Appunti Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali

Teorema del Campionamento

Ci permette di passare dal mondo analogico a quello TD. Nel caso TD i sistemi di elaborazione non "invecchiano", i progetti dei filtri sono più semplici e flessibili, la memorizzazione è migliore, ecc.

È necessario scoprire quando posso ricostruire il segnale analogico a partire dai campioni e come fa a farlo.

Campionamento

T = Passo di Campionamento

f_c = ¹/_T = Frequenza di campionamento

X(t) |_{t = nT} = {X(nT), n ∈ Z} prodotta una sequenza n ∈ Z

ρ(t) = ∑_n=-∞^+∞ δ(t-nT) Pettine di campionamento di Dirac

dito t di Dirac posizionato negli istanti d’camo.

X_c(t) = X(t) • ρ(t) → segnale campionato

X_c(t) = X(t) • ∑_n=-∞^+∞ δ(t-nT) = ∑_n=-∞^+∞ X(nT)δ(t-nT)

X_c(t) è ancora un segnale analogico (t ∈ R)

X_c{f} ?

ρ(t) = ∑_k=-∞^+∞ C_k e^{-j2πk 1/_Tt}

Serie di Fourier

C_k = ¹/_T ∫_-T/2^T/2 ρ(t) e^-j2πkt/T dt = ¹/_T ∫_-T/2^T/2 S(t) e^-j2πkt/T dt = ¹/_∞ ∀ k

e^{-j2πk f₀} = 1 (Sifting property)

X_c(t) = X(t) • ∑_k=-∞^+∞ e^{-j2πk 1/_Tt} = ∑_k=-∞^+∞ X_c(t) e^-j2πkt/T

F{x_c(t)} = ∑_k=-∞^+∞ X(f - ^k/_T) = ¹/_T F {X_c(t) e^-j2πfT} = ¹/_T F{x_c(t) e^j2πfT} - ∑_k=-∞^+∞ X_c(f - ^k/_T)

X_c(f) = ¹/_T X_ac(f - k/t)

= f_c X_a(f)

→ Questo risultato vale ∀X(t)

~ Graficamente:

X_a(f)

X_c(f) = f_c X_a(f)

x_c(f) = periodic od periodo f_c Sommandole le repliche, si presenta il problema dell’Aliasing → Non si può più estrarre il segnale di partenza.

Condizioni

1. Xα(f) è limitato in banda → |Xα| = 0, |f| > B

Ho comunue aliasing se la fc non rispetta certe condizioni:

2. fc > 2B Frequenza di Nyquist

Se riesco a isolare questa replica, ricostruisco il segnale di partenza

FILTRO

Teorema del Campionamento

Dato un segnale analogico limitato in banda, presa una frequenza di campionamento f > 2B, è possibile ricostruire il segnale a partire dei suoi campioni.

Convertitore Analogico-Digitale (ADC)

Filtro di Ricostruzione

hn(t) = Sin(πfcτ)/πfcτ = Sinc (fcτ)

XC(t) * hN(t) = ( ∑ X(nT)δ(t-nT)) * hN(t) =

= ∑ X(nT) hN(t-nT) = xα(t) Formula di Interpolazione

è la sommatoria dei prodotti tra X(nT) e un'line traslata in NT.

Teoremi e Proprietà

1. X(F) è un operatore lineare:
   • a₁x₁(n) + a₂x₂(n) ↔ a₁X₁(F) + a₂X₂(F)
2. Traslazione nel tempo
   • x(n-n₀) ↔ X(F) e^-j2πFn₀
3. Traslazione in frequenza
   • X(F-F₀) ↔ X(n)e^j2πF₀n
4. Coniugazione
   • X[n] ↔ X(F)
   • X*[n] ↔ X*(-F)
5. • X*[x(-n)] = Σx[n]e^-j2πF₀n = X*(-F)
6. Se X[n] è reale X(-F) = X*(F)
7. Dualità

- \( x[n] \) processo aleatorio

• \( mx_n = E[x(n)] \) Media
• \( R_{xx}(n,n+m) = E[x(n)x(n+m)] = R_{xx}[m] \) Autocorr. (proc. reali)
• \( Wss \rightarrow mx = \text{cost.}, R_{xx}[m] \)
• \( R_{xx}[0] = E[x^2(n)] = P_x \) potenza
• \( R_{xx}[m] = R_{xx}[-m] \)
• \( R_{xx}(m+1) \leq R_{xx}(0) \)

Processo Bianco

Analogico: \( x(t) \) Lino se \( R_{xx}(\tau) = E[x(t)x(t+\tau)] \) se: \( mx = 0 \) \( R_{xx}(\tau) = \sigma_x^2 \delta(t) \)

\( E[x(t)x(t+\tau)] = E[x(t)]E[x(t+\tau)] = 0 \quad \sigma^2 \neq 0 \)

Tempo discreto: per un processo a media nulla \( E[x[n]]=0 \) esso è bianco se i campioni sono incorrelati:

• \( E[x[n]x[n+m]] = E[x[n]]E[x[n+m]] = 0 \quad n \neq 0 \)
• \( \downarrow \)
• \( \sigma_x^2 \)
• \( m = 0 \)

\( R_{xx}[m] = \sigma_x^2 \delta[m] \)

\( x[n] \rightarrow x_q[n] \) segnale ti quantizzato

\( e_q[n] = x_q[n] - x[n] \) errore di quantizzazione → Lo modelliamo come un processo con:

\( R_{ee}[m] = \sigma_x^2 \delta[m] \) (bianco)

Processo Armonico

\( x[n] = A \cos(2 \pi f_0 n + \Phi) \quad \Phi \sim U(-\pi, \pi) \)

\( mx_n = E[x(n)] = \int_{-\pi}^{\pi} x(n)p(\Phi) \, d\Phi = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{A \cos(2 \pi f_0 n + \Phi)}{2 \pi} \, d \Phi = 0 \) vn

\( R_{xx}[m]= E[x(n)x(n+m)] = \int_{-\pi}^{\pi} x(n)x(n+m)p(\Phi) \, d \Phi = \) \( = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{\pi} \frac{\lambda^2}{4 \pi} \cos(2 \pi f_0 n + \Phi) \cdot \cos(2 \pi f_0(n+m)+\Phi) \, d \Phi = \frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{\pi} \frac{\lambda}{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot (\cos(2 \pi f_0 [{n+m}{+}2\theta]) \, d\Phi \cdot \cos(2 \pi f_0[n+\theta] \, d \Phi = \)

\( = \frac{\lambda^2}{4 \pi} \cos(2 \pi f_0 m)` \(R_{xx}[m]=E[x(n)x(n+m)]=\frac{\lambda^2}{4 \pi} \cos(2 \pi f_0 m) \cdot n = \) \( = \frac{\lambda^2}{2} \cdot \cos(2 \pi f_0 m) \) funzione con campionata in m →

\( \rightarrow \) Processo WSS

Dato un processo aleatorio wss \( x[n] \) : \( x[n] \rightarrow R_{xx}[m] \)

\( \rightarrow \) Processo WSS

Si definisce Densità Spettrale di Potenza:

\( S_{xx} (F) = \mathcal{F}\{R_{xx}[m]\} = \sum_{m = - \infty}^{+ \infty} R_{xx}[m] e^{-j 2 \pi f m} \)

Si distinguono:

1. Sequenze finite (da n₀ a n₁)Numero finito di campioni e gli altri nulli.
2. Sequenze monolaterae destreInfiniti campioni a dx di un certo n₀, o quelli a sx.
3. Sequenze monolaterae sinistreInfiniti campioni a sx di un certo n₀, o quelli a dx.
4. Sequenze bilaterae

1) χ(z) = ∑_n=n₀^∞ x(n)z^-n = x(n₀)z^-n₀ + x(n₀+1)z^-(n₀+1) + ... + x(n₁)a^-n₁

• Converge ∀z.Solo se ai sono indici > 0, devo escludere il punto z = 0 e il punto z = ∞ nel caso in cui ci siano indici < 0.

Criterio sufficiente convergenza |χ(z)| < ∞

• ∑_n=-∞^∞ |x(n)||z^-n| < ∞

2) Suppongo n₀ ≥ 0. χ(z) = ∑_n=n₀^∞ x(n)z^-n

• Hp: Suppongo che χ(z) converge in z = z₁ → ∑_n=n₀^∞ |x(n)z₁^-n| < ∞
• Tesi: χ(z) converge ∀ |z| ≥ |z₁|
• |χ(z₁)| = |∑_n=n₀^∞ x(n)z^-n| ≤ ∑_n=n₀^∞ |x(n)z^-n| |zⁿ/|z₁ⁿ

ROC è l'esterno di un cerchio – ROC = {z | |z| > R}ROC è una regione connessa:Ha al suo interno punti di singolarità

Hp n_o < 0

χ(z) = ∑_n=n₀^∞ x(n)z^-n + x(n)z^-n = ... ROC

es.

χ(n) = aⁿu(n)

χ(z) = ∑_n=0^∞ (a^u(n)z-n)

= ∑_n=0^∞ (az^-1)ⁿ = ∑_n=0^∞ (az^-1)ⁿ

= [ 1 / (1 - az^-1) ]

• se |az^-1| < 1 → |z^-1| < |a|