Esame Econometria

(X

s +

+ -

B2 -

= )z

*

(X

+ + - OLS

SONO STIMATORI

**

M

Ba y 2

= -

B3 EtZYY

= K

yt Bu Bort Ut

+

+

= 2

r =

= con condizione

aprimo =e

, ordine

↳ min (XX) non

perché

singolare ha pieno K

ovvero

, rango =

Ipotesi "classiche"

(XX) (XIX)

K T invertibile

10 <

rango =

DIE(Ut)

IE(U) 0 At

0 distorsione

20 non

= =

o

IE)U U) omoschedasticità

3 di tra

IT correlazione

errori errori

presenta

e

=

.

.

4 X stocastica fissa in campioni ripetuti

non ,

. )

UwN(0 I

normalità degli

5 errori +

,

. B XU

B

Distorsione *

(XX

Non +

: = DIE(B ((XX DIE(B)

- XIE(U)

X(V)

*

B) (X(X)

1E IE(B)

0

- = = =

=

lE[LB-1ECBI)(B-1E(B1']

Cor(B) Ou (XIX)

EFFICIENZA : =

=

B By LXB L

+

= =

La stocastica

non IE(B)

IE(1) *

LXB è

B (X B

distorto allora

In

+ ipotesi

suppongo per

:

= =

lE[CB-B)LBn-BD]

cor(Bil IEILU Ul] LLi

o

.

= = =

+

(XX)

L +XXIn

X

D (XX)

(X DX DDX

+ DX 0

In

= + +

= =

= = =

Tonon castica

sto -

LL' DD' (XX1

+

= +

L' EDD' on(XX)

+

= = cor(i)

cor(B)

cov(Bil cor(Bil

D D

+ =

semi-definita positiva altro

sotto stimatore stimatore

de

ipotesi varianza quella

classiche di

OLS

lo ha uno

, 1

è più

alternativo lineare altro

qualsiasi stimatore

efficiente di distorto

non

ovvero

, è

La classiche

ipotesi B

sotto L

OLS E

U

GAUSS-MARKOV

TEOREMA : .

.

. .

.

Valori Osservati Y

: &

fai

-Se

vdori proprietà

La simmetria

1

: .

.

2 idempotenza

.

3 ortogonalità

-

8 = = 0 Josservati

Dy residui]

fittati

3 + +

=

RESIDUI

ERRORI US Y X

y XB y

u -

- =

=

NON Osservabili

osservabili XB)

IE(V)

IE(V) /E(y IE(u)

(E(y) XB

0 XB

XB 0

+

= = -

- -

= =

=

IE(V) lE[MOUNT ouM

MIE(oU) M

IE(u) =

IT =

= =

etetroschedastici auto correlati

omoschedastici sono

sono e

XV

E

X 0

1 ortogonali

sono

e : =

N È

② y'

y 0

ortogonali

e sono =

:

③ ha

modello dei

media

intercetta 0

campionaria residui

il

se =d =

ha

modello media

intercetta campionaria

il dei

4 dei

se tittati

media valori

campionaria

osservati

valori

=d -

j)

[ (Y

TSS

5 DT + + -

:

= dello intercetta

con

EST ESS

TSS RSS

+

= Individui/osservationi

Deterministico solo

Modello con due

modello

↳ senza errori

un

ra

6 bontà ESS 10

della

misura ,

regressione : = l l'intercetta

solo

modello con modello

riesco il

non spiegare

a Xtraccia

ZAZ

[s)

ZuN(0 A matrice

Se idempotente

simmetrica D

e ~

= (A)

6 , T

T

T . . &

=

~N(0 )

~N(0

It

,

u

Se z I

- +

=

· ,

, j XEr(

22

2 Az 2i 2

xseA I =

= = =

+ =

+ ) T

=

+

(U)() =E

U

22 = = non

IE) e

distorto

maut

non

· o

i residui

reproduce

M

XA = Xer(M)

L'AZ 2'MI

MUMMum

~

= 6 Ik

-

tr((XX)

+XX)

X)

+

tr(X(XX)

tr(M) tr(1) k

tr(P)

tr(I T

T

P) T - -

=

- -

= =

= =

- o

distorto

stimatore non per

-KI)

IE)RSS) o

=

=

REGRESSIONE PARTIZIONATA =

X-Bn

XaBe

XB

y u

u

+ + +

= =

Bn *

XiXz X9 3

XiX

Exixaße + -

, 2 = (X2X2)"X2']

& [IT-X2

& X2 idempotente

matrice

y

XzXzBz simmetrica

⑨ e

+ =

trovo B2

(XiMzXa)"XiM

↳ (XiMaX2)"X 2 May

Y simmetricamente

e

n =

,

= 6 " M2Xq

Mzy

ya Xa

e

= =

6

velture della

dei residui da di Xa X2

della regressione su

residui

regressione

1 di X2

su

y di X2

* dagli

X effetti

e Xn depurata

X2

da

spiegata

di

la parte non

y AB "Xa"ye

XiBa (XX)

ottenere U

effetti il Ba

depurati Xa dagli dei

OLS

stimiamo

X2 vettore

di parametri yo

per con +

e D

y a =

= =

X2]

qualche

Il vale

variatione

risultato

stesso per

con

, ,

[yt BrYnt

BaXzt Ut

Ba

Ipotesi T

t 1

TEST +

+...

+ +

= = .....

Ho Bs

By Ha 0

0 us : +

: = & " (XX)-XU

- + XU

XXB

(XX)

Xy (XX)

B

B (XX1 B errori]

AU degli

Inormalita

+ +

= +

=

=

= DB

B o (XX(ii)

(XX)")

N(B N(Bs

,

~ ~

= ,

Bs " 4)

N(0 ,

Vi i

(XXI

i X

RSS

Laco ~

stimare

devo con

B B Ho T

~

= + *

-

(XX() (XX(

Mo XaBa X Bz

B

X U

u

y + +

: +

= =

=

· Lamodello unrestricted

Ho Mm XaB

Bz 0 e

= y +

: :

= =

↳ modello restricted

trovo statistica TEST F

test : (W-u)'z u)vx3

+

[) (W

We N(u allora

so -

, BXiMaXalB

"(B2-B2)wX:

(B2 X

Bal'[O (X2'MaXa)"] Ho

sotto ~

- Di

& (XiMaXz) Xo

RSSu-RSSm RSsu-Rssu ~

= a Tr

Xe

Via Walrea RSSr-RSSMG

Erara quindi FG

Wan allora

Wan

Se e

e ~ T-k

,

RSSu/T

W2/iuz K

-

qualsiasi eineari

tipo restrizione purché

1

. valida di

espressione per Ru-R/6

R2 Fot

può

Lo fin di

restrizioni termini

esprimere

se omogenee si

, Ru)/T

(1 K

-

-

.

3 F

test SCOPES

Zero +

Ba +

BrXet Ut

Mo T

1

y+ +

: = = . . . . ,

Bz omogenee]

[k-1 restrizioni

Ho Bx 0

: =

=

=... (R

Mr = 0)

Ut

Ba

y

: + =

=

+

RE/k-1 Fr-

f-test : ~ -

T

,

(1-R) K

T -

Ma :

Modello X282

ausiliare Xnk n

+

+

: = = RSA SSARS

TRAwX RA

test dove 1

asintotico =

: -

· ERRATA MEGRESSIONE

SPECIFICAZIONE CLASSICO

DEL LINEARE

DI

MODELLO rilevantel]

ESCLUSIONE (var

[effetti X2

ESPLICATIVE dell'esclusione di esplicativa

VARIABILI

DI OLS

su

Mc XzB2

* Ms U

XBn

u y

y +

:

: + =

= "Xn'U

Bi (XyXa)" XXzB

los (XX1)

Ba +

+

=

Bat

IE(B) XXzB

= labias XiXc 0

Bz

distorto

Ba 0

se

non a

d =

= =

Cov(Ba) or -

X)

(Xi

Ms : = *

X)

BnlXz (Bi(X2) .

(X

(XXil"Xa"y"

(XiMzXa)"XMay

Mc o

cor

: =

D

=

= =

P)Xz

Xy(Mz

XiXn X X

=

Xil An

Xa + =

=

= + BB X

DMXa"-

A definita

= positiva se

+ =

(BilX2)-Var(B)

se B Var(Bilxz) var(B)

Var

scalare 0

= =

D =

=

di irrilevante)]

VARIABILE (variabile

ESPLICATIVE dell'inclusione

RILEVANTI

INCLUSIONE Xc esplicativa

[effetti OLS

NON di

su

XBn

X Bn Ms XzBz

Mc U u

+

y y

+

: :

= +

=

BalXz "XiMzU

(XnMzXa)"XiMc (XcBa alE[BIX2]

(XsMzXi)

U) Ba Ba

+ +

= =

=

B2 (X2MaXz)"X2 Ma(XaBa r) "X2'MaU alE(B2l

( X2'MaXz) O

+ =

= =

Cor(Bn(X2)-Cov(Bz) aVar(Bn(X2) (Bal (Mc)

-Var

Dspp10 (Ms)

k -G 1

in caso

: =

=

minimi RISTRETTI

QUADRATI RLS

VINCOLATI VE

It

U'U

S(

XB ristretto

U min

non

+

y =

=

= - B 1 TT .

. n restrizioni

=

restrizioni 16

a

- moltiplicatori

dei di

vettore Lagrange

U'U-QRB-r)

funzione L

di Lagrange = ((5))

Foc 0

. =

B

() 0

=

2X

B X)[m y

= 1)

Bras (R

XY A

+ m -

, ,

(Bris) X)[r]

B

IE A(r B RIS distorto

+

+ r D

= =

,

, La è distorto

non

o

se =

VARIABILE DUMMY lav

1 i-esimo iscritto al sindacato

se

{

B2Xzi

Ba Vi Do

variabile numme

wi +

+ =

;

= O altrimenti

+

Ba Vi

Di

BaXzi

Yi

additivo

modello + +

: = l l'intercetta

è marginale

effetto rafforza

Non ,

Bit

generale/misto BaXzitit V

Ba

modello yi +

: = iterazione interpretazione

di

tra e

Dummy intercetta [Bz

e "slope"

effetto

By

+ :

[B3 Ba effetto intercetta

+ BuXiDi

B2Xi By Di

Ba Vi

yi + + + +

=

BriziBa Mo Xi

Ba

stimare Vi

Xa

yi X2

+ +

:

: =

. Ma Vi

Xi

U U2

yi

: + +

= B

=

B =

Ba Baxi

Di Vi

0 yi

D +

+ :

= =

= Be

Ba)Xi

(Bc Bz) (Bz

Di 1 vi

+

0 yi +

+ +

= =

= = RSSo

RSSmisto RSSs

COROLLArio +

: =

STABILITÀ

Di

TEST DEL TEST

PARAMETRI di CHOW

:

BrXt

Bn B2Xtz

Mo Ut t To

1

yt con

: + +

+... + =

= ....,

UnXtx t

2X

Ma U

( + T

1

To

yt +

+ con +

: +

. . .

+2 =

= ..., (Krestrizioni)]

Ho Bz Istabilità

Bn Uz

Un Br Un parametri

dei

: = = =

...,

,

, BrX

B2X

Mr Ba (2DtX GxDtX

daDt cont

V 1

yt T

+... + k +

+ +

+ +

: + +... +

z + + r

= +

2 = ....,

G3

( dx 0

imponendo Ho : = =

=... =

Ba BrX

Mr B2X Ut cont

yt 2 T

+

: +

+ +... +

= =

x

z + ....,

[RSr-RSSu] K Fk