Econometria - i VAR strutturali

Modulo X – Modelli VAR

4.3. La funzione di risposta agli impulsi e la scomposizione della

varianza dell’errore di proiezione nei VAR strutturali

L’analisi delle risposte agli impulsi

Se si utilizza una struttura tipicizzata dalla (4.1.8) la rappresentazione a somma

mobile infinita (1.4.3) diventa

−1 −1 −1

= + + + (4.3.1)

y A B w A B w A B w …

Ψ Ψ

t 0 t 0 t−1 0 t−2

1 2

dalla quale si ricava al nuova funzione di risposta agli impulsi

−1 −1 −1 (4.3.2)

{ Ψ A B A B A B }

…

Ψ Ψ

0 0 0

0 1 2

= che va a sostituire la (1.6.1). L’elemento di posto nella matrice

con Ψ I (i,j)

k

0

−1 shock

rappresenta la risposta della variabile -esima in ad uno

Ψ A B y

i

0 t

h

strutturale unitario nell’elemento -esimo del vettore prodottosi istanti di

w

j h

t

tempo prima.

Operativamente, per arrivare alle risposte agli impulsi, le matrici di parametri

della somma mobile vettoriale (1.4.3) possono essere stimate con una delle

Ψ h

procedure illustrate nel capitolo 2 mentre questo non è possibile per le matrici e

A 0

senza ipotesi restrittive aggiuntive. La stima, dunque, della funzione di risposta

B

agli impulsi può essere condotta seguendo due passi: nel primo si stimano i

parametri e a partire dai dati e senza vincoli; nel secondo passo, utilizzando

Ψ Σ

h u

le restrizioni, si derivano tramite la (4.1.9) le stime di , a partire dalla

A B Σ

0 u

stimata nel primo passo senza vincoli. −1 delle risposte agli impulsi.

Così si ottengono le stime delle matrici Ψ A B

0

h

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione

Nel paragrafo 3.5 si è mostrato come ottenere la scomposizione dell’errore

quadratico medio di proiezione in riferimento ad uno schema di identificazione

ricorsivo. L’errore di proiezione definito dalla (3.3.11)

−

h 1

∑

=

e Ψ u (4.3.4)

+ + −

n h i n h i

=

i 0

utilizzando la relazione (4.1.8) diviene

− − −

h 1 h 1 h 1

∑ ∑ ∑

−

= = =

1 * *

e Ψ u Ψ A B u Θ w (4.3.5)

+ + − + − + −

n h i n h i i 0 n h i i n h i

= = =

i 0 i 0 i 0

−1

= = = −1

* *

dove si è posto e con .

Θ Ψ A w B u 0, 1, …,

i h

n+h−i

+ −

i i 0 n h i Pagina 4-5

Modulo X – Modelli VAR

ϑ *

* *

Indicando con l’elemento di posto ( , ) nella matrice e con , l’ -

Θ

j m m

w + −

jm , i m , n h i

i

*

esima componente di , l’errore di proiezione tempi in avanti della -esima

w h j

+ −

n h i

è

componente di y

t −

k h 1

( ) ( )

( ) ∑∑ 2

= = ϑ

2 *

MSE y E e (4.3.6)

+ +

, , ,

j n h j n h jm i

= =

1 0

m i alla varianza dell’errore di

e il contributo dato dai residui della variabile m

−

h 1 ( )

∑ 2

ϑ

*

tempi in avanti della variabile , , espresso come quota parte

proiezione h j jm i

,

=

i 0

del MSE vale −

h 1

( ) ( ) ( )

∑

h 2

= ϑ

* * /

w MSE y (4.3.7)

+

jm jm , i j , n h

=

i 0

che rappresenta la scomposizione della varianza dell’errore di proiezione in termini

.

dei contributi apportati dalle variabili raccolte nel vettore y

t Pagina 4-6

Modulo X – Modelli VAR

4.4. La funzione di risposta generalizzata agli impulsi e la

scomposizione generalizzata della varianza dell’errore di

proiezione

L’analisi delle risposte agli impulsi

Prima di esporre i diversi schemi di strutturalizzazione di modelli VAR, appare

utile soffermarci ancora sulla simulazione dinamica, ed in particolare sulle funzioni

di risposta agli impulsi.

La strutturalizzazione (4.1.8) consente di superare le due principali limitazioni

che interessano il modello riscorsivo. Anzitutto, è possibile “accomodare” in

maniera più flessibile e soddisfacente la teoria economica nei modelli VAR, come

vedremo nei paragrafi successivi. Inoltre, l’identificazione delle funzioni di risposta

agli impulsi strutturali è univoca; ossia, la simulazione dinamica non è più

influenzata dall’ordinamento delle variabili raccolte nel vettore .

y

t

Quest’ultimo risultato, tuttavia, può essere raggiunto attraverso le funzioni di

et alii (1996) per i sistemi

risposta generalizzate agli impulsi, introdotte da Koop

dinamici non lineari e sviluppate in ambito VAR da Pesaran e Shin (1998). A

differenza della strategia tradizionale, tale approccio non richiede l’ortogonalità dei

residui; ne consegue che i risultati non sono influenzati dal problema

dell’ordinamento come per i modelli ricorsivi né occorre soddisfare alle condizioni

(necessarie e sufficienti) per l’identificazione della (4.1.8) esposte nel paragrafo 4.5 .

1

Se il modello VAR ammette la rappresentazione a somma mobile infinita (1.4.3)

possiamo definire come =

Ω (4.4.1)

0 0 0

)

(

RG h

, u , Ψ u

y,h −

t t h t

1 dell’intero processo agli impulsi

la funzione di risposta generalizzata al tempo t y

t

Ω

0 0

contenuti nel vettore prodotti tempi prima, dove rappresenta la

h

u −

t

t 1

2 0

realizzazione del processo al tempo . Sotto l’ipotesi che segua la stessa

t−1 u t

distribuzione del vettore dei residui del modello VAR, si ha

L’ortogonalizzazione dei residui ottenuta attraverso restrizioni derivanti dalla teoria

1

economica può apparire concettualmente più elegante rispetto al metodo “ateorico” qui

presentato. Tuttavia, può accadere, in particolare per modelli di dimensioni superiori a tre

o quattro variabili, che la teoria economica non offra informazioni sul breve corso sufficienti

A B

e .

per identificare le matrici 0

Dalla (4.4.1) emerge come le funzioni di risposta agli impulsi siano indipendenti dalla

2

“storia” del processo. Questa proprietà, comunque, è propria solamente dei sistemi lineari.

Pagina 4-7

Modulo X – Modelli VAR

′

Ω (4.4.2)

0 0 ∼ ,

RG ( , u , ) (0 Ψ Σ Ψ )

h N

y,h −

1

t t h u h

Concentrando l’attenzione su un impulso di intensità pari ad una deviazione

shock

-esimo elemento del vettore degli abbiamo

standard sull’

m Ψ Σ f

σ Ω 0 = h u m

( , , )

RG h (4.4.3)

y,h −

1

mm t σ mm

-esima in ad un impulso specifico dell’elemento

per cui la risposta della variabile y

j t

0

-esimo del vettore avutosi tempi prima diviene

u

m h

t ′

f Ψ Σ f

j h u m

=

RG (4.4.4)

ij,h σ mm ×1

( ) è un vettore di selezione, di dimensione , in cui l’ -esimo ( -esimo)

dove f f k j m

j m −1

elemento è pari ad uno ed i rimanenti elementi sono nulli.

k

Osservazione 4.1 – Le funzioni di risposta agli impulsi ottenute con il

modello ricorsivo coincidono con quelle ottenute dal metodo presentato

in questo paragrafo solamente se la matrice di dispersione al ritardo

zero è diagonale.

Σ u sono nulle

Dall’Osservazione emerge che se tutte le covarianze contenute in Σ u

i risultati della simulazione dinamica di un modello ricorsivo risultano “robusti”,

nel senso che sono invarianti rispetto a permutazioni degli elementi di . Per la

y

t

verifica della diagonalità di si può ricorrere ad un test del rapporto delle

Σ u

verosimiglianze, basato sul seguente sistema di ipotesi

σ =

: 0

H

0 jm ≠ = (4.4.5)

, 1, …,

j m j m k

σ ≠

: 0

H

1 jm

L’ipotesi nulla che tutti gli elementi della matrice non contenuti nella diagonale

principale sono nulli viene, dunque, confrontata con l’ipotesi alternativa che

almeno una covarianza sia non nulla. La statistica viene calcolata come

 

k ( )

∑

( )

Σ

λ = ⋅ − σ 2

2 L L

 

LR u l l

 

=

l 1

( )

Σ rappresenta il valore della funzione di log-verosimiglianza ottenuto con

dove L u ( )

σ 2

la (2.8.4), mentre indica il valore della funzione di log-verosimiglianza

L

l l

relativa all’ -esima delle equazioni che costituiscono il VAR, stimata con il metodo

l k λ

dei minimi quadrati ordinari. Sotto , la statistica si distribuisce

H

0 LR

2

χ

asintoticamente come un con gradi di libertà.

( 1)/2

k⋅ k− Pagina 4-8

Modulo X – Modelli VAR

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione

Nei modelli ricorsivi l’ordinamento delle variabili nel vettore influenza non solo i

y

t

risultati dell’analisi delle risposte agli impulsi ma anche quelli della scomposizione

della varianza dell’errore di proiezione. Una procedura alternativa a quella esposta

nel paragrafo 3.5 consiste nell’analizzare la quota parte del contributo dato da

ciascuno dei residui non ortogonalizzati della variabile alla varianza dell’errore

m

di proiezione tempi in avanti della variabile . Pesaran e Shin (1998) mostrano

h j

come la (3.5.4) si modifica nella

−

h 1

( ) ( ) ( )

∑

h 2

′

−

= σ ⋅

gjm 1 f Ψ Σ f /

w MSE y (4.4.6)

+

mm m i u j j n h

,

=

i 0

che rappresenta la scomposizione generalizzata della varianza dell’errore di

proiezione. La (4.4.6) coincide con la (3.5.4) solamente se la matrice è diagonale.

Σ u Pagina 4-9

Modulo X – Modelli VAR

4.5. Un esempio

In questo esempio replichiamo il modello ricorsivo utilizzato dal Sims nel 1986 e

descritto nel paragrafo 4.2.

Il modello VAR di partenza è il seguente

   

y y −

t t i

   

   

i i −

t t i

   

   

p p

4 −

∑

t t i

   

= + ⋅ +

c A ξ

i t

   

m m

=

i 1 −

t t i

   

   

u u −

   

t t i

   

   

r r

   

−

t t i

× ×

dove è un vettore di costanti, le sono matrici di ordine e è un

c (6 1) A (6 6) ξ

i t

×

vettore di residui.

(6 1)

Nella Figura 4.1 vengono mostrate le funzioni di risposta degli elementi del

vettore delle endogene ad un impulso di intensità pari ad una deviazione standard

shock

relativo, ad esempio, alla moneta. Lo viene calcolato ricorrendo sia allo

schema ricorsivo sia all’approccio esposto nel paragrafo precedente. Dai grafici si

evince chiaramente che il profilo temporale delle risposte delle variabili è molto

simile, sebbene vi siano differenze nelle intensità. Ciò è particolarmente evidente

per i prezzi e per l’aggregato monetario. Tuttavia, nei grafici non sono riportati gli

intervalli di confidenza delle risposte, per cui non è possibile concludere che i

risultati delle simulazioni condotte con i due schemi di analisi siano

statisticamente differenti. A tale scopo verifichiamo se la matrice di dispersione dei

residui stimati, , sia statisticamente diversa da una matrice diagonale.

Σ ξ

Dai residui stimati si ottiene la seguente matrice di dispersione

−

 

0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0016 0.0004

 

 

−

0.0001 0.0006 0.0000 0.0000 0.0029 0.0018

 

 

− −

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001

 

 

−

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0000

 

 

− − − − −

0.0016 0.0029 0.0002 0.0005 0.0812 0.0215

 

 

− −

0.0004 0.00

18 0.0001 0.0000 0.0215 0.1776

  Pagina 4-10

Modulo X – Modelli VAR

Reddit o r ea le In vest im en t i r ea li

0.010 0.020

0.008 0.015

0.006 0.010

0.004

0.002 0.005

0.000 0.000

-0.002

-0.004 -0.005

1 5 9 13 17 21 25 29 33 1 5 9 13 17 21 25 29 33

Sch em a r icor sivo Rispost a gen er a lizza t a Sch em a r icor sivo Rispost a gen er a lizza t a

P r ezzi Mon et a

0.016 0.014

0.014 0.012

0.012 0.010

0.010 0.008

0.008 0.006

0.006 0.004

0.004 0.002

0.002

0.000 0.000

1 5 9 13 17 21 25 29 33 1 5 9 13 17 21 25 29 33

Sch em a r icor sivo Rispost a gen er a lizza t a Sch em a r icor sivo Rispost a gen er a lizza t a

Ta sso di disoccu pa zion e Ta sso di in t er esse

0.300

0.200 0.250

0.100 0.200

0.000 0.150

-0.100 0.100

-0.200 0.050

-0.300 0.000

-0.400 -0.050

-0.500 -0.100 1 5 9 13 17 21 25 29 33

1 5 9 13 17 21 25 29 33

Sch em a r icor sivo Rispost a gen er a lizza t a Sch em a r icor sivo Rispost a gen er a lizza t a

Figura 4.1 - Funzioni di risposta ad un impulso relativo alla moneta. Pagina 4-11

Modulo X – Modelli VAR

L’ipotesi da verificare ( ) è che i coefficienti al di fuori della diagonale

H

0

principale siano tutti statisticamente nulli contro l’ipotesi alternativa ( )

H

1

rappresentata dalla presenza di qualche covarianza non nulla in .

Σ ξ

A tale scopo costruiamo la statistica

( )

λ = ⋅ −

2 LL LL

LR 1 0

e sono le funzioni di log-verosimiglianza associate al modello sotto

dove LL LL

1 0

l’ipotesi alternativa e nulla, rispettivamente. La statistica associata a tale test si

2

χ

distribuisce come un con numero di gradi di libertà pari a , dove indica

( 1)/2

k⋅ k− k

il numero di variabili del modello VAR. In questo esempio vale 6, per cui i gradi

k

2

χ

di libertà della distribuzione del sono 15.

, ottenuto direttamente dalla (2.8.4), è pari a 1692.60. Per

Il valore di LL

1

calcolare osserviamo anzitutto che sotto l’ipotesi nulla si ha

LL

0 = + + + + +

LL LL LL LL LL LL LL

0 y i p m u r

ossia, il valore della funzione di log-verosimiglianza del sistema è pari alla somma

(algebrica) dei valori delle funzioni di log-verosimiglianza di ciascuna equazione del

modello VAR. Dalla stima OLS delle sei equazioni si ottiene che

= + + + − − =

(406.84 294.59 500.10 475.48 1.53 53.80) 1621.68

LL

0 λ

Il valore di è in questo esempio è

LR ( )

λ = ⋅ − = ⋅ =

2 1692.60 1621.68 2 70.92 141.84

LR 2

χ con 15 gradi libertà è pari 24.99,

Il valore critico al 95% della distribuzione del

per cui l’ipotesi nulla di residui in correlati non appare confermata dai dati.

Pagina 4-12

Modulo X – Modelli VAR

4.6. Le condizioni di rango per l’identificazione

Al fine di determinare le condizioni necessarie e sufficienti per l’identificazione del

sistema di equazioni (4.1.8) è conveniente ricordare che questa può essere anche

considerata in termini di verosimiglianza. E’ noto, infatti, che ad una sola funzione

di verosimiglianza dei parametri della forma ridotta di un modello ad equazioni

simultanee corrispondono più funzioni di verosimiglianza della forma strutturale, e

che si ha corrispondenza biunivoca soltanto quando il modello è identificato. Sorge,

equivalenti dal

in altre parole, il problema dei parametri (della forma strutturale)

punto di vista delle verosimiglianze . ) (2.6.1) è data dalla (2.8.4), che

La log-verosimiglianza del modello VAR( p

possiamo scrivere

( ) ( )

1

kn n ′

∗ −

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ =

1

ln , , ln 2 ln

L µ Π Σ Σ tr U Σ U

u u u

2 2 2 ( ) (4.6.1)

kn n 1 ′

−

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ 1

ln 2 ln Σ tr Σ U U

u u

2 2 2

avendo fatto uso della (2.8.5) nella prima uguaglianza e di una classica proprietà

dell’operatore traccia nella seconda. Concentrando la log-verosimiglianza rispetto

*

ai parametri e , cioè in altre parole sostituendoli con le rispettive stime di

µ Π

massima verosimiglianza, si ottiene ( )

kn n n

( ) ˆ

−

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ 1

ln L Σ ln 2 ln Σ tr Σ Σ

u u u u

2 2 2 (4.6.2)

n

∑

′ ′

= ⋅

con la stima data dalla (2.4.5). Si

avendo appunto sostituito U U u u n Σ̂

t

t u

=1

t

noti che nella presente argomentazione si è autorizzati a sostituire la log-

verosimiglianza (4.6.1) con la concentrata (4.6.2) perché l’identificazione concerne i

Σ

parametri della matrice di dispersione e non quelli del vettore o delle matrici

µ

u

= .

A , i 1, 2, ..., p

i Se vale la (4.1.8) e quindi la (4.1.9), tuttavia, la log-verosimiglianza concentrata

(4.6.2) diventa [ ]

( )

kn n n

′

( ) ( ) −

′ ′ ′ 1

− − −

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ =

1 1 1

ln A , B ln 2 ln A B B A tr A B B A

L 0 0 0 0 0

2 2 2 [ ] (4.6.3)

kn n n n ( )

2 2 −

′ ′ 1 −

= − ⋅ π + ⋅ − ⋅ − ⋅ 1

ln 2 ln A ln B tr A B B A

0 0 0

2 2 2 2 Pagina 4-13

Modulo X – Modelli VAR

e mentre i parametri di possono essere sempre stimati massimizzando la

Σ

u

(4.6.2), per quelli delle matrici e non è sufficiente massimizzare la (4.6.3)

A B

0

perché non possiede un unico massimo al variare di e . In altre parole, affinché

A B

0

la (4.6.3) possegga un unico massimo occorre che si possa determinare e a

A B

0

in modo univoco

partire dalla con la (4.1.9) . Occorre, cioè, che il sistema (4.1.8)

Σ

u

sia identificato.

Un test per la verifica delle restrizioni di sovraidentificazione

Il numero di restrizioni sui parametri delle matrici e necessario per aversi

A B di

identificazione è dato dal valore (4.1.10). Restrizioni aggiuntive sono dette

sovraidentificazione e la loro validità può essere verificata tramite il test del

rapporto delle verosimiglianze che si basa sulla statistica

( )

( )

 

ˆ

= − ⋅ −

o

Σ y Σ y

ξ 2 ln

L ; ln L ;

 

LR u u

 

2

χ

che si distribuisce asintoticamente come un con un numero di gradi di libertà

pari al grado di sovraidentificazione, rappresentato dal numero totale dei vincoli

2

−k(k+1)/2 o

meno . è stimata con le restrizioni mentre lo è senza.

Σ

2k Σ̂ u

u

Osservazione 4.2 – La massimizzazione delle due funzioni di

verosimiglianza concentrata sono ottenibili soltanto per via numerica.

Le condizioni di rango

Abbiamo già trovato, nel paragrafo 4.1, la condizione necessaria per

l’identificazione. Ora illustriamo quella necessaria e sufficiente, per la quale

consideriamo separatamente i vincoli da imporre su da quelli da imporre su .

A B

0 siano raccolti

Supponiamo che i vincoli relativi ai parametri della matrice A

0

dall’equazione matriciale ⋅vec = (4.6.4)

R A r

a 0 a

da

e quelli relativi alla matrice B ⋅vec = (4.6.5)

R B r

b b 2 2

× ×

ed sono di ordine ed , rispettivamente, nonché di

dove le matrici R R r k r k

a b a b

rango riga pieno, ed i vettori e hanno dimensione e .

r r r r

a b a b

Si dimostra (si vedano, ad esempio, Amisano e Giannini, 1997) che condizione

necessaria e sufficiente affinché il sistema (4.1.8) sia identificato è che sia pari a

2 il rango colonna della matrice

2k Pagina 4-14

Modulo X – Modelli VAR

 

 

vec

A

 

 

0

ℑ

 

 

 

 

vec

B

 

 

  (4.6.6)

 

R 0

a

 

 

0 R

 

b

 

formata dalla giustapposizione una sopra l’altra della matrice delle informazioni di

Fisher asintotica    

vec

A vec

A

   

1

0 0

ℑ = ⋅ ℑ (4.6.7)

lim

p

   

n

n

   

vec

B vec

B

   

e della matrice  

R 0

 

a

 

 

0 R b

  ed di vincolo e da zeri. Questa

costituita dagli elementi delle matrici R R

a b condizione di

condizione necessaria e sufficiente è anche detta, per ovvi motivi,

rango (per l’identificazione). ℑ , calcolata rispetto al vettore di

La matrice delle informazioni di Fisher n

 

A

vec 0

  e per un numero finito di osservazioni, è data da

parametri n

 

B

vec

   

     

vec

A vec

A vec

A

 

      

0 0 0 (4.6.8)

′

ℑ = ⋅

E s s

 

     

n  

     

vec

B vec

B vec

B

 

     

 

 

vec

A 0

  è l’usuale funzione di punteggio vettoriale, che in forma di riga è

dove s 3

 

vec

B

 

Score function

, in inglese.

3 Pagina 4-15

Modulo X – Modelli VAR

( )

 

vec

A ∂ L

ln A , B

0

  0

′ =

s (4.6.9)

   

vec

A

vec

B

  0

 

∂  

vec

B

 

La matrice delle informazioni asintotica (4.6.7) va calcolata con i valori “veri” dei

e che generalmente non sono noti. Allora la verifica della validità

parametri di A B

0

della condizione di rango deve essere effettuata generando valori casuali per i

parametri di e , subordinatamente ai vincoli imposti, e verificando che la

A B

0

ℑ

matrice associata abbia rango colonna pieno.

L’aver definito la condizione di rango a partire dalla funzione di

verosimiglianza permette di connotare l’identificazione con una ulteriore

caratteristica. La condizione di rango, ma ovviamente anche quella d’ordine,

permette di trovare un solo punto di massimo per la log-verosimiglianza ma non è

globale locale

garantito che questo sia . Può essere, dunque, soltanto e ad esso

identificazione locale

corrisponde una . Quindi esistono in generale più

identificazioni locali, corrispondenti a strutturalizzazioni locali, ed una sola

identificazione globale , corrispondente ad una strutturalizzazione globale.

Allora l’ottenimento di una determinata struttura dipende da molti fattori che

caratterizzano l’algoritmo iterativo che viene utilizzato per l’identificazione del

sistema (4.1.8) e la stima dei parametri del modello VAR. E’ pertanto necessario

ripetere più volte il processo iterativo con valori diversi per tali fattori in modo da

verificare la convergenza verso gli stessi valori e la sua robustezza. Pagina 4-16

Modulo X – Modelli VAR

4.7. Modelli strutturali con restrizioni contemporanee

L’identificazione ricorsiva, esposta nel paragrafo 1.6, ha come limitazione

principale quella di considerare come possibile un’unica struttura economica. Nella

letteratura recente sono stati proposti differenti modi per la strutturalizzazione dei

modelli VAR attraverso l’utilizzo di informazioni derivanti dalla teoria economica.

Nella sua forma generale, la (4.1.8) permette di modellare esplicitamente i

legami istantanei tra le variabili endogene (attraverso la matrice ) e gli effetti

A

0

shock

dell’impatto degli che interessano il sistema economico (attraverso ).

B

sia la matrice identità, il procedimento di identificazione del

Nel caso che A

0 shock

modello si basa sulla conoscenza di quale siano gli ortogonali, indicando

attraverso quali variabili colpiscono. Gli elementi del vettore sono, dunque,

B u

t

shock

intesi essere una combinazione lineare degli strutturali . In questo

4

particolare modello strutturale non si disegnano esplicitamente relazioni

shock

istantanee tra le endogene ma si concentra l’attenzione sull’impatto degli

ortonormali attraverso la matrice .

B

Una applicazione

Uno dei principali utilizzi dei modelli VAR è relativo alla discriminazione tra

modelli alternativi per la descrizione di fenomeni economici. La letteratura degli

ultimi anni sull’analisi dei meccanismi di trasmissione della politica monetaria

fornisce un ottimo esempio sull’impiego operativo dei modelli VAR strutturali.

L’obiettivo di questo tipo di studi verte sulla misurazione dell’intensità degli

effetti che variazioni nella condotta delle autorità monetarie hanno sui principali

aggregati macroeconomici. Nello schema di analisi l’indicatore che sintetizza le

a

scelte di politica monetaria da parte della banca centrale non viene individuato

prior

i ma è derivato dalla stima di un modello VAR. Generalmente, il vettore delle

endogene viene diviso in due blocchi: quello delle variabili macroeconomiche (ad

y

t

esempio il prodotto interno lordo ( ), il livello dei prezzi interno ( ) e un

PIL PInt

5 6

u

Essendo i residui ortonormali risulta agevole l’analisi della varianza di una loro

4 t

combinazione lineare.

Nei lavori che utilizzano dati mensili, il livello di attività del sistema economico è

5

generalmente espresso attraverso l’indice della produzione industriale.

Esso generalmente è misurato dell’indice dei prezzi al consumo o dal deflatore del prodotto

6

interno lordo. Pagina 4-17

Modulo X – Modelli VAR

indicatore della domanda mondiale come l’indice dei prezzi delle materie prime

7

( )) e quello degli strumenti a disposizione delle autorità monetarie (tasso di

IDM

interesse del mercato monetario ( ), le riserve totali del sistema bancario ( ) e

TMM RT

le riserve non prese a prestito presso la banca centrale ( )).

RNP

Le diverse opzioni di politica monetaria sono descritte partendo da un semplice

modello che descrive il mercato delle riserve interbancario. L’equazione di domanda

delle riserve totali ( ) e delle riserve prese a prestito dal sistema bancario ( )

RT RP

espresse in termini di residui di un modello VAR sono rispettivamente

RT TMM D

= −α + (4.7.1)

u u w

RP TMM P

= β + (4.7.2)

u u w

L’offerta di riserve non prese a prestito è invece data dalla

RNP D D P P O

= φ + φ + (4.7.3)

u v w w

D P

φ φ

I coefficienti e misurano l’intensità con cui la banca centrale risponde agli

shock relativi rispettivamente alla domanda totale di riserve e alla domanda di

O

φ shock

riserve prese a prestito dal sistema bancario, mentre rappresenta lo

monetario che deve essere identificato nell’indagine empirica. Formulando la

TMM

(4.7.2) in funzione di si ottiene

u

TMM RT RNP P

= − − (4.7.4)

u 1/β u 1/β u 1/β w

se si esprime come differenza tra le riserve totali e quelle non prese a prestito

RP

dalle banche.

Le equazioni (4.7.4), (4.7.1) e (4.7.3) si possono esprimere introducendo due

matrici di ordine 3×3 

 

 − β

− β β P

TMM  

  w

u 1

/ 0 0

1 1

/ 1

/ t

t 

 

  

  

 

  

  =

α D

RT w

u 0 1 0

1 0 (4.7.5)

t

t 

 

  

  

 

  

  φ φ O

RNP P D w

u 1

0 0 1  

  

 

 t

t

Nel caso di un paese fortemente dipendente dall’estero per le risorse energetiche, come ad

7

esempio l’Italia, tale indicatore può essere rappresentato dal prezzo del petrolio

(eventualmente espresso in valuta nazionale). Pagina 4-18

Modulo X – Modelli VAR

che costituiscono le sottomatrici inferiori destre delle matrici e ,

A B

0

rispettivamente di un modello VAR strutturale in cui la relazione (4.1.8) è

esplicitata come  

 

   

PIL PIL

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

u w

t t

 

 



    

 



  

PInt PInt

1 0 0 0 0

a 0 1 0 0 0 0

u w

21 t t

 

 



    

 



  

IDM IDM

1 0 0 0

a a 0 0 1 0 0 0

u w

31 32  

 

t t

   

= (4.7.6)

 







  

− β β − β

TMM P

1 1

/ 1

/

a a a 0 0 0 1

/ 0 0

u w

 

 

41 42 43

   

t t

 

 

   

α RT D

1 0

a a a 0 0 0 0 1 0

u w

 

 

   

51 52 53 t t

 

 

   

φ φ

P D

RNP O

0 0 1

a a a 0 0 0 1

u w

 

   

 

61 62 63 t t

I residui relativi alle variabili che costituiscono il blocco delle grandezze

macroeconomiche sono ortogonalizzati assumendo una struttura ricorsiva del tipo

shock

Choleski. L’ortogonalizzazione degli monetari è, invece, ottenuta imponendo

che le variabili macroeconomiche non rispondano simultaneamente alle variabili

monetarie, mentre può esservi un meccanicismo causale di direzione opposta.

Inoltre, le restrizioni imposte sui coefficienti del blocco monetario del modello

hanno l’obiettivo di riflettere le procedure operative seguite dalle autorità. La

relazione tra il modello teorico, costituito dalle posizioni (4.7.4), (4.7.1) e (4.7.3), e la

rappresentazione VAR (4.7.6) è diretta se tali equazioni vengono risolte esprimendo

P D O

i residui della forma non vincolata in termini di , e , ossia

w w w

     

− + φ α + β − φ α + β − α + β

TMM P D P

(

1 ) /( ) (

1 ) /( ) 1

/( )

u w

t t

     

     

= α + φ α + β αφ + β α + β α α + β

RT P D D

(

1 ) /( ) ( ) /( ) /( )

u w (4.7.7)

t t

     

     

φ φ

RNP P D O

1

u w

     

t t

La (4.7.7) tuttavia è sottoidentificata dato che occorre stimare sette parametri

incogniti (se si considerano anche le varianze dei tre disturbi strutturali) attraverso

sei covarianze. Il problema della sottoidentificazione del sistema può essere

superato imponendo opportune restrizioni sui parametri. Bernanke e Mihov I.

(1998) mostrano come sia possibile individuare cinque differenti casi a seconda del

D P

α β φ φ

valore imposto ai coefficienti , , e .

D P

φ = φ = −1

e . L’obiettivo è il controllo del tasso di

Nel primo si impone che 1

interesse del mercato monetario. La banca centrale utilizza l’aggregato per

RNP

shock

contrastare gli prodotti dal sistema bancario. La (4.7.7) diviene in questo

caso Pagina 4-19

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui VAR strutturali. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il problema dell’identificazione di un VAR, il modello ricorsivo, la funzione di risposta agli impulsi e la scomposizione della varianza dell’errore di proiezione nei VAR strutturali, le condizioni di rango per l’identificazione, i modelli strutturali con restrizioni.