Econometria

Ystargomento più formale è che OAC e OBD sono triangoli simili e, di conseguenza, = .$ $Dunque, facendo una trasformazione lineare da x per ottenere z, sottraendo una costante generica, ilX! stàcoefficiente angolare rimane inalterato (cioè uguale ad ) questa un'ulteriore dimostrazione di quanto detto precedentemente. (Domanda V/F esame!)#̅Quando la costante c è scelta tale pari a , il vettore z è dettoT. stcentrato, ed è ortogonale a In questo caso, la stima di è lo$Tstessa sia che venga ottenuta regredendo y su e z, sia che vengaottenuta regredendo y solo su z. Questo è come dire che in talTcaso si potrebbe non considerare il regressore e ottenere loTstesso risultato nella stima che si ha considerando il regressorenel modello. Dunque, quando i regressori sono ortogonali, ci sipuò 'dimenticare' del regressore ortogonale, perché ilcoefficiente che si ottiene per il regressore

inserito nellaregressione è esattamente uguale a quello che si sarebbe ottenutose fosse stato inserito anche l'altro regressore. T.Questo è illustrato nella Figura 3.13, che mostra come sarebbe la Figura 3.12 se z fosse ortogonale a Ancoradl st T + st w, T.una volta, il vettore dei fitted values è scomposto come con z ora ad angolo retto rispetto a# $51 TNella Figura 3.12, z spostava la x ma non faceva diventare i vettori e z ortogonali, perché l'angolo che formatodai due vettori non è a 90°. Nella Figura 3.13, invece, z è stato scelto in modo tale da essere esattamenteT,ortogonale a infatti i due vettori formano un angolo a 90° tra loro.Considerando la Figura 3.13 e immaginando che in alto ci sia il vettore y di valori osservati sulla variabileTdipendente, si può affermare che andare a regredire y su e z oppure regredire y soltanto su z fa ottenere esattamente lo stesso coefficiente angolare nel processo di

stima.

Apparentemente questo è un po' assurdo, perché si pensa che aggiungendo uno o più regressori, tutto il resto dovrebbe cambiare; tuttavia, questo è vero solo se i due regressori non sono ortogonali (perpendicolari) l'uno all'altro, ma se i regressori sono l'uno ortogonale all'altro, fare una regressione soltanto su un regressore o su due regressori è esattamente la stessa cosa in termini di coefficiente ottenuto.

In sintesi, quando i regressori sono ortogonali è possibile omettere uno dei due regressori, perché il coefficiente che si ottiene nella stima non cambia.

Vediamo il perché di ciò da un punto di vista economico-finanziario. Combinare dei regressori che non sono ortogonali tra di loro, vuol dire che è possibile moltiplicarli tra loro e ottenere un punto particolare. Tuttavia, se i regressori sono ortogonali uno all'altro, vuol dire che i punti che si ottengono moltiplicando

Tali regressori tra loro sono pari a 0; quindi, questo non influenza il coefficiente che si va a stimare, perché i regressori sono posizionati in modo tale che sia impossibile combinarli l'uno con l'altro.

Supponiamo ora che y sia regredito solo su z. Immaginiamo che il vettore y stia sempre in alto, ma anziché proiettare tale vettore sul piano lo proiettiamo solo su z. Per cui, si va a disegnare una perpendicolare che da y va a z, che ricalca la perpendicolare che si aveva prima, cioè quella tratteggiata in figura, e quindi si arriva esattamente su , che è uguale a quello ottenuto prima.

Questo significa che y è proiettato ortogonalmente sul sottospazio S(z), che in figura è la linea verticale passante per z. Per definizione, si ha che:

k^Tdove è ortogonale sia al vettore che al vettore z.

TMa è anche ortogonale a z, e quindi il solo termine sul lato destro della 3.32 che non è annichilito.

(annullato)dalla proiezione sul sottospazio S(z) è il termine centrale, che viene lasciato immutato.st w,

Quindi il fitted value della regressione di y su z è solo e così la stima OLS è la stessa che si ottiene$st Tstimando nella regressione su e z.

Geometricamente, otteniamo questo risultato perché la proiezione di y sul sottospazio S(z) è la stessadlproiezione di su S(z). T,Il fatto che i residui OLS siano ortogonali a tutti i regressori, incluso porta all'importante risultato che: senel modello di regressione è presente la costante, la somma dei residui della regressione è sempre pari azero. (Domanda esame!)Infatti,si ricordi l'equazione 2.29.Una conseguenza di ciò è che: la somma dei residui della regressione è pari a zero anche in ogniT ∈ T,regressione in cui S(X), anche se cioè la costante, non compare esplicitamente nell'elenco dei regressori.Questo può accadere se i

regressori includono delle dummy variables (variabili indicatrici che assumono valore 0 oppure 1), che sono disposte in modo tale da riformare nuovamente, tramite una loro combinazione lineare, un vettore di 1. In questo caso, è come se implicitamente dentro al modello ci fosse la costante, anche se non appare come coefficiente stimato ma sottoforma di differenti dummy variables, e quindi la somma dei residui sarebbe nuovamente uguale a zero.

Ricapitolando: stiamo vedendo cosa accade nel caso in cui i regressori sono ortogonali tra loro. Quando si applica il metodo dei minimi quadrati nella circostanza particolare in cui vi sono due regressori ortogonali, regredire la y su entrambi i regressori oppure regredire la y su un solo regressore, fornisce esattamente lo stesso valore.

Due Gruppi di Regressori

I risultati forniti nel precedente paragrafo sono casi speciali di risultati più generali che si applicano a qualsiasi regressione in cui i regressori possono essere logicamente

suddivisi in due gruppi.

Immaginiamo di avere una regressione in cui si hanno due sets di regressori V e V, cioè una regressione in cui la X generica viene suddivisa in due:

dove V è una matrice di dimensioni n×k, quindi ha lo stesso numero di righe della matrice X (n) ma meno 1 colonne (k-1), V è una matrice di dimensioni n×k, quindi ha lo stesso numero di righe della matrice X (n) ma meno colonne (k-1), e X può essere scritta come la matrice partizionata [V₁ V₂], con k = k₁ + k₂.

Il caso precedente è un caso particolare di questo caso, perché avevamo che V aveva una sola colonna, cioè il vettore z (o x). Quindi, stiamo semplicemente generalizzando il precedente risultato.

Assumiamo che tutti i regressori presenti in V siano ortogonali a tutti i regressori presenti in V, quindi che X^TX = [V₁ V₂]'^T[V₁ V₂] = [V₁'V₁ V₁'V₂; V₂'V₁ V₂'V₂].

di 0). Sotto questa ipotesi, la stima di dalla 3.33 è la stessa della" ! !stima ottenuta dalla regressione di y solo su X , cioè dalla regressione:1X!e la stima di è parimenti la stessa della stima ottenuta dalla regressione di y solo su X , cioè dalla" 2regressione: X!y = X + u ."2 2 X!In altre parole, quando X e X sono ortogonali tra loro, la regressione di y su X e X fornisce un che è lo!1 2 1 2X!stesso che si ottiene regredendo semplicemente y solo su X , e, allo stesso modo, la regressione di y su X! 1 1X X! !e X fornisce un che è lo stesso che si ottiene regredendo semplicemente y solo su X . Questo perché," "2 2essendo X e X ortogonali tra loro, è possibile spezzare la regressione e farla solo su un regressore, anziché1 2su entrambi.Dunque, quando X e X sono ortogonali, possiamo eliminare un set di regressori dalla 3.33 senza influenzare1 2il coefficiente dell’altro set di

regressori.Il vettore dei fitted values della 3.33 è P y, mentre quello della 3.34 è P y, dove abbiamo usato la notazioneX₁abbreviata:Come vediamo direttamente, se si proietta la matrice di proiezione definita su X, cioè P , solo su X , cioè P P ,X₁ Xsi ottiene solo P , perché si proietta su un insieme più piccolo; quindi, P P , dove P comprende al suo interno1 1 X XX , fornisce P :1 1questo è vero indipendentemente dal fatto che X e X siano ortogonali. Quindi:1 2La prima uguaglianza sopra, che segue dalla 3.35, esprime che la proiezione di y su S(X ) è uguale alla1dl ≡proiezione di P y su S(X ). La seconda uguaglianza segue dalla definizione del vettore del fitted valueX₁della 3.33 come P y; la terza dall’ortogonalità di X e X , che implica che P X = O; e l’ultima dal fatto cheX₁ 2 1 2X è invariante sotto l’azione di P . Poiché P y è uguale a X postmoltiplicato per le

Stime OLS della 3.34,1 1 1 1 X!l’uguaglianza delle espressioni più a sinistra e più a destra nella 3.36 ci dà il risultato che lo stesso può!X!essere ottenuto sia dalla 3.33 che dalla 3.34. L’analogo risultato per si dimostra nello stesso modo."53Abbandoniamo ora l’ipotesi che X e X siano ortogonali e dimostriamo la 3.35, un risultato molto utile che è1 2vero in generale. Per sostenere che P P = P , procediamo come segue:X 1 1L’uguaglianza di mezzo si ottiene notando che P X = X , perché tutte le colonne di X sono in S(X), e quindiX 1 1 1sono lasciate invariate da P . L’altra uguaglianza nella 3.35, cioè P P = P , si ottiene direttamente trasponendoX 1 X 1P P = P e utilizzando la simmetria di P e P . I due risultati nella 3.35 ci dicono che il prodotto di dueX 1 1 X 1proiezioni ortogonali, dove una proietta su un sottospazio dell'immagine dell'altra, è la proiezione su