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Elaborazione numerica dei segnali - Appunti Appunti scolastici Premium

Appunti di Elaborazione numerica dei segnali per l'esame della professoressa Boato. Sono definiti i concetti di norma di un segnale, media pesata, sampling, energia segnale, potenza segnale, segnale limitato, segnale assolutamente sommabile, etc.etc.

Esame di Elaborazione numerica dei segnali docente Prof. G. Boato

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Elaborazione numerica dei segnali

Primo compitino (intro – 1.1 – 1.2 – 1.3 – 2.1 – 2.2)

Introduzione:

Il rumore generato da una linea elettrica è un rumore composto da una sinusoide a 60Hz che può

essere rimosso tramite un filtro Notch.

Per ottenere la parte complessa di un segnale si utilizza il filtro di Hilbert con risposta impulsiva:

1

h t =

TB t

 x(t) parte reale

Hilbert y(t) parte immaginaria

Transformer

Primo gruppo (1.1):

Lo spazio tra due segnali consecutivi è chiamato intervallo di campionamento o intervallo di

periodo. Ad esso si può associare la frequenza di periodo:

1

F =

T T

I segnali digitali si creano tramite la campionatura dei segnali analogici e questa campionatura può

avvenire o tramite arrotondamento o tramite troncamento.

I segnali di lunghezza finita possono essere incrementati tramite lo “zero padding” overo

aggiungendo una sequenza di zero.

Si definisce norma di un segnale: ∞ 1/ p

∑ p

∥x∥ = ∣x [n ]∣ 

p n =−∞

∥x∥ ∥x∥

in cui la è la “root-mean-squared” (rms), mentre la è il “mean absolute value”.

2 1

In alcune applicazioni si devono avere le varie sequenze con la stessa lunghezza e quindi per

portarle alla stessa lunghezza si aggiungono degli zero.

Si definisce la media pesata come: K

1 ∑

x x

=

ave i

K i=1

Dato un segnale ad una frequenza F e volendo interpolare ad una frequenza F ' si definirà il

T T

rapporto di interpolazione come: '

F R1 interpolazione

T

R= R1 decimazione

F T

Si possono avere due tipi di “sampling”: l'”up-sampling” aggiunge L-1 valori a 0 tra un campione e

l'altro, mentre il “down-sampling” M-1 campioni del segnale verranno rimossi.

Filippi Francesco Università degli studi di Trento A.A. 2007/2008 1

Di un segnale si possono dividere le parti causale-simmetrica e causale-antisimmetrica:

1 1

x x x x x x

[n]=  [n] [−n] [n]=  [n]− [−n]

 

cs ca

2 2

Di un segnale si possono dividere le parti pari e dispari:

1 1

x x x x x

[n ]=  [n] [−n ] [n]=  [n]−x [−n]

ev od

2 2

Di un segnale periodico si può trovare la parte simmetrica tramite:

1

x x x , 0nN

=  [n ] [ ⟨−n⟩ ] −1

pcs N

2

mentre la parte antisimmetrica sarà:

1

x x n]− x , 0nN

=  [ [⟨−n⟩ ] −1

pca N

2 x x x N

[n ]= [⟨−n⟩ ]= [ −n]

Si definirà sequenza periodica simmetrica mentre sarà

 N

x x x N

[n ]=− [⟨−n⟩ ]=− [ −n]

antisimmetrica se N

Si definirà energia del segnale: ∞

∑ 2

 = ∣x [n ]∣

x n =−∞

e se un segnale ha durata infinita allora potrebbe avere o non avere energia finita, mentre un segnale

a durata finita avrà sicuramente energia finita.

Si definirà potenza del segnale: K

∑ 2

P lim

= ∣x [n]∣

x K  ∞ n=−K

mentre per un segnale periodico si calcola la potenza limitatamente ad un periodo, quindi:

N −1

1 ∑ 2

P x

= ∣ [n]∣

x N n =0

Si avrà che un segnale ad energia finita ha potenza infinita, mentre un segnale a potenza finita ha

energia infinita.

Un segnale si dice limitato se: B

∣x [n ]∣ ∞

x

Un segnale si dice assolutamente sommabile se:

∑ ∣x [n]∣∞

n=−∞

Il teorema del campionamento mette in relazione il tempo t con la variabile n dalla formula:

n 2 n

t =nT = =

n F 

T T

F F

=1/T  =2 

dove è la frequenza di campionamento e è la frequenza angolare di

T T T

campionamento.

Il problema del campionamento è l'aliasing, che potrebbe rendere indistinguibili due segnali

campionati. Per risolvere questo problema si deve impostare la frequenza di campionamento:

 2 

T 0

ovvero la frequenza di campionamento dovrà essere maggiore del doppio della frequenza del

Filippi Francesco Università degli studi di Trento A.A. 2007/2008 2

segnale.

Secondo gruppo (1.2):

Un sistema discreto con come funzione in-out:

n n

∑ ∑

y x l= y y x , n0

[n]= [n−1]x [n ]= [−1] [l ]

l l=0

=−∞

si chiama accumulatore (l'uscita all'istante n è la somma dell'ingresso a quell'istante e della

precedente uscita). Nell'ultima riscrittura della formula si mette in evidenza il termine y[n] che è

chiamato condizione iniziale.

Un altro sistema discreto è l'M-point moving-average

M −1

1 1

y x y x x

[n]= [n−k ]≃ [n−1]  [n]− [n−M ]

M M

k =0

l'approssimazione migliora il sistema poiché introduce un numero finito di operazioni per trovare la

media.

Il filtro esponenziale a media corrente è dato dall'equazione:

y y , 01

[n]= [n−1]x [n ]

questo filtro, rispetto al precedente, richiede solo due addizioni e una moltiplicazione per rilevare la

media corrente.

L'interpolazione lineare è un processo per stimare il valore tra dei campioni adiacenti.

L'interpolazione più usuale è quella di fattore 2:

1

y n] x n−1]x n1

[n]=x [  [ [ ]

u u u

2

Il “median filter” calcola la media della sequenza data partendo da una finestra e confrontando i vari

valori.

Dimostrazione della proprietà di linearità per un Accumulatore dati due accumulatori con funzione:

n n

∑ ∑

y x y n]= x

[n]= [l] [ [l ]

1 1 2 2

l=−∞ l =−∞

si vuole dimostrare la seguente relazione:

y n]= x x

[ [n] [n]

1 2

quindi: n n n

∑ ∑ ∑

y x x x n x y y n]

[n]=  [n] [n ]= [ ] [n ]= [n] [

1 2 1 2 1 2

l l l

=−∞ =−∞ =−∞

per cui il sistema è lineare.

Scrivendo invece le funzioni degli accumulatori come:

n n

∑ ∑

y y x y n]= y x

[n]= [−1] [l ] [ [−1] [l]

1 1 1 2 2 2

l l

=0 =0

si avrà all'uscita: n

y y x x n]

[n]= [−1]  [n ] [

1 2

l =0

n n n n

∑ ∑ ∑ ∑

y n]= y x n] y x y y x x n

[ [−1] [ [−1] [n ]= [−1] [−1] [n] [ ]

1 1 2 2 1 2 1 2

l=0 l=0 l l

=0 =0

y y y

[−1]= [−1] [−1]

solo se si ha . Questa è detta condizione di linearità per

1 2

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summerit

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria delle telecomunicazioni
SSD:
Università: Trento - Unitn
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher summerit di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elaborazione numerica dei segnali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trento - Unitn o del prof Boato Giulia.

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