Econometria - i VAR strutturali

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di Econometria

Modulo X – Modelli VAR

4. IDENTIFICAZIONE E VAR STRUTTURALI

Indice del capitolo p

4.1. Il problema dell’identificazione di un VAR( ) ............................................................ 2

4.2. Il modello ricorsivo....................................................................................................... 4

4.3. La funzione di risposta agli impulsi e la scomposizione della varianza dell’errore

di proiezione nei VAR strutturali ............................................................................... 5

L’analisi delle risposte agli impulsi...................................................................... 5

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione ................................. 5

4.4. La funzione di risposta generalizzata agli impulsi e la scomposizione

generalizzata della varianza dell’errore di proiezione............................................... 7

L’analisi delle risposte agli impulsi...................................................................... 7

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione ................................. 9

4.5. Un esempio ................................................................................................................. 10

4.6. Le condizioni di rango per l’identificazione .............................................................. 13

Un test per la verifica delle restrizioni di sovraidentificazione ....................... 14

Le condizioni di rango ......................................................................................... 14

4.7. Modelli strutturali con restrizioni contemporanee .................................................. 17

Una applicazione ................................................................................................. 17

4.8. Un esempio ................................................................................................................. 22

4.9. Modelli strutturali con restrizioni di lungo periodo................................................. 24

4.10. Un esempio ................................................................................................................. 27

4.11. Modelli strutturali con restrizioni contemporanee e di lungo periodo ................... 30

4.12. Bibliografia ................................................................................................................. 34

Pagina 4-1

Modulo X – Modelli VAR

4.1. Il problema dell’identificazione di un VAR(p)

Si è visto nel capitolo 1 come il Sims (1980) abbia utilizzato il modello VAR( )

p

shock

(1.1.5) per analizzare gli effetti sulle variabili del vettore di uno strutturale

y t

inglobato in uno dei residui del vettore . Come detto in quel capitolo, poiché

u

t

questi residui sono generalmente correlati tra di loro al ritardo zero, non è

possibile, senza fare ipotesi aggiuntive, distinguere gli effetti su provenienti da

y t

shock

uno specifico cui è soggetta una variabile. Sims risolse questo problema

ortogonalizzando i residui, cioè imponendo che questi non fossero correlati tra di

loro, con la trasformazione = (4.1.1)

A u ε

0 t t

è una matrice triangolare, e con l’altra ipotesi che

dove A

0 ( )

~ ~ ′ ′

= (4.1.2)

E ε ε D D

t t

fosse una matrice diagonale con elementi non negativi (e pari alle varianze degli

~

elementi di ).

ε t

Le restrizioni usate dal Sims costituiscono un caso particolare della

shock

argomentazione secondo la quale l’economia è soggetta ad un insieme di

strutturali distinti, riuniti nel vettore , e le variabili osservabili, riunite nel

ε t

shock

vettore , sono legate a questi dal consueto modello ad equazioni simultanee

y t

(1.3.3); per cui si ottiene la (4.1.1) se per vale il modello VAR( ) (1.1.5).

y p

t

~ ~

= =

, come nella (1.6.1) e , dalla (4.1.1) si

Se poniamo Ω ε

Σ Cov( u ) Cov( )

u t t

ricava ′

( ) (4.1.3)

− −

= 1 1

Σ A Ω A

0 0

u ed i parametri matriciali ,

Sorge, a questo punto, il problema di determinare Ω Φ i

= =

, del SEM (o VARDL) (1.3.3) a partire da e le , , del

Σ A

i 1, 2, , ..., p i 1, 2, , ..., p

i

u

modello VAR( ) (1.1.5). Questi ultimi parametri possono essere stimati con uno dei

p

criteri esposti nel capitolo 2, ma il passaggio da questi ai parametri della forma

strutturale non è immediato. Possedendo e le stime dei parametri ,

A Φ

0 i

= =

, le matrici , , sono immediatamente determinate

A

i 1, 2, , ..., p i 1, 2, , ..., p

i

tramite le relazioni =

= ⋅ (4.1.4)

i 1, 2, , ..., p

A A Φ

i 0 i

per cui il problema della stima dei parametri strutturali si riduce a quello di

ed a partire da tramite la (4.1.3). Poiché generalmente

determinare A Ω Σ

0 u

questo problema non possiede una soluzione univoca, sorge la necessità di trovare

un certo numero di vincoli ai parametri in modo che la soluzione sia univoca.

Pagina 4-2

Modulo X – Modelli VAR

identificazione

Questo problema va sotto il nome di . Chiariamolo con altre

parole. una matrice di dispersione, è semidefinita positiva e quindi può

Essendo la Ω

essere fattorizzata nel prodotto = ⋅ ′ (4.1.5)

Ω B B

matrice quadrata di ordine . Dalla (4.1.5) si può avere

con B k ~

= ⋅ ′ = ⋅Cov( ′

Ω B B B u B

)⋅

t

da cui = ⋅ (4.1.6)

ε B w

t

t ~

~ residuo vettoriale che si trae dai residui della forma strutturale con la

con w ε

t it

semplice ortonormalizzazione (4.1.6).

Ovviamente è ~ = (4.1.7)

w I

Cov( )

t

e combinando le (4.1.1) con la (4.1.6) si ottiene

= ⋅ (4.1.8)

A u B w

0 t t

Dalle (4.1.3) e (4.1.5) si ha ′

( ) (4.1.9)

′

− −

= ⋅ ⋅ ⋅

1 1

Σ A B B A

0 0

u

tramite la quale si ha una nuova formulazione del problema dell’identificazione:

2 2

determinare gli elementi di (che sono ) e di (altri ) a partire dagli elementi

A B

k k

0 2

di , che sono poiché è simmetrica. Poiché per ,

Σ Σ

k⋅(k+1)/2 2⋅k > k⋅(k+1)/2 k > 0

u u

non è generalmente possibile passare dai secondi ai primi in maniera univoca ed è

allora necessario imporre vincoli sui parametri di e/o . Il numero di questi

A B

0

vincoli è ovviamente pari ad almeno

2 − (4.1.10)

2⋅k k⋅(k+1)/2

condizione necessaria d’ordine

(o ) per

e la loro imposizione forma la

l’identificazione. Questa condizione non è però, in generale, sufficiente.

Come nel caso dell’identificazione del SEM, i vincoli sui parametri delle matrici

e necessari sono derivati da considerazioni di carattere teorico. In questo

A B

0 struttura

modo si inserisce nel modello VAR non vincolato una , di origine teorica,

strutturale

ed il VAR viene ad essere chiamato . L’inserimento di tali vincoli

strutturalizzazione

corrisponde così alla del modello VAR. Pagina 4-3

Modulo X – Modelli VAR

4.2. Il modello ricorsivo =

Si ha il caso particolare usato dal Sims se si impone che sia e che sia

B I A

k 0

triangolare (inferiore), cioè che la (4.1.8) diventi

   

   

Y Y

1 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0

u w

11

t t

   

   

   

   

I I

a b

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

u w

21 22

t t

   

   

   

   

P P

a a b

1 0 0 0 0 0 0 0 0

u w

31 32 33

   

t t

   

=

   

   

M M

a a a b

1 0 0 0 0 0 0 0

u w

   

41 42 43 44

   

t t

   

   

U U

a a a a b

1 0 0 0 0 0 0

u w

   

   

51 52 53 54 55

t t

   

   

  

R R

a a a a a b

1 0 0 0 0 0

   

u w

   

   

61 62 63 64 65 66

t t

dove la matrice è normalizzata in modo da avere gli elementi diagonali pari ad

A

0

uno. Con queste imposizioni il numero dei parametri diversi da zero e da uno nelle

matrici e è esattamente uguale al numero degli elementi della

A B k⋅(k+1)/2,

0 esatta identificazione

matrice ; si ha, cioè, .

Σ u nel prodotto di una

Si è già detto nel paragrafo 1.6 che la fattorizzazione di Σ u

particolare matrice triangolare , con elementi diagonali tutti positivi, per la sua

P

′

trasposta è detta di Choleski. Tale fattorizzazione è unica una volta che sia stato

P

individuato il posto di ciascuna variabile nel vettore . Si è anche notato nel

y

t

paragrafo 1.6 che la fattorizzazione di Choleski dà luogo ad una matrice A

0

triangolare, per cui il modello SEM o VARDL (1.6.3), uguale all’(1.3.3), viene ad

ricorsivo

essere .

L’uso della ricorsività per l’identificazione di modello VAR fu fatto nuovamente

dal Sims (1986) in un lavoro mirante a ribadire l’utilità dei modelli VAR nella

politica economica. Considerò ancora l’economia degli USA nel periodo 1948:I-

1973:III stimando con dati trimestrali un VAR composto da sei variabili: il reddito

Y I P

reale , gli investimenti fissi reali del settore privato , il deflatore del reddito , la

M U

moneta misurata in termini di M1, il tasso di disoccupazione e il tasso di

R

interesse sui titoli del Tesoro a breve . Il modello comprendeva un vettore di

costanti e fu stimato con quattro ritardi. Tutte le variabili furono logaritimizzate,

U R

ad esclusione di ed , e disposte secondo l’ordinamento

Y I P M U R

→ → → → →

fosse presa triangolare inferiore a seguito

cui dava valore il fatto che la matrice A

0

della fattorizzazione di Choleski. L’identificazione del modello era così immediata.

Pagina 4-4

Modulo X – Modelli VAR

4.3. La funzione di risposta agli impulsi e la scomposizione della

varianza dell’errore di proiezione nei VAR strutturali

L’analisi delle risposte agli impulsi

Se si utilizza una struttura tipicizzata dalla (4.1.8) la rappresentazione a somma

mobile infinita (1.4.3) diventa

−1 −1 −1

= + + + (4.3.1)

y A B w A B w A B w …

Ψ Ψ

t 0 t 0 t−1 0 t−2

1 2

dalla quale si ricava al nuova funzione di risposta agli impulsi

−1 −1 −1 (4.3.2)

{ Ψ A B A B A B }

…

Ψ Ψ

0 0 0

0 1 2

= che va a sostituire la (1.6.1). L’elemento di posto nella matrice

con Ψ I (i,j)

k

0

−1 shock

rappresenta la risposta della variabile -esima in ad uno

Ψ A B y

i

0 t

h

strutturale unitario nell’elemento -esimo del vettore prodottosi istanti di

w

j h

t

tempo prima.

Operativamente, per arrivare alle risposte agli impulsi, le matrici di parametri

della somma mobile vettoriale (1.4.3) possono essere stimate con una delle

Ψ h

procedure illustrate nel capitolo 2 mentre questo non è possibile per le matrici e

A 0

senza ipotesi restrittive aggiuntive. La stima, dunque, della funzione di risposta

B

agli impulsi può essere condotta seguendo due passi: nel primo si stimano i

parametri e a partire dai dati e senza vincoli; nel secondo passo, utilizzando

Ψ Σ

h u

le restrizioni, si derivano tramite la (4.1.9) le stime di , a partire dalla

A B Σ

0 u

stimata nel primo passo senza vincoli. −1 delle risposte agli impulsi.

Così si ottengono le stime delle matrici Ψ A B

0

h

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione

Nel paragrafo 3.5 si è mostrato come ottenere la scomposizione dell’errore

quadratico medio di proiezione in riferimento ad uno schema di identificazione

ricorsivo. L’errore di proiezione definito dalla (3.3.11)

−

h 1

∑

=

e Ψ u (4.3.4)

+ + −

n h i n h i

=

i 0

utilizzando la relazione (4.1.8) diviene

− − −

h 1 h 1 h 1

∑ ∑ ∑

−

= = =

1 * *

e Ψ u Ψ A B u Θ w (4.3.5)

+ + − + − + −

n h i n h i i 0 n h i i n h i

= = =

i 0 i 0 i 0

−1

= = = −1

* *

dove si è posto e con .

Θ Ψ A w B u 0, 1, …,

i h

n+h−i

+ −

i i 0 n h i Pagina 4-5

Modulo X – Modelli VAR

ϑ *

* *

Indicando con l’elemento di posto ( , ) nella matrice e con , l’ -

Θ

j m m

w + −

jm , i m , n h i

i

*

esima componente di , l’errore di proiezione tempi in avanti della -esima

w h j

+ −

n h i

è

componente di y

t −

k h 1

( ) ( )

( ) ∑∑ 2

= = ϑ

2 *

MSE y E e (4.3.6)

+ +

, , ,

j n h j n h jm i

= =

1 0

m i alla varianza dell’errore di

e il contributo dato dai residui della variabile m

−

h 1 ( )

∑ 2

ϑ

*

tempi in avanti della variabile , , espresso come quota parte

proiezione h j jm i

,

=

i 0

del MSE vale −

h 1

( ) ( ) ( )

∑

h 2

= ϑ

* * /

w MSE y (4.3.7)

+

jm jm , i j , n h

=

i 0

che rappresenta la scomposizione della varianza dell’errore di proiezione in termini

.

dei contributi apportati dalle variabili raccolte nel vettore y

t Pagina 4-6

Modulo X – Modelli VAR

4.4. La funzione di risposta generalizzata agli impulsi e la

scomposizione generalizzata della varianza dell’errore di

proiezione

L’analisi delle risposte agli impulsi

Prima di esporre i diversi schemi di strutturalizzazione di modelli VAR, appare

utile soffermarci ancora sulla simulazione dinamica, ed in particolare sulle funzioni

di risposta agli impulsi.

La strutturalizzazione (4.1.8) consente di superare le due principali limitazioni

che interessano il modello riscorsivo. Anzitutto, è possibile “accomodare” in

maniera più flessibile e soddisfacente la teoria economica nei modelli VAR, come

vedremo nei paragrafi successivi. Inoltre, l’identificazione delle funzioni di risposta

agli impulsi strutturali è univoca; ossia, la simulazione dinamica non è più

influenzata dall’ordinamento delle variabili raccolte nel vettore .

y

t

Quest’ultimo risultato, tuttavia, può essere raggiunto attraverso le funzioni di

et alii (1996) per i sistemi

risposta generalizzate agli impulsi, introdotte da Koop

dinamici non lineari e sviluppate in ambito VAR da Pesaran e Shin (1998). A

differenza della strategia tradizionale, tale approccio non richiede l’ortogonalità dei

residui; ne consegue che i risultati non sono influenzati dal problema

dell’ordinamento come per i modelli ricorsivi né occorre soddisfare alle condizioni

(necessarie e sufficienti) per l’identificazione della (4.1.8) esposte nel paragrafo 4.5 .

1

Se il modello VAR ammette la rappresentazione a somma mobile infinita (1.4.3)

possiamo definire come =

Ω (4.4.1)

0 0 0

)

(

RG h

, u , Ψ u

y,h −

t t h t

1 dell’intero processo agli impulsi

la funzione di risposta generalizzata al tempo t y

t

Ω

0 0

contenuti nel vettore prodotti tempi prima, dove rappresenta la

h

u −

t

t 1

2 0

realizzazione del processo al tempo . Sotto l’ipotesi che segua la stessa

t−1 u t

distribuzione del vettore dei residui del modello VAR, si ha

L’ortogonalizzazione dei residui ottenuta attraverso restrizioni derivanti dalla teoria

1

economica può apparire concettualmente più elegante rispetto al metodo “ateorico” qui

presentato. Tuttavia, può accadere, in particolare per modelli di dimensioni superiori a tre

o quattro variabili, che la teoria economica non offra informazioni sul breve corso sufficienti

A B

e .

per identificare le matrici 0

Dalla (4.4.1) emerge come le funzioni di risposta agli impulsi siano indipendenti dalla

2

“storia” del processo. Questa proprietà, comunque, è propria solamente dei sistemi lineari.

Pagina 4-7

Modulo X – Modelli VAR

′

Ω (4.4.2)

0 0 ∼ ,

RG ( , u , ) (0 Ψ Σ Ψ )

h N

y,h −

1

t t h u h

Concentrando l’attenzione su un impulso di intensità pari ad una deviazione

shock

-esimo elemento del vettore degli abbiamo

standard sull’

m Ψ Σ f

σ Ω 0 = h u m

( , , )

RG h (4.4.3)

y,h −

1

mm t σ mm

-esima in ad un impulso specifico dell’elemento

per cui la risposta della variabile y

j t

0

-esimo del vettore avutosi tempi prima diviene

u

m h

t ′

f Ψ Σ f

j h u m

=

RG (4.4.4)

ij,h σ mm ×1

( ) è un vettore di selezione, di dimensione , in cui l’ -esimo ( -esimo)

dove f f k j m

j m −1

elemento è pari ad uno ed i rimanenti elementi sono nulli.

k

Osservazi