Economia - il modello di regressione

F. Carlucci – Traccia per un corso di econometria

Modulo 5. Il modello di regressione con schema ARMA sui residui

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Modulo 5.1 Schema AR(1) sui residui

L'autocorrelazione del primo ordine nei residui del modello lineare (4.1.1) può essere generata in molti modi. Uno di questi, esempio tra i più rilevanti, consiste nel fatto che i residui siano generati da un processo autoregressivo del primo ordine, cioè che sia:

u_t = φu_t−1 + ε_t (5.1.1)

tale che:

E(ε_t) = 0 ∀t (5.1.2)

E(ε_t · ε_s) = 0 t ≠ s (5.1.3)

Le ipotesi stocastiche (deboli) sui residui sono quelle standard. Il parametro φ (di autoregressione del primo ordine) è proprio uguale all'autocorrelazione del primo ordine dei residui. Infatti, poiché dalla (5.1.1) si trae che:

u_t = (1 − φL)⁻¹ ε_t = ε_t + φLε_t + φ²L²ε_t + … (5.1.4)

dove è stata utilizzata la somma infinita dei termini di una successione geometrica di ragione φ, allora:

E(u_t) = E((1 − φL)⁻¹ ε_t) = 0 ∀t (5.1.5)

e:

Cov(u_t, u_t−1) = φσ²_ε = φσ²_u (5.1.6)

ρ(1) = φσ²_u/σ²_u = φ (5.1.7)

Il test di Durbin

Si è visto che se nel modello (4.1.1) è presente l'intercetta e le variabili esplicative non sono stocastiche, l'ipotesi di assenza di autocorrelazione del primo ordine, cioè la nulla:

H₀: ρ(1) = 0 (5.1.8)

può essere verificata con il test DW. Se invece tra le variabili esplicative sono presenti endogene ritardate, come nel caso seguente:

y_t = β₀ + β₁y_t−1 + β₂y_t−2 + … + β_ry_t−r + γ₁x_1t + … + γ_kx_kt + u_t (5.1.9)

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tale test non può più essere usato. Durbin, da solo, costruì un test che verificasse la (5.1.8) nel caso della (5.1.9) con residui generati dallo schema autoregressivo del primo ordine (5.1.1). Egli dimostrò che sotto la nulla (5.1.8) la statistica:

h = d(ρ(1) − 1) √(n)/√(Var(β₁)) → N(0,1) (5.1.10)

cioè si distribuisce asintoticamente come una variabile aleatoria normale standardizzata, nell'ipotesi che:

√(n)/√(Var(β₁)) > 0 (5.1.11)

dove β̂₁ è lo stimatore dei minimi quadrati di β₁.

Osservazione 5.1 - Operativamente, si considera valida la (5.1.10) se n è grande, diciamo n > 40:

• Si stima la (5.1.9) con gli OLS, si calcola β̂₁ e si determina la serie dei residui stimati;
• Tramite ρ̂_u(1) si calcola il coefficiente di correlazione campionaria dato dalla (4.2.3);
• Si calcola la h data dalla (5.1.11) e si effettua l'usuale test con la normale standardizzata; al livello di significatività del 5% si accetta l'ipotesi nulla (5.1.8) di assenza di autocorrelazione del primo ordine nei residui se h è contenuto nell'intervallo [−1.645, +1.645); se h < −1.645 si accetta l'alternativa con ρ(1) < 0; se h ≥ −1.645 si accetta l'alternativa con ρ(1) > 0.

Se non vale la (5.1.11), Durbin dimostrò che i passi precedenti sono asintoticamente (cioè per n grande) equivalenti ai seguenti:

• Si stima la (5.1.9) con gli OLS e si determina la serie dei residui stimati;
• Si costruisce il modello u_t = β₀ + β₁u_t−1 + β₂u_t−2 + … + β_ry_t−r + γ₁x_1t + … + γ_kx_kt + v_t e lo si stima;
• Si esegue il test della t di Student su β₀; se tale test suggerisce di rifiutare che β₀ = 0, allora si rifiuta la (3.1.8), cioè si accetta l'ipotesi che esista autocorrelazione di primo ordine nei residui.

Osservazione 5.2 - Il test di Durbin non è valido per verificare un'autocorrelazione del primo ordine proveniente da una fonte qualsiasi; è valido soltanto quando l'autocorrelazione è generata dallo schema (5.1.1).

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Modulo 5.2 Schemi ARMA(p, q) sui residui

L'esempio del paragrafo precedente, costituito dal modello lineare (4.1.1) con i residui che seguono lo schema autoregressivo del primo ordine (5.1.1), può essere esteso al caso di residui che seguono uno schema autoregressivo del secondo ordine:

u_t = φ₁u_t−1 + φ₂u_t−2 + ε_t (5.2.1)

con le ipotesi (5.1.2) e (5.1.3), oppure ancora uno schema autoregressivo di ordine generico p:

u_t = φ₁u_t−1 + φ₂u_t−2 + … + φ_pu_t−p + ε_t (5.2.3)

Ma anche la componente MA(1):

u_t = ε_t − θ₁ε_t−1

e più in generale allo schema MA(q):