Econometria - il VAR di cointegrazione

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di Econometria

Modulo X – Modelli VAR

5. VAR DI COINTEGRAZIONE

Indice del capitolo

5.1. La nozione di cointegrazione ....................................................................................... 2

5.2. La rappresentazione ECM........................................................................................... 4

5.3. I modelli VAR(1) di cointegrazione ............................................................................. 5

5.4. Un esempio di VAR(1) cointegrante............................................................................ 7

p

5.5. I modelli VAR( ) di cointegrazione ........................................................................... 13

5.6. La scomposizione dell’intercetta e della tendenza lineare ...................................... 17

5.7. Le variabili di comodo................................................................................................ 20

5.8. Le rappresentazioni a somma mobile e con tendenze stocastiche comuni............. 22

p

5.9. Un esempio di VAR( ) cointegrante ......................................................................... 26

5.10. Il modello di aggiustamento di lungo periodo .......................................................... 35

5.11. La procedura di Johansen ......................................................................................... 38

5.12. La determinazione del rango di cointegrazione ....................................................... 42

5.13. Le restrizioni di identificazione sulla matrice di cointegrazione ............................ 47

5.14. Un esempio di identificazione della struttura di lungo periodo.............................. 52

5.15. L’analisi dinamica e la velocità di convergenza all’equilibrio ................................. 56

5.16. Le restrizioni di identificazione sulla matrice degli aggiustamenti ....................... 62

5.17. Bibliografia ................................................................................................................. 65

Pagina 5-1

Modulo X – Modelli VAR

5.1. La nozione di cointegrazione

La nozione di cointegrazione consente di associare il concetto, economico, di lungo

periodo, con quello, statistico, di stazionarietà. L’obiettivo dell’analisi di

cointegrazione si incentra sull’individuazione di (eventuali) relazioni con i caratteri

della stazionarietà tra due o più variabili che, invece, se prese singolarmente, sono

non stazionarie (ad esempio posseggono una tendenza).

Un caso particolare di cointegrazione, semplice ma intuitivo, si ha quando due

variabili e sono ambedue I(1), e quindi non stazionarie, ma accade che

y x

t t − β = ∼ I(0) (5.1.1)

y x u

t t t −β

e costituisce un processo aleatorio

cioè la loro combinazione lineare con pesi 1

cointegrate

stazionario. Le due variabili sono dette e i due pesi costituiscono il

−β]′

vettore di cointegrazione

cosiddetto .

[1 sarebbero ancora I(0)

Si noti che se le variabili fossero I(0) invece che I(1) le u t

non

ma e sarebbero cointegrate; da un punto di vista economico le due variabili

y x

t t

non presenterebbero ciascuna un processo di lungo periodo non stazionario.

Infatti, in relazione alla = β +

y x u

t t t

possono sussistere le seguenti situazioni, per quanto riguarda la cointegrazione:

∼ ∼ ∼ ∼

I(1) ma I(0), oppure, I(0) e I(1); allora le due variabili non

i) y x y x

t t t t

sono cointegrate

∼ ∼ ∼

ii) I(0) e I(0); allora I(0) ma le due variabili non sono cointegrate

y x u

t t t

∼ ∼ ∼

I(1), I(1) e I(0); allora le due variabili sono cointegrate

iii) y x u

t t t

∼ ∼

I(1), I(1) e I(0); allora le due variabili non sono cointegrate

iv) ∼

y x u

t t t

Il concetto di cointegrazione che abbiamo illustrato sopra con un caso

particolare può essere facilmente generalizzato: due serie e sono dette

{y } {y }

1t 2t

≥

cointegrate di ordine , con , e si scrive

(d, b) d b > 0

∼

y , y CI(d, b)

1t 2t

quando ∼ ∼

,

i) y I(d) y I(d)

1t 2t

ii) esiste una combinazione lineare Pagina 5-2

Modulo X – Modelli VAR

β + β (5.1.2)

y y

1 1t 2 2t

cioè 

 y

1

t

[ ] 



β β

1 2 

 y 

 2 t

che è I(d−b).

= β vettore di cointegrazione

è detto . Nel caso precedente si

Il vettore β [β ]′

1 2

= =

aveva .

d b 1 serie , , ..., , queste sono dette cointegrate di

Se si possiedono k {y } {y } {y }

1t 2t kt

≥

ordine , ancora con , e si scrive

(d, b) d b > 0 ∼

y , y , … , y CI(d, b)

1t 2t kt

se ∼ ∀

i) y I(d) i

it

′ ∼

ii) β y I(d−b)

t ′

[ ]

[ ]

′ =

=

con , .

y y y ... y

β β β ... β t 1

t 2 t kt

1 1 k

In realtà vi sono casi particolari in cui sussiste la cointegrazione anche se non

sono , ma la loro discussione esula dai limiti della presente

tutte le y I(d)

it

trattazione. Pagina 5-3

Modulo X – Modelli VAR

5.2. La rappresentazione ECM

Ritorniamo al caso di due variabili ed che supponiamo essere CI(1,1); dunque

y y

1t 2t

β + β ∼ I(0)

y y

1 1t 2 2t β

che senza perdere in generalità (possiamo sempre dividere per senza modificare

1

le caratteristiche stocastiche del problema) scriviamo nella forma (5.1.1), ponendo

β = β β

/

2 1 − β = ∼ I(0) (5.2.1)

y y u

1t 2t t

nei due membri dell’equazione si ottiene

Sottraendo y 1,t−1 ∆y = β − +

y y u

1t 2t 1,t−1 t

β

e addizionando e sottraendo y 2,t−1

∆y = β ∆y − − β + (5.2.2)

(y y ) u

1t 2t 1,t−1 2,t−1 t

∆y ∆y

e con i livelli e . La (5.2.2)

che è un modello che lega le variazioni y y

1t 2t 1,t−1 2,t−1

rappresenta, dal punto di vista economico, una relazione di breve periodo, che

= − β

contiene tuttavia la variabile consistente nel divario che si ha nel

u y y

t 1,t−1 2,t−1

lungo periodo definito tramite la (5.2.1).

rappresentazione a correzione del divario (ECM )

Lo schema (5.2.2) forma la 1

dalla relazione di cointegrazione (5.2.1). Si noti che le due relazioni (5.2.1) e (5.2.2)

sono equivalenti, ma che nella seconda sono presenti, congiuntamente, e questo ha

una grande rilevanza nella modellistica economica, sia i livelli che le differenze

prime delle variabili e .

y y

1t 2t

Error Correction Mechanism

, in inglese.

1 Pagina 5-4

Modulo X – Modelli VAR

5.3. I modelli VAR(1) di cointegrazione

Applichiamo la nozione di cointegrazione ai modelli VAR, iniziando con quello più

=

semplice, il VAR(1) con , e in assenza di componenti deterministiche. Il

k 2

modello è espresso dalla (1.7.1) e lo riscriviamo di seguito

= + (5.3.1)

y A y u

t 1 t−1 t

Questa formulazione non permette di indagare sull’andamento di lungo periodo

delle variabili generate dal VAR per cui è necessario trasformare quest’ultimo in

trasformazione di cointegrazione

. Sottraendo

un’altra forma mediante la cosiddetta

ad ambedue i membri della (5.3.1) otteniamo

y

t−1 ∆y = − + (5.3.2)

(A I ) y u

t 1 2 t−1 t

o anche ∆y = + (5.3.3)

Π y u

t t−1 t

0

se si pone = − (5.3.4)

Π A I

1 2

0

matrice quadrata di ordine 2, e quindi di rango massimo 2.

sono riunite le caratteristiche di lungo periodo delle variabili

Nella matrice Π 0

generate dal VAR(1) (5.3.1). Engle e Granger (1987) hanno dimostrato che sotto

ipotesi molto blande e generalmente verificate si possono avere le seguenti

situazioni: =

i) rango ( Π ) 2

0

allora ciascuna delle due variabili è I(0) ma queste non sono cointegrate; il

modello (5.3.1) può essere stimato con una delle procedure illustrate nel

capitolo 2; =

ii) rango ( Π ) 0

0

allora ciascuna delle due variabili è I(1) ma ancora non sono cointegrate;

le variabili del modello (5.3.1) possono essere trasformate con le differenze

prime e quindi il modello può essere stimato;

=

iii) rango ( Π ) 1

0

allora ciascuna delle due variabili è I(1) e sono cointegrate; esiste un

legame di lungo periodo tra di esse corrispondente alla relazione di

cointegrazione, che è unica.

In quest’ultimo caso si dimostra che vale la fattorizzazione Pagina 5-5

Modulo X – Modelli VAR

′

= (5.3.5)

Π α β

0

= β = α

contiene i moltiplicatori di lungo periodo ed è detta

dove β [β ]′ [α ]′

α

1 2 1 2

vettore di retroazione .

Sostituendo la (5.3.5) nella (5.3.3) si ottiene

′

∆y = + (5.3.6)

α β y u

t t−1 t

cioè ∆  

y



 



 

y u

α [ ] −

t

1

, 1

t

1 t

1

1  

= ⋅ ⋅ +



 



  β β (5.3.7)

1 2  



 



 

∆ y

α

y u

 



 



 

−

t

2 , 1

t

2 2 t

2 ′

di cointegrazione

Il vettore è chiamato ed è tale che è una variabile I(0)

β β y

t−1

mentre le variabili contenute in sono I(1). Dunque, in questo caso le variabili di

y

t−1 di cointegrazione cointegrante

sono cointegrate ed il VAR (5.3.1) è detto o .

y

t Effettuando le moltiplicazioni, la (5.3.7) può essere scritta nella forma

( )

= ⋅ + +

∆

 y α β y β y u

 − −

1

t 1 1 1

, t 1 2 2 , t 1 1

t

 (5.3.8)

( )

= ⋅ + +

∆

 y α β y β y u

− −

2 t 2 1 1

, t 1 2 2 , t 1 2 t della rappresentazione a

che può essere considerata come la versione multivariata

2

correzione del divario (5.2.2). Le variabili nelle (5.3.8), oppure nella (5.3.7), sono

′ ∼

tutte stazionarie, essendo e ambedue I(1) e I(0). Da questa nasce la

β

y y y

1t 2t t−1

relazione di lungo periodo

β + β = ε ∼ I(0) (5.3.9)

y y

1 1t 2 2t t

e ; questa relazione era stata nel paragrafo 5.2 il punto di

tra le variabili y y

1t 2t

partenza, e non come qui di arrivo, per la costruzione del meccanismo a correzione

del divario.

Vector Error Correction Mechanism (VECM), in inglese.

2 Pagina 5-6

Modulo X – Modelli VAR

5.4. Un esempio di VAR(1) cointegrante

In questo esempio si vuole evidenziare lo stretto collegamento che può realizzarsi

tra la teoria economica e la modellizzazione econometrica, in riferimento ad un

modello di crescita neoclassico. Il passaggio dalla rappresentazione autoregressiva

(vettoriale) a quella con correzione del divario (vettoriale) richiede la conoscenza di

alcuni concetti che verranno esposti più in dettaglio nel corso del capitolo. Tuttavia,

la semplicità della struttura del VAR proposto in questo paragrafo rende di facile

comprensione il procedimento seguito.

Supponiamo che nel lungo periodo il prodotto (in termini reali) di una piccola

economia aperta agli scambi internazionali, , sia determinato in base alla

Y

t

seguente funzione di produzione 

 K 



= = ⋅ t

Y F(K , A N ) A N F , 1 (5.4.1)





t t t t t t A N 

 t t

a rendimenti di scala costanti nel lavoro ( ) e nel capitale ( ), dove identifica un

N K A

t t t

indice di progresso tecnologico. La (5.4.2) espressa in termini logaritmici diviene

 

 

K

= + + t

ln(Y ) ln(A ) ln(N ) ln , 1

F

 

  (5.4.2)

t t t A N

 

 

 

t t

et alii (2001), avanziamo le seguenti ipotesi sulle tre componenti

Seguendo Garratt

del membro di destra della (5.4.2): ossia, l’indice del progresso tecnologico è

= ∼

i) ln(A ) w I(1);

t At dominato da una tendenza stocastica

ossia, la quota degli occupati sul totale della

= + ∼

ii) ln(N ) ln(POP ) w I(0);

t t Nt popolazione segue un processo stazionario

ossia, la funzione di produzione espressa in

 

 

K stock

termini di di capitale per unità di

∼

=

t

iii) ln , 1 I(0);

F w

 

  κt ( )

lavoro, , descrive un processo

/

K A N

A N

 

 

  t t t

t t stazionario

Ne consegue che la (5.4.2) si può riscrivere come

− = = + + ∼

ln(Y ) ln(POP ) y w w w I(1) (5.4.3)

t t κ

t At Nt t

PC

dove la presenza di una tendenza stocastica nel prodotto pro capite è da ascrivere

essenzialmente al progresso tecnologico.

Procedendo similmente per il resto del mondo, si ha Pagina 5-7

Modulo X – Modelli VAR

− = = + + ∼

* * * * * *

Y POP y w w w I

ln( ) ln( ) (1) (5.4.4)

κ

At

t t PCt Nt t

dove l’asterisco indica variabili del resto del mondo.

L’assunzione di economia piccola ed aperta all’estero si sostanzia nell’ipotesi

che l’indice del livello di progresso tecnologico sia determinato dal livello di quello

del resto del mondo, per cui = *

w w (5.4.5)

At At

Sottraendo la (5.4.4) dalla (5.4.3) ed in virtù della (5.4.5) si ottiene

− = − + − = ε ∼

* * *

y y w w w w I

( ) ( ) (0) (5.4.6)

t

κ κ

PCt Nt t

PCt Nt t

che rappresenta l’ipotesi da verificare empiricamente. La relazione di lungo periodo

β β

*

e , dunque, prevede che i coefficienti e della (5.3.9)

ipotizzata tra y y 1 2

PCt

PCt

−1

siano pari a e a , rispettivamente.

1

Le equazioni (5.3.8) diventano in questo esempio

∆ = ⋅ ε +

 +α

y c u

−

PC t 1 1 t 1 1

t

 (5.4.7)

∆ = ⋅ ε +

* +α

y c u

 −

PC t 2 2 t 1 2 t = ), e dove, si ricorda,

nelle quali è stato introdotto un termine costante (

c i

, 1,2

i

ε = − * . Dai precedenti paragrafi è noto che la rappresentazione

y y

t−1 − −

PC t 1 PC t 1

vettoriale con correzione del divario (5.4.7) discende da un modello autoregressivo

di ordine 1 del tipo = + ⋅ +

y c A y u (5.4.8)

−

t 1 t 1 t

= = =

*

dove , , , che rappresenta il punto di

y y c c u u

y c u

[ ]′ [ ]′ [ ]′

t 1 2 1t 2t

PCt PCt

partenza dell’indagine empirica.

rappresenta il logaritmo del prodotto reale pro capite pro

Nel VAR (5.4.9) y PCt *

=

capite della Belgio (1995 100), mentre indica il logaritmo del prodotto reale

y PCt

=

del resto del mondo (1995 100). I dati trimestrali destagionalizzati, di fonte IMF,

3

coprono il periodo 1985:I – 2002:I e sono rappresentati in figura 5.1.

Il resto del mondo è inteso come media ponderata di singoli paesi. I pesi utilizzati

3

rappresentano la quota relativa al singolo paese sul totale dei flussi commerciali, intesi

come somma delle importazioni e delle esportazioni, del Belgio. Le economie considerate

sono: Austria, Canada, Danimarca, Finlandia, Grecia, Irlanda, Italia, Giappone, Olanda,

Portogallo, Spagna, Svezia, Svizzera, Regno Unito e Stati Uniti. Pagina 5-8

Modulo X – Modelli VAR 0.005

4.8 0.004

4.7 0.003

4.6 0.002

4.5 0.001

0.000

4.4 -0.001

4.3 -0.002

4.2 -0.003

4.1 -0.004

85 87 89 91 93 95 97 99 01

yP C DyP C 0.004

4.8 0.003

4.7 0.003

4.6 0.002

0.002

4.5 0.001

4.4 0.001

0.000

4.3 -0.001

4.2 -0.001

4.1 -0.002

85 87 89 91 93 95 97 99 01

y*P C Dy*P C

Figura 5.1 – Le linee continue (con valori sull’asse di destra) nei due grafici indicano i valori

y ) e del resto del

delle serie storiche dei logaritmi del prodotto reale pro capite del Belgio ( PC

*

y

mondo ( ). Le linee tratteggiate (con valori sull’asse di sinistra), invece, indicano le

PC *

y y

differenze prime logaritmiche delle serie storiche e .

PC PC

Il primo passo consiste nell’effettuare i test di radice unitaria relativi alle due

variabili, poiché l’esistenza (eventuale) di una relazione stazionaria di lungo

Pagina 5-9

Modulo X – Modelli VAR

periodo tra le due variabili individualmente non stazionarie, implica che queste

ultime siano generate da processi stocastici integrati del primo ordine. La Tabella

5.1 riporta i test ADF relativi alle due serie contenute nel vettore espresse sia nei

y

livelli sia nelle differenze prime. Statistica Valore critico

Variabile Versione del Ritardi Probabilità

test secondo il al 5%

criterio di

Schwartz

ADF-3 0 -1.74 -3.48 0.72

y PC

* ADF-3 1 -1.94 -3.48 0.62

y PC ADF-2 0 -7.51 -2.91 0.00

Dy PC

* ADF-2 0 -4.93 -2.91 0.00

Dy PC

Tavola 5.1 – Verifica dell’ipotesi di radice unitaria relativamente alle variabili

dell’autoregressione vettoriale (5.4.8).

Dai valori delle statistiche emerge che, le variabili risultano effettivamente

generate da processi integrati del primo ordine. Il ritardo dell’autoregressione

p = 1

risulta sufficie