Econometria - le equazioni alle differenze

Modulo V – Equazioni alle differenze

Osservazione 1.6 – L’analogia con l’operatore di integrazione non è del

tutto casuale. In effetti sappiamo dalla (1.3.2) che l’inverso

dell’operatore di quasi differenza è l’operatore di somma infinita

scontata: 1 ∑ ∞

= ϕ j j

L

− ϕ = 0

j

1 L

Questa sommatoria può essere interpretata come versione in tempo

discreto di un particolare integrale indefinito. Si noti che questa somma

è unilaterale, essendo riferita alle sole osservazioni passate della

successione.

Osservazione 1.7 – La (1.3.1) non è altro che un diverso modo di scrivere

* di

la (1.1.1) e quindi ha lo stesso sentiero di equilibrio dinamico y = 0

quest’ultima. I passaggi che conducono alla (1.3.3) mettono in luce che

formalmente questo sentiero di equilibrio si ottiene applicando al

membro di destra della (1.3.1) l’operatore ottenuto invertendo il

polinomio caratteristico:

0 0

= = =

y

* 0

− ϕ − ϕ

1 L 1

Questo formalismo si estende alle equazioni di ordine superiore e a

quelle non omogenee (si vedano i parr. 1.4 e seguenti).

Equazione caratteristica e condizione di stabilità , viene naturale

Quando l’equazione alle differenze è espressa con l’operatore L

definire l’equazione caratteristica in modo diverso da quello visto nel paragrafo 1.2,

e cioè uguagliando a zero il polinomio caratteristico (dopo aver sostituito

una variabile algebrica ):

all’operatore L z

ϕz (1.3.4)

1 - = 0 ϕ

* -1

La radice dell’equazione (1.3.4) è (è cioè pari all’inversa della radice

z = s*

dell’equazione caratteristica espressa secondo la (1.2.3)). Di conseguenza le

condizioni di stabilità della (1.3.1) vengono espresse come segue: il sentiero di

= 0 della (1.3.1) è stabile in senso dinamico se la radice

equilibrio dinamico * *

y z

dell’equazione caratteristica è maggiore di uno in modulo.

Si noti che le due definizioni sono assolutamente equivalenti. Infatti la (1.2.3)

ϕ

* * -1

mentre la (1.3.4) ammette radice per cui dire che

ammette radice s =ϕ, z = ,

 <1  >1 ϕ<1

* *

ovvero equivale a dire che deve essere (cioè che

deve essere s z

deve valere la condizione di stabilità già individuata nel paragrafo 1.1). 1-14

Modulo V – Equazioni alle differenze

Osservazione 1.8 – L’equazione (1.3.4) è ottenuta dalla (1.2.3)

-1 -1

e ponendo . In generale, data

moltiplicando quest’ultima per s z = s ∑ q =

nella variabile , se

un’equazione algebrica di grado j

q s a s 0

= j

j 0

-q ed effettuiamo la sostituzione

moltiplichiamo entrambi i membri per s

∑ −

q =

-1 otterremo l’equazione le cui radici sono date

q j

z = s a z 0

= j

j 0

dall’inverso delle radici della prima equazione. 1-15

Modulo V – Equazioni alle differenze

1.4 L’equazione non omogenea con termine noto

costante

Termine noto ed equazione non omogenea (considerata in due diversi

Nel modello (1.1.1) figura un’unica variabile, la y

t

e -1). Nelle applicazioni economiche un modello di

intervalli temporali contigui, t t

questo genere è piuttosto limitato. La teoria economica infatti postula spesso

relazioni fra due o più variabili, spiegando il comportamento di una variabile

dipendente in funzione dell’andamento di una o più variabili esplicative.

Per esaminare relazioni di questo genere dobbiamo estendere il modello (1.1.1)

, anch’essa funzione

includendovi un termine noto, ovvero un’altra successione f(t)

, il cui andamento si suppone sia noto e indipendente da quello della .

del tempo t y

t

Il modello esteso diventa quindi:

ϕy + (1.4.1)

y = f(t)

t t-1

La (1.4.1) è un’equazione alle differenze del primo ordine, lineare, a coefficienti

costanti e non omogenea; la non omogeneità è determinata dalla presenza del

termine noto una successione che riassume il comportamento delle variabili

f(t),

indipendenti o esplicative postulate dal modello economico.

In linea di principio il termine noto può assumere le forme più svariate. Nelle

applicazioni economiche sono particolarmente utili i seguenti casi particolari:

=

i. f(t) c

= +

ii. f(t) a b x

t θ

=

iii. f(t) a cos( bt + )

bt

=

iv. f(t) a e

è a sua volta una successione nota (che rappresenta l’andamento di una

dove x

t θ

variabile esogena), e sono parametri costanti noti. In particolare, la

a, b, c e

può essere interpretata in termini econometrici come una serie

successione x

t

storica di osservazioni su una data variabile esplicativa.

In questo paragrafo consideriamo per semplicità il primo caso particolare,

ovvero quello in cui il termine noto è costante, studiando l’equazione:

ϕy

= + (1.4.2)

y c

t t-1

dove costante reale nota, può essere vista come una forma particolarmente

c,

semplificata di variabile esogena. Nonostante la sua estrema semplicità, questo

caso si presenta in molte applicazioni economiche, tra le quali la teoria elementare

della sostenibilità del debito pubblico, che analizziamo nel successivo paragrafo 1.5.

1-16

Modulo V – Equazioni alle differenze

Rinviamo al paragrafo 1.6 la trattazione del secondo caso particolare, quello in cui

= + .

f(t) a b x

t

La soluzione con l’operatore ritardo

Come abbiamo visto nel paragrafo 1.1, nello studiare un’equazione alle differenze ci

poniamo tre domande: 1) esiste una traiettoria di equilibrio? 2) è stabile? 3) qual’è

al di fuori dall’equilibrio?

la successione che governa l’andamento della y

t della

Si verifica immediatamente che il sentiero di equilibrio dinamico *

y t

nella (1.4.2) non si

(1.4.2) non è pari a zero: sostituendo zero ai valori della y

t

ottiene un’identità: ≠ ϕ×0

0 + c = c

quindi la successione con tutti termini nulli non è una soluzione della (1.4.2), e in

particolare non può essere la soluzione di equilibrio.

Per trovare la soluzione dell’equazione operiamo con il metodo esposto nel

paragrafo precedente. Usando l’operatore ritardo esprimiamo la (1.4.2) come:

(1.4.3)

( 1-ϕL ) y = c

t

ϕ<1 -1

Nell’ipotesi che sia applichiamo a entrambi i membri l’operatore ( 1-ϕL )

4 Otteniamo così la successione

definito nella (1.3.2) . c t

= (1.4.4)

y + Aϕ

s,

t − ϕ

1

dove, in analogia a quanto si è visto nel precedente paragrafo, il termine c/(1-ϕ)

-1 t

al termine noto costante , mentre la è una

deriva dall’applicazione di ( 1-ϕL ) c Aϕ

funzione esponenziale dipendente da una costante arbitraria (analoga alla costante

arbitraria che compare nell’integrale indefinito) che, come abbiamo visto nel

paragrafo precedente, può essere liberamente aggiunta alla soluzione.

Possiamo verificare per sostituzione diretta che la (1.4.4) risolve la (1.4.2):

≡ ϕy

y + c

s,

t s,t-1

dato che al membro di destra abbiamo: ( )

  ϕ + − ϕ

c c c 1 c

−1

 

ϕ + ϕ + + ϕ t

t t

A c = A = + Aϕ = y

  s,

t

− ϕ − ϕ − ϕ

 

1 1 1

ϕ=1

Come abbiamo già ricordato, il caso viene trattato nel paragrafo 1.8, mentre il caso

4

ϕ>1 nel paragrafo 1.10. 1-17

Modulo V – Equazioni alle differenze

Le due componenti della soluzione generale e quindi è una soluzione

La soluzione (1.4.4) dipende da una costante arbitraria A

generale che individua una famiglia di traiettorie. Questa soluzione generale può

essere vista come somma di due componenti:

c soluzione particolare dell’equazione completa (1.4.2)

1) y =

p,

t − ϕ

1

= soluzione generale dell’equazione omogenea (1.3.1),

2) t

y Aϕ

g,t detta omogenea associata alla (1.4.3) in quanto è

ottenuta da quest’ultima sopprimendo il termine noto.

Queste due componenti della soluzione hanno un distinto significato

matematico ed economico. dell’equazione completa descrive infatti il sentiero

La soluzione particolare y

p,

t

dell’equazione, che anche in questo caso (come nel

di equilibrio dinamico *

y

t = = /(1-ϕ). La natura di equilibrio dinamico

paragrafo precedente) è costante *

y y c

p,

t

può essere verificata direttamente dimostrando col metodo iterativo che

della y

p,

t

⇒ ∀j>0 :

y = y y = y

p, p,

t t t+j t+j

c

=

y

t − ϕ

1 c c

ϕ + ≡

ϕ

= =

y y + c c

t+1 t − ϕ − ϕ

1 1

c c

ϕ + ≡

ϕ

= =

y y + c c

t+2 t+1 − ϕ − ϕ

1 1

… Osservazione 1.9 – Si noti che il sentiero di equilibrio presenta la

medesima forma funzionale del termine noto (una costante).

La soluzione generale dell’omogenea esprime invece, come abbiamo visto nel

dalla posizione d’equilibrio.

paragrafo 1.1, lo scostamento della y

t

Osservazione 1.10 – La trattazione dell’equazione omogenea svolta nei

paragrafi precedenti può essere vista come caso particolare per c = 0

della soluzione qui esaminata.

Soluzione generale e soluzioni particolari

Per passare dalla famiglia di traiettorie (1.4.4) a una traiettoria specifica dobbiamo

. Come abbiamo visto in

determinare il valore della costante arbitraria A 1-18

Modulo V – Equazioni alle differenze

precedenza (par. 1.2) questo valore può essere determinato facendo riferimento a

. Il sistema (1.2.5) diventa ora:

una condizione iniziale y

0 =

 y a

 0 (1.4.5)

 c

= +

y A

 − ϕ

, 0

s

 1 c c Sostituendo questo

per cui la costante arbitraria vale = y .

A = a - -

0

− ϕ − ϕ

1 1

valore nella (1.4.4) otteniamo:  

c c

 

− ϕ

= + (1.4.6)

t

y y

 

s,

t − ϕ − ϕ

0

 

1 1

La (1.4.6) mette in evidenza che il secondo addendo della soluzione è il prodotto di

due termini: il termine fra parentesi tonde, rappresenta lo scostamento al tempo

della traiettoria (1.4.4) dall’equilibrio dinamico; il secondo fattore è

t = 0 * dell’omogenea.

un’esponenziale di base pari all’inversa della radice caratteristica z

associata (1.3.4).

Si possono verificare pertanto i seguenti tre casi:

al tempo giace sul proprio sentiero di equilibrio dinamico, cioè

1) la y t = 0

t In questo caso il termine fra parentesi tonde è nullo,

è y = c/(1-ϕ).

s,0 e la , cioè la traiettoria che risolve la (1.4.2), coincide a

ovvero A = 0, y

s,

t

tutti i tempi con la traiettoria di equilibrio dinamico.

al tempo non giace sul proprio sentiero di equilibrio dinamico,

2) la y t = 0

t ≠ |ϕ|<1.

c/(1-ϕ), ed è In questo caso lo scostamento

cioè è y

s,0 , ma col passare del tempo

dall’equilibrio non è nullo al tempo t = 0

converge a zero, per effetto della convergenza verso zero

ϕ

t . Dato che l’equilibrio dinamico è un sentiero

dell’esponenziale

costante, i sentieri convergenti avranno gli andamenti descritti dalle

figure 1-4, con una opportuna traslazione dell’asse delle ascisse.

al tempo non giace sul proprio sentiero di equilibrio dinamico,

3) la y t = 0

t ≠ |ϕ|>1.

c/(1-ϕ), ed è In questo caso lo scostamento

cioè è y

s,0 e non converge a zero col

dall’equilibrio non è nullo al tempo t = 0

passare del tempo. Anche in questo caso i possibili andamenti divergenti

sono quelli già visti nelle figure 5-8 (ovviamente traslando l’asse delle

ascisse).

Esempi numerici

A titolo di esempio consideriamo l’equazione: 1-19

Modulo V – Equazioni alle differenze (1.4.5)

( 1-0.9L ) y = 2

t

la cui soluzione generale è: t

y = 20 + A0.9

s,

t *

dove il sentiero di equilibrio dinamico è ed è stabile perché .

y = 2/(1-0.9) = 20 0.9<1

Per ottenere una soluzione particolare dobbiamo specificare una condizione

(condizione iniziale al di sotto del

iniziale. Se ad esempio imponiamo che sia y = 2

0 (scostamento negativo

sentiero di equilibrio), avremo A = y – c/(1-ϕ) = 2 – 20 = -18

0

dal sentiero di equilibrio).

L’andamento della soluzione particolare così ottenuta è rappresentato nella

figura 10 insieme a quello del sentiero di equilibrio dinamico. La figura 11

rappresenta invece la dinamica dello scostamento dalla soluzione di equilibrio, cioè

il grafico ottenuto sottraendo alla soluzione particolare il sentiero di equilibrio,

×0 t (soluzione particolare dell’omogenea

ovvero il grafico della successione -18 .9

associata). Questo grafico corrisponde a quello della figura 10 dopo una opportuna

traslazione degli assi. I due andamenti sono descritti nella tavola 2 (sezione (a)).

(condizione iniziale sul sentiero di

Se imponiamo la condizione iniziale y = 20

0

(scostamento negativo dal sentiero di equilibrio) e quindi

equilibrio), avremo A = 0

la situazione descritta dalle figure 12 e 13 e riassunta anch’essa nella tavola 2

(sezione (b)). ma cambiamo il segno del

Se invece manteniamo la condizione iniziale y = 2

0

ϕ abbiamo l’equazione con radice negativa stabile

coefficiente ( 1+0.9L ) y = 2

t

la cui soluzione generale è t

y = 1.0526 + A(-0.9)

s,

t ≈

* . a soluzione particolare

dove il sentiero di equilibrio (stabile) è y = 2/1.9 1.0526 L (scostamento

si ottiene specificando il valore della costante arbitraria A = 0.9473

positivo dal sentiero di equilibrio). La traiettoria della soluzione particolare è

rappresentata nella figura 14, mentre la 15 rappresenta gli scostamenti

dall’equilibrio (vedi anche la tavola 2, sezione (c)). ϕ la (1.4.5)

Analizziamo anche qualche caso instabile. Ponendo ad esempio = 1.1

diventa: (1.4.6)

( 1-1.1L ) y = 2

t * ed è instabile perché

Il sentiero di equilibrio dinamico ora è y = 2/(1-1.1) = -20

1.1>1. La soluzione generale prende quindi la forma

t

y = -20 + A1.1

s,

t 1-20

Modulo V – Equazioni alle differenze

La costante arbitraria nel caso sarà data dallo scostamento dall’equilibrio in

y = 2

0

e sarà quindi pari a

y A = 2 – (-20) = 22. La soluzione particolare diventa quindi

0 t

y = -20 + 22×1.1

t

ed è rappresentata nelle figure 16 e 17 (vedi anche la tavola 3, sezione (a)).

* è comunque un sentiero di equilibrio, anche se

Si noti che il sentiero y = -20

instabile, nel senso che una volta raggiunto esso non viene più abbandonato.

Questo accade nei grafici delle figure 18 e 19, i quali rappresentano la soluzione

. Se la condizione iniziale è sul sentiero di

particolare della (1.4.6) per y = -20

0

equilibrio dinamico gli scostamenti da questo sentiero sono nulla a tutti i tempi.

Infine, i grafici 20 e 21 rappresentano un caso di equilibrio instabile con

divergenza oscillatoria.

Equazione omogenea con termine noto costante: esempi numerici

(a) (b) (c)

ϕ 0.9 0.9 -0.9

c 2 2 2

c/(1-ϕ) 20 20 1.052

a 2 20 2

A -18 0 0.947

t t t

t y Aϕ y Aϕ y Aϕ

t t t

-5 -10.483 -30.483 20.000 0.000 -0.552 -1.604

-4 -7.435 -27.435 20.000 0.000 2.497 1.444

-3 -4.691 -24.691 20.000 0.000 -0.247 -1.300

-2 -2.222 -22.222 20.000 0.000 2.222 1.170

-1 0.000 -20.000 20.000 0.000 0.000 -1.053

0 2.000 -18.000 20.000 0.000 2.000 0.947

1 3.800 -16.200 20.000 0.000 0.200 -0.853

2 5.420 -14.580 20.000 0.000 1.820 0.767

3 6.878 -13.122 20.000 0.000 0.362 -0.691

4 8.190 -11.810 20.000 0.000 1.674 0.622

5 9.371 -10.629 20.000 0.000 0.493 -0.559

6 10.434 -9.566 20.000 0.000 1.556 0.503

7 11.391 -8.609 20.000 0.000 0.600 -0.453

8 12.252 -7.748 20.000 0.000 1.460 0.408

9 13.026 -6.974 20.000 0.000 0.686 -0.367

10 13.724 -6.276 20.000 0.000 1.383 0.330

Tavola 2 – Una “finestra” sulla traiettoria soluzione di tre equazioni alle differenze.

Riportiamo i valori da t=-5 a t=10 delle soluzioni particolari dell’equazione completa e

dell’omogenea associata. Quest’ultima descrive gli scostamenti della soluzione dal valore di

ϕ

equilibrio dinamico c/(1- ). 1-21

Modulo V – Modelli dinamici

25.0 3.0

25.0

20.0 2.5

20.0

15.0 2.0

15.0

10.0 1.5

10.0

5.0 1.0

5.0

0.0 0.5

0.0

-5.0 0.0

-5.0

-10.0 -0.5

-10.0

-15.0 -1.0

-15.0

-5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

-5 0 5 10 15 20

Figura 10 – La soluzione particolare della Figura 12 – La soluzione particolare della Figura 14 – La soluzione particolare della

per

(1.4.5) per (1.4.5) per

= 2. = 20. = 2 y = 2.

y y ( 1+0.9L ) y

0 0 t 0

0.0 1.0 2.0

-5.0 1.5

0.8

-10.0 1.0

0.5

0.6

-15.0 0.0

-20.0 0.4 -0.5

-25.0 -1.0

0.2 -1.5

-30.0 0.0 -2.0

-35.0 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

-5 0 5 10 15 20 Figura 13 – Gli scostamenti dall’equilibrio Figura 15 – Gli scostamenti dall’equilibrio

Figura 11 – Gli scostamenti dall’equilibrio della traiettoria rappresentata nella figura 12. della traiettoria rappresentata nella figura 14.

della traiettoria rappresentata nella figura 10. 1-22

Modulo V – Equazioni alle differenze

140.0 140.0 10.0

120.0 120.0 8.0

100.0 100.0 6.0

80.0 80.0 4.0

60.0 60.0 2.0

40.0 40.0 0.0

20.0 20.0 -2.0

0.0 0.0 -4.0

-20.0 -20.0 -6.0

-40.0 -40.0 -8.0

-5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

Figura 16 – La soluzione particolare della Figura 18 – La soluzione particolare della Figura 20 – La soluzione particolare della

per

(1.4.6) per y (1.4.6) per y

= 2. = -20. ( 1+1.1L ) y = 2 y = 2.

0 0 t 0

1.0

160.0 8.0

140.0 6.0

0.8

120.0 4.0

100.0 2.0

0.6

80.0 0.0

0.4

60.0 -2.0

40.0 -4.0

0.2

20.0 -6.0

0.0 0.0 -8.0

-5 0 5 10 15 20

-5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

Figura 17 – Gli scostamenti dall’equilibrio Figura 19 – Gli scostamenti dall’equilibrio Figura 21 – Gli scostamenti dall’equilibrio

della traiettoria rappresentata nella figura 16. della traiettoria rappresentata nella figura 18. della traiettoria rappresentata nella figura 20.

1-23

Modulo V – Modelli dinamici

1.5 Applicazioni

Nonostante la sua semplicità l’equazione (1.4.2) trova applicazione in svariati

ambiti di analisi economica. In questo paragrafo considereremo alcuni esempi tratti

dall’economia pubblica e dalla teoria dei mercati. Questi esempi ci permettono di

analizzare due meccanismi attraverso i quali le variabili ritardate entrano nei

modelli economici: le identità stock/flusso (considerate nel primo esempio, riferito

all’accumulazione del debito pubblico) e i meccanismi generatori delle attese

(considerati negli altri esempi, relativo a un modello di equilibrio di mercato).

Teoria elementare della sostenibilità del debito

Le identità stock/flusso originano strutture di ritardi di natura per così dire

“contabile” (nel senso che prescindono da ipotesi comportamentali) la cui analisi

tuttavia riveste spesso motivi di grande interesse. Un esempio viene dal campo

dell’economia pubblica ed è costituito dalla teoria elementare della sostenibilità del

debito pubblico. L’analisi tradizionale di “sostenibilità” del debito si basa sullo

studio della dinamica del rapporto debito/PIL, considerando come “insostenibili” le

situazioni in cui questo rapporto tende a divergere (naturalmente verso valori

positivi). Dal punto di vista formale quindi questo concetto di “insostenibilità” si

identifica con quello di instabilità dinamica della traiettoria del rapporto

debito/PIL. Di conseguenza, per renderlo operativo dobbiamo:

1) trovare un’equazione che esprima la dinamica del rapporto debito/PIL;

2) calcolarne la traiettoria di equilibrio dinamico;

3) valutarne le condizioni di stabilità.

A questo scopo introduciamo le seguenti definizioni:

: Stock totale di debito pubblico, dato dalla somma del debito fruttifero B

D t t

(base monetaria del

(titoli di Stato sul mercato) e del debito monetario H t

Tesoro), secondo la relazione: = B + H

D t t t

: Fabbisogno, definito come incremento del debito totale:

F

t ∆D

= = D – D

F

t t t t-1

: Rapporto debito/PIL: d = D / , dove è il PIL nominale, definito a sua

d Y Y

t t t t t

= p , dove p è il deflatore del PIL e il PIL reale.

volta come Y y y

t t t t t 1-24

Modulo V – Equazioni alle differenze

: Rapporto fabbisogno/PIL: f = F / ; specifichiamo che valori positivi di f

f Y

t t t t t

indicano un fabbisogno. In altre parole, un avanzo di bilancio sarebbe

>0.

contraddistinto da valori negativi. In seguito ipotizziamo f t

−

γ :

t Y Y

γ = − ; si noti che

Tasso di crescita del PIL nominale, definito come: 1

t t

t Y −

1

t

per la definizione di PIL nominale avremo:

γ = (1+n )(1+π ) – 1

t

t t π

è il tasso di crescita del PIL reale e quello del deflatore del PIL,

dove n t

t

cioè il tasso di inflazione del deflatore del PIL.

Utilizzando queste definizioni possiamo analizzare la dinamica del rapporto

:

debito/PIL. A questo scopo definiamo in primo luogo l’incremento di d

t

( )

  − + γ

D D D D D D 1 D

  − − − −

−

∆

∆d = = = = =

1 1 1

t t t t t t t t

  ( ) ( )

t + γ + γ

 

Y Y Y 1 Y Y 1 Y

− − −

−

1 1 1 1

t t t t t t t t

− − γ − γ γ

D D D F D

− − −

= = f -

= 1 1 1 t

t t t t t t t d

( ) ( ) t −

+ γ + γ + γ 1

t

1 1 Y 1

−

1 t

t t t

da cui ricaviamo: γ

– d = f -

d t d

t t-1 t −

+ γ 1

t

1 t

Questa relazione asserisce che il rapporto debito/PIL cresce tanto più quanto

maggiore è il rapporto fabbisogno/PIL e minore il tasso di crescita nominale (alti

tassi di crescita nominali comportano infatti una rapida crescita del denominatore

del rapporto).

Riordinando i termini, ricaviamo l’equazione dinamica del rapporto debito

totale/PIL: 1

= f +

d d

t t −

+ γ 1

t

1 t

Questa equazione è un’equazione alle differenze del primo ordine lineare non

omogenea (per la presenza del termine noto f , il rapporto fabbisogno/PIL) e a

t γ varierà da

coefficienti variabili, poiché in generale il tasso di crescita nominale t

un anno all’altro. sia

Nelle analisi di politica economica si assume generalmente che la variabile f t

sotto il controllo del decisore politico, per cui la si considera come un parametro

1-25

Modulo V – Equazioni alle differenze γ

costante f noto; al contempo, si ipotizza che il tasso di crescita , pur variando di

t

anno in anno, tenda in media ad assumere su lunghi orizzonti temporali un valore

γ.

costante Con queste ipotesi, l’equazione può essere riscritta nel modo seguente:

(1.5.1)

1

= f +

d d

t −

+ γ 1

t

1

e diventa quindi un’equazione alle differenze del tipo (1.4.2) esaminato in

ϕ

precedenza, dove si ponga c = f e = 1/(1+γ). Possiamo quindi studiare l’andamento

qualitativo delle traiettorie del rapporto debito/PIL analizzandone, come di

consueto, stato stazionario e stabilità dinamica.

Applicando la (1.4.3), il sentiero di equilibrio dinamico, o di stato stazionario,

del rapporto debito/PIL espresso dalla (1.5.1) è:

+ γ

1

c f

= = (1.5.2)

=

d

* f

− ϕ γ

1

1 −

1 + γ

1

Di conseguenza, nell’ipotesi che il fabbisogno rimanga costante in rapporto al PIL e

che il tasso di crescita nominale sia anch’esso costante, la traiettoria del rapporto

debito totale/PIL ammetterà un sentiero di equilibrio dinamico definito dalla

(1.5.2); ciò significa, lo ricordiamo, che se d assume in un determinato intervallo

t

definito dalla (1.5.2), tenderà a mantenere questo valore

temporale il valore d

*

indefinitamente, a meno che non intervengano fattori esogeni (rappresentabili

γ

formalmente mediante cambiamenti nei parametri f e dell’equazione).

≠ , o, in altre parole,

d

Possiamo chiederci cosa accade nel caso in cui sia d *

t

possiamo chiederci se l’equilibrio definito dalla (1.5.2) è stabile. La risposta è

affermativa, purché il tasso di crescita nominale dell’economia sia positivo. In

questo caso il coefficiente del valore ritardato nell’equazione (1.5.1) è positivo e

minore di uno in modulo: 1

γ > ⇒ <

0 1

+ γ

1

per cui l’equilibrio è stabile . Si noti che questo risultato è subordinato anche

5

all’altra ipotesi semplificatrice introdotta: quella che il fabbisogno rimanga

costante in quota del PIL. Concludiamo quindi asserendo che se il tasso di crescita

nominale dell’economia è positivo e costante, e se il governo mantiene (o meglio,

riesce a mantenere) il fabbisogno in quota costante del PIL, allora il debito pubblico

γ γ

D’altra parte, dato che è il tasso di crescita di , se si attesta su valori negativi il

5 Y

rapporto D/ non potrà che divergere, dal momento che il suo denominatore tenderà a zero.

Y 1-26

Modulo V – Equazioni alle differenze

è necessariamente sostenibile secondo la definizione di sostenibilità basata sulla

stabilità dinamica. Si tenga però presente che questa definizione è compatibile con

.

qualsiasi valore costante di d

t

Possiamo anche scrivere la traiettoria del debito (cioè la soluzione generale

dell’equazione (1.5.1)) utilizzando la notazione della [2.6] nel modo seguente:

+

1

t

 

 

+ γ + γ

1 1 1 (1.5.3)

 

 

−

= +

d f d f

 

 

t −

γ γ + γ

1

 

 

1

γ

Nell’ipotesi che f e rimangano costanti dal tempo = -1 in avanti, la (1.5.3) ci

t = 0, 1, 2,…

permette di stabilire se il rapporto debito/PIL nei successivi tempi t

manifesterà una tendenza naturale al rialzo o al ribasso. Il primo caso si manifesta

è inferiore al valore di stato stazionario d = [(1+γ)/γ] f. Se viceversa d

quando d *

-1 -1

viene a trovarsi al di sopra del valore di stato stazionario, allora (sempre

γ>0)

nell’ipotesi che sia il suo sentiero nei periodi successivi sarà ceteris paribus

necessariamente decrescente.

Il teorema della ragnatela con attese statiche

Consideriamo il modello (I-2.5.3) di equilibrio tra domanda e offerta nel mercato di

un bene, che riportiamo per comodità del lettore:

 = α + β

d

q p

t t

 = γ + δ (I-2.5.3)

s

 q p

t t

 =

d s

q q

 t t

È ragionevole ipotizzare che il produttore fissi il livello dell’offerta all’inizio del

periodo facendo riferimento al prezzo che si attende sarà prevalente nel corso del

t

periodo stesso. Il modello può quindi essere modificato nel modo seguente:

 = α + β

d

q p

t t

 (1.5.4)

= γ + δ

s e

 q p

t t

 =

d s

q q

 t t

Come abbiamo visto nel paragrafo I-2.6 le attese sono variabili teoriche, non

osservabili. Per dotarle di un contenuto empirico è quindi necessario supportare il

modello (1.5.4) con un meccanismo generatore delle attese. Il più semplice è quello

cosiddetto di attese statiche, con il quale si ipotizza che il valore atteso di una

variabile sia pari al valore misurato nel periodo precedente:

= (1.5.5)

e

x x −

1

t t

Introducendo le attese il modello diventa dinamico: 1-27

Modulo V – Equazioni alle differenze

 = α + β

d

q p

t t

 (1.5.6)

= γ + δ

s

 q p −

t t 1

 =

d s

q q

 t t

Sostituendo le prime due equazioni nella condizione di equilibrio di mercato:

= (1.5.7)

d s

q q

t t

ricaviamo: α βp γ δp

+ = +

t t-1

:

e, risolvendo rispetto a p t δ γ − α

+ (1.5.8)

p = p −1

t β β

t

Abbiamo a che fare con un’equazione del tipo (1.4.2) dove:

y = p

t t

δ

ϕ = β

γ − α

c = β β<0

La teoria economica suggerisce che sia (curva di domanda inclinata

δ>0 (curva di offerta inclinata positivamente). Di conseguenza il

negativamente) e

δ/β δ/β<0

sarà negativo. La condizione di stabilità diventa quindi –1< e

coefficiente δ<β

, cioè se la curva di offerta è meno inclinata di quella di

sarà rispettata se

domanda.

Risolviamo la (1.5.8) applicando la (1.4.4):

− α

γ t

 

δ

β  

+

p = A

 

δ

t β

 

−

1 β

ovvero: t

 

 

γ − α γ − α δ (1.5.8)

 

 

+ −

p = p

 

 

t β − δ β − δ β

0

 

  1-28

Modulo V – Equazioni alle differenze

Nella (1.5.8) è il prezzo che realizza l’equilibrio di mercato (market

(γ-α)/(β-δ)

β<0 δ>0 β-δ

e , sarà certamente negativo, per cui si avrà un

clearing). Dato che γ<α

.

prezzo positivo solo se

La dinamica dell’aggiustamento nel caso stabile è descritta dalla figura 22, che

accoppia il grafico dell’equilibrio di mercato con quello del sentiero dinamico del

*

sia maggiore di quello di equilibrio

prezzo. Supponendo che il prezzo iniziale p p

0

dinamico (punto A del grafico di sinistra), spostandoci in B sulla curva di offerta

. Ma

leggiamo che la quantità prodotta nel successivo periodo 1 sarà pari a q 1

questa quantità potrà essere tutta venduta, realizzando l’equilibrio di mercato, solo

(punto C). Naturalmente questo

se nel periodo 1 il prezzo sarà sceso a p 1

determinerà una revisione dei piani di produzione: a fronte di prezzi diminuiti i

produttori decideranno di diminuire la produzione nel seguente periodo 2,

. La legge della domanda e dell’offerta porterà quindi nel periodo 2 a

portandola a q 2 , e così via, iterativamente, fino al

un incremento del prezzo fino a p 2

raggiungimento del centro della “ragnatela”.

Equilibrio di mercato ed equilibrio dinamico

Il concetto di equilibrio economico non si identifica con quello di equilibrio

dinamico, nel senso che sentieri (anche esplosivi) al di fuori dell’equilibrio dinamico

possono rappresentare un equilibrio economico, mentre, d’altro canto, equilibri

dinamici (anche stabili), possono non essere un equilibrio economico.

Il teorema della ragnatela è un interessante esempio del primo caso (equilibrio

.

economico raggiunto al di fuori dell’equilibrio dinamico)

6

Il sentiero dei prezzi è generato dalla (1.5.8) la quale non è altro che un diverso

modo di scrivere la condizione di equilibrio (1.5.7): di conseguenza tutti i prezzi

generati dalla (1.5.8) saranno prezzi di equilibrio di mercato. Questo fatto è

offuscato dal grafico di sinistra della figura 22, nel quale può sembrare che nel

mercato permanga un eccesso di domanda (o di offerta) fino al raggiungimento del

centro della ragnatela. Ma in effetti il grafico rappresenta la domanda corrente

insieme all’offerta del periodo successivo, in quanto quest’ultima, per la seconda

delle (1.5.6), dipende dal prezzo corrente. La produzione viene quindi interamente

venduta in ogni intervallo temporale, ovvero in ogni intervallo temporale si

raggiunge l’equilibrio di mercato.

Un noto esempio del secondo caso (equilibrio dinamico che non corrisponde all’equilibrio

6

economico) si ha nel modello keynesiano dinamico quando l’equilibrio dinamico viene

raggiunto in presenza di disoccupazione (questo caso è trattato ad esempio da Tobin e

Buiter [1976]). 1-29

Modulo V – Modelli dinamici

s

q

p p

t t

d

q B

A

p 0

p 2

p 4 *

p

p 5

p 3 C

p 1 q q q q q q 1 2 3 4 5

0 2 4 5 3 1 t

q t

Figura 22 – La dinamica del prezzo di equilibrio di mercato. Il grafico di sinistra rappresenta le curve di domanda e di offerta

insieme alla “ragnatela” determinata dalle successive revisioni dei piani di produzione. Il grafico di destra rappresenta il

conseguente aggiustamento del prezzo verso la posizione di equilibrio dinamico. 1-30

Modulo V – Modelli dinamici

Il teorema della ragnatela con attese adattive

Riprendiamo il modello (1.5.4) considerando un modello generatore delle attese di

tipo adattivo analogo a quello definito dalla (I-2.6.1) e dalla (I-2.6.7), che

modifichiamo in due modi: riferendolo al livello dei prezzi, anziché al tasso di

inflazione, e ipotizzando che i produttori formino le proprie attese di prezzo

all’inizio del periodo. Questa seconda ipotesi, che appare realistica nel caso del

comportamento del produttore, comporta che le attese vengano riviste sulla base

del valore effettivo disponibile a inizio periodo, che è quello riferito al tempo

, non di , per cui lo schema

precedente. La revisione avviene cioè sulla base di p p

t t-1

diventa: ( )

( )

− = − λ − (1.5.4)

e e e

p p 1 p p

− − −

1 1 1

t t t t λ=0

(si veda Johnston [1984], pag. 348). Si noti che per (nessun adattamento) la

(1.5.4) fornisce il meccanismo generatore delle attese statiche. Risolvendo la (1.5.4)

con l’uso dell’operatore ritardo otteniamo:

− λ

1

= (1.5.5)

e

p p −

− λ 1

t t

1 L

(i passaggi sono analoghi a quelli svolti nel par. I-2.6).

Il modello diventa quindi:

 = α + β

d

q p

 t t

 − λ

1

= γ + δ

s

 q p −1

− λ

 t t

1 L

e applicando la condizione di equilibrio ricaviamo:

− λ

1

α + β = γ + δ

p p −

− λ 1

t t

1 L

ovvero:

Nota per Francesco: devo ultimare questo paragrafo. Le condizioni di

stabilità dipendono anche dalla velocità di revisione delle attese. 1-31

Modulo V – Equazioni alle differenze

1.6 L’equazione non omogenea con termine noto a+bx

t

Condizioni di esistenza della soluzione

Un caso di estremo interesse nelle applicazione econometriche si ha quando il

dell’equazione (1.4.1) è funzione lineare di una successione nota :

termine noto f(t) x

t

. Adottando la notazione nell’operatore L abbiamo:

f(t) = a + bx

t ϕL (1.6.1)

( 1- ) y = a + bx

t t

ϕ<1

Nell’ipotesi che sia la (1.6.1) può essere risolta col metodo dell’inversione

del polinomio caratteristico. Si ottiene:

a b t

+

y = x + Aϕ

t t

− ϕ − ϕ

1 1 L

ovvero, esplicitando la somma:

a ∑ ∞ ϕ t

j (1.6.2)

y = b x + Aϕ

+ −

t − ϕ = t j

j 0

1

Il secondo addendo del membro di destra della (1.6.2) è una serie. Il sentiero della

è definito solo se questa serie converge. Le condizioni per la convergenza possono

y

t

essere studiate sotto varie ipotesi. Un’ipotesi semplificatrice spesso adottata è che

segua un sentiero costante . In questo caso l’ipotesi

la variabile esplicativa 7

x x

t

ϕ<1 assicura che la serie converga, dato che:

b x

∑ ∞ ϕ j (1.6.3)

b x = <∞

− ϕ

=

j 0 1 non sia costante e abbia termini

Nell’ipotesi più generale che la successione x

t

tutti positivi (un’ipotesi realistica per molte variabili economiche), possiamo

applicare la seguente condizione sufficiente per la convergenza (Piskunov [1974],

vol. II, par. 4.3): ∑ ∑

∞ ∞

, , se prima serie è dominata

Teorema: date due serie u v

=0 =0

j j

j j

≤v , e la seconda serie converge, allora anche la

dalla seconda, cioè se u j j

prima converge. sia limitata, cioè che esista una tale

Nel nostro caso basta che la successione x x

t ϕ ϕ

j j

> per ogni t, nel qual caso è anche > e il secondo addendo del

che x x x x

t t

membro di destra della (1.6.2) converge perché è dominato dalla serie convergente

ϕ<1 .

(1.6.3). Si noti che questo risultato riposa sull’ipotesi

Torneremo su questa ipotesi quando studieremo la dinamica comparata del modello (1.6.1)

7

nel capitolo 2 di questo modulo. 1-32

Modulo V – Equazioni alle differenze

Il sentiero di equilibrio mobile

Come in precedenza è possibile verificare che:

a) la (1.6.2) risolve la (1.6.1) (la verifica – per sostituzione diretta – è lasciata

come esercizio al lettore) ϕL -1

b) la (1.6.2) consta di due addendi dei quali il primo, pari a ( 1- ) ( a + bx ),

t

è una soluzione particolare corrispondente al sentiero di equilibrio, mentre il

t , esprime gli scostamenti della dal sentiero di equilibrio.

secondo, Aϕ y

t

Più precisamente, il sentiero di equilibrio è:

a ∑ ∞ ϕ j

+

y = b x −

p,t − ϕ = t j

j 0

1

Va da sé che nel caso della (1.6.2) abbiamo a che fare con un equilibrio mobile,

:

cioè con un sentiero che evolve nel tempo in funzione della successione nota x

t

a ∑ ∞ ϕ

= j

y b x

+

t −

− ϕ = t j

j 0

1  

a ∑ ∞

ϕ + ϕ + +

ϕ

= = j

 

y y + a + bx b x a bx =

t+1 t − +

t − ϕ = 1

t j t

 

0

j

1

ϕ

a a

∑ ∑ ∞

∞ +

+ + ϕ ϕ

=

1 j

j

= a b x + bx b x

+ + −

− t+1

− ϕ − ϕ =

= t 1 j

t j

0 j 0

j

1 1

a ∑ ∞ ϕ

= j

y b x

+

t+2 + −

− ϕ = t 2 j

j 0

1

… ϕ<1 già esaminata nei

La condizione di stabilità dinamica dell’equilibrio è la

paragrafi precedenti. ϕ<1 è richiesta

Osservazione 1.10 – Si noti che ora la condizione

anche perché sia ben definito il sentiero di equilibrio dinamico. 1-33