in una forma che esprime la fase n-esima degli elementi che costituiscono la base (in questo caso solo coseni).

  a₀     0f(t) d cos n t_n 0 n2 n 1

Questa seconda forma si ricava algebricamente a partire dalla legge sulla scomposizione del coseno di una somma di angoli:

        cos cos cos sin sin

Applicando tale legge alla nuova forma della serie di Fourier, si ottiene che quest'ultima è del tutto equivalente alla prima in virtù delle seguenti relazioni:

     a_n d cos b_n d sin_n n n n n n

Infatti, svolgendo il procedimento:             a₀ a₀             0 0f(t) d cos n t d cos n t cos sin n t sin_n 0 n n 0 n 0 n2 2  n 1 n 1

        a₀        0 d cos n t cos d sin n t sin_n 0 n n 0 n2  n 1 n 1

Inoltre, sviluppando ulteriormente le uguaglianze ottenute è possibile dimostrare che:

 2 2d a b_{n n} n

Infatti, svolgendo anche questo procedimento (si ricordi l'identità goniometrica fondamentale):

                   2 2 2 2 2 22 2a b d cos d sin d cos d sin_n n n n n n n n n n

         2 2 22 2d cos sin d 1 d_n n n n n n

Spettro di ampiezza e spettro di fase

Le due forme equivalenti della serie di Fourier e le relazioni che collegano l'una all'altra consentono di studiare un generico segnale periodico e, ricavati i coefficienti della combinazione lineare corrispondente, di tracciare i grafici detti spettro di ampiezza e spettro di fase.

Si definisce spettro di ampiezza il grafico avente in ascissa le frequenze che costituiscono un segnale e in ordinata l'ampiezza di ciascuna. Si definisce spettro di fase il grafico avente in ascissa le frequenze che costituiscono un segnale e in ordinata la fase di ciascuna.

Esempio: sviluppo in serie di Fourier reale

Sia dato il segnale periodico (di periodo T) definito come segue:

 T T    A se t  4 4   f(t) T T T T         0 se t t  2 4 4 2

Il segnale (che per altro è pari) si può rappresentare attraverso lo sviluppo in serie di Fourier e i coefficienti della combinazione lineare risultante sono ottenuti applicando per ciascuno la nozione di prodotto interno. In particolare, occorre ricavare i soli coefficienti a₀ e a_n, in quanto b_n è dato dall'integrale definito su un periodo di una funzione dispari, che è sempre uguale a zero.

Richiamo: funzioni pari e funzioni dispari

• Una funzione f è pari se f(t) = f(-t).
• Una funzione f è dispari se f(t) = -f(-t) o -f(t) = f(-t).
• Il prodotto tra una funzione pari (come il coseno) e una funzione dispari (come il seno) è una funzione dispari.
• Il prodotto tra due funzioni dispari o due funzioni pari è una funzione pari.
• L'integrale definito su un periodo di una funzione pari è uguale al doppio dell'integrale definito sulla metà del periodo.
• L'integrale definito su un periodo di una funzione dispari è uguale a zero.

 2 2 2 A 2 A T T T / 2 T / 4 T / 4         a₀ = f(t) dt A dt dt A    T T T T 4 4T / 2 T / 4 T / 4

      2 2 2 T / 2 T / 4 T / 4        a_n = f(t) cos n t dt A cos n t dt 2 A cos n t_n 0 0 0  T T TT / 2 T / 4 0

Spettro di ampiezza

        A 2 A 2      f(t) = sin n cos n t      2 n 2 T n 1

Spettro di fase

In base a questa scrittura è possibile determinare un numero finito delle armoniche che compongono il segnale (a partire dall'armonica fondamentale, n = 1) e tracciare lo spettro di ampiezza.

             A 2 A 2 2 A 6 2 A 10 2 A 14              f(t) cos t 1 cos t cos t cos t ...             2 T 3 T 5 T 7 T

Si nota che per n dispari i termini si annullano. Inoltre, risulta che le armoniche componenti il segnale hanno ampiezza via via più piccola al crescere della frequenza.

Applicando ai risultati ottenuti le relazioni che legano la prima e la seconda forma della serie di Fourier è infine possibile determinare la fase delle prime armoniche rappresentanti il segnale f(t) e tracciare il relativo spettro di fase.

     2 2 2 2 d a b a 0 a a_n n n n n n

    1 se a 0 e quindi 0 2 k    a a

      n n n n a d cos cos     n n n n  1 se a 0 e quindi 1 2 k d a n n n

Numeri complessi

Un numero complesso z si può esprimere in tre diverse forme, riconducibili l'una all'altra attraverso opportune relazioni.

Un numero complesso in forma rettangolare è espresso come segue:

  z = a + ib

L'elemento a = Re{z} costituisce la parte reale di z mentre b = Im{z} è la parte immaginaria. Il termine i corrisponde all'unità immaginaria, definita come segue:

 i 1

I numeri complessi in forma rettangolare ammettono le operazioni di somma e moltiplicazione.

                z₁ + z₂ = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

              z₁ * z₂ = (a + ib) * (c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)

Si dimostra che i numeri complessi formano un campo e che l'insieme dei numeri complessi aventi parte immaginaria nulla (b = 0) è isomorfo al campo dei numeri reali.

Forma trigonometrica

Un numero complesso in forma trigonometrica è espresso come un vettore z = (a,b), individuato dal suo modulo r e dall'angolo θ (fase) che ne descrive l'inclinazione (coordinate polari).

   z = r(cosθ + isinθ)

Il coseno e il seno dell'angolo θ restituiscono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso z. Esso si riconduce alla forma rettangolare attraverso le relazioni seguenti:  b          2 2 arctan(r) z = a + b = a

Forma esponenziale

Un numero complesso in forma esponenziale (o polare) è ancora espresso in funzione delle sue coordinate polari (modulo e fase), ma attraverso l'applicazione dell'equazione nota come Identità di Eulero.

    i θ poiché e^iθ = cosθ + isinθ z = re^iθ

Quest'ultima rappresentazione risulta particolarmente vantaggiosa quando occorre calcolare il prodotto o la divisione tra numeri complessi. Infatti:

          i θ i θ i θ i θz₁ z₂ = (r₁ e^iθ₁) (r₂ e^iθ₂) = (r₁ r₂) e^{i(θ₁ + θ₂)}

Applicando ripetutamente la formula del prodotto si ottiene la potenza n-esima:

   n   i n i n i n(s)e = z = re^iθ

Infine, la forma esponenziale consente di esprimere in modo relativamente semplice la radice n-esima di numeri complessi, ricordando che questi ultimi ammettono tante radici quante ne sono indicate dall'indice del termine radicale.

  2 k i       n n n nn(s) e = z = x C z = x z = r e ^{(iθ) / n} (con k da 0 a n-1)

Si osserva che le n radici di un numero complesso z hanno uguale modulo r (sempre positivo) e differiscono esclusivamente per la fase. Graficamente, si collocano a distanza regolare sulla circonferenza avente raggio pari al loro modulo.

Esempio: radici di un numero complesso

Sia dato il numero complesso z così definito:    3 i3 z = 8 e^iθ

Il numero complesso z ammette tre radici di uguale modulo e diversa fase:

  2 k i  3 33z = 8e^i2πk/3

   i 0 i     3 33 con k = 0 z = 8eⁱ⁰ = 2eⁱ⁰

  2  i      i 3 33 con k = 1 z = 8e^i2π/3 = 2e^iπ/3

  4   i i     3 33 3 con k = 2 z = 8e^i4π/3 = 2e^i2π/3

Le radici complesse di z sono rappresentate graficamente come segue:

Approfondimento: definizione di i e complessi coniugati

Calcolando le radici complesse di -1 si dimostra la definizione dell'unità immaginaria i, utile, tra l'altro, per determinare le soluzioni di equazioni complesse di secondo grado.   2 k i  i 2e se k 0        2 2 2 se z = 1 z = 1 = 1eⁱ 3 i  2e^iπ se k = 1

In altre parole la radice quadrata di -1 è pari a i o a -i. Tali soluzioni complesse sono coniugate. Infatti, due numeri complessi si dicono coniugati quando:      se z = a + ib z = a - ib

Geometricamente, z e il suo coniugato sono simmetrici rispetto all'asse reale. Inoltre, risulta che la somma e il prodotto tra numeri complessi coniugati restituiscono sempre un numero reale.

Sviluppo in serie di Fourier complessa

I numeri complessi in forma esponenziale consentono di esprimere le funzioni trigonometriche, come seno e coseno, in modo più semplice da manipolare algebricamente.

       i ie = cos + i sin = e^iθ + cos + i sin    1

        i i i icos e^iθ = e^iθ sin e^iθ = e^iθ2 2i

Inoltre, consentono di definire una nuova base per i segnali periodici (di generico periodo T), ancora ortogonale rispetto allo spazio costituito da questi ultimi e del tutto equivalente alle serie reali.

 n    2 i t  Tf(t) = c_n e^iθ _n

Attraverso questa base risulta che qualunque segnale f(t) periodico è rappresentato dalla somma di elementi esponenziali complessi pesati da altrettanti coefficienti c_n, anch'essi complessi. Tali coefficienti sono ottenuti applicando la seguente nozione di prodotto interno:

  T  f(t), g(t) =  f(t) g(t) dt_{0 n}1 2 i t T  T c_n = f(t) e^iθ dt_n T 0

Richiamo: prodotto interno

• Si definisce prodotto interno qualunque funzione dotata delle seguenti proprietà:
•    se f(t) = 0 f(t), f(t) = 0         c₁ f(t) + c₂ f(t), g(t) = c₁ f(t), g(t) + c₂ f(t), g(t)

Esempio: sviluppo in serie di Fourier complessa

Sia dato il segnale periodico f(t) così definito:

         f(t) = sin 10t + 3 sin 2t + 5 cos 6t

Le funzioni trigonometriche che costituiscono il segnale si possono riscrivere in forma esponenziale, applicando le relazioni che derivano dall'Identità di Eulero.

     1 3 5            i10t i10t i2t i2t i6t i6tf(t) = e^iθ e^-iθ e^iθ e^-iθ e^iθ e^-iθ2i 2i 2

Distribuendo i coefficienti: 1 1 3 3 5 5            i10t i10t i2t i2t i6t i6tf(t) = e^iθ e^-iθ e^iθ e^-iθ e^iθ e^-iθ2i 2i 2i 2i 2 2

Per determinare esattamente le frequenze in Hertz dei componenti che costituiscono il segnale f(t) (ossia il fattore n che le moltiplica) occorre raccogliere 2π agli esponenti della combinazione lineare:

1 1 3 3 5 5            i2.5t i2.5t i2t i2t i2.3t i2.3tf(t) = e^iθ e^-iθ e^iθ e^-iθ e^iθ e^-iθ2i 2i 2i 2i 2 2

Risulta che il segnale f(t) è rappresentato dai seguenti coefficienti:

3 3 5 5 1 1       c_-5; c₅; c_-3; c₃; c_-1; c₁

Ciascun coefficiente (complesso) esprime un'ampiezza e una fase che, una volta razionalizzati i termini rispetto all'unità i, risultano dalle relazioni relative alle coordinate polari dei numeri complessi.