Econometria - i VAR strutturali

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P Pa a b1 0 0 0 0 0 0 0u w31 32 33   t t   =      M Ma a a b1 0 0 0 0 0 0 0u w   41 42 43 44   t t      U Ua a a a b1 0 0 0 0 0 0u w      51 52 53 54 55t t        R Ra a a a a b1 0 0 0 0 0   u w      61 62 63 64 65 66t t

La matrice è normalizzata in modo da avere gli elementi diagonali pari ad 1. Con queste imposizioni il numero dei parametri diversi da zero e da uno nelle matrici è esattamente uguale al numero degli elementi della matrice; si ha, cioè, Σu nel prodotto di una particolare matrice triangolare, con elementi diagonali tutti positivi, per la sua trasposta è detta di Choleski. Tale fattorizzazione è

unica una volta che sia statoPindividuato il posto di ciascuna variabile nel vettore. Si è anche notato nelytparagrafo 1.6 che la fattorizzazione di Choleski dà luogo ad una matrice A0triangolare, per cui il modello SEM o VARDL (1.6.3), uguale all’(1.3.3), viene adricorsivoessere. L’uso della ricorsività per l’identificazione di modello VAR fu fatto nuovamentedal Sims (1986) in un lavoro mirante a ribadire l’utilità dei modelli VAR nellapolitica economica. Considerò ancora l’economia degli USA nel periodo 1948:I-1973:III stimando con dati trimestrali un VAR composto da sei variabili: il redditoY I Preale, gli investimenti fissi reali del settore privato, il deflatore del reddito, laM Umoneta misurata in termini di M1, il tasso di disoccupazione e il tasso diRinteresse sui titoli del Tesoro a breve. Il modello comprendeva un vettore dicostanti e fu stimato con quattro ritardi. Tutte le variabili furono

logaritimizzate,U Rad esclusione di ed , e disposte secondo l’ordinamentoY I P M U R→ → → → →fosse presa triangolare inferiore a seguitocui dava valore il fatto che la matrice A0della fattorizzazione di Choleski. L’identificazione del modello era così immediata.

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Modulo X – Modelli VAR4.3. La funzione di risposta agli impulsi e la scomposizione dellavarianza dell’errore di proiezione nei VAR strutturali

L’analisi delle risposte agli impulsi

Se si utilizza una struttura tipicizzata dalla (4.1.8) la rappresentazione a sommamobile infinita (1.4.3) diventa

-1 -1 -1= + + + (4.3.1)

y A B w A B w A B w …Ψ Ψt 0 t 0 t-1 0 t-2

dalla quale si ricava al nuova funzione di risposta agli impulsi

-1 -1 -1 (4.3.2)

{ Ψ A B A B A B }…Ψ Ψ0 0 0

1 2= che va a sostituire la (1.6.1). L’elemento di posto nella matricecon Ψ I (i,j)k0-1

shock rappresenta la risposta della variabile -esima in ad unoΨ A B yi0 thstrutturale unitario nell’elemento -esimo del vettore prodottosi istanti diwj httempo prima.Operativamente, per arrivare alle risposte agli impulsi, le matrici di parametridella somma mobile vettoriale (1.4.3) possono essere stimate con una delleΨ hprocedure illustrate nel capitolo 2 mentre questo non è possibile per le matrici eA 0senza ipotesi restrittive aggiuntive. La stima, dunque, della funzione di rispostaBagli impulsi può essere condotta seguendo due passi: nel primo si stimano iparametri e a partire dai dati e senza vincoli; nel secondo passo, utilizzandoΨ Σh ule restrizioni, si derivano tramite la (4.1.9) le stime di , a partire dallaA B Σ0 ustimata nel primo passo senza vincoli. -1 delle risposte agli impulsi.Così si ottengono le stime delle matrici Ψ A B0hLa scomposizione della varianza dell’errore di proiezioneNel paragrafo 3.5 siÈ mostrato come ottenere la scomposizione dell'errore quadratico medio di proiezione in riferimento ad uno schema di identificazione ricorsivo. L'errore di proiezione definito dalla (3.3.11) - h₁Σ = eΨu (4.3.4)+ + -n h_i n h_i=0 utilizzando la relazione (4.1.8) diviene - - -h₁h₁h₁ΣΣΣ- = = =1 * *eΨuΨABuΘw (4.3.5)+ + - + - + -n h_i n h_i i=0 n h_i i n h_i= = =i 0 i 0 i 0-1= = = -1* *dove si è posto e con ΘΨAwBu0, 1, ...,i hn+h-i+ -i i 0 n h_i Pagina 4-5 Modulo X – Modelli VARθ ** *Indicando con l'elemento di posto ( , ) nella matrice e con , l' -Θ_jm mw + -jm , i m , n h_ii*esima componente di , l'errore di proiezione tempi in avanti della -esima w h_j+ -n h_iè componente di yt -k h₁( ) ( )( ) ΣΣ 2= = θ² *MSE y E e (4.3.6)+ +, , ,j n h_j n h_j

jm i= =1 0m i alla varianza dell’errore die il contributo dato dai residui della variabile m−h 1 ( )∑ 2ϑ*tempi in avanti della variabile , , espresso come quota parteproiezione h j jm i,=i 0del MSE vale −h 1( ) ( ) ( )∑h 2= ϑ* * /w MSE y (4.3.7)+jm jm , i j , n h=i 0che rappresenta la scomposizione della varianza dell’errore di proiezione in termini.dei contributi apportati dalle variabili raccolte nel vettore yt Pagina 4-6Modulo X – Modelli VAR4.4. La funzione di risposta generalizzata agli impulsi e lascomposizione generalizzata della varianza dell’errore diproiezioneL’analisi delle risposte agli impulsiPrima di esporre i diversi schemi di strutturalizzazione di modelli VAR, appareutile soffermarci ancora sulla simulazione dinamica, ed in particolare sulle funzionidi risposta agli impulsi.La strutturalizzazione (4.1.8) consente di superare le due principali limitazioniche interessano il modello riscorsivo. Anzitutto,

è possibile “accomodare” in maniera più flessibile e soddisfacente la teoria economica nei modelli VAR, come vedremo nei paragrafi successivi. Inoltre, l’identificazione delle funzioni di risposta agli impulsi strutturali è univoca; ossia, la simulazione dinamica non è più influenzata dall’ordinamento delle variabili raccolte nel vettore .yt Quest’ultimo risultato, tuttavia, può essere raggiunto attraverso le funzioni diet alii (1996) per i sistemi risposta generalizzate agli impulsi, introdotte da Koopdinamici non lineari e sviluppate in ambito VAR da Pesaran e Shin (1998). A differenza della strategia tradizionale, tale approccio non richiede l’ortogonalità dei residui; ne consegue che i risultati non sono influenzati dal problema dell’ordinamento come per i modelli ricorsivi né occorre soddisfare alle condizioni (necessarie e sufficienti) per l’identificazione della (4.1.8) esposte nel

paragrafo 4.5 .1Se il modello VAR ammette la rappresentazione a somma mobile infinita (1.4.3)possiamo definire come =Ω (4.4.1)0 0 0)(RG h, u , Ψ uy,h −t t h t1 dell’intero processo agli impulsila funzione di risposta generalizzata al tempo t ytΩ0 0contenuti nel vettore prodotti tempi prima, dove rappresenta lahu −tt 12 0realizzazione del processo al tempo . Sotto l’ipotesi che segua la stessat−1 u tdistribuzione del vettore dei residui del modello VAR, si haL’ortogonalizzazione dei residui ottenuta attraverso restrizioni derivanti dalla teoria1economica può apparire concettualmente più elegante rispetto al metodo “ateorico” quipresentato. Tuttavia, può accadere, in particolare per modelli di dimensioni superiori a treo quattro variabili, che la teoria economica non offra informazioni sul breve corso sufficientiA Be .per identificare le matrici 0Dalla (4.4.1) emerge come le funzioni di risposta agli impulsi

siano indipendenti dalla storia del processo. Questa proprietà, comunque, è propria solamente dei sistemi lineari.

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Modulo X – Modelli VAR’Ω (4.4.2)

0 0 ≈ ,RG ( , u , ) (0 Ψ Σ Ψ )h Ny,h – 1t t h u h

Concentrando l’attenzione su un impulso di intensità pari ad una deviazione shock-esimo elemento del vettore degli abbiamostandard sull’m Ψ Σ fσ Ω 0 = h u m( , , )RG h (4.4.3)y,h – 1mm t σ mm-esima in ad un impulso specifico dell’elementoper cui la risposta della variabile yj t0-esimo del vettore avutosi tempi prima divieneum ht’f Ψ Σ fj h u m=RG (4.4.4)ij,h σ mm ×1( ) è un vettore di selezione, di dimensione , in cui l’ -esimo ( -esimo)dove f f k j mj m – 1elemento è pari ad uno ed i rimanenti elementi sono nulli.

Osservazione 4.1 – Le funzioni di risposta agli impulsi ottenute con ilmodello ricorsivo

coincidono con quelle ottenute dal metodo presentatoin questo paragrafo solamente se la matrice di dispersione al ritardozero è diagonale.Σ u sono nulleDall'Osservazione emerge che se tutte le covarianze contenute in Σ ui risultati della simulazione dinamica di un modello ricorsivo risultano "robusti",nel senso che sono invarianti rispetto a permutazioni degli elementi di . Per laytverifica della diagonalità di si può ricorrere ad un test del rapporto delleΣ uverosimiglianze, basato sul seguente sistema di ipotesiσ = 0H0 jm ≠ = (4.4.5), 1, …,