Econometria - l'aggregazione di serie economiche

Aggregazione di serie storiche economiche

L'aggregazione di alcune serie storiche economiche è usata comunemente per costruire indici compositi che si suppone possano rappresentare il loro andamento comune, come accade, per esempio, nella determinazione di indici di riferimento per i prezzi o i tassi di interesse. Una tale aggregazione è spesso effettuata per mezzo di una semplice combinazione lineare delle serie originali, k z tj=, dove i pesi sono determinati "ad hoc" oppure tramite un'analisi j 1, 2, ..., k fattoriale, come fatto pionieristicamente da Vercruysse, Lavry e Pirard (1971), che utilizzano la prima componente principale di un insieme di tassi di interesse per costruire un loro indice di riferimento. Infatti, se i pesi sono determinati utilizzando il criterio della massimizzazione della varianza del processo aleatorio formato dalla combinazione lineare delle serie originali, l'indice consiste nella prima componente principale dei valori di w t di queste.

Serie ed è interpretabile come la serie storica che meglio sintetizza la variabilità complessiva delle .z tjUn rilevante esempio di questa situazione è fornito dall'aggregazione delle fluttuazioni cicliche nascoste nelle serie rappresentative dell'attività economica; essa dà luogo al cosiddetto indice composito del ciclo economico, la cui conoscenza è essenziale per fare diagnosi o prognosi circa le fasi di recessione o di espansione dell'economia e per determinarne i punti di svolta. In realtà, in alcuni paesi industrializzati il ciclo economico è rappresentato direttamente dalle serie storiche che sono ritenute coincidenti con esso, e soltanto in altri paesi il ciclo è definito tramite indici sintetici costruiti con la composizione di diverse serie. Negli USA il Dipartimento del Commercio aggiorna periodicamente una lista di serie storiche che sono ritenute anticipatrici, o approssimativamente coincidenti,

O ritardate nei confronti del ciclo economico; in Giappone l'indice composito adottato dall'Agenzia di Pianificazione Economica (EPA) è composto con l'aggregazione di cinque serie che misurano l'uso della corrente elettrica, dell'utilizzazione della capacità produttiva, del consumo di materie prime, della produzione industriale e delle spedizioni dei produttori; nel Regno Unito l'indice sintetico dell'Ufficio Statistico Centrale è composto da tre serie relative al Prodotto Interno Lordo (spesa, prodotto e reddito) oltre all'indice della produzione industriale manifatturiera e a quello delle vendite al dettaglio, mentre in Italia l'Istituto nazionale per lo studio della congiuntura (ISCO, ora ISAE) compone 27 serie che rappresentano i principali settori dell'attività economica. Pagina 3-2

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

Spesso, tuttavia, l'aggregazione di serie storiche è

effettuata euristicamente ed è quindi passibile di critiche di diverso tipo; tra queste, le più rilevanti sembrano essere le seguenti: i) talvolta, tendenza, stagionalità ed oscillazioni di alta frequenza sono eliminate male e nascondono le effettive fluttuazioni cicliche; ii) le componenti cicliche delle serie storiche sono generalmente sfasate tra di loro, cosicché l'indice composito viene ad avere poca definizione e i punti di svolta sono determinati come medie su di un intervallo che spesso è così largo da rendere difficile la loro individuazione; iii) i pesi delle combinazioni lineari sono spesso determinati "ad hoc", senza l'uso di un qualche appropriato criterio di ottimizzazione che possa tener conto della diversa importanza delle serie nei confronti del ciclo. Sforzi tesi a rendere più rigorosa la costruzione di questi indici sintetici sono stati fatti da Burley (1971), che mostrò in una nota come sia

L'analisi in componenti principali nel dominio frequenziale, sia la demodulazione complessa possano essere utilizzate per eliminare le oscillazioni non cicliche nelle serie originali. Ancora nel dominio delle frequenze Sargent e Sims (1977) svilupparono una metodologia per l'estima di indici osservabili e non osservabili del ciclo economico. È inoltre degno di nota ricordare che l'analisi in componenti principali è stata usata da Braun (1973) nel dominio temporale e da Geweke (1977) in quello delle frequenze, mentre Granger e Hatanaka (1964, capitolo 12) hanno utilizzato la demodulazione complessa nell'analisi del ciclo.

Oggetto di questo capitolo è l'illustrazione di una procedura rigorosa per la costruzione di un indice composito del ciclo economico che sia tale da superare i problemi sopra esposti. Si dà infatti alle serie storiche originali ,z tj= , la possibilità di traslare tra di loro, dando luogo alla nuova j 1, 2, …

kcombinazione lineare k() ()∑= α = (3.1.1)w t y t t 1, 2, …, nj j=1j{ }( )dove appunto le sono le serie originali traslate. La procedura illustrata iny tj αquesto capitolo permette di determinare i pesi della combinazione ej { }( )congiuntamente le traslazioni cui devono essere soggette le in modo chez tj{ ( )}~ abbia varianza massima.w t Pagina 3-3Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale3.2. Filtraggio preliminare delle serie originaliAffinché l’indice composito aggreghi le oscillazioni cicliche contenute nelle serieeconomiche originali è opportuno depurare preventivamente queste degli altricaratteri: la tendenza, le stagionalità e le accidentalità. Per effettuare questa{ }( )depurazione è necessario innanzitutto supporre che ciascuna serie ,z tj( )= λ, possegga uno pseudo-spettro al fine di poter eliminare lazj 1, 2, …, k g jtendenza con il filtro alle differenze prime (2.5.9) applicato volte.In secondo luogo, si eliminano le oscillazioni non cicliche in uno dei due modi seguenti:

• Si può supporre che le oscillazioni cicliche di interesse siano contenute nella banda di frequenze Λ ≡ λ λ, filtrando così le fluttuazioni relative alla 1λ banda nell'ipotesi che costituiscano essenzialmente la tendenza, e0, e quelle relative alla 2λ banda nell'ipotesi che costituiscano le stagionalità e le accidentalità.
• Si possono depurare le serie con il filtro alle differenze dodicesime z_t(j) = z_t(j-12) - z_t(j-11) + z_t(j-10) + z_t(j-9) - z_t(j-8) + z_t(j-7) + z_t(j-6) - z_t(j-5) + z_t(j-4) + z_t(j-3) - z_t(j-2) + z_t(j-1) - z_t(j), se le serie hanno cadenza mensile, oppure con l'altro alle differenze quarte se le serie hanno cadenza trimestrale, ottenendosi serie filtrate, costituite essenzialmente da oscillazioni che hanno frequenza ciclica contenuta in Λ ≡ λ λ.

ciclica. Questo permette di catturare le varie componenti del ciclo economico, come la tendenza, le oscillazioni stagionali e altre oscillazioni di frequenza compresa tra determinati intervalli. Inoltre, è importante notare che l'ampiezza di queste altre oscillazioni è trascurabile, poiché le oscillazioni stagionali sono state eliminate. Pertanto, i due modi di depurazione sono sostanzialmente equivalenti nel fornire una rappresentazione accurata del ciclo economico. In conclusione, la rappresentazione del ciclo economico tramite una somma di oscillazioni di frequenza ciclica permette di cogliere le diverse componenti del ciclo e di ottenere un'analisi più completa e accurata.contenuta in una banda relativamente larga, permettendo al ciclo di essere rappresentato da una fluttuazione che cambia di frequenza al variare del tempo.

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

3.3. L'aggregazione ottimale nel dominio frequenziale

Siano state dunque le serie originali depurate delle oscillazioni non cicliche, e siano state così ottenute le serie stazionarie costituite essenzialmente dalle oscillazioni cicliche. In tale maniera il problema i) è superato. In questo paragrafo vengono utilizzati due teoremi che espongono le condizioni necessarie e sufficienti per costruire l'indicatore di varianza massima che sia combinazione lineare delle serie originali opportunamente traslate tra di loro. Così anche i difetti in ii) e iii) sono eliminati.

Successivamente sono evidenziate le condizioni di ottimalità definite nei due teoremi, ed è illustrato il modo naturale con cui emerge il concetto di serie

Il riferimento tra le k originali. Poiché, tuttavia, tali condizioni non sono in generale soddisfatte nelle applicazioni di carattere economico, è esposto il modo in cui un indice composito può essere costruito in forma approssimativa, mediante il criterio di minimi quadrati.

I teoremi sopra indicati operano nel dominio frequenziale e quindi le serie devono essere preliminarmente trasformate in questo dominio, ottenendo:

X_j(λ) = ∑_i x_ij(λ)

Una volta che siano stati determinati i pesi della combinazione lineare (3.1.1) e le traslazioni ottimali che producono le serie Y_j(λ), a partire dalle X_j(λ), le Y_j(λ) sono riportate nel dominio temporale dando luogo alle y_tj.

L'indice (3.1.1) è così costruito.

Per trasformare le serie nel dominio frequenziale è sufficiente trasformarle secondo Fourier:

X_j(λ) = ∑_n x_tj(n)e^-iλn

₋ π π (3.3.1)X x t exp i t ,j j=t 1 ( )ϑ λLe trasformate sono quindi traslate di , dando luogo alle seriej [ ]( ) ( ) { }λ = λ ⋅ ₋ λ λ ∈ − π π (3.3.2)Y X exp i t ,j j { } { }( ) ( )λ λSi osservi che le ampiezz