Economia delle aziende di credito

Economia delle aziende di credito

Il calcolo del gap

Il Gap semplice o repricing gap è la differenza tra le attività sensibili e le passività sensibili. Infatti, nell’attivo delle banche vi sono determinate attività e passività che vanno rimpiazzate. Per calcolare il gap dovrò applicare la formula seguente:

GP = AS - PS

Ad esempio, per il gap a t=6, occorre considerare tutte le attività e le passività a tasso fisso che scadono entro i prossimi 6 mesi e quelle a tasso variabile che prevedono la revisione entro massimo sei mesi.

Importante valore è il gap del margine di interesse. Il margine di interesse MI è dato dalla differenza tra gli interessi attivi IA e gli interessi passivi IP:

MI = IA - IP = i + AFI − i . PFI = i . (AS + ANS ) − i . (PS + PNS )

dove: AS = attività sensibili, ANS = attività non sensibili, PS = passività sensibili, PNS = passività non sensibili.

Consideriamo la variazione del margine di interesse che sarà data da:

ΔMI = Δi . AS − Δi . PS

Si ottiene che:

ΔMI = Δi (AS - PS) = Δi (∑ as - ∑ ps) = Δi GS

Se ho un Gap positivo e una variazione positiva del tasso di interesse, avremo un effetto positivo sul conto economico della banca, mentre se il gap è negativo e ci fosse un aumento del tasso di interesse, vorrà dire che sul conto economico della banca avremo un effetto negativo.

Quando più alto è il Gap, tanto maggiore sarà l’aumento dei tassi, tanto maggiore sarà l’impatto positivo del Margine di interesse.

• Gap > 0, Δi > 0, ΔMI > 0
• Gap > 0, Δi < 0, ΔMI < 0
• Gap < 0, Δi > 0, ΔMI < 0
• Gap < 0, Δi < 0, ΔMI > 0

Si possono utilizzare degli indicatori sul Gap:

• ∆(MI/MP) - G/MP ∆i: valuta l’impatto di una variazione dei tassi sul rapporto fra margine di interesse e mezzi propri, un indicatore molto utilizzato.
• ∆(MI/AF) - G/AF ∆i: Misura la sensibilità alla variazione dei tassi del rapporto fra margine di interesse e attività finanziarie.
• Gap Ratio = AS/PS: è particolarmente appropriato per confronti fra banche di dimensioni differenti essendo insensibile alle dimensioni.

Il maturity adjusted gap

Qualora considerassimo Gap con scadenze temporali differenti, è necessario l’utilizzo del maturity adjusted gap che permette di affrontare il problema della diversa scansione temporale delle scadenze delle attività e delle passività. Per ogni attività sensibile j che frutta un tasso di interesse:

ia = a_s x i_x + a_s (i + Δi )(1 − s )i_j, l’ammontare di interessi attivi sarà dato da: j j j j j j j

Ipotizzando una variazione uniforme dei tassi attività e passivi, la variazione del margine di interesse è stimabile come la differenza tra la variazione complessiva degli interessi attivi connessi all’insieme delle n attività sensibili, e la variazione complessiva degli interessi passivi all’insieme delle n passività sensibili, dove:

∑ ΔIA = a_s . Δi . (1 − s) e ΔIP = p_s . Δi . (1 − s)

Quindi abbiamo che:

∆MI = ∆IA - ∆IP = ∑ [ a_s . (1 − s ) − p_s . (1 − s )] . Δi = G . Δi

Gap marginali e cumulati

Possiamo distinguere i Gap tra Gap Cumulati e Gap Marginali: I primi sono definiti come la differenza tra attività e passività che prevedono la rinegoziazione del tasso di interesse a una determinata data futura. Mentre i Gap marginali sono definiti come differenza fra attività e passività che prevedono la rinegoziazione del tasso in un particolare periodo futuro. Il gap cumulato relativo a un certo t non è altro che la somma algebrica di tutti i gap marginali relativi a t ed ai periodi precedenti. Utilizzando tali gap è possibili ottenere una versione semplificata del maturity-adjustament gap. Approssimando con t* = t + t/2.

Rischio e valore nelle banche Il modello del repricing gap:

• I gap marginali consentono di analizzare l’effetto sul margine di una possibile traiettoria temporale dei tassi di mercato.
• La presenza di gap periodali diversi da zero può quindi generare una variazione del margine di interesse anche in presenza di un gap cumulato nullo.
• La completa eliminazione del rischio di interesse richiederebbe l’azzeramento di tutti i gap marginali, anche giornalieri.

Limiti del modello del repricing gap e il gap standardizzato

• Ipotesi di variazioni uniformi dei tassi attivi e passivi e dei tassi di diversa scadenza: alcune attività o passività della banca si adeguano in misura più marcata rispetto ad altre e i tassi a diversa scadenza non subiscono variazioni uniformi.
• Il trattamento delle poste a vista: i tassi di interesse relativi alle poste a vista non si adeguano immediatamente alle variazioni dei tassi di mercato.
• Manca considerazioni degli effetti di variazioni dei tassi di interesse sulla quantità di fondi intermediati: il modello si concentra esclusivamente su valori flusso senza considerazione per gli eventuali effetti sui valori stock.
• Mancata considerazione degli effetti di variazioni dei tassi sui valori di mercato: un rialzo dei tassi modifica anche i valori di mercato delle attività e passività, effetto ignorato dal repricing gap.

Per superare uno dei limiti del modello del Gap semplice è possibile introdurre il concetto di Gap standardizzato che è pari a:

G = ∑ a_s . beta − ∑ p_s . gamma, dove rappresentano la sensibilità delle attività e delle passività.

Il modello del duration gap

La duration indica la data entro cui il possessore di un titolo obbligazionario rientra in possesso del capitale inizialmente investito, tenendo conto delle cedole. Quanto più alte saranno le cedole, tanto minore sarà la duration, perché il possessore del titolo riuscirà in un tempo sempre minore ad essere ripagato. Maggiore è la duration, maggiore sarà la rischiosità del titolo, essendo più sensibile a variazioni di mercato.

Consideriamo il seguente stato patrimoniale semplificato della banca Alfa nel 2006:

Il margine di interesse sarà:

MI = IA − IP = (5%100) - (3%90) = 5-2,7 = 2,3

Quindi il ROE della banca è 23%. Senza alcuna variazione di tassi il bilancio del 2007 sarebbe:

Supponiamo che al primo gennaio 2007 vi sia un aumento dell’1% dei tassi di interesse. Sul bilancio del 2007 la variazione del tasso di interesse non varia, perché i mutui sono a tasso fisso così come i CD. Quindi il MI risulta 2,3 sia nel 2007 che nel 2008. Nel 2009 scadono i CD, allora la banca Alfa decide di finanziarsi nuove condizioni di mercato, rinnovando i certificati di deposito con altri CD, ad un tasso di interesse superiore (3%+1% = 4%). Il margine di interesse varierà:

MI = IA − IP = (5% 100) - (4% 90) = 5-3,6 = 1,4

In questo caso cambierà anche il ROE della banca che è pari a 9,59%.

Seguendo la logica del repricing gap, l’effetto di una variazione dei tassi avvenuta all’inizio del 2007 sulla redditività della banca viene riconosciuta solo due esercizi dopo che la variazione ha avuto luogo, mediante una variazione negativa del MI.

Andiamo a valutare il Mutuo nel 2007, subito dopo l’aumento dei tassi di interesse del 1%:

VM = 5/(1+6%)^t + 100/(1+6%)⁹ = 93,2

Andiamo anche a calcolare il valore di mercato dei certificati di deposito a fine 2007:

VM = 92,7/(1+4%) = 89,14

In entrambi i casi la variazione in rialzo dei tassi porta ad una riduzione del valore.

ΔVM = ΔVM − ΔVM = (100 − 93,2) − (90 − 89,14) = 5,93

Il bilancio a valori di mercato alla fine 2007 allora cambierà e sarà pari a:

Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio sarà:

U = MI + ΔVM = MI + ΔVM − ΔVM = (5 − 2,7) + [(93,2 − 100) − (89,13 − 90)] = − 3,63

La perdita di 3,63 rappresenta quindi la risultante tra una minusvalenza netta di 5,6 (data dal saldo tra la variazione dell’attivo e quella del passivo) e ricavi netti da interessi 2,3. L’effetto della variazione al rialzo di un punto percentuale dei tassi, verificatasi nel 2007, viene ora riconosciuto nello stesso esercizio in cui essa si è verificata.

Consideriamo ora cosa succede a fine 2008:

Il valore del CD essendo a scadenza 2 anni, è 90, mentre il valore di mercato del mutuo sarà:

VM = 5/(1+6%)^t + 100/(1+6%)⁸ = 93,79

U = MI + ΔVM = MI + ΔVM − ΔVM = (5 − 2,7) + [(93,79 − 93,2) − (90 − 89,13)] = 2,02

Duration

La duration di uno strumento finanziario è data dalla media aritmetica delle scadenze dei flussi di cassa ad esso associati, dove ogni scadenza viene ponderata per il rapporto fra il valore attuale del flusso associato a quella scadenza e il prezzo dello strumento finanziario.

F_tD = ∑ t (1 + y)^t P

dove:

• t = scadenza espressa in anni
• F_t = flusso di cassa t-esimo
• 1+y = tasso di rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity)
• P = prezzo o valore di mercato dello strumento finanziario

Esempio:

Il primo gennaio 2007, un titolo obbligazionario paga una cedola annuale del 6% con vita residua di quattro anni (31/12/2010). Il rendimento effettivo a scadenza richiesto del mercato è pari a 6%. Il prezzo è uguale al valore di rimborso.

Flusso:

• 31/12/07: 6
• 31/12/08: 6
• 31/12/09: 6
• 31/12/10: 106

Valore attuale = 5,66 (31/12/07), 5,34 (31/12/08), 5,037 (31/12/09), 83,962 (31/12/10)

Prezzo = 100

Duration modificata

Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di mercato:

F_t / (1 + y)_t P = ∑ t

Facciamo la derivata rispetto al tasso di interesse:

dP/dy = - ∑[ F_t/(1 + y)^t + F_t/(1 + y)^t+1]

Dividendo per il prezzo si ottiene:

dP/dy = ∑ t (1 + y)^t / P (1 + y)

Da cui si ottiene che la duration modificata è pari a:

D − dy / (1 + y)

La duration modificata consente di stimare la variazione percentuale di un determinato strumento. Se aumenta il tasso di interesse, i flussi di cassa diminuiranno. Inoltre, man mano che scorre il tempo maggiore sarà l’impatto negativo del tasso di interesse e la duration modificata diminuirà.

Dall’esempio precedente sarà pari a:

3,6730 / (1+0,06) = 3,465

Duration gap

Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle attività e delle passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi.

Sappiamo che:

ΔVM_A = - VM_A DM_A Δy

Allora posso ricavare che:

ΔVM = - VM DM Δy, dove DM è la duration modificata dell’attivo.

Una volta definite le variazione dell’attivo e del passivo, in funzione al modello della duration modificata, possiamo stimare la variazione di bilancio:

ΔVM = ΔVM_A - ΔVM_P = (-VM_A DM_A Δy) - (VM_P DM_P Δy)

Assumiamo per semplicità che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo siano uguali, quindi Δy = Δy = Δy.

Otteniamo che:

ΔVM = - (VM_A DM_A - VM_P DM_P)Δy

Introduciamo la leva finanziaria:

ΔVM = - (DM_A - L DM_P) VM_A Δy = - DG VM_A Δy

Dove:

• DG = duration gap
• VM_A = valore di mercato dell’attivo
• L = leva finanziaria = P / A

Secondo il modello del duration gap, la variazione del valore di mercato del patrimonio conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi:

1. Il valore di mercato del totale dell’attivo (VM_A).
2. La dimensione della variazione dei tassi di interesse (Δy).
3. La differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta per la leva finanziaria della banca, ovvero il duration gap.

La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo.

Calcoliamo ora la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap della Banca Alfa:

Collochiamoci al 31/12/2007 un attimo prima dell’aumento dei tassi.

Duration Attivo:

F_t D_A = ∑ t / (1 + y)^t = 7.46

VM_A D_MA = 7.11

Duration Passivo:

F_t / (1 + y)^t = 0.97

VM_P D_MP = 0.97

L = P / A = 0.90

DG = (D_MA - L D_MP) = [7.11 - (0.90 x 0.97)] = 6.23

ΔVM_B = - DG VM_A Δy = - 6.23 x 100 x 0.01 = - 6.23

In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale, il valore di mercato della Banca Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6.23 milioni di euro oltre il 60% del suo valore di partenza. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività finanziaria di variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta un’approssimazione soggetta a errore.

Convexity gap

La duration presenta differenti problematiche, tra cui il fatto che la relazione tra prezzo e tasso non sia lineare. Per cercare di allineare questa approssimazione, introduciamo il concetto di convessità, prendendo la relazione tra rendimento e prezzo.

Il convexity gap permette una stima più accurata della variazione del valore di mercato del patrimonio della banca, tenendo in considerazione anche il grado di curvatura della relazione.

ΔVM = - (VM D_MA − VM D_MP)Δy = (VM_A C_MA − VM_P C_MP) (Δy)²

Dove C_M è la convexity modificata data da:

(1 + y)² F_T² ∑ C + (t + t)

I tassi interni di trasferimento

Il sistema di tassi interni di trasferimento (TIT) consiste in un insieme di transazioni figurative interne alla banca che consentono di accettare presso un’unica unità le decisioni relative alla posizione che la banca intende assumere nei contesti delle variazioni dei tassi di mercato. Gli obiettivi perseguiti sono quattro:

1. Trasferire il rischio di interesse dalle unità della banca che lo generano a un’unità centrale che possa correttamente gestire rischio.
2. Valutare l’effettiva redditività della gestione del rischio di interesse nella banca.
3. Consentire alle diverse unità della banca di non doversi preoccupare dell’attività.
4. Valutare in modo preciso il contributo offerto da ogni singola unità.

Esempio:

Si consideri una filiale che ha effettuato un’unica operazione di raccolta, emettendo al tasso del 3% un certificato di deposito di 1 milione di euro a un anno e un’unica operazione di impiego a 3 anni, un finanziamento di un milione di euro a un tasso fisso del 6%. La filiale si trova esposta al rischio di interesse, infatti se durante il primo anno si verificasse un aumento dei tassi, sarebbe costretta una volt...