Elaborazione numerica dei segnali - Appunti

Teoria dei segnali

P lim= ∣x [n]∣x K  ∞ n=−Kmentre per un segnale periodico si calcola la potenza limitatamente ad un periodo, quindi:N −11 ∑ 2P x= ∣ [n]∣x N n =0Si avrà che un segnale ad energia finita ha potenza infinita, mentre un segnale a potenza finita haenergia infinita.Un segnale si dice limitato se: B∣x [n ]∣ ∞xUn segnale si dice assolutamente sommabile se:∞∑ ∣x [n]∣∞n=−∞Il teorema del campionamento mette in relazione il tempo t con la variabile n dalla formula:n 2 nt =nT = =n F T TF F=1/T  =2 dove è la frequenza di campionamento e è la frequenza angolare diT T Tcampionamento.Il problema del campionamento è l'aliasing, che potrebbe rendere indistinguibili due segnalicampionati. Per risolvere questo problema si deve impostare la frequenza di campionamento: 2 T 0ovvero la frequenza di campionamento dovrà essere maggiore del doppio della frequenza

delFilippi Francesco Università degli studi di Trento A.A. 2007/2008 2segnale.Secondo gruppo (1.2): Un sistema discreto con come funzione in-out: n ∑ ∑y x l= y y x , n≥0 [n]= [n−1]+x [n ]= [−1]+ [l ]l l=0=−∞ si chiama accumulatore (l'uscita all'istante n è la somma dell'ingresso a quell'istante e della precedente uscita). Nell'ultima riscrittura della formula si mette in evidenza il termine y[n] che è chiamato condizione iniziale. Un altro sistema discreto è l'M-point moving-average M −1 1 ∑y x y x x[n]= [n−k ]≃ [n−1]+ [n]− [n−M ] M Mk =0 l'approssimazione migliora il sistema poiché introduce un numero finito di operazioni per trovare la media. Il filtro esponenziale a media corrente è dato dall'equazione: y y , 0≤η≤1[n]=η [n−1]+x [n ] questo filtro, rispetto al precedente, richiede solo due addizioni e una

moltiplicazione per rilevare lamedia corrente.

L'interpolazione lineare è un processo per stimare il valore tra dei campioni adiacenti.

L'interpolazione più usuale è quella di fattore 2:1

y[n] = x[n-1] + x[n+1]

Il "median filter" calcola la media della sequenza data partendo da una finestra e confrontando i vari valori.

Dimostrazione della proprietà di linearità per un Accumulatore dati due accumulatori con funzione:

y[n] = x[n] + x[n-1]

si vuole dimostrare la seguente relazione:

y[n] = αx[n] + βx[n-1]

quindi:

∑y[n] = α∑x[n] + β∑x[n-1]

2 2 2l l=0 =0si avrà all'uscita: n∑y y x x n][n]= [−1]  [n ] [1 2l =0n n n n∑ ∑ ∑ ∑y n]= y x n] y x y y x x n[ [−1] [ [−1] [n ]= [−1] [−1] [n] [ ]1 1 2 2 1 2 1 2l=0 l=0 l l=0 =0y y y[−1]= [−1] [−1]solo se si ha . Questa è detta condizione di linearità per1 2Filippi Francesco Università degli studi di Trento A.A. 2007/2008 3l'accumulatore e da questo si desume che l'accumulatore è lineare solo se le sue condizioni inizialisono nulle.Per il "median filter" è facile desumere che non gode della proprietà di linearità.Un sistema di dice tempo invariante se la risposta ad un segnale si sfasa di tanto quanto vienesfasato il segnale in ingresso: x y y[n ]=x [n−n ] [n]= [n−n ]1 0 1 0Ad esempio un "up-sampler" è un sistema tempo

Un sistema si dice LTI se è allo stesso tempo lineare e tempo invariante.
Un sistema è causale se l'ennesimo campione in ingresso dipende solamente dallo stato precedente
del sistema e non da quello futuro.
Un sistema si dice BIBO (Bounded Inputo Bounded Output) stabile se per ogni ingresso limitato
corrisponde un'uscita limitata: x[n] ≤ B ⇒ y[n] ≤ B ∀ n

Un sistema M-point average è BIBO stabile:
M
∑
y[n] = ∑ x[n-k]
k=0

Un sistema si dice passivo se l'uscita ha la stessa energia (o minore) dell'ingresso:
∞
∑
|y[n]|² ≤ ∑ |x[n]|² ∀ n

Un sistema discreto avrà come energia in uscita:
∞
∑
|y[n]|² = ∞
∑
|x[n]|²

dove se ∑ |y[n]|² ≤ ∑ |x[n]|² allora il sistema è passivo, mentre se ∑ |y[n]|² > ∑ |x[n]|² allora il
sistema non è passivo.

sistema è privo di perdite. Si chiama convoluzione discreta dove h[n] è la risposta impulsiva del sistema. La convoluzione funziona solo tra sistemi aventi risposta impulsiva finita. La convoluzione tra due sistemi di lunghezza M e N avrà come risultato un sistema di lunghezza M+N-1. Porre due sistemi LTI in cascata vuol dire fare che la risposta impulsiva del sistema risultante sarà la convoluzione delle due risposte impulsive. Se i due sistemi sono stabili, passivi o privi di perdite allora anche la cascata è stabile, passiva o priva di perdite. La convoluzione avrà come elemento neutro l'impulso e volendo trovare la funzione inversa del gradino, si avrà: δ[n] = δ[n] - δ[n-1] Dati due sistemi in parallelo il sistema risultante avrà come risposta...impulsiva la somma delle due risposte impulsive. Filippi Francesco Università degli studi di Trento A.A. 2007/2008 4° Terzo gruppo (1.3): Un sistema LTI si dice BIBO stabile se la sua risposta impulsiva è assolutamente sommabile: ∞ ∑ S = |h[n]| ≤ ∞ n=-∞ B∣x[n]∣ ≤ ∞ Avendo quindi un ingresso stabile si otterrà: x∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ h x B S |y[n]| = | [n] [n-k]| ≤ ∞ ∣h[n]∣∣x[n-k]∣ ≤ ∞ B ∣h[n]∣ = x∞ n=-∞ n=-∞ n=-∞ Un sistema è causale solo se la sua risposta impulsiva è causale (l'accumulatore discreto è causale mentre l'interpolatore a fattore 2 non è causale). Una sottoclasse dei sistemi LTI è quella in cui l'equazione alle differenze è caratterizzata da costanti lineari: N M ∑ ∑ d y p x[n-k] = [n-k] k k=0 k=0 in cui l'ordine del sistema è dato da max(N,M).

Un altro modo per scrivere l'equazione, se il sistema è causale, è: N Md p∑ ∑k ky y x[n]=- [n-k ]+ [n-k ]d dk=1 0 k=0

Un sistema con risposta impulsiva di lunghezza finita si chiama FIR mentre se la lunghezza dellarisposta impulsiva è infinita si dice IIR.

Una possibile classificazione per i sistemi LTI è:

• Non ricorsivo l'uscita è calcolata in modo sequenziale;
• Ricorsivo all'uscita viene aggiunto anche il valore dell'ingresso nell'istante presente;
• Reale la risposta impulsiva ha solo valori reali;
• Complesso la risposta impulsiva ha valori complessi.

Si definisce cross-correlazione tra due sistemi:

∑r x y= [n] [n-l]xy n=-∞

dove il parametro l indica lo scostamento nel tempo dei due sistemi. Si definisce auto-correlazione se entrambi i segnali coinvolti sono lo stesso. Si ha come proprietà della correlazione r [l]=r [-l]yx xy

Le forme normalizzate

di correlazione sono: r, r[l], [l]xx, xy, [l]= , [l]=xx, xyr,  r[0], [0]r, [0]xx, xx, yyla correlazione può anche essere scritta per sistemi a potenza finita e per sistemi periodici: k N −11 1∑ ∑r lim x y r l x y n−l[l]= [n] [n−l] [ ]= [n] [ ]xy xy2K1 NK  ∞ n=−K n=0

Filippi Francesco Università degli studi di Trento A.A. 2007/2008 5

Quarto gruppo (2.1):

Si definisce trasformata di Fourier continua (CTFT) e la sua antitrasformata:

∞ ∞1∫ ∫j j− t tX j= x dt x X j d t e t =  e a a a a2−∞ −∞

affinché dato un segnale si possa affermare l'esistenza della trasformata devono valere le condizioni di Dirichlet:

Il segnale deve avere un numero finito di minimi e massimi e di discontinuità;

 il segnale dev'essere assolutamente integrabile.

L'energia di un segnale è:

∞ ∞ ∞ ∞1∫ ∫ ∫

∫ j tʋ ʋ⁞E x x dt= x X j d dt= ∣x ʋ⁡t ʋ⁡dt= ʋ⁡tʋ⁡tʋ⁡tʋ⁡[ ʋ⁞ʋe ʋ⁞]ʋʋx a a a a a2⋅−∞ −∞ −∞ −∞svolgendo le operazioni si trova il teorema di Parseval:∞ ∞1∫ ∫ 2E j d= ∣x ʋ⁡t ʋ⁡dt= ∣X ʋ⁞ʋ∣ ʋ⁞x a a2⋅−∞ −∞S jʋ⁞ʋ=∣X ʋ⁞ʋ∣dove è equivalente al “energy density spectrum”.xx aUn segnale può essere classificato sotto tre categorie:∣ʋ∣ʋ⁞ʋ ʋ⁜∞lowpass• p0ʋ⁜ʋ ∣ʋ∣ʋ⁜∞highpass• p0ʋ⁜ʋ ∣ʋ∣ʋ⁞ʋ ʋ⁜∞bandpass• L HPer rappresentare una sequenza a energia finita non assolutamente sommabile tramite la sua trasformata di Fourier è necessario considerare la sua convergenza quadratica.&inf;