Econometria - il VAR di cointegrazione

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A A⊥ ⊥ k⊥ ⊥µ econ la quale si possono scomporre δAnalogamente a quanto esposto per la matrice degli aggiustamenti, il complemento4 B k×(k−r), di ordine , è tale cheortogonale della matrice di cointegrazione, ⊥′⋅ =B 0B ⊥ Pagina 5-17Modulo X – Modelli VAR−1 −1′ ′= ′ ′ + = +A Aµ A A A A µ A A µ A µ A µ( ) ( ) (5.6.4)⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊥ 1 2−1 −1′ ′= ′ ′ + = +A AA A A A A A A δ A δ( ) ( )δ δ δ (5.6.5)⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊥ 1 2dove −1= ′ ′ è il vettore, di dimensione , delle intercette nelleµµ A A A( ) r×11 relazioni di cointegrazione−1′ ′= è il vettore, di dimensione ( , dei coefficienti delleµµ A( ) k−r)×1A A⊥⊥ ⊥2 tendenze lineari delle variabili

differenziate (cioè alle due componenti di lungo e dibreve periodo) può essere effettuata introducendo una serie di vincoli sui vettori μ₀e che permettono di discriminare tra cinque modelli differentiμ₁ = + = +• . Questa è laμ A μ A μ δ A δ A δH ( r ) : e⊥ ⊥5 1 2 1 2specificazione più generale, poiché gli elementi di e non sono vincolati.μ δIl modello ammette la presenza di tendenze lineari per le variabili espresse trendin termini di differenze prime e lineari nelle equazioni di5cointegrazione.= + =• . Nel modello viene imposto cheμ A μ A μ δ A δ A δH ( r ) : e⊥4 1 2 1nelle relazioni di cointegrazione vi sia una tendenza lineare contestualmente a constanti non nulle. Per le variabili differenziate, invece,la componente deterministica è costituita solamente dalla costante. Dunque il modello ammette tendenze quadratiche nelle variabili

espresse nei livelli.

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Modulo X – Modelli VAR= + • . Il vettore delle costanti non è μ A μ A μ δ 0H ( r ) : e⊥3 1 2vincolato, per cui si ipotizzano tendenze lineari nelle variabili nei livelli. Tali tuttavia scompaiono nelle equazioni di cointegrazione dato che δ 01 = • . Sia nello spazio di cointegrazione sia nelleμ A μ δ 0H ( r ) : e2 1 trendvariabili nei livelli sono esclusi lineari. L’unica componentedeterministica nel modello è costituita dalle intercette nelle relazioni dicointegrazione. = • . Tale ipotesi è la più restrittiva dato che imponeμ 0 δ 0H ( r ) : e1l’assenza di qualsiasi componente deterministica sia nelle relazioni dicointegrazione sia nelle variabili nei livelli.

Riepiloghiamo nella seguente tabella le differenti specificazioni della parte deterministica appena esposte

Variabili I(1) Variabili I(0)

Costante Tendenza Costante

Tendenza• presente quadratica presente lineareH (r)5• presente lineare presente lineareH (r)4• presente lineare presente assenteH (r)3• presente assente presente assenteH (r)2• assente assente assente assenteH (r)1

Tavola 5.3 – Schema sintetico dei vincoli sulle componenti deterministiche sottostanti alleH (r) .ipotesi iNella realtà e appaiono le ipotesi più rilevanti per la specificazione delH (r) H (r)4 2 trendmodello. L’imposizione di quadratici sotto permette talvolta diH (r)5migliorare la bontà di adattamento all’interno del campione ma produce risultatimolto poco soddisfacenti in ambito previsionale. Inoltre, una teoria asintotica percondurre inferenza statistica su questo tipo di modello non è ancora statasviluppata, rendendo molto poco attendibili le procedure di stima. vieneH (r)3accettata generalmente quando si dispone di considerevoli informazioni a priori(derivanti ad esempio dalla teoria economica).

si possono individuare variabili di comodo per regimi•, rappresentabili per mezzo di un vettore d rt×1, che raccoglie valori zero/uno; ossia, le variabili di dimensione d1 comodo assumono il valore 1 in presenza di un nuovo regime ed il valore 0 in sua assenza;

variabili di comodo per impulsi permanenti•, rappresentabili per mezzo di un ×1 vettore, di dimensione , che raccoglie valori zero/uno; ossia, le d d2p t variabili di comodo assumono il valore 1 in presenza del tempo in cui si registra un impulso con effetti permanenti sul sistema;

variabili di comodo per impulsi transitori•, rappresentabili per mezzo di un ×1 vettore, di dimensione , che raccoglie valori zero/uno; ossia, le d d3trt variabili di comodo "neutralizzano" un'oscillazione anomala nella serie -1 assumendo i valori 1 nei tempi in cui si registra l'anomalia con effetti che non si protraggono nel tempo.

La specificazione del modello VAR (5.6.2) in presenza di

variabili di comodo

′= ′ ′ = = =, , e , .dove A Aγ A A A D κ A A D( ) i r, p, tr ( ) i r, p, tr⊥ ⊥i i⊥ ⊥i iUtilizzando il risultato (5.7.2) è possibile riscrivere il modello con correzione deldivario (5.7.1) separando gli effetti esercitati dalle variabili di comodo nel breve enel lungo corso. Pagina 5-21Modulo X – Modelli VAR5.8. Le rappresentazioni a somma mobile e con tendenzestocastiche comuniE’ opportuno per il prosieguo riassumere le condizioni che devono essere soddisfatteaffinché il VAR( ) che genera un vettore di dimensioneyp kt= (5.8.1)A y u(L) t tsia composto da varabili integrate di ordine uno:i) le radici del polinomio caratteristico 2 p= − − + −A I A A Adet (z) det( z z ... z )k 1 2 pdevono tutte giacere al di fuori del cerchio unitario complesso o essere pariad uno; = ⋅ ′ii) della forma nelle differenze (5.5.4) deve essere dila matrice Π A B0 < ;rango ridotto r kiii) inoltre, per

Escludere la presenza di componenti I(2) deve valere anche l'ulteriore condizione ′ ′ = −rango( ) k rA Γ B⊥ ⊥ e , ambedue di ordine

Come già indicato nel paragrafo 5.6, le matrici A B⊥ ⊥complementi ortogonali, sono i , rispettivamente della matrice deglik×(k−r)aggiustamenti e della matrice di cointegrazione, e sono legate ad esse dalle seguenti relazioni ′ ′⋅ = ⋅ =A 0 B 0A B⊥ ⊥ (5.8.2)

′ ′⋅ = ⋅ =kA B) rango( )rango( A B⊥ ⊥mentre la , quadrata di ordine , è definita comeΓ k −p 1∑= −Γ I Π (5.8.3)