Econometria - le ipotesi forti sui residui

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X X~ ~ ~ ′= = σ 2,iv) E ( u ) 0 E ( u u ) I nCon la i) si suppone che la struttura dell’economia rimanga invariata nelperiodo campionario e che quindi sia possibile considerare valide per tutte le= le equazioni (1.3.1) e (1.3.4). La ii) è un’ipotesi semplificatrice, che int 1, 2,…, n,seguito elimineremo, che limita gli elementi stocastici del modello al residuo ed allavariabile endogena. La iii) è necessaria per poter determinare la stima dei minimiquadrati ordinari, sia nel caso non stocastico che in quello stocastico.Infine, le ipotesi deboli iv) sono utilizzate per determinare alcunecaratteristiche degli stimatori: la non distorsione e l’efficienza, nonché le matrici didispersione e di correlazione di quelli dei minimi quadrati e la distorsione dellaσ̂ 2varianza campionaria dei residui.Si noti che l’ipotesi (3), che abbiamo specificato nel caso semplice per simmetriacon l’ipotesi (iii) formulata nel caso multiplo,

in effetti è automaticamente verificata perché le non siano costanti.

xt 2-2Modulo II – Minimi quadrati

2.2 Residui distribuiti normalmente

La funzione di densità congiunta dei residui

Le ipotesi stocastiche precedenti, tuttavia, non permettono di effettuare un’inferenza statistica completa sul modello lineare; ad esempio, non sono sufficienti per determinare intervalli di confidenza o per fare verifiche di ipotesi.

Aggiungiamo, allora, l’ipotesi forte che i residui siano distribuiti normalmente con media nulla e varianza costante σ (2.2.1)

2∼ ∀u N ( 0, ) ttcioè che la loro funzione di densità di probabilità sia del tipo XXI-(1.4.19){ }−= πσ − σ2 1 / 2 2 2 (2.2.2)f (u ) ( 2 ) exp u / 2t t

Lavorando in termini matriciali si prende in considerazione l’intero vettore ed è quindi utile disporre della loro funzione di densità congiunta. Questa si delle ucostruisce facilmente

ricordando che per l'ultima delle (2.1.1) o delle (2.1.2) le utsono incorrelate. Come è noto, se due o più variabili aleatorie distribuite in modo normale sono incorrelate, allora esse sono anche indipendenti. Ma è altresì noto1che se due o più variabili sono stocasticamente indipendenti la loro densità congiunta è uguale al prodotto delle rispettive densità marginali. La densità2congiunta delle si ottiene quindi moltiplicando tra di loro densità del tipo u nt(2.2.2) { }n( ) ∑∏ n (2.2.3)−= = πσ − σn2 / 2 2 2f u , u ,..., u f (u ) ( 2 ) exp u / 2n t t1 2 =t 1=t 1e può essere espressa in termini matriciali come{ }′−= πσ − σ (2.2.4)2 n / 2 2u u uf ( ) ( 2 ) exp / 2La (2.2.4) è una funzione di densità congiunta di tipo normale multivariato con2σvalor medio e matrice di dispersione la cui espressione nel caso generale

è0 Idata dalla XXI-(2.5.5), che riportiamo per comodità ′1n 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − −= π − − −Σ µ Σ µ12 det expf x x x 2 2 (2.2.5)2  µdove è un vettore aleatorio con elementi, di valor medio e matrice dix nΣdispersione .Si veda il teorema XXI-2.4.1 Si veda il paragrafo XXI-2.2 e in particolare la XXI-(2.2.16).2 2-3Modulo II – Minimi quadratiOsservazione 2.1 – La (2.2.5) si riduce al caso particolare (2.2.4) se siconsidera che per le (2.1.1)-(2.1.2) le hanno media nulla (e quindiu 2µ Σ σ), e inoltre sono incorrelate e omoschedastiche, per cui e= 0 = I2n -1 -2σ Σ σquindi e . Effettuando queste sostituzioni nelladet(Σ) = = I(2.2.5) con al posto di si ottiene la (2.2.4). In simboli la (2.2.4) vieneu xespressa asserendo che~ 2∼N(0,σ (2.2.6)I )u nOsservazione 2.2 - Nelle ipotesi precedenti (forti) i residui

sonoIndipendenti ed Identicamente Distribuiti; queste loro qualità sono indicate con l'acronimo IID.

La funzione di densità dello stimatore dei minimi quadrati La (2.2.4) o (2.2.6) ci permette di ricavare immediatamente la distribuzione di β̂ probabilità dello stimatore. Abbiamo visto nella (1.6.16) che esso può essere espresso in funzione del vettore aleatorio u ̂ (2.2.7)′ ′−β β= + 1X X X u( ) e quindi basterà applicare il teorema XXI-2.3 sulle trasformazioni lineari di per ottenere variabili normalmente distribuite 3 (2.2.8)2 -1β̂ ′∼N[β,σ X X( ) ]

La funzione di densità dello stimatore è quindi { }̂ ′ ′− −β = πσ − β − β β − β σ² k / 2 1 / 2 2X X X Xf ( ) ( 2 ) ( det ) exp ( ) ( ) / 2 dove si è fatto uso del teorema XIX-1.5 applicando il quale si ricava

che−2 −2′ ′ .X X I X Xdet(σ )=det(σ )⋅det( )k

Sempre applicando il teorema XXI-2.3 si trova immediatamente la distribuzionedei residui stimati . Questi, infatti, per la (1.7.3) sono una funzione lineare delû~vettore aleatorio che per la (2.2.6) è distribuito in modo multinormale. Avremouallora ~ (2.2.10)û M= uda cui ricaviamo la distribuzione dei residui stimati~ ~ ~µ Σ µ Σx ~ ( , ) y = A x + b ~ ( A +b, A A’ ).N NIl teorema asserisce che se , allora Nel3 ~ ~ βx u Σ σcaso della (2.2.7) abbiamo le posizioni seguenti: = ; b = ; A = (X′X) X′; = I,-1 2applicando le quali si ottiene il risultato (2.2.8). 2-4Modulo II – Minimi quadrati2∼N σ (2.2.11)(0, M)ûdato che in questo caso~ ~ ~ ~ ~ 2 2′ ′ σ ′ σ′ ′)(M ) = (M M ) = M ( M = MM = MCov E Eu u u u uVedremo in seguito che, sfruttando il teorema del limite centrale, se si

Eliminando l'ipotesi di normalità dei residui, mantenendo le altre, la (2.2.8) continua a valere, seppure asintoticamente.

2σ Intervalli di confidenza per i parametri del modello lineare semplice con noto:

Se poniamo:

 

x

 + 2= a1

 

11− 2n m x

 

xx1 = 2a( )

22− 2n m xxx

ricordando le (1.6.9) e (1.6.8) le distribuzioni degli stimatori dei parametri di β β e sono regressione 1 2 (2.2.12)

β̂ ∼ β σ β̂ ∼ β σ2 2 2 2( , ) ( , )N a N a1 11 2 221 2

Effettuando le trasformazioni lineari ˆ ˆ β − β β − β1 1 2 2 e (2.2.13)

σ σa a11 22

possiamo standardizzare gli stimatori, che così trasformati hanno distribuzione normale standard (si veda la XXI-(1.6.4)).

4β̂ β̂

che per allora, si può calcolare l'intervallo di confidenza più corto.

Sia per 1 2 2α σ (simmetrico rispetto al valor medio) al livello , supponendo noto.

partendo dalla condizione ~′ ′′≤ < = − αP ( z z z ) 1 (2.2.14)~ α/2′ ′′e sono i quantili di probabilità e rispettivamente,dove z N z z~ (0, 1) , 1−α/2forniti dalle tavole della distribuzione normale standardizzata. L’intervallo è,dunque,

Nel derivare le (2.2.12) abbiamo applicato il risultato esposto dalla XXI-(2.5.11) secondo4cui le distribuzioni marginali di una distribuzione normale multivariata sono esse stessenormali. Si veda il paragrafo XXI-2.5. 2-5Modulo II – Minimi quadratiˆβ − β ′′′ <≤ 1 1z zσa11cioè ˆ ˆ′′ ′β − σ < β ≤ β − σ (2.2.15)a z a z1 11 1 1 11β enel caso di 1 ˆβ − β′ ′′≤ <2 2z zσa 22cioè ˆ ˆ′′ ′β − σ < β ≤ β −

σ (2.2.16)a z a z2 22 2 2 22β α=0.05. Al livello di significatività i due quantili sono enel caso di z′=−1.962(si veda la figura XXI-1.1).z′′=1.96Gli intervalli di confidenza (2.2.15) e (2.2.16) sono aleatori poiché i loro estremiα, definisce la probabilitàsono funzioni dello stimatore. Il livello di confidenza cheβche risulti al di fuori dell’intervallo, è determinato soggettivamente: se è sceltoitroppo piccolo l’intervallo risulta grande e quindi poco utile ad indicare ladispersione dello stimatore; se è troppo grande, la probabilità che l’intervalloβ βcontenga o diminuisce, e di nuovo l’informazione fornita dall’intervallo di1 2confidenza diventa scarsa.Osservazione 2.3 - Considerando quanto argomentato sopra si trae cheè la probabilità che l’intervallo di confidenza (2.2.15) contenga il1−α β

βparametro e che il (2.2.16) contenga . Ad esempio, se poniamo1 2α le (2.2.15)-(2.2.16) definiranno gli intervalli di confidenza al= 0.0595% per i due parametri del modello di regressione semplice.σStima intervallare nel modello lineare multiplo con noto2 σ 2 2Più in generale, passando al caso del modello lineare multiplo, se indica laa ii -1′β̂ 2varianza di , dove è l’elemento -esimo della diagonale principale di , sii ( )X Xai iiha che (2.2.17)∼ β σβ̂ 2 2N ( , a )i i ii β̂ èper cui la trasformazione lineare che standardizza iβ̂ − βi