Econometria - Lezione 1
Contenuti
- OLS
- GLS
- Test statistici
- IV
Gli ingredienti principali
1. Problema economico
Esempio di macroeconomia: misurazione dell'elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo. La funzione di domanda: q = f(P) mette in relazione quantità e prezzo. ElasticitàP,Q = dQ/Q : dP/P, inclinato negativamente.
D: curva di domanda inversa e perfettamente rigida. S: supply. Q è fissato → la domanda è perfettamente rigida perché la quantità è totalmente insensibile alle variazioni di prezzo. Elasticità pari a zero (monopolio, potere di mercato a favore dei produttori) misura la sensibilità della curva di domanda alle variazioni di prezzo, quindi in questo caso è totalmente nullo (quando non si ha monopolio, il potere è totalmente in mano ai produttori, che controllano la curva di offerta).
Domanda perfettamente inelastica, l'elasticità è infinita, caso associato alla concorrenza perfetta. Monopolio = elasticità pari a 0. Concorrenza perfetta = elasticità infinita.
2. Modello economico
Il problema deve poter essere espresso in maniera formale (relazione lineare tra quantità e prezzo) Q = a + bP, dove b ≠ 0 perché sappiamo che la relazione tra Q e P è inversa.
Elasticità Q, P = - ∂Q/∂P P/Q = - b P/Q. Misurare l'elasticità della domanda vuol dire misurare b! N.B. Q è solo funzione di P? No, può ad esempio dipendere dal prezzo di altri beni, dal reddito, dai tassi di interesse...
3. Modello statistico
Q = a + bP + U → Errore/Disturbo (variabile casuale). In quali casi è importante introdurre la variabile aleatoria di errore? Variabili omesse, forme funzionali, errori di misura nelle variabili.
4. Dati
- Serie Storiche: Qt, Pt - t = 1,...,T (tempo)
- Cross-sezionali: Qi, Pi - i = 1,...,N (individui)
- Panel: Qit, Pit
5. Stima dei parametri
È importante utilizzare stimatori appropriati.
6. Affidabilità delle stime
Inferenza statistica, prova delle ipotesi, intervalli di confidenza.
7. Previsioni
Qt = a + bPt + Ut t = 1,...,T → Ut non è osservabile (Qt e Pt sì). Variabili (rispetto a t), costanti/parametri (non dipendono da t). a e b sono le nostre incognite → â e b̂ sono le stime dei parametri a e b ottenute utilizzando le osservazioni su Qt e Pt (t=1,...,T). Riusciamo a prevedere il valore Qt+1? → ciò è possibile utilizzando l'espressione: Qt+1 = â + b̂ Pt+1.
Il modello di regressione lineare classico
(1) Yt = β1X1t + β2X2t + ... + βjXjt + ... + βkXkt + Ut t=1,...,T.
Variabili: Yt, X1t, X2t, ..., XKt, Ut non osservata. Costanti/parametri: β2, β3, βj, ..., βk... perché vogliamo quantificarli?
βj = δYt/ δXjt questi parametri rappresentano la variazione nella variabile dipendente rispetto ad una piccola variazione della variabile esplicativa → impatto che una piccola variazione in Xi esercita su Yi (effetto marginale di Xi su Y).
Ipotesi: X1t = 1 ∀ t=1,...,T la variabile diventa una costante.
Espressione in forma matriciale
(2) Yt = β1 + Σ βjxjt + Ut, dove j = 2 rappresenta l'intercetta e le variabili esplicative con i loro "slopes"/coeff. angolare covariate.
Possiamo scrivere questa espressione in forma matriciale: la (1) e la (2) sono (3) Y = Xβ + U, dove:
- Y = Y1, ..., YT
- U = U1, ..., UT
- β = β1, β2, ..., βK
- X = matrice con colonne di 1 e Xjt
Ipotesi classiche
E(U) = 0, cioè E(Ut) = 0, t=1,...,T. Varianza di ciascun termine di errore. E(UU') = IT, cioè E(Ut)E(UU') = 0, E(Ut, Us) = 0. U intertwines (non-zero covariances). E[UU'] = E[U1U1]E(U1) = varianze di t, E(UU') = E(U1) varianze, homoschedasticità.
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