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ECONOMETRIA
LEZIONE 1
CONTENUTI:
- OLS
- GLS
- TEST STATISTICI
- IV
GLI INGREDIENTI PRINCIPALI
- PROBLEMA ECONOMICO
es. MACROECONOMIA: misurazione dell'elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo
FUNZIONE DI DOMANDA: q = f(p) mette in relazione quantità e prezzo
dQ/dPelasticità rispetto a P => q var. dipendente
D: curva di domanda INVERSA e
PERFETTAMENTE RIGIDA
S: supply
elasticità pari a zero => la domanda è perfettamente rigida perché la quantità è totalmente insensibile alle variazioni di prezzo
ELASTICITÀ PARI A ZERO (monopolio, potere di mercato a favore dei produttori)
misura la sensibilità della curva di domanda alle variazioni di prezzo, quindi in questo caso è totalmente nulla
(quando no vi monopolio il potere è totalmente in mano ai produttori che controllano la curva di offerta.)
(2)
Yt = β1 + Σj=2K(βj xtj) + Ut
POSSIAMO SCRIVERE QUESTA ESPRESSIONE IN FORMA MATRICIALE
(3)
Y = X β + U
- (T x 1)
- (T x 1)
dove
- Y
- U
- β
- (T x K+1)
- X
- X11 X12 X13 ... X1K
- X21 X22 X23 ... X2K
- XT1 XT2 XT3 ... XTK
IPOTESI CLASSICHE:
- E(Ut) = 0
- t=1,...,T
- E(UU') = σu2 It
T
UU' =
- (T x T)
... ... ...
- E[UU'] =
- E[U22] ...
- E[Ut2]: ...
=
- σu2
- E(Ut2): varianza di t
- Ut con t ≠ s
OMOSCHEDASTICITÀ
- E (Ut2) = Var (Ut) = σu2
∀ t ≠ s
INDECORRELAZIONE
- E (UtUs) = cov (Ut,Us) =0
∀ t ≠ s
Valori actual (osservati), fittati e residui
- Y valori actual/osservati (fenomeno da spiegare)
- Ŷ valori fittati (spiegazione del fenomeno offerta dal modello di regressione)
- Û valori residui (parte del fenomeno non spiegata dal modello)
In particolare:
Ŷ = Xβ̂ = X (XTX)-1XTY = P Y
Matrice "Proiezione" P: operatore che, applicato a Y, produce i valori fittati della regressione di Y su X
Û = Y - Ŷ = Y - P Y = (IT - P) Y = M Y
"Annihilator Matrix" M: operatore che, applicato a Y, produce i residui della regressione di Y su X
Proprietà delle matrici P e M
- Simmetria: P = P' e M = M'
- P = X (XTX)-1XT
- P' = X (XTX)-1XT ma IT simmetrica, quindi IT - P simmetrica => M = M' simmetrica
- Idempotenza: PP = P e MM = M
- PP = X (XTX)-1XT X (XTX)-1XT XT X = X (XTX)-1XT = P
- ma IT è l'esempio più semplice di matrice idempotente => M idempotente
- (IT - P)(IT - P) = IT - P - P + P P = IT - P = M
Modello di Regressione Lineare Classico
Yt = Xt β + Ut
OLS:
β̂ = (X'X)-1 X'Y
Risultati (II):
R2 = ESS / TSS = 1 - RSS / TSS
Si fonda sulla scomposizione TSS = ESS + RSS
che è valida solo se nel modello è presente l'intercetta
- ESS = Σt (Ŷt - Ȳ)2
- RSS = Σt Ût2
- TSS = Σt (Yt - Ȳ)2
0 ≤ R2 < 1
R2 = % di variabilità totale del fenomeno spiegata dal modello
R2 = 0
- ESS = 0 ; RSS = TSS
- Yt = β2 + Ut , t = 1, ..., T
Modello con la sola intercetta
Y = ( y1 y2 ... yt )= ( 1 1 ... 1 )β2 + ( U1 U2 ... Ut )U
β̂ = β̂2 = (X'X)-1 X'Y OLS
dove
- X'X = T => (X'X)-1 = 1/T
- X'Y = Σt Yt
=> β̂2 = 1/T Σt Yt = Ȳ
media campionaria della var. dipendente
Concentriamoci su β3; vogliamo ottenere l'espressione dello stimatore OLS per β3, β̂3.
Dobbiamo ottenere un'espressione per β2 dalla (2) e sostituirla nella (1).
- X1'X2β2 + X1'X1β3 = X1'y − X1'X2β2
- β̂2(^) = (X2'X2)−1X2'y (β2 da sostituire aveva (2))
⇒X1'X1β3 + X1'X2(X2'X2)−1X2'y = X1y
Izioliamo β3
- X1'X1−1 X1' X2(X2'X2)−1X2'y = X3'y − X3'X2(X2'X2)−1X2'y
- X2'M 2
- X2'M 2 X2'y = X2'X3(X2'X2)−1X1'y
- => β̂3 = (X1'X3 X1'X2 X1'X2 X1'X3)y
N.B. L'espressione per β̂3 è simmetrica:
- β̂2 = (X1'M2 X3 X2 X2 X1'X2)y
INTERPRETAZIONE di β̂3
- β̂3 = (X2' X1'M2 X1'X3 X3 X1'M1 X2'Y
- = (X1'X3 X3 X2'X2 X3)y
- = (X1'X3)y (X2'M1 X2'Y
- = (X1' X1' X1' Y** X1'X4Y.
- => L'espressione di β̂3 ottenuta con la tecnica della regressione partizionata coincide con la formula dello stimatore OLS standard applicata alle variabili X e Y trasformate dalla matrice M2
- M Ricordiamo essere una matrice che applicata ad una variabile genera residui
- Y* è il vettore dei residui della regressione di Y su X1 (Y1, M2Y), cioè Y* è la parte di
- (X2’X3)
- non spiegata (depurata) da X2
- => X1* sono i residui della regressione di X1 su X
- X3'X2' X4 è la MATRICE DEI RESIDUI, ottenuti regressando ciascuna colonna di X1 sull’intera matrice X2,
- quindi X3* è X2 depurata dagli effetti di X2
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