Che materia stai cercando?

Econometria - le ipotesi forti sui residui

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulle ipotesi forti sui residui. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il riassunto delle ipotesi imposte al modello lineare, i residui distribuiti normalmente, gli intervalli di confidenza e la verifica di ipotesi lineari semplici per i parametri del modello con σ2... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo II – Minimi quadrati

2 LE IPOTESI FORTI SUI RESIDUI

Indice del capitolo

2.1 Un riassunto delle ipotesi imposte al modello lineare............................................... 2

2.2 Residui distribuiti normalmente................................................................................. 3

La funzione di densità congiunta dei residui....................................................... 3

La funzione di densità dello stimatore dei minimi quadrati .............................. 4

σ

Intervalli di confidenza per i parametri del modello lineare semplice con 2

noto ......................................................................................................................... 5

σ

Stima intervallare nel modello lineare multiplo con noto .............................. 6

2 σ

Verifica di ipotesi lineari per i parametri del modello con noto ..................... 7

2

Verifica di ipotesi riguardanti più parametri nel modello lineare multiplo con

σ noto .................................................................................................................... 8

2

2.3 Intervalli di confidenza e verifica di ipotesi lineari semplici per i parametri del

σ ignoto.............................................................................................................. 11

modello con 2

Stima intervallare e verifica di ipotesi nel modello lineare semplice ............... 11

Stima intervallare nel modello lineare multiplo ............................................... 13

Stima intervallare della varianza dei residui ................................................... 14

Verifica di ipotesi lineari semplici nel modello lineare multiplo ...................... 15

Un’applicazione: il test di nullità sui parametri della funzione delle

importazioni......................................................................................................... 16

Verifica di ipotesi lineari semplici per la varianza dei residui......................... 19

2.4 Verifica di ipotesi lineari multiple ............................................................................ 21

Due applicazioni della verifica di ipotesi lineari............................................... 24

Verifica della bontà di adattamento complessiva di un modello...................... 25

2.5 Formulazioni alternative dei test di ipotesi lineari multiple.................................. 28

La verifica dell’ipotesi di omogeneità nei prezzi ................................................ 28

14/04/03, 9.35 Edizione 2.2

Modulo II – Minimi quadrati

2.1 Un riassunto delle ipotesi imposte al modello lineare

È opportuno, a questo punto, riassumere le ipotesi di vario tipo sinora fatte in

relazione al modello lineare. Se questo è il semplice (1.3.1) le ipotesi sono:

α β

1) il campione è omogeneo ed i parametri e sono

invariabili nel tempo;

sono noti, cioè non aleatori;

2) i valori di x t (2.1.1)

− ≠

2

3) m x 0

xx ≠

 t s

0

~ ~ ~

= ∀

⋅ =

4) ,

E (

u ) 0 E u u t,s

( ) 

t t s σ =

2 t s

Se, viceversa, il modello lineare è quello multiplo (1.3.4), in termini matriciali le

ipotesi sono:

i) il campione è omogeneo; in altre parole i parametri

( , )

y X

β

del vettore sono considerati invariabili nel tempo;

ii) è una matrice di costanti;

X (2.1.2)

iii) det( )≠0

X X

~ ~ ~ ′

= = σ 2

,

iv) E ( u ) 0 E ( u u ) I n

Con la i) si suppone che la struttura dell’economia rimanga invariata nel

periodo campionario e che quindi sia possibile considerare valide per tutte le

= le equazioni (1.3.1) e (1.3.4). La ii) è un’ipotesi semplificatrice, che in

t 1, 2,…, n,

seguito elimineremo, che limita gli elementi stocastici del modello al residuo ed alla

variabile endogena. La iii) è necessaria per poter determinare la stima dei minimi

quadrati ordinari, sia nel caso non stocastico che in quello stocastico.

Infine, le ipotesi deboli iv) sono utilizzate per determinare alcune

caratteristiche degli stimatori: la non distorsione e l’efficienza, nonché le matrici di

dispersione e di correlazione di quelli dei minimi quadrati e la distorsione della

σ̂ 2

varianza campionaria dei residui.

Si noti che l’ipotesi (3), che abbiamo specificato nel caso semplice per simmetria

con l’ipotesi (iii) formulata nel caso multiplo, in effetti è automaticamente verificata

purché le non siano costanti.

x

t 2-2

Modulo II – Minimi quadrati

2.2 Residui distribuiti normalmente

La funzione di densità congiunta dei residui

Le ipotesi stocastiche precedenti, tuttavia, non permettono di effettuare

un’inferenza statistica completa sul modello lineare; ad esempio, non sono

sufficienti per determinare intervalli di confidenza o per fare verifiche di ipotesi.

Aggiungiamo, allora, l’ipotesi forte che i residui siano distribuiti normalmente con

media nulla e varianza costante

~ σ (2.2.1)

2

∼ ∀

u N ( 0

, ) t

t

cioè che la loro funzione di densità di probabilità sia del tipo XXI-(1.4.19)

{ }

= πσ − σ

2 1 / 2 2 2 (2.2.2)

f (

u ) ( 2 ) exp u / 2

t t

Lavorando in termini matriciali si prende in considerazione l’intero vettore

ed è quindi utile disporre della loro funzione di densità congiunta. Questa si

delle u

costruisce facilmente ricordando che per l’ultima delle (2.1.1) o delle (2.1.2) le u

t

sono incorrelate. Come è noto, se due o più variabili aleatorie distribuite in modo

normale sono incorrelate, allora esse sono anche indipendenti. Ma è altresì noto

1

che se due o più variabili sono stocasticamente indipendenti la loro densità

congiunta è uguale al prodotto delle rispettive densità marginali. La densità

2

congiunta delle si ottiene quindi moltiplicando tra di loro densità del tipo

u n

t

(2.2.2) { }

n

( ) ∑

∏ n (2.2.3)

= = πσ − σ

n

2 / 2 2 2

f u , u ,..., u f (

u ) ( 2 ) exp u / 2

n t t

1 2 =

t 1

=

t 1

e può essere espressa in termini matriciali come

{ }

= πσ − σ (2.2.4)

2 n / 2 2

u u u

f ( ) ( 2 ) exp / 2

La (2.2.4) è una funzione di densità congiunta di tipo normale multivariato con

2

σ

valor medio e matrice di dispersione la cui espressione nel caso generale è

0 I

data dalla XXI-(2.5.5), che riportiamo per comodità

 

1

n 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − −

= π − − −

Σ µ Σ µ

1

2 det exp

f x x x

 

2 2 (2.2.5)

2

  µ

dove è un vettore aleatorio con elementi, di valor medio e matrice di

x n

Σ

dispersione .

Si veda il teorema XXI-2.4.

1 Si veda il paragrafo XXI-2.2 e in particolare la XXI-(2.2.16).

2 2-3

Modulo II – Minimi quadrati

Osservazione 2.1 – La (2.2.5) si riduce al caso particolare (2.2.4) se si

considera che per le (2.1.1)-(2.1.2) le hanno media nulla (e quindi

u 2

µ Σ σ

), e inoltre sono incorrelate e omoschedastiche, per cui e

= 0 = I

2n -1 -2

σ Σ σ

quindi e . Effettuando queste sostituzioni nella

det(Σ) = = I

(2.2.5) con al posto di si ottiene la (2.2.4). In simboli la (2.2.4) viene

u x

espressa asserendo che

~ 2

∼N(0,σ (2.2.6)

I )

u n

Osservazione 2.2 - Nelle ipotesi precedenti (forti) i residui sono

Indipendenti ed Identicamente Distribuiti; queste loro qualità sono

indicate con l’acronimo IID.

La funzione di densità dello stimatore dei minimi quadrati

La (2.2.4) o (2.2.6) ci permette di ricavare immediatamente la distribuzione di

β̂

probabilità dello stimatore . Abbiamo visto nella (1.6.16) che esso può essere

~

espresso in funzione del vettore aleatorio u ~

ˆ (2.2.7)

′ ′

β β

= + 1

X X X u

( )

e quindi basterà applicare il teorema XXI-2.3 sulle trasformazioni lineari di

per ottenere

variabili normalmente distribuite 3 (2.2.8)

2 -1

β̂ ′

∼N[β,σ X X

( ) ]

La funzione di densità dello stimatore è quindi

{ }

ˆ ˆ ˆ (2.2.9)

′ ′ ′

− −

β = πσ − β − β β − β σ

2 k / 2 1 / 2 2

X X X X

f ( ) ( 2 ) ( det ) exp ( ) ( ) / 2

dove si è fatto uso del teorema XIX-1.5 applicando il quale si ricava che

−2 −2

′ ′ .

X X I X X

det(σ )=det(σ )⋅det( )

k

Sempre applicando il teorema XXI-2.3 si trova immediatamente la distribuzione

dei residui stimati . Questi, infatti, per la (1.7.3) sono una funzione lineare del

~

vettore aleatorio che per la (2.2.6) è distribuito in modo multinormale. Avremo

u

allora ~ (2.2.10)

û M

= u

da cui ricaviamo la distribuzione dei residui stimati

~ ~ ~

µ Σ µ Σ

x ~ ( , ) y = A x + b ~ ( A +b, A A’ ).

N N

Il teorema asserisce che se , allora Nel

3 ~ ~ β

x u Σ σ

caso della (2.2.7) abbiamo le posizioni seguenti: = ; b = ; A = (X′X) X′; = I,

-1 2

applicando le quali si ottiene il risultato (2.2.8). 2-4

Modulo II – Minimi quadrati

2

∼N σ (2.2.11)

(0, M)

dato che in questo caso

~ ~ ~ ~ ~ 2 2

′ ′ σ ′ σ

′ ′)

(M ) = (M M ) = M ( M = MM = M

Cov E E

u u u u u

Vedremo in seguito che, sfruttando il teorema del limite centrale, se si elimina

l’ipotesi di normalità dei residui, mantenendo le altre, la (2.2.8) continua a valere,

seppure asintoticamente. 2

σ

Intervalli di confidenza per i parametri del modello lineare semplice con noto

Se poniamo  

2

1 x

 

+ 2

= a

1

  11

− 2

n m x

 

xx

1 = 2

a

( ) 22

− 2

n m x

xx

ricordando le (1.6.9) e (1.6.8) le distribuzioni degli stimatori dei parametri di

β β

e sono

regressione 1 2 (2.2.12)

β̂ ∼ β σ β̂ ∼ β σ

2 2 2 2

( , ) ( , )

N a N a

1 11 2 22

1 2

Effettuando le trasformazioni lineari

ˆ ˆ

β − β β − β

1 1 2 2

e (2.2.13)

σ σ

a a

11 22

possiamo standardizzare gli stimatori, che così trasformati hanno distribuzione

normale standard (si veda la XXI-(1.6.4)).

4

β̂ β̂

che per allora, si può calcolare l’intervallo di confidenza più corto

Sia per 1 2 2

α σ

(simmetrico rispetto al valor medio) al livello , supponendo noto, partendo

dalla condizione ~

′ ′

≤ < = − α

P ( z z z ) 1 (2.2.14)

~ α/2

′ ′′

e sono i quantili di probabilità e rispettivamente,

dove z N z z

~ (0, 1) , 1−α/2

forniti dalle tavole della distribuzione normale standardizzata. L’intervallo è,

dunque,

Nel derivare le (2.2.12) abbiamo applicato il risultato esposto dalla XXI-(2.5.11) secondo

4

cui le distribuzioni marginali di una distribuzione normale multivariata sono esse stesse

normali. Si veda il paragrafo XXI-2.5. 2-5

Modulo II – Minimi quadrati

ˆ

β − β ′

′ <

≤ 1 1

z z

σ

a

11

cioè ˆ ˆ

′ ′

β − σ < β ≤ β − σ (2.2.15)

a z a z

1 11 1 1 11

β e

nel caso di 1 ˆ

β − β

′ ′

≤ <

2 2

z z

σ

a 22

cioè ˆ ˆ

′ ′

β − σ < β ≤ β − σ (2.2.16)

a z a z

2 22 2 2 22

β α=0.05

. Al livello di significatività i due quantili sono e

nel caso di z′=−1.96

2

(si veda la figura XXI-1.1).

z′′=1.96

Gli intervalli di confidenza (2.2.15) e (2.2.16) sono aleatori poiché i loro estremi

α, definisce la probabilità

sono funzioni dello stimatore. Il livello di confidenza che

β

che risulti al di fuori dell’intervallo, è determinato soggettivamente: se è scelto

i

troppo piccolo l’intervallo risulta grande e quindi poco utile ad indicare la

dispersione dello stimatore; se è troppo grande, la probabilità che l’intervallo

β β

contenga o diminuisce, e di nuovo l’informazione fornita dall’intervallo di

1 2

confidenza diventa scarsa.

Osservazione 2.3 - Considerando quanto argomentato sopra si trae che

è la probabilità che l’intervallo di confidenza (2.2.15) contenga il

1−α β β

parametro e che il (2.2.16) contenga . Ad esempio, se poniamo

1 2

α le (2.2.15)-(2.2.16) definiranno gli intervalli di confidenza al

= 0.05

95% per i due parametri del modello di regressione semplice.

σ

Stima intervallare nel modello lineare multiplo con noto

2 σ 2 2

Più in generale, passando al caso del modello lineare multiplo, se indica la

a ii -1

β̂ 2

varianza di , dove è l’elemento -esimo della diagonale principale di , si

i ( )

X X

a

i ii

ha che (2.2.17)

∼ β σ

β̂ 2 2

N ( , a )

i i ii β̂ è

per cui la trasformazione lineare che standardizza i

β̂ − β

i i (2.2.18)

σ ⋅ a ii

e l’intervallo di confidenza all’ diventa

(1-α)×100% 2-6

Modulo II – Minimi quadrati

ˆ ˆ (2.2.19)

′ ′

β − σ ⋅ ⋅ < β ≤ β − σ ⋅ ⋅

a z a z

i ii i i ii

Osservazione 2.4 – Riassumiamo per comodità del lettore la catena di

implicazioni che permette di pervenire alla (2.2.19) a partire dalle

ipotesi forti sui residui

~ ˆ ˆ

′ −

β̂

σ ⇒

∼ ∼ ∼

∼ β σ ⇒ β β σ ⇒ β − β σ

2 2 1 2 2 ( 0

,

1

)

N

( , )

N 0 I [ , ( ) ]

N X X N ( , a ) ( ) / a

u i i ii i i ii

2

σ

Verifica di ipotesi lineari per i parametri del modello con noto

Come è noto, esiste una dualità fra stima intervallare e verifica delle ipotesi (si

veda il capitolo XXIII-2), per cui la trasformazione (2.2.18) può essere utilizzata

β

anche come statistica per verificare l’ipotesi nulla che il parametro sia uguale ad

i

2

σ

un prefissato valore , sempre supponendo noto

r i β =

 H : r

i i

0

 (2.2.20)

β ≠

H : r

 i i

1

Nel sistema di ipotesi (2.2.20) l’ipotesi nulla viene contrapposta all’ipotesi

β ≠ .

alternativa H : r

1 i i β = nella (2.2.20) e

Per controllare l’ipotesi nulla è sufficiente sostituire r

i i

verificare se il valore trovato ˆ

β − r

= i i

z (2.2.21)

σ

a ii

è compreso nell’intervallo di accettazione di formato da oppure in quello di

H [z′,z′′)

0

rifiuto, composto dalle due semirette ≥

e

z < z′ z z′′ β −r =

In forma poco rigorosa ma espressiva si può asserire che l’ipotesi nulla è

0

i i

−r

β̂

accettata se la differenza si ritrova vicino allo zero (appartiene all’intervallo

i

i

di accettazione); è rifiutata se tale differenza è lontana dallo zero (appartiene

all’intervallo di rifiuto). La divisione per lo scarto quadratico medio serve a

β̂

standardizzare la distanza fra e il valore ipotizzato, depurandola dell’unità di

i

misura e permettendone il confronto con i quantili della normale standard.

Fra le applicazioni più frequenti di questo test vi è la verifica dell’ipotesi di

β

nullità del parametro . In questo caso l’ipotesi nulla è che il parametro sia uguale

i

a zero e l’alternativa che sia diverso da zero

β =

 H : 0

i

0

 (2.2.22)

β ≠

H : 0

 i

1 2-7

Modulo II – Minimi quadrati

Questo sistema di ipotesi, per quanto semplice, ha una notevole rilevanza ai fini

della specificazione del modello, perché se l’ipotesi nulla non viene respinta ciò

significa che l’i-esima variabile viene moltiplicata per una costante nulla, cioè,

semplicemente, scompare dal modello. In altri termini, il mancato rifiuto

dell’ipotesi nulla nella (2.2.22) implica che la i-esima variabile vada eliminata dal

modello.

5

In caso di verifica della (2.2.22) la statistica (2.2.21) diventa semplicemente

ˆ

β

= i

z (2.2.23)

σ

a ii

cioè il rapporto fra il coefficiente stimato e il suo scarto quadratico medio.

α la regione di

Ad esempio, se si conduce il test al livello di significatività = 0.05

β̂

accettazione va da –1.96 a +1.96, per cui se, poniamo, è e

= 53428.4

i

σa la statistica è pari a 0.47 e quindi cade nella regione di

= 113245.8 z

ii

accettazione dell’ipotesi formulata nel sistema (2.2.22); di conseguenza la i-

H

0 β̂

esima variabile andrà eliminata dal modello. Se, viceversa, è e

= 0.04

i

σa la statistica è pari a 40, cioè cade nella regione di rifiuto dell’ipotesi

= 0.001 z

ii

nulla e quindi la i-esima variabile contribuisce significativamente a spiegare

l’andamento della .

y t

L’esempio precedente vale a ricordare che dal punto di vista statistico non

esistono coefficienti “grandi” o “piccoli”, ma solo coefficienti “significativi” o “non

significativi”, intendendo per significativi quelli che risultano significativamente

diversi da zero nel test definito dal sistema di ipotesi (2.2.22). 2

σ

Verifica di ipotesi riguardanti più parametri nel modello lineare multiplo con

noto β̂

Abbiamo visto che siccome il vettore è normalmente distribuito secondo la (2.2.8)

le proprietà della normale multivariata assicurano che sono distribuiti in modo

Il ricercatore però non deve adattarsi passivamente all’esito del test. In alcuni casi, infatti,

5

può darsi che un parametro, per quanto stimato in modo impreciso, sia essenziale nel

determinare le proprietà complessive del modello, e quindi si può decidere di mantenerlo

nella specificazione per ragioni di ordine economico anche se esso risulta non significativo al

convenzionale livello di significatività del 5%. In altri casi possono essere motivi di ordine

statistico a imporre il mantenimento di un parametro non significativo. Ad esempio, la

presenza dell’intercetta è essenziale per garantire la proprietà (1.4.18), la quale, a sua

volta, garantisce che sia possibile scomporre la devianza come nella (1.5.2). Se questa

scomposizione non è possibile, il coefficiente di determinazione può assumere valori

negativi. Di conseguenza si suggerisce di inserire sempre un’intercetta, anche qualora essa

dovesse risultare non significativa, a meno che le variabili non siano già espresse come

scarto dalle proprie medie, come nel modello (1.5.13). 2-8

Modulo II – Minimi quadrati

β̂

normale anche tutti i come nella (2.2.17), il che permette di costruire statistiche

i

del tipo (2.2.21) per la verifica di sistemi di ipotesi come il (2.2.20).

In effetti, le proprietà della normale garantiscono che qualsiasi combinazione

β̂

lineare degli elementi di sia distribuita in modo normale. In particolare,

applicando la XXI-(2.5.8) abbiamo che dato un vettore di ordine la combinazione

k

c

′ β̂

lineare ha la seguente distribuzione

c (2.2.24)

2 -1

′ β̂ ′β, σ ′

′ )

~ N( ( )

c c c X X c

Si noti che il risultato (2.2.17) è in effetti un caso particolare della (2.2.24) nella

sia un vettore di selezione che contiene tutti elementi nulli tranne

quale il vettore c

l’i-esimo, nel qual caso ˆ

 

β 1

 

ˆ

β

  -1

′ β̂ ′β β ′

β̂ 2

2 ;

= [ 0 0 … 1 … 0 ] = ; = ( ) = a

c c c X X c

i

  i ii

M

 

ˆ

β

 

 

k

se l’unico elemento unitario del vettore è in i-esima posizione, e quindi ci si

c

riconduce alla (2.2.17).

6

La (2.2.24) può essere standardizzata nel modo seguente

ˆ

′ ′

β − β

c c ( )

~ N 0

,

1 (2.2.25)

( ) −

′ ′ 1

σ c X X c

e questo risultato può essere usato per costruire statistiche relative a test di ipotesi

su più parametri, del tipo ′

β =

 c

H r

:

0

 (2.2.26)

β ≠

c

H r

:

 1

nel qual caso la statistica si ottiene sostituendo al valore vero della combinazione

lineare quello ipotizzato dalla (2.2.26). La distribuzione della statistica sotto la

nulla è quindi ˆ

′β −

c r ( )

z = ~ N 0

,

1 (2.2.27)

( ) −

′ ′ 1

σ c X X c -1

Il lettore può verificare direttamente che è un vettore colonna di k elementi

(X′X) c

6 -1 , per cui premoltiplicando c′ si ottiene il risultato

contenente la k-esima colonna di (X′X)

esposto. 2-9

Modulo II – Minimi quadrati

Ad esempio, supponiamo di voler verificare nel modello

β β β (2.2.28)

y = x + x + x + u

t 1 1t 2 2t 3 3t t

β (analoga alla (1.11.4)). Questa ipotesi può essere espressa

l’ipotesi che sia +β = 0

1 2 ′

nella forma (2.2.26) considerando il vettore e lo scalare Se la

= [1 1 0] r = 0.

c

2 -1

σ ′

varianza del modello è pari a la matrice è così costituita

= 4, ( )

X X

 

2 1 1

 

-1

( ) =

X X 1 3 2

 

 

1 2 5

 

e i coefficienti stimati sono  

1

 

β̂ −

= 0 . 7

 

 

3

 

il numeratore della statistica è  

1

 

′ β̂ −

= [1 1 0] = 0.3

c 0 . 7

 

 

3

 

mentre il denominatore è

( ) −

′ ′ 1

σ = 2 7 = 5.29

c X X c

per cui la definita dalla (2.2.27) è pari a 0.3/5.29 = 0.05 e l’ipotesi nulla non viene

z

rifiutata dai dati. 2-10

Modulo II – Minimi quadrati

2.3 Intervalli di confidenza e verifica di ipotesi lineari

semplici per i parametri del modello con ignoto

2

σ

Stima intervallare e verifica di ipotesi nel modello lineare semplice

I procedimenti inferenziali delineati nel paragrafo precedente si basano

sull’impiego degli stimatori standardizzati (2.2.13) o (2.2.21) nel cui calcolo si

2

β σ

utilizzano i valori dei parametri veri ( e . Come abbiamo visto, in realtà

i = 1, 2)

i β ; ad esempio, nell’effettuare il test di

non è necessario conoscere i valori veri dei i

ipotesi (2.2.20) ciò che a noi interessa è la distribuzione dello stimatore sotto

β del coefficiente di regressione

l’ipotesi nulla, e quindi al posto del valore vero i 2

σ

postulato dall’ipotesi nulla. Viceversa, il valore di è

usiamo il valore r i

essenziale, perché senza di esso non possiamo effettuare la standardizzazione. Se

2

σ è sconosciuta, può essere stimata per mezzo dello stimatore non distorto (1.7.2),

ma la distribuzione degli stimatori dei parametri di regressione standardizzati non

è più normale.

In teoria della probabilità si dimostra che nel modello di regressione semplice

vale il seguente risultato distribuzionale

7

∑ 2

ˆ

u t (2.3.1)

χ 2

t ~ − 2

n

σ 2 σ il valore ottenuto tramite la radice

Se ora nella prima delle (2.2.13) sostituiamo a

quadrata dello stimatore non distorto

n

∑ 2

ˆ

u (2.3.2)

t

σ = =

1

t −

n 2

otteniamo ˆ

β − β

1 1

ˆ

β − β σ

a

1 1 11

= (2.3.3)

σ a 2

ˆ

u

11 t

t

( )

σ −

2 n 2

Questo risultato è relativamente semplice da dimostrare nel modello di regressione

7

multipla usando l’algebra matriciale (vedi oltre in questo stesso paragrafo). Viceversa, se

non si ricorre ai metodi matriciali la sua dimostrazione è inutilmente complicata e viene

quindi omessa. 2-11

Modulo II – Minimi quadrati

da cui si vede che in effetti il coefficiente di regressione “standardizzato” mediante

la stima (2.3.2) corrisponde al rapporto fra una normale standard (la prima delle

χ 2

(2.2.13)) e la radice quadrata del nella (2.3.1) diviso per i propri gradi di

− 2

n

libertà.

Si noti che le equazioni normali (1.3.13) implicano che sia

∑ ∑ ∑

ˆ ˆ (2.3.4)

= β + β =

ˆ ˆ ˆ ˆ

y u u x u 0

t t t t t

1 2

t t t

per cui le stime dei residui sono incorrelate rispetto a quelle della parte

β̂

sistematica, e in particolare, quindi, rispetto alle stime dei . Dato che sia i

i

residui stimati che gli stimatori dei coefficienti sono distribuiti normalmente, la

loro incorrelazione implica che essi siano indipendenti. Nella (2.3.3) quindi il

numeratore e il denominatore sono stocasticamente indipendenti. Applicando il

χ 2

risultato XXI-(1.6.10), secondo il quale se e sono due variabili

z~N(0,1) x~ n

aleatorie stocasticamente indipendenti, allora il rapporto fra la prima e la radice

quadrata della seconda divisa per i propri gradi di libertà si distribuisce come una t

di Student centrale con gradi di libertà, si ha quindi che

n ˆ

β − β (2.3.5)

1 1 ~ t n-2

σ a

11

e analogamente si avrà ˆ

β − β (2.3.6)

2 2 ~ t n-2

σ a 22 β̂

di e quello della (2.3.6)

Il denominatore delle (2.3.5) è l’errore standard 8 1

β̂

l’errore standard di .

2

Per verificare, allora, l’ipotesi nulla

β =

H : r

0 1 1

oppure l’altra β =

H : r

0 2 2

ˆ ˆ

β − σ ⋅ β − σ ⋅

basta verificare che oppure che siano compresi

( r ) / a ( r ) / a

1 1 11 2 2 22

′ ′

′ ′ ′

nell’intervallo , dove e sono dati dalle tavole dei quantili della

[

t , t ) t t

− − − −

n 2 n 2 n 2 n 2

di Student per gradi di libertà, e generalmente si trovano

distribuzione della t n−2

per livelli di significatività pari al 10%, 5% e 1%. Se vi sono compresi si è spinti ad

accettare le ipotesi nulle; altrimenti si è indotti ad accettare le ipotesi alternative

In lingua inglese: Standard Error, da cui l’acronimo SE.

8 2-12

Modulo II – Minimi quadrati

β ≠ β ≠

e

H : r H : r

1 1 1 1 2 2

rispettivamente.

Usando la stessa logica è possibile costruire stime intervallari come le (2.2.15),

′ ′

′ ′′ della normale standard quelli , della

utilizzando al posto dei quantili z, z t t t

− −

n 2 n 2

di Student centrale con gradi di libertà.

n-2 di Student è più schiacciata della normale, alla quale si

La distribuzione della t

avvicina progressivamente all’aumentare dei gradi di libertà. Questa convergenza è

illustrata dalla figura XXI-1.4.

Dato che le “code” della distribuzione della sono più alte, i quantili, a parità di

t

area, sono tanto più esterni rispetto a quelli della normale quanto minore il

′ ′

α =

numero di gradi di libertà. Ad esempio, per i due quantili e

0.05 t t

− −

n k n k

±2.571 ±2.086 ±1.980

valgono , e per i tre numeri dei gradi di libertà

= rispettivamente; i relativi quantili di una normale standard

n−k 5, 20, 120, ±1.960

valgono, come è noto, e quindi ai fini pratici una è praticamente

t 120

equivalente a una normale standard. Questo significa che gli intervalli di

confidenza e le regioni di accettazione definiti usando la distribuzione sono

t

maggiori di quelli costruiti usando la normale. Questo risultato ha un fondamento

2

σ

intuitivo, dato che quando il parametro è ignoto l’incertezza relativa al modello è

maggiore, e sono quindi più ampi anche i margini di incertezza nelle stime (gli

intervalli di confidenza).

Stima intervallare nel modello lineare multiplo

Gli stessi risultati si estendono al modello lineare multiplo, dove l’uso del calcolo

matriciale ci consente di provare facilmente il risultato corrispondente a quello

esposto dalla (2.3.1). -1

= − ′ ′]

Si è visto nel paragrafo 1.7 che la matrice è simmetrica,

M I X X X X

[ ( )

n

idempotente e con traccia pari ad , per cui il suo rango è per il teorema XIX-

n−k n−k

1.13 e l’applicazione del teorema XXI-2.6 e del suo corollario XXI-2.1 ci assicura che

la variabile aleatoria ′ ′

σ = σ ∼ χ

2 2 2

ˆ ˆ (2.3.7)

u u u Mu

/ / −

n k

Ora, dalla (2.2.13) segue che la variabile aleatoria

ˆ ∼

β − β σ N(0,1)

( ) / a

i i ii χ 2 definita dalla

per cui il suo rapporto alla radice quadrata della variabile n− k

(2.36), divisa per i propri gradi di libertà, 2-13


PAGINE

29

PESO

269.13 KB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulle ipotesi forti sui residui. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il riassunto delle ipotesi imposte al modello lineare, i residui distribuiti normalmente, gli intervalli di confidenza e la verifica di ipotesi lineari semplici per i parametri del modello con σ2 ignoto, la verifica di ipotesi lineari multiple, le formulazioni alternative dei test di ipotesi lineari multiple.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Econometria

Econometria - il modello lineare generale
Appunto
Econometria - il VAR di cointegrazione
Appunto
Econometria - i concetti base
Appunto
Econometria - i modelli econometrici
Appunto