Econometria - le equazioni alle differenze

Modulo V – Equazioni alle differenze

1. LE EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE DEL

PRIMO ORDINE

1.1 L’equazione omogenea ................................................................................................. 2

Definizione ............................................................................................................. 2

L’analisi di un sistema dinamico ......................................................................... 3

Il sentiero di equilibrio dinamico ......................................................................... 4

La stabilità dinamica dell’equilibrio.................................................................... 4

Soluzione generale e particolare dell’omogenea ................................................... 5

Sentieri dinamici stabili e instabili...................................................................... 6

1.2 Procedimento di soluzione alternativo........................................................................ 9

L’equazione caratteristica e la soluzione generale dell’omogenea ....................... 9

Condizione iniziale e soluzione particolare........................................................ 10

Condizione di stabilità in termini di radici caratteristiche .............................. 11

1.3 Il procedimento di soluzione basato sull’operatore ritardo L.................................. 12

L’operatore ritardo L ........................................................................................... 12

Il polinomio caratteristico dell’equazione alle differenze .................................. 12

Equazione caratteristica e condizione di stabilità ............................................. 14

1.4 L’equazione non omogenea con termine noto costante............................................ 16

Termine noto ed equazione non omogenea ......................................................... 16

La soluzione con l’operatore ritardo ................................................................... 17

Le due componenti della soluzione generale ...................................................... 18

Soluzione generale e soluzioni particolari.......................................................... 18

Esempi numerici.................................................................................................. 19

1.5 Applicazioni ................................................................................................................ 24

Teoria elementare della sostenibilità del debito ................................................ 24

Il teorema della ragnatela con attese statiche.................................................... 27

Equilibrio di mercato ed equilibrio dinamico.................................................... 29

Il teorema della ragnatela con attese adattive ................................................... 31

1.6 L’equazione non omogenea con termine noto a+bx ................................................. 32

t

Condizioni di esistenza della soluzione.............................................................. 32

Il sentiero di equilibrio mobile............................................................................ 33

1.7 Applicazioni ................................................................................................................ 34

La dinamica dell’iperinflazione con attese statiche........................................... 34

ϕ

1.8 L’equazione con radice unitaria (il caso = 1)..................................................... 37

ϕ

L’equazione omogenea con radice unitaria positiva: =1.................................. 37

L’equazione non omogenea con radice unitaria ................................................. 38

ϕ

L’equazione omogenea con radice unitaria negativa: =-1 ............................... 39

1.9 Applicazione ............................................................................................................... 40

Il teorema della ragnatela................................................................................... 40

ϕ>1)......................................................

1.10 L’equazione con radice instabile (il caso 41

La trasformazione di Sargent [1987].................................................................. 41

La soluzione dei modelli con radici instabili ..................................................... 42

1.11 Applicazione ............................................................................................................... 43

La dinamica dell’iperinflazione nel caso di previsione perfetta........................ 43

1.12 Esercizi ....................................................................................................................... 45

1.13 Bibliografia ................................................................................................................. 46

1-1

Modulo V – Modelli dinamici

1.1 L’equazione omogenea

Definizione

Consideriamo l’equazione: ϕ

= (1.1.1)

y y

t t-1

{ }

+∞

ϕ≠0 una successione, cioè una funzione reale di

dove è un parametro noto e y = −∞

t t

→

, ovvero : , dove è l’insieme dei numeri algebrici:

numero algebrico Z R Z

t∈Z y

t

= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Z

In economia si considerano generalmente successioni che variano in funzione del

tempo considerato come parametro discreto.

t otteniamo

Se sottraiamo a entrambi i membri della (1.1.1) la grandezza y

t-1

- = )

y y (ϕ-1 y

t t-1 t-1

ovvero: ∆y - (ϕ-1)y = 0

t t-1

L’ultimo passaggio evidenzia il fatto che la (1.1.1) mette in relazione la successione

incognita con la sua differenza prima. Una equazione che mette in relazione una

successione incognita con le sue differenze viene detta equazione alle differenze.

Osservazione 1.1 – Si noti il parallelismo con l’equazione differenziale,

definita come un’equazione che mette in relazione una funzione

incognita con le sue derivate (Piskunov [1974, vol. II, cap. 1]).

La (1.1.1) è una equazione alle differenze

- del primo ordine perché in essa figura solo il ritardo uno della variabile

dipendente – o, analogamente, perché in essa la

y

t

successione incognita è posta in relazione solo con la

propria differenza prima;

- lineare perché il valore della in è funzione lineare del valore

y t

– o, analogamente, perché la successione

ritardato della y

incognita è funzione lineare delle proprie differenze:

∆y

-1

y = (ϕ-1)

t t+1 ϕ

- a coefficienti costanti perché il coefficiente è un parametro costante;

- omogenea perché in essa figura solo la successione incognita e non

compare nessuna altra funzione del tempo .

t 1-2

Modulo V – Modelli dinamici

Osservazione 1.2 – Alcuni “controesempi” chiariranno la portata delle

definizioni precedenti. Le equazioni:

ϕ

ϕ ϕ

= + ; =

y y y y y

1 2

t t-1 t-2 t t-4

sono tutte di ordine superiore al primo, perché in esse la figura a

y

ritardi maggiori di uno. Le equazioni:

ϕ ϕ

= ; =

y y y y y

t t t-1 t-2

−

t 1

sono non lineari, perché in esse la variabile ritardata entra in modo non

lineare. Le equazioni: ϕ

= sin(ϕ ) ; =

y t y y y

t t-1 t t-1

t

sono a coefficienti variabili perché in esse il coefficiente evolve in

funzione del tempo. Le equazioni:

ϕ ϕ

= + ; = + sin(ϕ )

y y c y y t

1

t t-1 t t-2

sono entrambe non omogenee, perché in esse figura un termine noto

(costante nella prima, variabile nella seconda).

Deve essere chiaro che l’incognita della (1.1.1) è una successione, non una

singola variabile. Di conseguenza la (1.1.1) non è un’equazione nell’usuale

accezione algebrica del termine, ma piuttosto un esempio di equazione funzionale,

-upla di numeri (le radici

in quanto ammette come soluzione non un numero o una n . In

dell’equazione algebrica), ma una particolare funzione (una successione) y

t

economia questa successione viene interpretata come traiettoria o sentiero della

osservata in intervalli temporali successivi.

variabile 1

y

t Osservazione 1.3 – In economia l’esigenza di operare in tempo discreto

anziché continuo è motivata dalla natura dei dati, che in genere

vengono rilevati con indagini campionarie condotte per intervalli

temporali discreti (anni, trimestri, mesi,…). Per questo motivo i testi

più recenti di dinamica economica fanno uso pressoché esclusivo di

modelli dinamici nel discreto e quindi di equazioni alle differenze (si

veda ad esempio Sargent [1987]).

L’analisi di un sistema dinamico

Possiamo definire sistema dinamico un sistema composto da equazioni nelle quali

la variabile dipendente compare in diversi istanti del tempo. La (1.1.1) rappresenta

Il termine “traiettoria” è usato più di frequente nelle scienze naturali, mentre in

1

economia si preferisce il termine “sentiero” (path). Noi li useremo come sinonimi. 1-3

Modulo V – Modelli dinamici

quindi il caso più semplice di sistema dinamico lineare in tempo discreto. In

generale lo studio un sistema dinamico si propone di accertarne tre caratteristiche:

1) l’esistenza di una traiettoria o sentiero di equilibrio dinamico

2) la stabilità dinamica di questo sentiero di equilibrio

3) la forma delle traiettorie generate dal sistema, ovvero delle successioni

che risolvono le equazioni che compongono il sistema

Definiamo ora questi concetti esemplificandoli sulla (1.1.1).

Il sentiero di equilibrio dinamico della che una

Per sentiero di equilibrio dinamico si intende una traiettoria *

y y

t t

volta raggiunta non viene più abbandonata, cioè tale che

⇒ = 1, 2, …

*

*

y = y y = y j

t +

t t+j t j

Si verifica immediatamente che nel caso della (1.1.1) questo sentiero è dato

dalla successione costante = = 0. Avremo infatti:

* 2

*

y y

t

= 0

y

t ϕ ϕ×0

= = = 0

y y

t+1 t

ϕ ϕ×0

= = = 0

y y

t+2 t+1

…. vale zero in , varrà zero anche in tutti i successivi

In altri termini, se la y t

t = 0 è un

+j, con j=1, 2, 3,… Di conseguenza il sentiero

intervalli temporali *

t y

sentiero di equilibrio dinamico per la (1.1.1).

La stabilità dinamica dell’equilibrio

Un sentiero di equilibrio dinamico viene detto asintoticamente stabile in senso

*

y

t ≠ la traiettoria delle tende a convergere

dinamico (in sintesi: stabile) se per *

y y y

t t t

al divergere di . Formalmente, questa condizione può essere espressa

verso *

y t

t = .

come: *

lim y y

+ +

t j t j

→ ∞

j = 0, per cui la

Nel caso della (1.1.1) il sentiero di equilibrio dinamico è *

y = .

condizione di stabilità asintotica dell’equilibrio si esprime come lim y 0

t

→ ∞

t

Per verificare se l’equilibrio della (1.1.1) è stabile scegliamo una condizione

≠ che giace fuori dal sentiero di equilibrio e risolviamo l’equazione

iniziale y = a 0

0

per sostituzioni successive nel modo seguente:

ϕ

Si ricordi che stiamo escludendo il caso = 1, il quale, come vedremo nel paragrafo 1.7, dà

2

luogo a sentieri di equilibrio mobili (cioè non costanti come quelli qui considerati). 1-4

Modulo V – Modelli dinamici

y = a

0 ϕ ϕ

y = y = a

1 0

ϕ ϕ

2

y = y = a

2 1

…. ϕ

t

y = a

t =

In virtù dei passaggi precedenti la condizione di stabilità può essere

lim y 0

t

→ ∞

t

ϕ = . Si verifica facilmente che questa condizione è

espressa come t

a lim 0

→ ∞

t |ϕ|<1.

rispettata (e quindi il sentiero di equilibrio dinamico è stabile) purché sia Se

|ϕ|>1, non converge al sentiero di equilibrio dinamico

invece la traiettoria della *

y y

t

|ϕ|<1

La condizione viene detta condizione di stabilità (dinamica)

= 0. 3

dell’equazione alle differenze del primo ordine (1.1.1). Se questa condizione non è

rispettata, la traiettoria generata dalla (1.1.1) viene detta dinamicamente instabile

(in tal caso = 0 rappresenta un sentiero di equilibrio instabile in senso dinamico

*

y

per la traiettoria generata dalla (1.1.1)).

Soluzione generale e particolare dell’omogenea

Operando per sostituzione abbiamo definito la successione:

ϕ

t

= (1.1.2)

y a

g,t

Si verifica direttamente che questa successione risolve la (1.1.1) (cioè la

ϕ

t-1

trasforma in un’identità). Infatti dalla (1.1.2) ricaviamo = , e quindi,

y a

g,t-1

sostituendo nella (1.1.1): ≡ ϕ

y y

g,t g,t-1

dato che : ϕ ϕ

ϕ

t t-1

a = a

La (1.1.2) quindi è una soluzione dell’equazione alle differenze omogenea (1.1.1).

Anche la successione = 0 risolve l’equazione (1.1.1). In effetti sostituendo alla

*

y

il valore costante = 0 la (1.1.1) risulta identicamente soddisfatta. D’altra parte

*

y y

t = 0, che, come ricordiamo, è il sentiero di equilibrio dinamico della

la successione *

y ϕ

t

= , ottenuto ponendo

(1.1.1), non è altro che un caso particolare della (1.1.2) y a

g,t

a = 0. ϕ

Nel caso = 1 la struttura del sentiero di equilibrio cambia. Questo importante caso

3

particolare viene analizzato nel paragrafo 1.8. 1-5

Modulo V – Modelli dinamici

Il semplice sistema dinamico (1.1.1) presenta quindi due caratteristiche che

ritroveremo anche in sistemi più complessi:

1) il sentiero di equilibrio dinamico, che per la (1.1.1) è il sentiero costante

= 0, coincide con una soluzione particolare dell’equazione, cioè con una

*

y

soluzione ottenuta attribuendo un particolare valore alla costante o

condizione iniziale arbitraria che figura nella soluzione generale (nel

).

caso in specie, ponendo a = 0

la soluzione generale dell’equazione omogenea descrive il

2) y

g,t

fuori dal sentiero di equilibrio dinamico, ovvero

comportamento della y

t dal sentiero di equilibrio.

esprime lo scostamento della traiettoria delle y

t

Osservazione 1.4 – Ci possiamo chiedere se oltre alla (1.1.2) esistano anche

altre successioni che risolvono la (1.1.1). La risposta è negativa, cioè la

soluzione (1.1.2) è unica. La dimostrazione dell’unicità esula dai contenuti

di questo corso.

Sentieri dinamici stabili e instabili

I concetti esposti fin qui possono essere illustrati graficamente. il

Rappresentando in ascissa i tempi e in ordinata i valori della successione y

t

sentiero di equilibrio coincide con l’asse delle ascisse. La tavola 1 esaurisce i

ϕ=1

escludendo il caso che per le sue particolarità viene

possibili andamenti della y

t

trattato in un paragrafo a parte (si veda il successivo paragrafo 1.8).

a>0 a<0

Casi stabili

convergenza monotòna dall’alto: convergenza monotòna dal basso:

0<ϕ<1 figura 1 e 9 figura 2

convergenza con oscillazioni: convergenza con oscillazioni:

-1<ϕ<0 figura 3 figura 4

Casi instabili

ϕ>1 divergenza monotòna verso più infinito divergenza monotòna verso meno

figura 5 infinito - figura 6

ϕ<-1 divergenza oscillatoria divergenza oscillatoria

figura 8

figura 7

Tavola 1 – Sinossi dei possibili andamenti della soluzione della (1.1.1)

Le figure dalla 1 alla 9 esemplificano gli andamenti qualitativi esposti dalla

ϕ e .

tavola 1 attribuendo specifici valori ai parametri a 1-6

Modulo V – Modelli dinamici

Formalmente la successione è definita su tutto l’insieme dei numeri algebrici

y

t { }

+∞ . Gli esempi rappresentano una “finestra”

e quindi è “doppiamente infinita”: y = −∞

t t a

su questo sentiero infinito considerando solo le osservazioni che vanno da t = -5

t = 20. ϕ e nel determinare

Dal confronto delle figure dalla 1 alla 9 emerge il ruolo di a

l’andamento della soluzione. In particolare, confrontando le figure 1 e 9 si vede

come nei casi stabili la convergenza verso l’equilibrio sia tanto più lenta quanto

ϕ in valore assoluto.

maggiore è 1-7

Modulo V – Modelli dinamici

a

ϕ ϕ

= 0.8, a = 2 = -1.1, a = 1

= -0.9, = -2

ϕ 10

4

8 5

6 2

4 0

0

2 -2 -5

0 -4 -10

-5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

Figura 1 – Traiettoria stabile con convergenza

monotòna dall’alto (valori positivi della y) Figura 4 – Traiettoria stabile con convergenza Figura 7 – Traiettoria instabile con oscillazioni

oscillatoria divergenti

ϕ = 0.8, a =- 2

0 ϕ

ϕ = -1.1, a = 1

= 1.1, a = 1 10

8

-2 5

6

-4 0

4

-6 -5

2

-8 -10

0

-5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

-5 0 5 10 15 20

Figura 2 – Traiettoria stabile con convergenza

monotòna dal basso (valori negativi della y) Figura 8 – Traiettoria instabile con oscillazioni

Figura 5 – Traiettoria instabile con divergenza divergenti

monotòna a più infinito

a

= -0.9, = 2

ϕ

4 ϕ = 0.95, a = 2

ϕ = 1.1, a = -1 8

0

2 6

-2

0 4

-4

-2 2

-4 -6

-5 0 5 10 15 20 0

-8 -5 0 5 10 15 20

-5 0 5 10 15 20

Figura 3 – Traiettoria stabile con convergenza

oscillatoria Figura 9 Convergenza monotòna

Figura 6 – Traiettoria instabile con divergenza

monotòn