Econometria - le equazioni alle differenze

La dinamica del prezzo di equilibrio di mercato

Figura 22 – La dinamica del prezzo di equilibrio di mercato. Il grafico di sinistra rappresenta le curve di domanda e di offerta insieme alla "ragnatela" determinata dalle successive revisioni dei piani di produzione. Il grafico di destra rappresenta il conseguente aggiustamento del prezzo verso la posizione di equilibrio dinamico.

Modulo V – Modelli dinamici

Il teorema della ragnatela con attese adattive

Riprendiamo il modello (1.5.4) considerando un modello generatore delle attese di tipo adattivo analogo a quello definito dalla (I-2.6.1) e dalla (I-2.6.7), che modifichiamo in due modi: riferendolo al livello dei prezzi, anziché al tasso di inflazione, e ipotizzando che i produttori formino le proprie attese di prezzo all'inizio del periodo. Questa seconda ipotesi, che appare realistica nel caso del comportamento del produttore, comporta che le attese vengano riviste sulla base del valore.

effettivo disponibile a inizio periodo, che è quello riferito al tempo, non di , per cui lo schema precedente. La revisione avviene cioè sulla base di p pt t-1diventa: ( )( )− = − λ − (1.5.4)e e ep p 1 p p− −1 1 1t t t t λ=0(si veda Johnston [1984], pag. 348). Si noti che per (nessun adattamento) la(1.5.4) fornisce il meccanismo generatore delle attese statiche. Risolvendo la (1.5.4)con l’uso dell’operatore ritardo otteniamo:− λ1= (1.5.5)ep p −− λ 1t t1 L(i passaggi sono analoghi a quelli svolti nel par. I-2.6).Il modello diventa quindi: = α + βdq p t t − λ1= γ + δs q p −1− λ t t1 Le applicando la condizione di equilibrio ricaviamo:− λ1α + β = γ + δp p −− λ 1t t1 Lovvero:Nota per Francesco: devo ultimare questo paragrafo. Le condizioni di stabilità

dipendono anche dalla velocità di revisione delle attese.

Modulo V – Equazioni alle differenze

1.6 L’equazione non omogenea con termine noto a+bxt

Condizioni di esistenza della soluzione

Un caso di estremo interesse nelle applicazione econometriche si ha quando il

dell’equazione (1.4.1) è funzione lineare di una successione nota :termine noto f(t) xt. Adottando la notazione nell’operatore L abbiamo:

f(t) = a + bxt ϕL (1.6.1)

( 1- ) y = a + bxt tϕ<1

Nell’ipotesi che sia la (1.6.1) può essere risolta col metodo dell’inversione

del polinomio caratteristico. Si ottiene:

a b t+y = x + Aϕt t− ϕ − ϕ1 1 L

Ovvero, esplicitando la somma:

a ∑ ∞ ϕ tj (1.6.2)

y = b x + Aϕ+ −t − ϕ = t jj 01

Il secondo addendo del membro di destra della (1.6.2) è una serie. Il sentiero della

è definito solo se questa serie converge. Le condizioni per la convergenza possonoytessere studiate sotto varie ipotesi.

Un’ipotesi semplificatrice spesso adottata è che x segua un sentiero costante. In questo caso l’ipotesi ϕ < 1 assicura che la serie converga, dato che: b x ∑ ∞ ϕ^j (1.6.3) b x = <∞− ϕ^j 0 1 non sia costante e abbia termini.

Nell’ipotesi più generale che la successione x sia tutti positivi (un’ipotesi realistica per molte variabili economiche), possiamo applicare la seguente condizione sufficiente per la convergenza (Piskunov [1974], vol. II, par. 4.3): ∑ ∑∞ ∞, , se prima serie è dominata.

Teorema: date due serie u e v = 0 = 0 j j ≤ v, e la seconda serie converge, allora anche la prima converge. sia limitata, cioè che esista una tale.

Nel nostro caso basta che la successione x > ϕ^j per ogni t, nel qual caso è anche > e il secondo addendo del che x x x t t membro di destra della (1.6.2) converge perché è.

dominato dalla serie convergente |ϕ|<1 .(1.6.3). Si noti che questo risultato riposa sull'ipotesiTorneremo su questa ipotesi quando studieremo la dinamica comparata del modello (1.6.1)7nel capitolo 2 di questo modulo. 1-32Modulo V – Equazioni alle differenzeIl sentiero di equilibrio mobileCome in precedenza è possibile verificare che:

a) la (1.6.2) risolve la (1.6.1) (la verifica – per sostituzione diretta – è lasciatacome esercizio al lettore) ϕL -1

b) la (1.6.2) consta di due addendi dei quali il primo, pari a ( 1- ) ( a + bx ),tè una soluzione particolare corrispondente al sentiero di equilibrio, mentre ilt , esprime gli scostamenti della dal sentiero di equilibrio.

secondo, Aϕ ytPiù precisamente, il sentiero di equilibrio è:

a ∑ ∞ ϕ j+y = b x -p,t - ϕ = t jj 01Va da sé che nel caso della (1.6.2) abbiamo a che fare con un equilibrio mobile,:cioè con un sentiero che evolve nel tempo

in funzione della successione nota xta ∑ ∞ ϕ= jy b x+t −− ϕ = t jj 01  a ∑ ∞ϕ + ϕ + +ϕ= = j y y + a + bx b x a bx =t+1 t − +t − ϕ = 1t j t 0j1ϕa a∑ ∑ ∞∞ ++ + ϕ ϕ=1 jj= a b x + bx b x+ + −− t+1− ϕ − ϕ == t 1 jt j0 j 0j1 1a ∑ ∞ ϕ= jy b x+t+2 + −− ϕ = t 2 jj 01… ϕ<1 già esaminata neiLa condizione di stabilità dinamica dell’equilibrio è laparagrafi precedenti. ϕ<1 è richiestaOsservazione 1.10 – Si noti che ora la condizioneanche perché sia ben definito il sentiero di equilibrio dinamico. 1-33Modulo V – Equazioni alle differenze1.7 ApplicazioniLa dinamica dell’iperinflazione con attese staticheCagan [1956] ha studiato la relazione fra offerta di moneta e dinamicainflazionistica con l’obiettivo di accertare in quali condizioni un incrementodell’offerta di

moneta innesca una spirale inflazionistica. Il punto di partenza della sua analisi è una versione semplificata della funzione di domanda di moneta: α α<0 (1.7.1)em – p = ( p - p )+t t t1t

Nella (1.7.1) tutte le variabili sono logaritmizzate. L'equazione asserisce che il logaritmo dei saldi monetari reali dipende inversamente dall'inflazione attesa= (l'inflazione attesa al tempo , definita come differenza fra il logaritmo e ep p - p t+ t1t t , , e il logaritmo dei prezzi misurati dei prezzi attesi alla fine del periodo et p +1t, ). Dato che le variabili sono espresse in logaritmi, ilall'inizio del periodo t p tαcoefficiente è una elasticità.

Il modello considera fra le esplicative le sole attese di inflazione nell'ipotesi che in periodi di iperinflazione la decisione di detenere saldi monetari reali sia influenzata principalmente dal costo opportunità rappresentato dal tasso di inflazione atteso.

Come

è noto (cfr. il par. I-2.6) le variabili attese non sono osservabili. Per esprimere la (1.7.1) in termini di variabili osservabili postuliamo un semplice modello generatore delle attese, quello di attese statiche, che nel caso di nostro interesse è =& &ep p −t 1tovvero: (1.7.2)ep - p = p – p+ t t t-11tLa (1.7.2) stabilisce che gli agenti economici si aspettano che il livello dell’inflazione corrente sarà uguale a quello del periodo precedente. In funzione dello stock di moneta in Per studiare l’andamento dei prezzi p tsostituiamo la (1.7.2) nella (1.7.1): termini nominali mt αm – p = (p – p )t t t t-1αp( 1+α ) p - = mt t-1 tαL][( 1+α ) - p = mt t 1-34Modulo V – Equazioni alle differenzePer procedere come nel paragrafo precedente dobbiamo normalizzare l’equazione dividendola per il coefficiente di grado zero del polinomio caratteristico, cioè per, ottenendo:1+α α 

1− =  (1.7.3)1 L p m+ α + αt t 1 1

La (1.7.3) è analoga alla (1.6.1) dove si ponga:
y = pt t
x = mt tα
ϕ = + α1
a = 0 1
b = + α1 α α<0<

La condizione di stabilità diventa quindi . Dato che , questa1+ α1(cioè per valori dell’elasticità dellacondizione risulta soddisfatta per 0≥α>-0.5domanda di moneta all’inflazione attesa inferiori al 50%). In questo caso potremoinvertire il polinomio caratteristico ottenendo la soluzione:
1 α t + α1 +  p = m Aαt + αt  1−1 L+ α1

ovvero: α αj t∞    1 ∑ (1.7.4)+   p = m p−t + α + α + α0t j   1 1 1=j 0

dove è una condizione iniziale sul sentiero dei prezzi. Il sentiero di equilibriop 0dinamico di prezzi è quindi: α j∞  1 ∑  p = m −t + α + α t j 