Econometria - il VAR di cointegrazione

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di econometria

Modulo X – Modelli VAR

5. VAR di cointegrazione

• 5.1. La nozione di cointegrazione ....................................................................................... 2
• 5.2. La rappresentazione ECM........................................................................................... 4
• 5.3. I modelli VAR(1) di cointegrazione ............................................................................. 5
• 5.4. Un esempio di VAR(1) cointegrante............................................................................ 7
• 5.5. I modelli VAR( ) di cointegrazione ........................................................................... 13
• 5.6. La scomposizione dell’intercetta e della tendenza lineare ...................................... 17
• 5.7. Le variabili di comodo................................................................................................ 20
• 5.8. Le rappresentazioni a somma mobile e con tendenze stocastiche comuni............. 22
• 5.9. Un esempio di VAR( ) cointegrante ......................................................................... 26
• 5.10. Il modello di aggiustamento di lungo periodo .......................................................... 35
• 5.11. La procedura di Johansen ......................................................................................... 38
• 5.12. La determinazione del rango di cointegrazione ....................................................... 42
• 5.13. Le restrizioni di identificazione sulla matrice di cointegrazione ............................ 47
• 5.14. Un esempio di identificazione della struttura di lungo periodo.............................. 52
• 5.15. L’analisi dinamica e la velocità di convergenza all’equilibrio ................................. 56
• 5.16. Le restrizioni di identificazione sulla matrice degli aggiustamenti ....................... 62
• 5.17. Bibliografia ................................................................................................................. 65

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5.1. La nozione di cointegrazione

La nozione di cointegrazione consente di associare il concetto, economico, di lungo periodo, con quello, statistico, di stazionarietà. L’obiettivo dell’analisi di cointegrazione si incentra sull’individuazione di (eventuali) relazioni con i caratteri della stazionarietà tra due o più variabili che, invece, se prese singolarmente, sono non stazionarie (ad esempio posseggono una tendenza).

Un caso particolare di cointegrazione, semplice ma intuitivo, si ha quando due variabili sono ambedue I(1), e quindi non stazionarie, ma accade che y_t - βx_t ∼ I(0) (5.1.1) e costituisce un processo aleatorio, cioè la loro combinazione lineare con pesi 1 e -β è stazionaria. Le due variabili sono dette cointegrate e i due pesi costituiscono il cosiddetto vettore di cointegrazione [1 -β]'.

Si noti che se le variabili fossero I(0) invece che I(1), sarebbero ancora I(0) ma non sarebbero cointegrate; da un punto di vista economico le due variabili non presenterebbero ciascuna un processo di lungo periodo non stazionario.

Infatti, in relazione alla y_t = βx_t + u_t, possono sussistere le seguenti situazioni, per quanto riguarda la cointegrazione:

• i) y_t ∼ I(1) ma x_t ∼ I(0), oppure, y_t ∼ I(0) e x_t ∼ I(1); allora le due variabili non sono cointegrate.
• ii) y_t ∼ I(0) e x_t ∼ I(0); allora u_t ∼ I(0) ma le due variabili non sono cointegrate.
• iii) y_t ∼ I(1), x_t ∼ I(1) e u_t ∼ I(0); allora le due variabili sono cointegrate.
• iv) y_t ∼ I(1), x_t ∼ I(1) e u_t ∼ I(0); allora le due variabili non sono cointegrate.

Il concetto di cointegrazione che abbiamo illustrato sopra con un caso particolare può essere facilmente generalizzato: due serie {y_1t} e {y_2t} sono dette cointegrate di ordine (d, b), con d ≥ b > 0, e si scrive {y_1t, y_2t} ∼ CI(d, b) quando:

• i) y_1t ∼ I(d), y_2t ∼ I(d)
• ii) esiste una combinazione lineare β₁y_1t + β₂y_2t ∼ I(d-b).

Il vettore [β₁, β₂]′ è detto vettore di cointegrazione. Nel caso precedente si aveva d = b = 1.

Se si possiedono k serie {y_1t}, {y_2t}, ..., {y_kt}, queste sono dette cointegrate di ordine (d, b), ancora con d ≥ b > 0, e si scrive {y_1t, y_2t, ..., y_kt} ∼ CI(d, b) se:

• i) y_it ∼ I(d) ∀i
• ii) esiste un vettore β tale che β′y_t ∼ I(d-b).

In realtà vi sono casi particolari in cui sussiste la cointegrazione anche se non tutte le y_it sono I(d), ma la loro discussione esula dai limiti della presente trattazione.

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5.2. La rappresentazione ECM

Ritorniamo al caso di due variabili y_1t ed y_2t che supponiamo essere CI(1,1); dunque β₁y_1t + β₂y_2t ∼ I(0) che senza perdere in generalità (possiamo sempre dividere per β₁ senza modificare le caratteristiche stocastiche del problema) scriviamo nella forma (5.1.1), ponendo β₂/β₁ = -β = ∼ I(0) (5.2.1)

Sottraendo dai due membri dell’equazione si ottiene:

Δy_1t = βΔy_2t - (y_1,t-1 - βy_2,t-1) + u_t

e addizionando e sottraendo y_2,t-1:

Δy_1t = βΔy_2t - (y_1,t-1 - βy_2,t-1) + u_t

che è un modello che lega le variazioni Δy_1t e Δy_2t con i livelli y_1,t-1 e y_2,t-1. La (5.2.2) rappresenta, dal punto di vista economico, una relazione di breve periodo, che contiene tuttavia la variabile u_t = y_1,t-1 - βy_2,t-1 consistente nel divario che si ha nel lungo periodo definito tramite la (5.2.1).

Lo schema (5.2.2) forma la rappresentazione a correzione del divario (ECM₁) dalla relazione di cointegrazione (5.2.1). Si noti che le due relazioni (5.2.1) e (5.2.2) sono equivalenti, ma che nella seconda sono presenti, congiuntamente, e questo ha una grande rilevanza nella modellistica economica, sia i livelli che le differenze prime delle variabili y_1t e y_2t.

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5.3. I modelli VAR(1) di cointegrazione

Applichiamo la nozione di cointegrazione ai modelli VAR, iniziando con quello più semplice, il VAR(1) con k = 2, e in assenza di componenti deterministiche. Il modello è espresso dalla (1.7.1) e lo riscriviamo di seguito:

y_t = A₁y_t-1 + u_t (5.3.1)

Questa formulazione non permette di indagare sull’andamento di lungo periodo delle variabili generate dal VAR, per cui è necessario trasformare quest’ultimo in un’altra forma mediante la cosiddetta trasformazione di cointegrazione. Sottraendo y_t-1 ad ambedue i membri della (5.3.1) otteniamo:

Δy_t = (A₁ - I₂)y_t-1 + u_t

o anche:

Δy_t = Π₀y_t-1 + u_t (5.3.3)

se si pone Π₀ = A₁ - I₂ (5.3.4), matrice quadrata di ordine 2, e quindi di rango massimo 2.

Nella matrice Π₀ sono riunite le caratteristiche di lungo periodo delle variabili generate dal VAR(1) (5.3.1). Engle e Granger (1987) hanno dimostrato che sotto ipotesi molto blande e generalmente verificate si possono avere le seguenti situazioni:

• i) rango ( Π₀ ) = 2
• ii) rango ( Π₀ ) = 0
• iii) rango ( Π₀ ) = 1

In quest’ultimo caso si dimostra che vale la fattorizzazione:

Π₀ = αβ′ (5.3.5)

dove β = [β₁, β₂]′ contiene i moltiplicatori di lungo periodo ed è detto vettore di retroazione.

Sostituendo la (5.3.5) nella (5.3.3) si ottiene:

Δy_t = αβ′y_t-1 + u_t (5.3.6)

cioè:

Δy_t = αβ′y_t-1 + u_t

Il vettore β è chiamato di cointegrazione ed è tale che β′y_t-1 è una variabile I(0) mentre le variabili contenute in y_t-1 sono I(1). Dunque, in questo caso le variabili di y_t sono cointegrate ed il VAR (5.3.1) è detto cointegrante o VECM.

Effettuando le moltiplicazioni, la (5.3.7) può essere scritta nella forma:

Δy_1t = α₁β₁y_1,t-1 + α₁β₂y_2,t-1 + u_1t (5.3.8)

Δy_2t = α₂β₁y_1,t-1 + α₂β₂y_2,t-1 + u_2t

che può essere considerata come la versione multivariata della rappresentazione a correzione del divario (5.2.2). Le variabili nelle (5.3.8), oppure nella (5.3.7), sono tutte stazionarie, essendo y_1t, y_2t ∼ I(1) e β′y_t-1 ∼ I(0). Da questa nasce la relazione di lungo periodo:

β₁y_1t + β₂y_2t = ε_t ∼ I(0) (5.3.9)

tra le variabili y_1t e y_2t; questa relazione era stata nel paragrafo 5.2 il punto di partenza, e non come qui di arrivo, per la costruzione del meccanismo a correzione del divario.

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5.4. Un esempio di VAR(1) cointegrante

In questo esempio si vuole evidenziare lo stretto collegamento che può realizzarsi tra la teoria economica e la modellizzazione econometrica, in riferimento ad un modello di crescita neoclassico. Il passaggio dalla rappresentazione autoregressiva (vettoriale) a quella con correzione del divario (vettoriale) richiede la conoscenza di alcuni concetti che verranno esposti più in dettaglio nel corso del capitolo. Tuttavia, la semplicità della struttura del VAR proposto in questo paragrafo rende di facile comprensione il procedimento seguito.

Supponiamo che nel lungo periodo il prodotto (in termini reali) di una piccola economia aperta agli scambi internazionali, Y_t, sia determinato in base alla seguente funzione di produzione:

Y_t = F(K_t, A_tN_t) = A_tN_tF(K/N, 1) (5.4.1)

a rendimenti di scala costanti nel lavoro (N) e nel capitale (K), dove A_t identifica un indice di progresso tecnologico. La (5.4.2) espressa in termini logaritmici diviene:

ln(Y_t) = ln(A_t) + ln(N_t) + ln(K/F(N, A)) (5.4.2)

Seguendo Garratt et alii (2001), avanziamo le seguenti ipotesi sulle tre componenti del membro di destra della (5.4.2):

• i) ln(A_t) = w_At ∼ I(1); ossia, l’indice del progresso tecnologico è dominato da una tendenza stocastica.
• ii) ln(N_t) = ln(POP_t) + w_Nt ∼ I(0); ossia, la quota degli occupati sul totale della popolazione segue un processo stazionario.
• iii) ln(K/F(N, A)) = w_κt ∼ I(0); ossia, la funzione di produzione espressa in termini di stock di capitale per unità di lavoro descrive un processo stazionario.

Ne consegue che la (5.4.2) si può riscrivere come:

ln(Y_t) - ln(POP_t) = y_PCt = w_κt + w_At + w_Nt ∼ I(1) (5.4.3)

dove la presenza di una tendenza stocastica nel prodotto pro capite è da ascrivere essenzialmente al progresso tecnologico.

Procedendo similmente per il resto del mondo, si ha:

ln(Y_*t) - ln(POP_*t) = y_*PCt = w_*κt + w_*At + w_*Nt ∼ I(1) (5.4.4)

dove l’asterisco indica variabili del resto del mondo.

L’assunzione di economia piccola ed aperta all’estero si sostanzia nell’ipotesi che l’indice del livello di progresso tecnologico sia determinato dal livello di quello del resto del mondo, per cui w_At = w_*At (5.4.5).

Sottraendo la (5.4.4) dalla (5.4.3) ed in virtù della (5.4.5) si ottiene:

y_PCt - y_*PCt = w_κt - w_*κt + w_Nt - w_*Nt = ε_t ∼ I(0) (5.4.6)

che rappresenta l’ipotesi da verificare empiricamente. La relazione di lungo periodo β₁y_PCt + β₂y_*PCt, dunque, prevede che i coefficienti β₁ e β₂ della (5.3.9) ipotizzata tra y_PCt e y_*PCt siano pari a 1 e a -1, rispettivamente.

Le equazioni (5.3.8) diventano in questo esempio:

Δy_PCt = α₁ε_t-1 + c₁ + u_1t (5.4.7)

Δy_*PCt = α₂ε_t-1 + c₂ + u_2t

nelle quali è stato introdotto un termine costante (c_i, i = 1,2), e dove, si ricorda, ε_t-1 = y_PC,t-1 - y_*PC,t-1. Dai precedenti paragrafi è noto che la rappresentazione vettoriale con correzione del divario (5.4.7) discende da un modello autoregressivo di ordine 1 del tipo:

y_t = c + A₁y_t-1 + u_t (5.4.8)

dove y_t = [y_PCt, y_*PCt]′, c = [c₁, c₂]′, e u_t = [u_1t, u_2t]′, che rappresenta il punto di partenza dell’indagine empirica.

Nel VAR (5.4.9) y_PCt rappresenta il logaritmo del prodotto reale pro capite del Belgio (1995 = 100), mentre y_*PCt indica il logaritmo del prodotto reale del resto del mondo (1995 = 100). I dati trimestrali destagionalizzati, di fonte IMF, coprono il periodo 1985:I – 2002:I e sono rappresentati in figura 5.1.

Il resto del mondo è inteso come media ponderata di singoli paesi. I pesi utilizzati rappresentano la quota relativa al singolo paese sul totale dei flussi commerciali, intesi come somma delle importazioni e delle esportazioni, del Belgio. Le economie considerate sono: Austria, Canada, Danimarca, Finlandia, Grecia, Irlanda, Italia, Giappone, Olanda, Portogallo, Spagna, Svezia, Svizzera, Regno Unito e Stati Uniti.

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Figura 5.1 – Le linee continue (con valori sull’asse di destra) nei due grafici indicano i valori delle serie storiche dei logaritmi del prodotto reale pro capite del Belgio (y_PC) e del resto del mondo (y_*PC). Le linee tratteggiate (con valori sull’asse di sinistra), invece, indicano le differenze prime logaritmiche delle serie storiche y_PC e y_*PC.

Il primo passo consiste nell’effettuare i test di radice unitaria relativi alle due variabili, poiché l’esistenza (eventuale) di una relazione stazionaria di lungo periodo tra le due variabili individualmente non stazionarie, implica che queste ultime siano generate da processi stocastici integrati del primo ordine. La Tabella 5.1 riporta i test ADF relativi alle due serie contenute nel vettore espresse sia nei livelli sia nelle differenze prime.

Tavola 5.1 – Verifica dell’ipotesi di radice unitaria relativamente alle variabili dell’autoregressione vettoriale (5.4.8).

Dai valori delle statistiche emerge che, le variabili risultano effettivamente generate da processi integrati del primo ordine. Il ritardo dell’autoregressione p = 1 risulta sufficiente.