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Economia - il modello di regressione

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sul modello di regressione con schema ARMA sui residui. Gli argomenti trattati sono i seguenti: lo schema AR(1) sui residui, gli schemi ARMA (p,q) sui residui, la stima del modello lineare con schema AR(p) sui residui e sui coefficienti di autoregressione noti, la stima del... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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Modulo…

5.3 Stima del modello lineare con schema AR(p) sui residui e

coefficienti di autoregressione noti

Una volta che il modello (5.2.7) sia stato specificato, anche con l'aiuto dei test di

autocorrelazione, la sua stima è in alcuni casi particolari abbastanza semplice.

Supponiamo in primo luogo che manchi lo schema a somma mobile e che quindi sia

ϑ = ; la (5.2.7) diventa

( L ) 1 = β + β + + β +

⎧ (5.3.1)

y x x ... x u

t 1 1

t 2 2 t k kt t

⎨ = ϕ + ϕ + + ϕ + ε

u u u ... u

⎩ − − −

t 1 t 1 2 t 2 p t p t

Il metodo delle quasi differenze

ϕ quasi

Se e è noto la stima è effettuata con gli sul modello delle

p=1 OLS

1

differenze

−ϕ =β −ϕ −ϕ −ϕ (5.3.2)

y y (x x )+β (x x )+…+β (x x )+ε

t 1 t−1 1 1t 1 1t−1 2 2t 1 2t−2 k kt 1 kt−1 t

nel quale i valori relativi alla variabili sono immediatamente calcolati conoscendo i

ϕ , e il residuo

dati campionari e 1 ε =u −ϕ u

t t 1 t−1

soddisfa alle ipotesi standard degli a seguito delle (5.1.2) e (5.1.3). Se ma i

OLS p≠1

coefficienti di autoregressione sono noti, la procedura è la stessa, con le quasi

differenze sostituite dai valori

− ϕ + − ϕ

y y ... y (5.3.3)

− −

t 1 t 1 p t p =

j 1

, 2

,..., k

− ϕ + − ϕ

x x ... x

− −

jt 1 jt 1 p jt j

calcolati in base dati campionari e ai coefficienti di autoregressione.

La trasposizione matriciale

Interessante è la trasposizione matriciale del metodo delle quasi differenze. Se

poniamo − ϕ − ϕ − ϕ

⎡ ⎤

... 1 0 ... 0

p p 1 1

⎢ ⎥

− ϕ − ϕ − ϕ

0 ... 1 ... 0 (5.3.4)

⎢ ⎥

= p 2 1

T ⎢ ⎥

... ... ... ... ... ... ... ...

⎢ ⎥

0 0 ... 0 0 0 ... 1

⎣ ⎦

ed colonne, si ha che

matrice di n−p n Ty=TXβ+Tu

cioè Pagina X-7

Modulo…

Ty=TXβ+ε (5.3.5)

β.

sulla quale si possono applicare gli per stimare

OLS

L'uso dei minimi quadrati generalizzati

La (5.3.5) viene determinata con una procedura che ricorda quella dei minimi

quadrati generalizzati. Vediamo come questa somiglianza sussiste nei fatti, nel

caso particolare di . Il modello è costituito dalla prima della (5.3.1) e dalla

p=1

(5.1.1), con le ipotesi (5.1.2) e (5.1.3). Calcoliamo innanzi tutto la matrice di

~

{ }

u

dispersione delle , avvalendosi della (5.1.4) e (5.1.5)

t ~ ~ ~ ~ ~

~ ~

= = ε + ϕ ε + ϕ ε + = ε + ϕ ε + =

2 2 2 2 2 2

Var (

u ) E (

u ) E [( ...) ] E ( ) E ( ) ...

− − −

t t t t t t t

1 2 2

1

= σ + ϕ + ϕ + = σ = σ

2 2 4 2 2

(

1 ...) u

− ϕ 2

1

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

= ⋅ = ε + ϕ ε + ϕ ε + ε + ϕ ε + ϕ ε + =

2 2

( , ) ( ) [( ...)(

Cov u u E u u E ...)]

− − − − − − −

t t t t t t t t t t

1 1 1 2 1 2 3

ϕ

~ ~ ~

= ϕ ε + ϕ ε + ϕ ε + = σ = ϕσ

2 3 2 5 2 2 2

E E E

( ) ( ) ( ) ...

− − −

t t t u

1 2 3 − ϕ 2

1

~

u

e così via per le altre covarianze di con se stessa ritardata, date da

t

~ ~ τ

= ϕ σ (5.3.6)

2

Cov (

u , u )

− τ

t t u

~

u

Così la matrice di dispersione di è

⎡ ⎤

ϕ ϕ ϕ n

2 1

1 ...

⎢ ⎥

ϕ ϕ ϕ n 2

1 ... (5.3.7)

⎢ ⎥

~ ~ ⎢ ⎥

′ = σ = σ 2

2 −

ϕ ϕ ϕ

( )

E u u V

n

2 3

1 ...

u u

⎢ ⎥

... ... ... ... ...

⎢ ⎥

⎢ ⎥

− − −

ϕ ϕ ϕ

n n n

1 2 3 ... 1

⎣ ⎦

e l'inversa della è

V − ϕ ⎤

⎡ 1 0 ... 0 0 ⎥

⎢ − ϕ + ϕ − ϕ

2

1 ... 0 0 ⎥

1 ⎥

− = − ϕ + ϕ

1 2

V 0 1 ... 0 0

− ϕ 2 ⎥

1 ... ... ... ... ... ...

⎢ ⎥

⎢ − ϕ

0 0 0 ... 1 ⎦

⎣ − =I.

come si può facilmente verificare, constatando che V⋅V La fattorizzazione di V

1

produce Pagina X-8

Modulo… ⎤

⎡ − ϕ 2

1 0 0 ... 0 ⎥

⎢ − ϕ 1 0 ... 0 ⎥

⎢ ⎥

− =

1

P − ϕ

0 1 ... 0 (5.3.8)

⎢ ⎥

⎢ ... ... ... ... ...

⎢ 0 0 0 ... 1 ⎦

⎣ − − −

=(P′)

risultato anche questo che può essere verificato tramite la relazione V P .

1 1 1

Tramite la P si ottiene immediatamente lo stimatore dei minimi quadrati

1 β.

generalizzati per i coefficienti

È interessante osservare che la stima ottenuta con i minimi quadrati

generalizzati è quasi la stima di quella prodotta, tramite la (5.3.5), con il metodo

delle quasi differenze. L'unica diversità è data dalla matrice T che, come facilmente

si verifica, è uguale alla matrice P con la prima riga in meno. In altre parole, con

1

il metodo delle quasi differenze non si utilizza il primo elemento del campione.

Pagina X-9

Modulo…

5.4 Stima del modello lineare con schema sui residui e

coefficienti di auto regressione non noti

Se nel modello (5.3.1) i coefficienti di autoregressione non sono noti l'applicazione

degli produce equazioni normali non lineari; infatti, in virtù della (5.3.3) e la

OLS = +1,…,

seconda delle (5.3.1), operando con le quasi differenze si ottiene, con ,

t p n

( ) (5.4.1)

k

− ϕ + − ϕ = − ϕ + − ϕ + ε

y y ... y x x ... x

− − − −

t t p t p jt jt p jt j t

1 1 1 1

=

j 1

per la quale il criterio dei minimi quadrati dispone la minimizzazione della

devianza n

∑ ε 2

t

= +

t p 1

Le equazioni normali che si ottengono in questa minimizzazione sono non lineari,

ma se si dispone di una procedura per risolvere questo sistema, ad esempio quella

illustrata nel paragrafo 2.5, si perviene facilmente alle stime cercate.

Lo stimatore della mas

s ima verosimiglianza nel caso dello schema AR(1)

Illustriamo l'uso del criterio della massima verosimiglianza nel caso in cui lo

ε

schema sui residui sia del tipo e gli siano distribuiti

AR(1) t

~

ε ∼ σ (5.4.2)

2

N ( 0

, )

ε

t

Il modello è ancora costituito dalla prima della (5.3.1) e dalla (5.1.1), con le ipotesi

(5.1.2) e (5.1.3). Utilizzando la trasformazione (5.3.8) otteniamo

−1 −1

P y=P Xβ+ε

ε

dove è il vettore dei residui con distribuzione

~

ε ∼ σ 2

0 I

N ( , )

ε

t β

è la matrice dei valori di tutte le esplicative e è il vettore dei parametri. La

X ~

u

densità di probabilità di è = ⋅ (5.4.3)

f ( ) f ( ) J

u ε

è determinante jacobiano della trasformazione

dove J −1 =ε

P u

dato da ∂

ε (5.4.4)

= = − ϕ

1 2

det det P 1

u Pagina X-10

Modulo… −1

cioè dal prodotto degli elementi diagonali della matrice triangolare . Allora

P

⎧ ′

e e

− =

= − ϕ πσ −

2 2 / 2

n

u

f ( ) 1 ( 2 ) exp ⎬

ε σ 2

2 ⎭

⎩ ε ⎫

⎧ ′ ′

− −

− −

1 1

y Xw P P y Xw

( ) ( ) ( )

= − ϕ πσ −

2 2 / 2

n

1 ( 2 ) exp ⎬

ε σ 2

2 ⎭

⎩ ε

dalla quale si trae la log-verosimiglianza

( ) n

1 (5.4.5)

′ ′

− −

ϕ σ = − ϕ − πσ − − − σ

2 2 2 1 1 2

L w y X ln 1 ln(

2 ) ( y Xw

) ( P ) P ( y Xw

) / 2

ln ( , , ; , )

ε ε ε

2 2

ϕ σ 2

, e . Massimizzando la (5.4.5) si ottengono le stime

funzione dei parametri w ε

cercate.

Il metodo di Cochrane-Orcutt per lo schema AR(1)

Sempre nel caso di schema autoregressivo sui residui , i due econometrici

AR(1)

statunitensi D. Cochrane e G.H. Orcutt (1949) svilupparono una procedura

iterativa che utilizzava per la stima gli . Tale procedura viene innescata da un

OLS

ϕ

valore iniziale arbitrario per , prosegue con il calcolo delle quasi differenze,

1

quindi con la stima dell'equazione e dei residui. Tramite questi e la stima

OLS ϕ

campionaria (2.2.3) si perviene ad un nuovo valore per e la procedura viene

1 ϕ

iterata in un nuovo passo. E così via fino a che miglioramento di , cioè del

1

coefficiente di autocorrelazione di ordine uno è inferiore ad una soglia prefissata

(ad esempio ). Il razionale di questo metodo si basa sul fatto che ad ogni

0,01 ϕ

iterazione il valore stimato di è sempre più vicino al valore effettivo.

1

Nel dettaglio, i passi della procedura sono:

ϕ̂ arbitrario (il numero in apice indica l’iterazione); ad

1) si prefigura un valore 1

ϕ = { }

11

ˆ û

0 oppure il valore che deriva dalla serie determinata stimando

esempio t

;

la prima delle (5.3.1) con gli OLS ϕ = ϕ

11

ˆ ˆ

2) si calcolano le quasi differenze con e si stima con gli l'equazione

OLS

1

= ϕ = β − ϕ + + β − ϕ +

ˆ ˆ ˆ

y y ( x x ) ... ( x x ) v

− − −

t 1 t 1 1 1

t 1 1

t 1 k kt 1 kt 1 t

ϕ = ϕ

{ } 2

ˆ ˆ

v̂ e su di essa si stima ;

3) si calcola la serie 1 1

t −

ϕ − ϕ

i i 1

ˆ ˆ è minore di una soglia

4) se iterano i passi 2) e 3) finché la differenza 1 1

prefissata.

Questo metodo essenzialmente può avere due difetti. In primo luogo è possibile

ϕ − ϕ

i i 1

ˆ ˆ

che la convergenza non venga raggiunta, cioè che non arrivi ed essere

1 1

minore della soglia. Per ovviare a questo difetto è necessario cambiare il valore di

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sul modello di regressione con schema ARMA sui residui. Gli argomenti trattati sono i seguenti: lo schema AR(1) sui residui, gli schemi ARMA (p,q) sui residui, la stima del modello lineare con schema AR(p) sui residui e sui coefficienti di autoregressione noti, la stima del modello lineare con schema sui residui e coefficienti di auto regressione non noti.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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