Economia delle aziende di credito

I MODELLI GARCH

I modelli Garch sono ancora oggi dibattuti, perchè sono modelli che sono opinabili, quindi non

vedono ancora utilizzati molto.

Essi nascono per il fatto che la volatilità subisce fluttuazioni significative, ed in particolare vi è

eteroschedasticità, in particolare la varianza mutua nel tempo e quindi vi sono periodo con elevata

volatilità introdotti da periodo di relativa tranquillità, quindi quando sul mercato non vi è un trend,

ma si muove con un percorso random, quindi la deviazione standard non può dire precisamente il

suo andamento.

Andiamo ad osservare le correlazioni tra i seguenti titoli:

Security MSFT T VZ SPX GOOGL AMZN

MSFT 100% 33% 34% 60% 45% 36%

T 33% 100% 74% 60% 35% 22%

VZ 34% 74% 100% 60% 36% 26%

SPX 60% 60% 60% 100% 61% 49%

GOOGL 45% 35% 36% 61% 100% 48%

AMZN 36% 22% 26% 49% 48% 100%

Tali correlazioni sono state create sulla base dell’andamento borsistico dei titoli in un arco

temporale di 10 anni.

La correlazione non misura la performance dei titoli, perchè si basa su varianza e covarianza, ma

è uno strumento utilizzato dai traider per mitigare il rischio dei portafogli che loro gestiscono.

Tale correlazione si basa su dati storici, perché ad oggi la correlazione implicita non è ancora

presa in considerazione in maniera preponderante, anche se per alcuni portafogli di titoli si

negoziano in base al Var che è strettamente dipendente alla correlazione.

Da tale tabella possiamo osservare come esista una forte connessione tra Google e Amazon,

questo perché Google ha un accesso ai satelliti che è fondamentale per l’industria Amazon, ecco

spiegata la correlazione al 48%. Questa tabella mostra anche la grande differenza tra MSFT e

Google e Amazon, data dal fatto che MSFT si basa sul contenuto mentre le seconde due si basa

sulla piattaforma. Quindi da tale valutazione possiamo vedere come da una tabella che si basa su

dati storici, è possibile passare a valutazioni di mercato rendendo tali correlazioni un po più

implicite e meno storiche. Pagina 28

I MODELLI DI SIMULAZIONE

Come si costruisce una simulazione che sta a metà tra simulazioni storiche e simulazioni

Montecarlo?

Disegnatemi e spiegatemi la non linearità del rapporto tra l’attività sottostante e il prezzo

dell’opzione

I modelli di simulazione derivano il Var (il Var è una derivata dei modelli di simulazione) simulando

un grande numero di scenari riguardanti la possibile evoluzione futura dei mercati. Se i modelli di

simulazione sono sbagliati, la misura del Var corrispondente sarà poco utile.

Dietro i modelli di simulazione devono esserci 3 caratteristiche che coesistono al fine di avere

modello di simulazione il più possibile prossimo a quello che possano essere gli andamenti futuri

del passato:

1) Full valuation: non deriviate il valore del portafoglio dal girono precedente, ma ricalcolarlo ogni

girono.

2) Logica del percentile

3) maggiore flessibilità

Anche tale metodologia parte dal passato e cerca di darne una proiezione sul futuro

modificandolo in funzione di alcune variabili tramite delle simulazioni.

Partiamo dal concetto di full valuation. L’approccio variazione-covarianze stima la variazione di

valore di un portafoglio attraverso un sistema di coefficienti di sensibilità, solitamente lineari. Nei

modelli di simulazione tale valore di mercato del portafoglio viene completamente ricalcolato,

mediante opportuna formale di pricing. Quindi il portafoglio in ogni valutazione che si va a stimare

viene ricalcolato ogni giorno e quindi non viene desunto dal valore del girono precedente.

Ad esempio invece di stimare l’effetto di un rialzo dei tassi sul valore di un titolo obbligazionario

sulla basa della duration modificata si procede a ricalcolare il nuovo prezzo del titolo con il nuovo

livello dei tassi.

Ogni giorno gli asset del portafoglio vengono quindi riformulati. Se le formule di pricing usate

sono corrette, i modelli di simulazione non restituiscono variazione del valore del portafoglio

approssimate, ma esatte. Un approccio di questo tipo mi permette di avere delle valutazioni

esatte degli asset del mio portafoglio e non valutazione di rischio aggregato, ma una valutazione

del rischio puntuale.

Quando si guarda al portafoglio, si devono considerare innanzitutto i fattori di rischio di tale

portafoglio che possono essere ricondotti a delle asset class, con il rischio però di non tenere in

considerazione la correlazione, perchè queste asset class possono muoversi insieme. Infatti si

può generare un elevato numero di scenari relativi a variazioni dei fattori di mercato basati sulle

variazione passate. Se ad esempio un portafoglio è composto da petrolio, azioni Fiat, obbligazioni

Eni e se il prezzo del petrolio sale, si avrà che a seguito dell’espansione del prezzo del petrolio,

l’azione Fiat perderà valore mentre l’obbligazione salirà di valore. Il secondo aspetto da

considerare è il portafoglio stesso ed infatti ogni scenario che viene calcolato attraverso

simulazioni (storiche o Montecarlo) è tradotto da un valore simulato per il portafoglio, di solito

attraverso una logica di full valutation tramite un corretto modello di simulazione che deve isolare

i fattori di rischio, per poi valutare questi asset con adeguati modelli di pricing. Se torniamo

all’esempio precedente è fondamentale essere in grado i prezzare i barili di petrolio, le azioni Fiat

e l’obbligazione Eni. In alcuni casi il mercato stesso prezza gli asset, in altri si dovranno prezzare

come ad esempio l’obbligazione attualizzando i flussi di cassa al netto dei tassi. In fine si

dovranno considerare le misure di rischio, in cui una volta che ho costituito le asset class ed ho

fatto variare i fattori di rischio considerando anche la correlazione, si andrà a costruire una

distribuzione di rendimenti di questi portafogli, essendo lo stesso calcolato su più giorni.

Per quanto riguarda la logica del percentuale, nei modelli di simulazione, dopo aver generato la

distribuzione di probabilità degli N possibili valori futuri del portafoglio, il Var viene stimato ragliato

tale distribuzione empirica in corrispondenza del percentuale associato al livello di confidenza

desiderato. Per esempio il Var al 95% viene calcolato prendendo il 5° percentile. La distribuzione

simulata può assumere qualsiasi forma (non per forza quella normale).

Infine in considerazione alla maggior flessibilità, i modelli di simulazione non costringono a

utilizzare una distribuzione normale per modellare le variazioni dei fattori di mercato.

Possiamo avere simulazioni storiche, cioè distribuzioni empiriche passate che si basano su ciò

che empiricamente i fattori di rischio hanno colto; e simulazioni Monte Carlo, imputano ai

computer una certa distribuzione, poi il computer partendo da tale distribuzione, statisticamente

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disperderà tali valori per ottenere una simulazione di variazioni empiriche che si andranno ad

applicare al portafoglio.

Quindi quella storica è una distribuzione empirica passata proiettata sul futuro, mentre quella

Montecarlo parte da un’analisi empirica però cercherà di ricondurre tali movimenti in una

distribuzione (non per forza normale o gaussiana).

Esempio:

Opzione call, (diritto ad acquistare un asset ad un determinato valore), strike pari a 1300 e vita

residua di tre mesi sull’indice SP 500.

Il valore corrente dell’opzione è pari a circa 2,3 $.

Il campione storico di riferimento sono 50 rendimenti giornalieri fra il 1° gennaio 2003 e il 28

dicembre 2004.

PREGI E LIMITI DELLE SIMULAZIONI STORICHE

Tra i vantaggi vi è il fatto che è una metodologia facilmente comprensibile e comunicabile fra le

varie unità di una banca oltre che all'Alta Direzione Rappresenta infatti la perdita che si otterrebbe

se le condizioni passate dovessero ripetersi in futuro. Non viene richiesto di esplicitare alcuna

ipotesi circa la forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato. L’unica

ipotesi (implicita) è che la distribuzione dei rendimenti futuri sia correttamente approssimata dalla

distribuzione storica. Non è necessario stimare la matrice varianze-covarianze dei fattori di

mercato. Le simulazioni storiche catturano la struttura delle correlazioni riflessa nelle variazioni

congiunte dei fattori di mercato e ipotizzano che rimangano costanti nel futuro. Essendo basate

sulla full valuation, consentono di cogliere il rischio di portafogli la cui sensibilità alle variazioni dei

fattori di mercato è non lineare o non monotona, quindi un corretto modello di simulazione, anche

basato su simulazioni storiche, consente di cogliere variazioni dei fattori di mercato non lineare o

non monotone.

Tra i limiti vi sono:

Onerosità dei calcoli necessari per rivalutare l'intero portafoglio: possono richiedere tempi troppo

trading

lunghi rispetto alle esigenze di quantificazione del rischio connesse all'attività di di una

banca. Questo limite è venuto diminuendo di importanza in seguito al continuo progresso della

potenza di calcolo dei computer.

Le simulazioni storiche ipotizzano implicitamente la stabilità temporale (stazionarietà) della

distribuzione di probabilità, quindi si pensa che la distribuzione di probabilità si mantenga uguale

nel tempo.

Limitatezza delle serie storiche disponibili, specie se l’orizzonte temporale prescelto è superiore a

un giorno. Ciò si traduce in una scarsa definizione delle code della distribuzione. Incrementare la

lunghezza della serie storica di riferimento può essere controproducente perché diviene più

probabile che sia violata l’ipotesi di stabilità della distribuzione (ex Iran quando emetterà per la

prima volta obbligazioni dovrà pagare un premio maggiore perchè gli obbligazionisti non possono

calcolare il rischio di tali obbligazioni sulla base del Var). Inoltre le simulazioni storiche producono

misura di Var poco reattive alle variazioni delle condizioni dei mercati.

Le simulazioni storiche producono misure di Var poco reattive alle variazioni delle condizioni dei

mercati.

All’estremo opposto dei modelli basati sulle simulazioni storiche, vi sono i modelli con simulazioni

Montecarlo. Poi vi sono simulazioni ibride che stanno a metà tra le due simulazioni, dove si

tenderà a pesare diversamente i periodi che formano la simulazione. Quindi in via generale si

parte sempre da una simulazione storica.

Esempio di stima del Var con simulazioni storiche:

Abbiamo un portafoglio con azioni appartenenti in egual misura al FTSE 100, al DAX e all’S&P

500. In tabella riportiamo i rendimenti giornalieri (100) dal 22 luglio al 8 dicembre dei tre indici: