Economia

XY XY X Y

X

Date due variabili casuali e e dati tre scalari e

, :

( + + ) = () + () +

" "

( + + ) = () + () + 2 (, )

X y

Se X e Y seguono a distribuzione normale, è normalmente distribuita.

+ +

. #$.

Distribuzione Binomiale: ( = ) = 0 2 (1 − ) = = − )

T(1

$ %&

4 5

Distribuzione di Poisson: (

( = ) = = )

.! .$6

Distribuzione Uniforme tra e se zero se uno se

: ( ≤ ) = ≤ ≤ , < , >

7$6

Stimatori vari:

(

∑ 9

Z ' è la media campionaria

X = ')!

:

; ;

9 $< 9 $>

+ = è la media campionaria standardizzata e segue una distribuzione normale standard

Z= *

= =

+ +

* *

nel caso di popolazione normale o campioni di ampiezza > 30. Calcolo di :

σ

9; =

- Popolazione infinita o campionamento con ripetizione da popolazione finita: σ =

9; √:

= @$:

]

- Campionamento senza ripetizione da popolazione finita: σ =

9; @$!

√:

;

AB $< C $D

+ è la proporzione campionaria standardizzata dei successi e segue una distribuzione

Z= =

,

= =

+ +

- -

normale standard nel caso di campioni di ampiezza > 30. Calcolo di σ :

C

- Popolazione binomiale infinita o campionamento con ripetizione da popolazione binomiale finita:

D(!$D)

] ; vale la proprietà p(1-p)<=1/4

σ =

C; : D(!$D) @$:

]

- Campionamento senza ripetizione da popolazione binomiale finita: σ =

C; : @$!

/ "

B

∑ (E $E )

" . è lo stimatore corretto della varianza campionaria

S = .)!

#$!

/ B B

∑ (E $E )(3 $F )

. . è lo stimatore corretto della covarianza campionaria

= .)!

.3 #$!

EB $< segue una di Student con n-1 gradi di libertà, nel caso di popolazione normalmente

=

0

√/

distribuita, infinita o campionata con ripetizione anche per n<30.

La variabile standardizzata delle differenze delle medie campionarie è:

(EB $EB )$(< $<

! " ! ") che segue una distribuzione normale se i due campioni hanno ampiezza >= 30

= ,

" "

GH IH

+ +"

3 3

! ⬚

oppure se i due campioni hanno ampiezza qualunque o le due popolazioni sono normalmente distribuite

La variabile standardizzata delle differenze delle proporzioni campionarie è:

(AB $AB )$(J $J

! " ! ") che segue una distribuzione normale se i due campioni hanno ampiezza >= 30

= ,

" "

GH IH

+ +"

, ,

! ⬚

Test sulla media della popolazione con ipotesi nulla : = :

K ; ;

9 $L 9 $L

- Ipotesi alternativa Non rigettare al 5% di significatività se oppure

: > . < <

! K K,NO

= P

M M

√: √:

, altrimenti rifiutarla.

K,NO ;

9 $L

- Ipotesi alternativa Non rigettare al 5% di significatività se oppure

: < . > −

! K K,NO

=

M

√:

;

9 $L , altrimenti rifiutarla.

> −

K,NO

P

M

√: ;

9 $L

- Test per l’ipotesi Non rigettare al 5% di significatività se

: ≠ . − < <

! K K,NQO K,NQO

=

M

√:

;

9 $L

oppure , altrimenti rifiutarla.

− < <

K,NQO K,NQO

P

M

√:

Test sulla proporzione della popolazione con ipotesi nulla : = :

K ;

C $L

- Ipotesi alternativa Non rigettare al 5% di significatività se , altrimenti

: > . <

! K K,NO

4(!%4)

G (

rifiutarla. ;

C $L

- Ipotesi alternativa Non rigettare al 5% di significatività se , altrimenti

: < . > −

! K K,NO

4(!%4)

G (

rifiutarla. ;

C $L

- Test per l’ipotesi Non rigettare al 5% di significatività se ,

: ≠ . − < <

! K K,NQO K,NQO

4(!%4)

G (

altrimenti rifiutarla.