Economia - il modello di regressione

Il modello di regressione con schema ARMA sui residui

Pagina X-1 Modulo…5.1 Schema AR(1) sui residui

L'autocorrelazione del primo ordine nei residui del modello lineare (4.1.1) può essere generata in molti modi. Uno di questi, esempio tra i più rilevanti, consiste nel fatto che i residui siano generati da un processo autoregressivo del primo ordine, cioè che sia u_t = ϕu_t-1 + ε (5.1.1) con ε_t tale che E(ε_t) = 0 e Var(ε_t) = σ² (5.1.2) con t ~ ε = ∀ (5.1.3)

Se si ha che ϕ = 0, allora l'autocorrelazione del primo ordine dei residui (ϕ) è proprio uguale a zero. Il parametro ϕ rappresenta l'autocorrelazione del primo ordine dei residui; infatti, poiché dalla (5.1.1) si può ricavare che ε_t = u_t - ϕu_t-1 (5.1.4)

L⏐ϕ⏐<1 è dove è stata utilizzata la somma infinita dei termini di una successione se 2ϕ geometrica di ragione , allora ~~ = + ϕ + ϕ + ⋅ ε = ∀ (5.1.5)2 2E (u ) (1 L L ...) E ( ) 0 tt t~~ ~ ~ ~ ~ ~= ⋅ = ϕ + ε = ϕσ ∀ (5.1.6)2( , ) ( ) [(Cov u u E u u E u )u ] t− − − −t t 1 t t 1 t 1 t t 1 uρ = ϕσ σ = ϕ (5.1.7)2 2(1) /u u

Il test di DurbinhSi è visto che se nel modello (4.1.1) è presente l'intercetta e le variabili esplicative non sono stocastiche, l'ipotesi di assenza di autocorrelazione del primo ordine, cioè la nulla ρ(1)=0 (5.1.8)H :0 . Se invece tra le variabili esplicative possono essere verificate con il test DW presenti endogene ritardate, come nel caso seguente=β +β +…+β +γ +…+γ +u (5.1.9)y y y y x xt 1 t−1 2 t−2 r t−r 1 1t k 1t t Pagina X-2Modulo…tale test non

può più essere usato. Durbin, da solo, costruì un test che verificasse la(5.1.8) nel caso della (5.1.9) con residui generati dallo schema autoregressivo del primo ordine (5.1.1). Egli dimostrò che sotto la nulla (5.1.8) la statistica (5.1.10) n= ρ · ⎯⎯→d̂h (1) N (0,1)− · β1 n Var( )1cioè si distribuisce asintoticamente come una variabile aleatoria normale standardizzata, nell'ipotesi che sia ∼ (5.1.11)− · β >1 n Var( ) 01β̂ βdove è lo stimatore dei minimi quadrati di .11 Osservazione 5.1 - Operativamente, si considera valida la (5.1.10) se è grande, diciamo .n>40 :Riassumiamo i passi necessari ad eseguire il test ĥβ { }û1) si stima la (5.1.9) con gli , si calcola e si determina la serie deiOLS Var( ) t1residui stimati;{ } ρ̂û2) tramite si calcola il coefficiente di correlazione campionaria dato dalla(1)t(4.2.3); data dalla

(5.1.11) e si effettua l'usuale test con la normale

3) si calcola la hstandardizzata; al livello di significatività del si accetta l'ipotesi nulla (5.1.8) di 5% assenza di autocorrelazione del primo ordine nei residui se è contenuto u ht ϕ=ρ(1)<0 nell'intervallo ; se si accetta l'alternativa con ; se [−1.645,+1.645) h<−1.645ϕ=ρ(1)>0 si accetta l'alternativa con .h≥−1.645

Se non vale la (5.1.11), Durbin dimostrò che i passi precedenti sono grande) equivalenti ai seguenti asintoticamente (cioè per n { }ûe si determina la serie dei residui stimati;

1) si stima la (5.1.9) con gli OLS t

2) si costruisce il modello =β +β +β +…+β +γ +…+γ +vu u y y y x xt 0 t−1 1 t−1 2 t−2 r t−r 1 1t k 1t te lo si stima; β

3) si esegue il test della t 0β =0, allora si rifiuta la (3.1.8),

Cioè si accetta l'ipotesi che esista autocorrelazione di primo ordine nei residui.

Osservazione 5.2 - Il test di Durbin non è valido per verificare una autocorrelazione del primo ordine proveniente da una fonte qualsiasi; è valido soltanto quando l'autocorrelazione è generata dallo schema (5.1.1).

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Valido soltanto quando l'autocorrelazione è generata dallo schema (5.1.1).

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5.2 Schemi ARMA(p,q) sui residui

L'esempio del paragrafo precedente, costituito dal modello lineare (4.1.1) con i residui che seguono lo schema autoregressivo del primo ordine (5.1.1), può essere esteso al caso di residui che seguono uno schema autoregressivo del secondo ordine ϕ1 + ϕ2 + ε (5.2.1) y(t) = u(t) + u(t-1) + u(t-2) con le ipotesi (5.1.2) e (5.1.3), oppure ancora uno schema autoregressivo di ordine generico p ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕp + ε (5.2.3) y(t) = u(t) + u(t-1) + u(t-2) + ... + u(t-p) + ε può essere estesa allo schema.

Ma anche la componente MA(1) t = ε

• − ϑ εu −1 1t t te più in generale allo schema MA(q)= ε − ϑ ε − ϑ ε + − ϑ ε (5.2.3)u ...− − −t t 1 t 1 2 t 2 q t q
• Combinando la (5.2.2) con la (5.2.3) si ottiene lo schema ARMA(p,q)= ϕ + + ϕ + ε − ϑ ε + − ϑ ε (5.2.4)u u ... u ...− − − −t 1 t 1 p t p t 1 t 1 q t q, diventache, utilizzando l'operatore L− ϕ − ϕ + − ϕ = − ϑ − ϑ + − ϑ ε ε (5.2.5)2 2p(1 L L ... L )u (1 L L ... )−1 2 1 2p t q t q
• to ancora ϕ ⋅ = ϑ ⋅ ε (5.2.6)( L ) u ( L )t tϕ ϑcon i polinomi e dati dalle (2.1.11) e (2.1.12).(L ) (L )
• In questo caso molto generale, costituito dal modello lineare (4.1.1) con residui(5.2.6), è possibile inserire nel (2.1.1) lache seguono lo schema

ARMA(p,q) è definita dalla (3.2.6) ottenendosi la forma compatta θ( )L (5.2.7)ε= β + β + + β +...y x x xt 1 1t 2 2 t k kt tϕ( )Lε, dove le soddisfano alle ipotesi stocastiche deboli (5.1.2) e (5.2.3). Lo schema (5.2.7) è un caso particolare del modello (2.1.15), come facilmente si evince.

Il test del "portmanteau" {ε} Quando il processo soddisfa alle ipotesi (5.1.2) (5.1.3) è chiamato "rumore {ε} bianco". Per verificare che non sia autocorrelato per tutti i ritardi da ad , e1 st Pagina X-5 Modulo...cioè che, se è sufficientemente grande, sia "bianco", G.E.P. Box e D. Pierce (1970) hanno sviluppato il test, detto del "portmanteau", basato sulla statistica (5.2.8) s=sum; ρ τ → χd2 2°Q n ( ) − − −1s p qτ =1 2χ che tende in distribuzione verso una variabile aleatoria con gradi di libertà p-q-1.

dove è l'ordine dello schema stimato sui residui e l'unità da(p,q) ARMA sottrarre ad corrisponde all'esistenza dell'intercetta. Il test si riduce quindi ad un test del chi quadrato. Il test di "bianchezza" dei residui di Box e Pierce non dà buoni risultati a meno che non sia molto grande. Così la Ljung e Box (1978) stesso l'hanno corretto con un altro basato su di una statistica simile alla (5.2.8) (5.2.9) s 1∑= ρ τ ⎯⎯→ χd2 2 2°Q n ( ) − − −1s p q− τnτ =1 ma che offre prestazioni nettamente migliori per valore di anche abbastanza piccoli. {ε} è un rumore bianco, le stime delle L'interpretazione del test è semplice: se tρ(τ) autocorrelazioni sono vicine allo zero e quindi anche la è vicina allo zero. Se Q2χ la data dalla (5.2.9) è maggiore del valore critico del con gradi di Q s−p−q−1{ε}

ρ τˆlibertà, allora almeno un è significativamente diverso da zero ed non può( ) tessere un rumore bianco. Pagina X-6Modulo…5.3 Stima del modello lineare con schema AR(p) sui residui ecoefficienti di autoregressione notiUna volta che il modello (5.2.7) sia stato specificato, anche con l'aiuto dei test diautocorrelazione, la sua stima è in alcuni casi particolari abbastanza semplice.Supponiamo in primo luogo che manchi lo schema a somma mobile e che quindi siaϑ = ; la (5.2.7) diventa( L ) 1 = β + β + + β +⎧ (5.3.1)y x x ... x ut 1 1t 2 2 t k kt t⎨ = ϕ + ϕ + + ϕ + εu u u ... u⎩ − − −t 1 t 1 2 t 2 p tIl metodo delle quasi differenzeϕ quasiSe e è noto la stima è effettuata con gli sul modello dellep=1 OLS1differenze−ϕ =β −ϕ −ϕ −ϕ (5.3.2)y y (x x )+β (x x )+…+β (x x )+εt 1 t−1 1 1t 1 1t−1 2

2t 1 2t−2 k kt 1 kt−1 tnel quale i valori relativi alla variabili sono immediatamente calcolati conoscendo iϕ , e il residuodati campionari e 1 ε =u −ϕ ut t 1 t−1soddisfa alle ipotesi standard degli a seguito delle (5.1.2) e (5.1.3). Se ma iOLS p≠1coefficienti di autoregressione sono noti, la procedura è la stessa, con le quasidifferenze sostituite dai valori− ϕ + − ϕy y ... y (5.3.3)− −t 1 t 1 p t p =j 1, 2,..., k− ϕ + − ϕx x ... x− −jt 1 jt 1 p jt jcalcolati in base dati campionari e ai coefficien