Econometria - le equazioni alle differenze

Modulo V – Equazioni alle differenze

1. Le equazioni alle differenze finite del primo ordine

• 1.1 L’equazione omogenea ................................................................................................. 2
• Definizione ............................................................................................................. 2
• L’analisi di un sistema dinamico ......................................................................... 3
• Il sentiero di equilibrio dinamico ......................................................................... 4
• La stabilità dinamica dell’equilibrio.................................................................... 4
• Soluzione generale e particolare dell’omogenea ................................................... 5
• Sentieri dinamici stabili e instabili...................................................................... 6
• 1.2 Procedimento di soluzione alternativo........................................................................ 9
• L’equazione caratteristica e la soluzione generale dell’omogenea ....................... 9
• Condizione iniziale e soluzione particolare........................................................ 10
• Condizione di stabilità in termini di radici caratteristiche .............................. 11
• 1.3 Il procedimento di soluzione basato sull’operatore ritardo L.................................. 12
• L’operatore ritardo L ........................................................................................... 12
• Il polinomio caratteristico dell’equazione alle differenze .................................. 12
• Equazione caratteristica e condizione di stabilità ............................................. 14
• 1.4 L’equazione non omogenea con termine noto costante............................................ 16
• Termine noto ed equazione non omogenea ......................................................... 16
• La soluzione con l’operatore ritardo ................................................................... 17
• Le due componenti della soluzione generale ...................................................... 18
• Soluzione generale e soluzioni particolari.......................................................... 18
• Esempi numerici.................................................................................................. 19
• 1.5 Applicazioni ................................................................................................................ 24
• Teoria elementare della sostenibilità del debito ................................................ 24
• Il teorema della ragnatela con attese statiche.................................................... 27
• Equilibrio di mercato ed equilibrio dinamico.................................................... 29
• Il teorema della ragnatela con attese adattive ................................................... 31
• 1.6 L’equazione non omogenea con termine noto a+bx_t ................................................. 32
• Condizioni di esistenza della soluzione.............................................................. 32
• Il sentiero di equilibrio mobile............................................................................ 33
• 1.7 Applicazioni ................................................................................................................ 34
• La dinamica dell’iperinflazione con attese statiche........................................... 34
• 1.8 L’equazione con radice unitaria (il caso θ = 1)..................................................... 37
• L’equazione omogenea con radice unitaria positiva: θ = 1.................................. 37
• L’equazione non omogenea con radice unitaria ................................................. 38
• L’equazione omogenea con radice unitaria negativa: θ = -1 ............................... 39
• 1.9 Applicazione ............................................................................................................... 40
• Il teorema della ragnatela................................................................................... 40
• 1.10 L’equazione con radice instabile (il caso θ >1)...................................................... 41
• La trasformazione di Sargent [1987].................................................................. 41
• La soluzione dei modelli con radici instabili ..................................................... 42
• 1.11 Applicazione ............................................................................................................... 43
• La dinamica dell’iperinflazione nel caso di previsione perfetta........................ 43
• 1.12 Esercizi ....................................................................................................................... 45
• 1.13 Bibliografia ................................................................................................................. 46

1-1

Modulo V – Modelli dinamici

1.1 L’equazione omogenea

Definizione

Consideriamo l’equazione: θy_t = y_t-1 (1.1.1)

dove θ ≠ 0 è un parametro noto e y_t = {y_t}_t→-∞^+∞ una successione, cioè una funzione reale di t∈Z, ovvero y_t: Z → R, dove Z è l’insieme dei numeri algebrici: Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

In economia si considerano generalmente successioni che variano in funzione del tempo considerato come parametro discreto.

Se sottraiamo a entrambi i membri della (1.1.1) la grandezza y_t-1 otteniamo:

y_t - y_t-1 = (θ-1)y_t-1

ovvero:

Δy_t - (θ-1)y_t-1 = 0

L’ultimo passaggio evidenzia il fatto che la (1.1.1) mette in relazione la successione incognita con la sua differenza prima. Una equazione che mette in relazione una successione incognita con le sue differenze viene detta equazione alle differenze.

Osservazione 1.1 – Si noti il parallelismo con l’equazione differenziale, definita come un’equazione che mette in relazione una funzione incognita con le sue derivate (Piskunov [1974, vol. II, cap. 1]).

La (1.1.1) è una equazione alle differenze:

• Del primo ordine perché in essa figura solo il ritardo uno della variabile dipendente y_t – o, analogamente, perché in essa la successione incognita y_t è posta in relazione solo con la propria differenza prima;
• Lineare perché il valore della y in t è funzione lineare del valore ritardato della y_t-1 – o, analogamente, perché la successione incognita è funzione lineare delle proprie differenze: Δy_t+1 = (θ-1)y_t;
• A coefficienti costanti perché il coefficiente θ è un parametro costante;
• Omogenea perché in essa figura solo la successione incognita e non compare nessuna altra funzione del tempo t.

1-2

Modulo V – Modelli dinamici

Osservazione 1.2 – Alcuni “controesempi” chiariranno la portata delle definizioni precedenti. Le equazioni:

y_t = θy_t-1 + y_t-2; y_t = θy_t-4

sono tutte di ordine superiore al primo, perché in esse la y figura a ritardi maggiori di uno. Le equazioni:

y_t = θy_t-1²; y_t = y_t-2^-t

sono non lineari, perché in esse la variabile ritardata entra in modo non lineare. Le equazioni:

y_t = θ^ty_t-1; y_t = sin(θt)y_t-1

sono a coefficienti variabili perché in esse il coefficiente evolve in funzione del tempo. Le equazioni:

y_t = θy_t-1 + c; y_t = θy_t-2 + sin(θt)

sono entrambe non omogenee, perché in esse figura un termine noto (costante nella prima, variabile nella seconda).

Deve essere chiaro che l’incognita della (1.1.1) è una successione, non una singola variabile. Di conseguenza la (1.1.1) non è un’equazione nell’usuale accezione algebrica del termine, ma piuttosto un esempio di equazione funzionale, in quanto ammette come soluzione non un numero o una n-upla di numeri (le radici dell’equazione algebrica), ma una particolare funzione (una successione) y_t. In economia questa successione viene interpretata come traiettoria o sentiero della variabile y_t osservata in intervalli temporali successivi.

Osservazione 1.3 – In economia l’esigenza di operare in tempo discreto anziché continuo è motivata dalla natura dei dati, che in genere vengono rilevati con indagini campionarie condotte per intervalli temporali discreti (anni, trimestri, mesi,…). Per questo motivo i testi più recenti di dinamica economica fanno uso pressoché esclusivo di modelli dinamici nel discreto e quindi di equazioni alle differenze (si veda ad esempio Sargent [1987]).

L’analisi di un sistema dinamico

Possiamo definire sistema dinamico un sistema composto da equazioni nelle quali la variabile dipendente compare in diversi istanti del tempo. La (1.1.1) rappresenta quindi il caso più semplice di sistema dinamico lineare in tempo discreto. In generale lo studio un sistema dinamico si propone di accertarne tre caratteristiche:

• L’esistenza di una traiettoria o sentiero di equilibrio dinamico;
• La stabilità dinamica di questo sentiero di equilibrio;
• La forma delle traiettorie generate dal sistema, ovvero delle successioni che risolvono le equazioni che compongono il sistema.

Definiamo ora questi concetti esemplificandoli sulla (1.1.1).

Il sentiero di equilibrio dinamico

Per sentiero di equilibrio dinamico si intende una traiettoria y*_t che una volta raggiunta non viene più abbandonata, cioè tale che:

y*_t+j = y*_t, ∀j = 1, 2, …

Si verifica immediatamente che nel caso della (1.1.1) questo sentiero è dato dalla successione costante y*_t = 0. Avremo infatti:

y*_t+1 = θy*_t = θ×0 = 0

y*_t+2 = θy*_t+1 = θ×0 = 0

….

In altri termini, se la y vale zero in t = 0, varrà zero anche in tutti i successivi intervalli temporali t+j, con j=1, 2, 3,… Di conseguenza il sentiero y*_t = 0 è un sentiero di equilibrio dinamico per la (1.1.1).

La stabilità dinamica dell’equilibrio

Un sentiero di equilibrio dinamico y*_t viene detto asintoticamente stabile in senso dinamico (in sintesi: stabile) se la traiettoria delle y_t tende a convergere verso y*_t al divergere di t. Formalmente, questa condizione può essere espressa come:

lim_j→∞ y_t+j = y*_t+j

Nel caso della (1.1.1) il sentiero di equilibrio dinamico è y*_t = 0, per cui la condizione di stabilità asintotica dell’equilibrio si esprime come lim_t→∞ y_t = 0.

Per verificare se l’equilibrio della (1.1.1) è stabile scegliamo una condizione iniziale y₀ = a ≠ 0 che giace fuori dal sentiero di equilibrio e risolviamo l’equazione per sostituzioni successive nel modo seguente:

y₀ = a

y₁ = θy₀ = θa

y₂ = θy₁ = θ²a

….

y_t = θ^ta

In virtù dei passaggi precedenti la condizione di stabilità può essere espressa come lim_t→∞ θ^ta = 0. Si verifica facilmente che questa condizione è rispettata (e quindi il sentiero di equilibrio dinamico è stabile) purché sia |θ|<1. Se invece |θ|>1, la traiettoria della y_t non converge al sentiero di equilibrio dinamico y*_t = 0.

La condizione |θ|<1 viene detta condizione di stabilità (dinamica) dell’equazione alle differenze del primo ordine (1.1.1). Se questa condizione non è rispettata, la traiettoria generata dalla (1.1.1) viene detta dinamicamente instabile (in tal caso y* = 0 rappresenta un sentiero di equilibrio instabile in senso dinamico per la traiettoria generata dalla (1.1.1)).

Si ricordi che stiamo escludendo il caso θ = 1, il quale, come vedremo nel paragrafo 1.7, dà luogo a sentieri di equilibrio mobili (cioè non costanti come quelli qui considerati).

1-4

Modulo V – Modelli dinamici

Soluzione generale e particolare dell’omogenea

Operando per sostituzione abbiamo definito la successione:

y_g,t = aθ^t (1.1.2)

Si verifica direttamente che questa successione risolve la (1.1.1) (cioè la trasforma in un’identità). Infatti dalla (1.1.2) ricaviamo y_g,t-1 = aθ^t-1, e quindi, sostituendo nella (1.1.1):

y_g,t ≡ θy_g,t-1

dato che: aθ^t = θaθ^t-1

La (1.1.2) quindi è una soluzione dell’equazione alle differenze omogenea (1.1.1). Anche la successione y* = 0 risolve l’equazione (1.1.1). In effetti sostituendo alla y* il valore costante y*_t = 0 la (1.1.1) risulta identicamente soddisfatta. D’altra parte la successione y*_t = 0, che, come ricordiamo, è il sentiero di equilibrio dinamico della (1.1.1), non è altro che un caso particolare della (1.1.2) y_g,t = aθ^t, ottenuto ponendo a = 0.

Nel caso θ = 1 la struttura del sentiero di equilibrio cambia. Questo importante caso particolare viene analizzato nel paragrafo 1.8.

1-5

Modulo V – Modelli dinamici

Il semplice sistema dinamico (1.1.1) presenta quindi due caratteristiche che ritroveremo anche in sistemi più complessi:

• Il sentiero di equilibrio dinamico, che per la (1.1.1) è il sentiero costante y* = 0, coincide con una soluzione particolare dell’equazione, cioè con una soluzione ottenuta attribuendo un particolare valore alla costante o condizione iniziale arbitraria che figura nella soluzione generale (nel caso in specie, ponendo a = 0);
• La soluzione generale dell’equazione omogenea y_g,t descrive il comportamento della y_t fuori dal sentiero di equilibrio dinamico, ovvero esprime lo scostamento della traiettoria delle y_t dal sentiero di equilibrio.

Osservazione 1.4 – Ci possiamo chiedere se oltre alla (1.1.2) esistano anche altre successioni che risolvono la (1.1.1). La risposta è negativa, cioè la soluzione (1.1.2) è unica. La dimostrazione dell’unicità esula dai contenuti di questo corso.

Sentieri dinamici stabili e instabili

I concetti esposti fin qui possono essere illustrati graficamente. Rappresentando in ascissa i tempi e in ordinata i valori della successione y_t il sentiero di equilibrio coincide con l’asse delle ascisse. La tavola 1 esaurisce i possibili andamenti della y_t escludendo il caso θ=1 che per le sue particolarità viene trattato in un paragrafo a parte (si veda il successivo paragrafo 1.8).

Tavola 1 – Sinossi dei possibili andamenti della soluzione della (1.1.1)

Le figure dalla 1 alla 9 esemplificano gli andamenti qualitativi esposti dalla tavola 1 attribuendo specifici valori ai parametri θ e a.

1-6

Modulo V – Modelli dinamici

Formalmente la successione y_t è definita su tutto l’insieme dei numeri algebrici e quindi è “doppiamente infinita”: y_t = {t ∈ Z}_-∞^+∞. Gli esempi rappresentano una “finestra” su questo sentiero infinito considerando solo le osservazioni che vanno da t = -5 a t = 20.

Dal confronto delle figure dalla 1 alla 9 emerge il ruolo di θ nel determinare l’andamento della soluzione. In particolare, confrontando le figure 1 e 9 si vede come nei casi stabili la convergenza verso l’equilibrio sia tanto più lenta quanto maggiore è θ in valore assoluto.

1-7

Modulo V – Modelli dinamici

a

θ = 0.8, a = 2

θ = -1.1, a = 1

θ = -0.9, a = -2

10 4 8 5 6 2 4 0 0 2 -2 -5 0 -4 -10 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

Figura 1 – Traiettoria stabile con convergenza monotòna dall’alto (valori positivi della y)

Figura 4 – Traiettoria stabile con convergenza oscillatoria

Figura 7 – Traiettoria instabile con oscillazioni divergenti

θ = 0.8, a = -2

θ = -1.1, a = 1

θ = 1.1, a = 1

10 8 -2 5 6 -4 0 4 -6 -5 2 -8 -10 0 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

Figura 2 – Traiettoria stabile con convergenza monotòna dal basso (valori negativi della y)

Figura 8 – Traiettoria instabile con oscillazioni divergenti

Figura 5 – Traiettoria instabile con divergenza monotòna a più infinito

a = -0.9, θ = 2

θ = 0.95, a = 2

θ = 1.1, a = -1

4 8 0 2 6 -2 0 4 -4 -2 2 -4 -6 -5 0 5 10 15 20 0 -8 -5 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20

Figura 3 – Traiettoria stabile con convergenza oscillatoria

Figura 9 – Convergenza monotòna

Figura 6 – Traiettoria instabile con divergenza monotòna