Econometria - teoria

N K

 =

2) ( )

E ε 0 N

 σ

=

' 2

 3) ( ) ,

E I

εε N



 4) matrice non stocastica

X

 <

 K N

X =

5) ( )

r

Ne discende = +

y X β ε

( , )

N K ( ,1)

N

( ,1) ( ,1)

N K ( )

COMPONENTE VARIABILE

( )

COMPONENTE FISSA

La componente prende il nome di del

componente sistematica

Xβ

modello. L’errore è la componente stocastica

( ) =

E y Xβ σ

= 2

( )= ( ')

V E

y εε I

1

Problemi di stima

Nel modello classico gli elementi incogniti sono:

σ 2

il vettore lo scalare

β,

e

il vettore degli errori .

ε

Con riferimento allo stimatore di β

β̂

ˆ =

β C y

( , )

K N

( ,1) ( ,1)

K N var( ' )

min a Cy

ˆ

min var( ' )

a β C

ˆ

β ,

sotto il vincolo a

, ,

sotto il vincolo a → si

vettore di pe non stocastico

si

vettore di pe non stocastico =

( )

E Cy β

ˆ =

( )

E β β

Lo stimatore efficiente è −

ˆ = = 1

( )

β Cy X'X X'y

e la sua matrice di varianze/covarianze è

σ −

ˆ = 2 1

( ) ( )

V β X'X

2

La stima dei parametri con il metodo dei minimi quadrati

Lo stimatore efficiente di coincide con lo stimatore ottenibile

β

applicando il metodo dei minimi quadrati

La ratio del metodo dei minimi quadrati è di tipo geometrico.

Rappresentiamo il modello

β β β ε ε

= + + + = +

' (1)

...

y x x x x β , t=1,2…N

1 1 2 2

t t t K Kt t t

t

(1,1)

nel piano. Si osservi che la componente sistematica del modello

' assume un valore specifico per ogni valore di t.

x β

t

y °

t

'

x β x

t

ε t 1 2 3 ……………………….N t

I valori campionari dell’endogena (pallini blu) sono stati riportati

'

nel grafico insieme ai valori della parte sistematica (stelle) e

x β

t

dell’errore (frecce). L’errore rappresenta una misura dello

3

scostamento della parte sistematica dai valori osservati per

l’endogena ε = − '

y x β , t=1,2…N

t t t

La parte sistematica è la parte rilevante del modello e dipende dal

vettore incognito Un criterio per la stima di potrebbe essere

β β

.

quello che lo determina in modo da far sì che la parte sistematica

del modello (stelle) colga la meglio i valori campionari

dell’endogena (pallini), ovvero in modo da ridurre al minimo i

valori degli errori (frecce).

Si tratta quindi di determinare quello stimatore di che fa sì che

β̂ β

ˆ

'

i valori della parte sistematica riproducano al meglio i valori

x β

t

campionari della endogena, cioè in modo che minimizzino le N

quantità ˆ

= − '

e y x β , t=1,2…N

t t t che

dette residui o scarti. Abbiamo residui,

N ,

e e e

,…. ,

= = =

1 2

t t t N

possono essere intesi come elementi di un vettore e

4

   

ˆ

− ' '

y x β x

   

e y

=

1

t = =

=

 

1 1

 

t t

1 1

t

    ˆ ˆ

= = = − = −

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

   

e β y Xβ

   

   

    '

ˆ

−

e y

' x

   

y x β  

  =

N t N

= =

t N

t N =

t N

Quello che si vuole è cercare quel valore di che renda prossimo

β̂ β

a zero ogni singolo residuo, cioè che renda il vettore prossimo al

e

vettore nullo  

0

 

≈ =

⋮

e 0

 

( ,1) ( ,1)

N N

 

0

 

o in altre parole che minimizzi la distanza del vettore dal vettore

e

nullo min ( , )

d e 0

ˆ ( ,1) ( ,1)

N N

β

Assumendo come distanza quella euclidea

1/2

 

N

∑

= = 2

( , )

d e

e 0 e  

t

 

( ,1) ( ,1) ( ,1)

N N N =

1

t

o, più semplicemente

N

∑ ˆ ˆ

= − −

2 ' ( )'( )

e e e y Xβ y Xβ

=

t

=

1

t

Si ricordi 5  

e =

1

t

N  

∑ [ ]

= =

2 ⋯ ⋮

, '

e e e e e

 

= =

1

t t t N

=

1

t  

e

 

=

t N

Il problema di minimo si può riformulare come

N

∑ ˆ

ˆ ˆ = −

= = − −

2

min ' min min( )'( )

e e y Xβ

e e y Xβ y Xβ ,

t ( )

ˆ ˆ ˆ ,1

N

β β β

=

1

t

Lo stimatore così ottenuto è quello dei minimi quadrati (OLS),

perché minimizza la somma dei quadrati degli residui o scarti.

ε

La stima degli errori

Alla luce della specificazione degli errori si desume che i residui si

ε e

configurano quali stimatori naturali, in formule

= −

ε y Xβ

↓

ˆ

= − = − ˆ

e y Xβ y y

Si dimostra che è lo stimatore lineare efficiente in senso

e

ε

generalizzato di .

Per capire cosa ciò significhi, bisogna ricordare che quando si stima una v.c,

ε , la nozione di correttezza e di efficienza che si applica ai

come l’errore t

parametri non va più bene. Infatti non ha senso chiedersi se uno stimatore

ε

e di è corretto, cioè se

t t ε

=

( )

E e

t t

.

PARAMETRO V CASUALE

6

La proprietà di correttezza si riformula come

ε

− =

( ) 0

E e (*)

t t

ε

−

e

dove è una v.c i cui valori sono gli errori di stima che si commettono

t t ε e e

quando si stima attraverso lo stimatore . Lo stimatore che soddisfa

t t t

la proprietà (*) si dice corretto in senso generalizzato.

e è anche efficiente in senso generalizzato perchè, nella classe

Lo stimatore t

degli stimatori corretti in senso generalizzato, è quello a varianza minima,

cioè se soddisfa il problema di ottimo ε

−

min var( )

e

t t

e

t

sotto il vincolo

ε

− =

( ) 0

E e

t t

Nel caso multivariato, cioè quando l’oggetto di stima è un vettore

di v.c ed il vettore degli stimatori efficiente in senso

e

ℇ

generalizzato ξ

 − ∀ ∈ N

min ( '( ))

var per

a e ε a

 e

 sotto il vincolo

 − =

( )

E quale che sia

 ε 0 ε

e N

Si dimostra che il vettore dei residui e è lo stimatore efficiente

in senso generalizzato degli errori.

7

Analisi dei residui

Il vettore dei residui è esprimibile sia in termini del vettore che

e y

in termini del vettore . Inoltre i residui, pur essendo non sistematici

ε

– come gli errori che stimano- non godono della proprietà di

sfericità. In formule − −

= − = − = − =

1 1

( ) [ ( ) ]

e y Xβ y X X'X X'y I X X'X X' y My

N

− = = =

2

= [ ( ) ] ' ,

I X X'X X' M M MX 0

M N simmetrica idempotente ortogonalità

con i regressori

(M)= (M)= -

r tr N K

Si dimostra che

= = =

( ) ( ) ( )

E E E

e Mε M ε 0 N

σ σ σ σ

= = = = =

2 2 2 2 2

( ) ( ' ) ( ) ( ) ( )

E E E E E

ee' Mεε M M IM M M M

I residui sono dunque non sistematici come gli errori che stimano,

ma, a differenza di quest’ultimi non sono sferici.

I residui sono inoltre ortogonali ai regressori

= =

e'X ε'MX 0

anche ai singoli regressori [ ]

= = = =

⋯ ⋯ ⋯

[ , ] [ ' , ' ] 0, , 0

x x x x

e'X e' e e 0

1 1

K K

(1, )

N ( ,1) ( ,1) (1,1) ( ,1)

N N N

8 = è ortogonale

In particolare, il vettore stimato delle endogene ˆ

y Xb

ai residui N

∑

ε β

ˆ

= = → = =

ˆ ˆ

' 0 0

ˆ

e y

e'y MX e'y t t

=

1

t

σ

2

La stima di σ

2

Lo stimatore ottimale di è dato da

1

=

2

s e'e

−

N K

La determinazione di tale stimatore parte dalla considerazione che,

( )

ε' ε

se gli errori fossero noti, si qualificherebbe quale stimatore

N

σ

2

corretto di N N N ( )

E ε'ε

∑ ∑ ∑

ε ε σ σ σ

= = = = → =

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

E E E N

ε'ε t t N

= = =

1 1 1

t t t

Sostituendo i residui agli errori si ottiene uno stimatore distorto di

σ

2 ( )

E e'e σ

≠ 2

N

Si dimostra infatti che

( )

E e'e = σ 2

−

( )

N K 9 2

Il coefficiente di determinazione R

β β β ε ε

= + + + = +

' (1)

y x x x

... x β , t=1,2…N

t 1 1

t 2 2 t K Kt t t

t

(1,1)

= ˆ

'

ˆ

y x β

t t

Stima

parte sistematica β

ˆ

= + = − '

y y

ˆ e e y x

, t t t t

t t t

Stima Stima rratica

parte sistematica parte e

{ } { }

ˆ

y approssimano y ?

Quanto bene i valori t t

= =

t 1,... N t 1,... N

Un indicatore che ci fornisce una misura di quanto il modello sia in

grado di descrivere adeguatamente i dati osservati è il coefficiente

di determinazione ˆ

dev ( ) dev ( )

y e

2 = −