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Econometria - il VAR di cointegrazione

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sul VAR di cointegrazione. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la nozione di cointegrazione, la rappresentazione ECM, i modelli VAR di cointegrazione, la scomposizione dell’intercetta e della tendenza lineare, le variabili di comodo, il modello di... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo X – Modelli VAR

− 

( ) [ ]



 0 .

11 ⋅ −

Π 1 1 (5.4.12)

0 

 0

04 

 ( )

06 p value

La statistica del test assume il valore di 3.24 con un - di 0.07, per cui si è

indotti a concludere che, relativamente all’orizzonte temporale esaminato, i dati

sembrano confermare le ipotesi economiche alla base dell’indagine. Pagina 5-12

Modulo X – Modelli VAR

5.5. I modelli VAR(p) di cointegrazione

Le nozioni precedenti possono essere immediatamente generalizzate al caso di

ordine qualsiasi e di generico. Dato il modello VAR( )

p k p

= + + + (5.5.1)

y A y A y u

...

t 1 t−1 p t− p t

che possiamo scrivere utilizzando l’operatore di ritardo L

2 p

− − + − = (5.5.2)

L L L

I A A A y u

( ... )

k 1 2 p t t

lo possiamo trasformare nel p−1

− − + + =

Π L

L L L y u

I y

( ) ( ... ) (1− )

Π Π

k t t t

−

1 p 1

dove = + + (5.5.2)

Π A A

...

1 p

e = −

= − + + + (5.5.3)

s p

1, ..., 1

Π A A A

( ... )

s+1 s+2 p

Allora è = ∆ + ∆ +... + ∆ + +

y y y Π y Π y u

Π Π

t t−1 t−2 t−p+1 t−1 t

−

1 2 p 1

dalla quale, sottraendo ad ambedue i membri

t−1

∆ = ∆ + ∆ +... + ∆ + − +

Π (5.5.4)

y y y y I y u

( )

Π Π

t t−1 t−2 t−p+1 k t−1 t

−

1 2 p 1

che è l’analoga della (5.3.2), ponendovi

= − (5.5.5)

Π I k

Anche in questo caso la trasformazione che fa passare dalla (5.5.1) alla (5.5.4) è

di cointegrazione , e da Engle e Granger (1987) si ricavano le seguenti

detta

possibili situazioni: =

i) k

rango ( )

le variabili sono tutte I(0) e non sono cointegrate;

ii) Π

rango ( ) 0

le variabili sono tutte I(1) ma non sono cointegrate; le variabili possono

essere trasformate nelle differenze prime in quanto e la (5.5.4)

Π 0

diventa

∆ = ∆ + ∆ +... + ∆ +

y y y Π y u

Π Π

t t−1 t−2 t−p+1 t

−

p 1

1 2

= , cioè la matrice ha rango ridotto;

iii) r k

Π Π

rango ( ) <

0 0 Pagina 5-13

Modulo X – Modelli VAR

le variabili sono I(1) e sono cointegrate; esistono legami di lungo periodo

tra le variabili, corrispondenti ad relazioni di cointegrazione. In questo

caso si dimostra che vale la fattorizzazione

= ⋅ ′ (5.5.6)

Π A B

0 ×

e sono matrici di ordine e di rango .

dove k r r

A B ( ) ′

matrice di cointegrazione è tale che gli vettori sono ciascuno I(0)

La r

B B y

mentre le variabili componenti sono I(1); in altre parole esistono le relazioni di

cointegrazione seguenti ′ = (5.5.7)

B y ε

t t = =

e . Se esplicitiamo per colonne la

corrispondenti alla (5.3.9) nel caso di p k

1 2

= = vettore

matrice ciascuna colonna , , costituisce un

i r

B β β

[ … ] 1, 2, …,

β β i

1 2 r

di cointegrazione .

Gli elementi della matrice denotano la velocità di aggiustamento delle

A

variabili in a seguito di scostamenti dal sentiero di equilibrio di lungo periodo. E’

t matrice degli aggiustamenti

per questo che viene chiamata . Tali elementi però

possono essere considerati come i pesi con i quali le variabili ritardate in y

t−1

t matrice delle

retroagiscono su se stesse ma al tempo . Così è anche detta

A

retroazioni .

Ovviamente, il modello (5.5.4) generalizza il (5.3.8) e quindi il (5.2.2): esso può

essere considerato come l’estensione multivariata di un modello alle differenze

prime contenente un meccanismo a correzione del divario, che in questo caso è dato

= −

dal termine vettoriale . Gli elementi di questo vettore

Π y Π I y

( )

t−1 k t−1

costituiscono gli scostamenti (i divari) delle variabili di dall’andamento di lungo

periodo.

Esempio – Si consideri un insieme di tre variabili, , e , rappresentate per

y y y

1t 2t 3t

mezzo di un VAR(2) in cui è assente la parte deterministica

   

       

y a a a y a a a y u

− −

t 11

1 12 ,

1 13 ,

1 1

t 1 11

, 2 12 , 2 13 , 2 1

t 2 1

   

       

= + +

y a a a y a a a y u

   

       

− −

2 t 21

1 22 ,

1 23 ,

1 2 t 1 21

, 2 22 , 2 23 , 2 2 t 2 2 t

   

       

y a a a y a a a y u

       

   

− −

3 t 31

1 32 ,

1 33 ,

1 3 t 1 31

, 2 32 , 2 33 , 2 3 t 2 3 t

che in base alla (5.5.4) può essere espresso come

 

  

 

 ∆ π π π ∆ π π π

y y y u

− −

t 11,1 12,1 13,1 1

t 1 11,0 12,0 13,0 1

t 1 1

 

  

 

 +

∆ π π π ∆ π π π

y y y u

 

  

 

 − −

2 t 21,1 22,1 23,1 2 t 1 21,0 22,0 23,0 2 t 1 2 t

 

  

 

 ∆ π π π ∆ π π π

y y y u 

 

  

  − −

3 t 31,1 32,1 33,1 3 t 1 31,0 32,0 33,0 3 t 1 3 t

Pagina 5-14

Modulo X – Modelli VAR = <

Ipotizzando che la matrice abbia rango ridotto , possiamo scomporla

Π r 2 3

secondo la (5.5.6) come

  α α

 

π π π

11,0 12,0 13,0 11 12 

 β β β

    11 12 13

= α α

π π π 



   

21,0 22,0 23,0 21 22 β β β



    21 22 23

α α

π π π  

 

31,0 32,0 33,0 31 32

ottenendo   α α 

 





 

 y y y u

∆ π π π ∆ − −

t 11,1 12,1 13,1 1

t 1 11 12 1

t 1 1



 β β β

  

 





 

 11 12 13 +

+ α α

y y y u

∆ π π π ∆ 



  

 





 

 − −

2 t 21,1 22,1 23,1 2 t 1 21 22 2 t 1 2 t

β β β 



  

 





 

 21 22 23

α α

y y y u

∆ π π π ∆ 

 





 

   − −

3 t 31,1 32,1 33,1 3 t 1 31 32 3 t 1 3 t

dalle quali si traggono le due relazioni di cointegrazione seguenti

β + β + β = ε β + β + β = ε

y y y y y y

11 1t 12 2t 13 3t 1t 21 1t 22 2t 23 3t 2t

secondo la (5.5.7). Le relazioni di cointegrazione non indicano né la direzione né

l’intensità degli aggiustamenti, che sono invece contenute nel segno e nel valore dei

α = α =

coefficienti della matrice . Se ad esempio si ha si può affermare che

A 0

31 32

la variabile retroagisce sulle altre due negli aggiustamenti necessari per

y 3t

ammortizzare i divari ma la dinamica di non è influenzata da tali

y 3t

aggiustamenti.

Esempio – Riprendiamo l’esempio numerico del paragrafo 5.4. Sotto

l’assunzione che sussista una relazione di cointegrazione, che verrà dimostrata nel

paragrafo 5.12, il VAR(1) di dimensione , è stato riparametrizzato in un

k 2

modello vettoriale con correzione del divario. Inoltre, in accordo con la teoria

−1]

economica, è stato imposto che il vettore di cointegrazione sia . Analizzando

la matrice degli aggiustamenti, che nella (5.4.12) è rappresentata da un vettore di

dimensione , emerge che il secondo dei due elementi assume un valore

2×1 α

pressoché pari a zero. Ciò induce a verificare la nullità statistica di , attraverso

un test del rapporto delle verosimiglianze che sarà descritto in dettaglio nel

paragrafo 5.17. Tale test si distribuisce come un con numero di gradi di libertà

pari al numero complessive di restrizioni imposte sia sulla matrice (vettore) di

cointegrazione sia sulla matrice (vettore) degli aggiustamenti. Nel caso in esame le

restrizioni imposte sono pari a due. La prima deriva dal paragrafo precedente in

β = −

cui, in accordo alla teoria economica, si è imposto nella matrice di

12 α

cointegrazione. La seconda consiste nell’azzeramento del coefficiente della

matrice degli aggiustamenti. La nuova specificazione della matrice diviene

Π 0 Pagina 5-15

Modulo X – Modelli VAR

− 

27 [ ]

( )

= ⋅ −

 

. 08

Π 1 1 (5.5.8)

0  

  p value

- di 0.16, per cui la

La statistica del test assume il valore di 3.65 con un

seconda variabile del modello non è influenzata dal termine di correzione del

divario. Inoltre, il valore dell’unico parametro non vincolato rimane

sostanzialmente invariato, sebbene esso risulti stimato più precisamente. La

restrizione imposta sulla matrice delle retroazioni appare plausibile anche dal

punto di vista economico. Ricordando infatti che le direzioni degli aggiustamenti

sono contenute nel segno e nel valore dei coefficienti della matrice delle retroazioni,

sembra ragionevole che sia il livello del prodotto reale pro capite del Belgio si

“aggiusti” verso quello del resto del mondo (e non il viceversa). Pagina 5-16

Modulo X – Modelli VAR

5.6. La scomposizione dell’intercetta e della tendenza lineare

Le specificazioni dei modelli VAR cointegranti presentate nei precedenti paragrafi

hanno escluso la presenza di componenti deterministiche quali costanti, tendenze

ed altre funzioni del tempo. Esse, tuttavia, ricoprono un ruolo cruciale per la

rappresentazione del processo generatore dei dati in quanto l’inferenza statistica

sui parametri e l’analisi dinamica del sistema è influenzata maggiormente dalla

specificazione della parte deterministica del modello piuttosto che da quella della

sua componente stocastica. In questo paragrafo si mostra il ruolo delle intercette e

delle tendenze nel VAR con correzione del divario in cui sono contemporaneamente

presenti variabili differenziate e variabili nei livelli.

Nei VAR cointegranti precedentemente illustrati è netta la suddivisione in

parte relativa al lungo periodo e parte relativa al breve; una analoga suddivisione

riguarda le componenti deterministiche, come esposto di seguito.

Consideriamo un processo VAR( ) con qualsiasi

= + + + + + (5.6.1)

y A y A y A y u

… + t

t 1 t−1 2 t−2 p t−p t

dove sono presenti i due vettori e , ambedue di dimensione , relativi ad una

µ k×1

tendenza lineare. La rappresentazione con correzione del divario associata al

modello (5.6.1) è

∆ = ∆ + ∆ + + + + (5.6.2)

y Π y Π y Π y u

… + t

t t−1 t−p+1 t−1 t

1 p−

= ′

dove , essendo generico.

Π A B k

0 , di ordine , dove è il rango della

Consideriamo ora la matrice A k×(k−r) r

⊥

matrice , tale che

A ′

⋅ =

A

A 0

⊥

complementi ortogonali della matrice degli aggiustamenti . Per

per cui sono i A

mezzo di tale matrice si determina l’identità

−1 −1

′ ′

′ ′ + = (5.6.3)

A A A A A A I

( ) ( )

A A

⊥ ⊥ k

⊥ ⊥

µ e

con la quale si possono scomporre δ

Analogamente a quanto esposto per la matrice degli aggiustamenti, il complemento

4 B k×(k−r)

, di ordine , è tale che

ortogonale della matrice di cointegrazione, ⊥

′

⋅ =

B 0

B ⊥ Pagina 5-17

Modulo X – Modelli VAR

−1 −1

′ ′

= ′ ′ + = +

A A

µ A A A A µ A A µ A µ A µ

( ) ( ) (5.6.4)

⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ 1 2

−1 −1

′ ′

= ′ ′ + = +

A A

A A A A A A A δ A δ

( ) ( )

δ δ δ (5.6.5)

⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ 1 2

dove −1

= ′ ′ è il vettore, di dimensione , delle intercette nelle

µ A A A

( ) r×1

1 relazioni di cointegrazione

−1

′ ′

= è il vettore, di dimensione ( , dei coefficienti delle

µ A

( ) k−r)×1

A A

⊥

⊥ ⊥

2 tendenze lineari delle variabili espresse nei livelli

−1

= ′ ′ è il vettore, di dimensione , dei coefficienti delle tendenze

δ A A A

( ) r×1

1 lineari nelle relazioni di cointegrazione

−1

′ ′

= è il vettore, di dimensione ( , dei coefficienti delle

δ A

( ) k−r)×1

A A δ

⊥

⊥ ⊥

2 tendenze quadratiche delle variabili espresse nei livelli

Sostituendo le (5.6.4) e (5.6.5) nel modello (5.6.2) si ottiene

−

p 1

∑ ′

∆ = + + + +

⋅ * *

y A B y A µ A δ u

Π ∆

y (5.6.6)

⊥ ⊥

t t

−

− t 1

i t i 2 2

i 1

[ ] [ ]

′

′ ′ =

* *

dove e . Il (5.6.6) è un modello con

y y

B B µ δ 1 t

− −

1 1 1 1

t t

correzione del divario nel quale la parte deterministica è scomposta nella

componente di lungo periodo (di cointegrazione) ed in quella di breve.

La specificazione della componente deterministica relativa alle relazioni di

cointegrazione e alle variabili differenziate (cioè alle due componenti di lungo e di

breve periodo) può essere effettuata introducendo una serie di vincoli sui vettori µ 0

e che permettono di discriminare tra cinque modelli differenti

1 = + = +

• . Questa è la

µ A µ A µ δ A δ A δ

H ( r ) : e

⊥ ⊥

5 1 2 1 2

specificazione più generale, poiché gli elementi di e non sono vincolati.

µ δ

Il modello ammette la presenza di tendenze lineari per le variabili espresse

trend

in termini di differenze prime e lineari nelle equazioni di

cointegrazione.

= + =

• . Nel modello viene imposto che

µ A µ A µ δ A δ

H ( r ) : e

⊥

4 1 2 1

nelle relazioni di cointegrazione vi sia una tendenza lineare

contestualmente a constanti non nulle. Per le variabili differenziate, invece,

la componente deterministica è costituita solamente dalla costante.

Dunque il modello ammette tendenze quadratiche nelle variabili espresse nei livelli.

5 Pagina 5-18

Modulo X – Modelli VAR

= + =

• . Il vettore delle costanti non è

µ A µ A µ δ 0

H ( r ) : e

⊥

3 1 2

vincolato, per cui si ipotizzano tendenze lineari nelle variabili nei livelli.

trend

Tali tuttavia scompaiono nelle equazioni di cointegrazione dato che

= .

δ 0

1 = =

• . Sia nello spazio di cointegrazione sia nelle

µ A µ δ 0

H ( r ) : e

2 1 trend

variabili nei livelli sono esclusi lineari. L’unica componente

deterministica nel modello è costituita dalle intercette nelle relazioni di

cointegrazione.

= =

• . Tale ipotesi è la più restrittiva dato che impone

µ 0 δ 0

H ( r ) : e

l’assenza di qualsiasi componente deterministica sia nelle relazioni di

cointegrazione sia nelle variabili nei livelli.

Riepiloghiamo nella seguente tabella le differenti specificazioni della parte

deterministica appena esposte

Variabili I(1) Variabili I(0)

Costante Tendenza Costante Tendenza

• presente quadratica presente lineare

H (r)

• presente lineare presente lineare

H (r)

• presente lineare presente assente

H (r)

• presente assente presente assente

H (r)

• assente assente assente assente

H (r)

Tavola 5.3 – Schema sintetico dei vincoli sulle componenti deterministiche sottostanti alle

H (r) .

ipotesi i

Nella realtà e appaiono le ipotesi più rilevanti per la specificazione del

H (r) H (r)

4 2 trend

modello. L’imposizione di quadratici sotto permette talvolta di

H (r)

migliorare la bontà di adattamento all’interno del campione ma produce risultati

molto poco soddisfacenti in ambito previsionale. Inoltre, una teoria asintotica per

condurre inferenza statistica su questo tipo di modello non è ancora stata

sviluppata, rendendo molto poco attendibili le procedure di stima. viene

H (r)

accettata generalmente quando si dispone di considerevoli informazioni a priori

(derivanti ad esempio dalla teoria economica). L’ipotesi , infine, si realizza solo

H (r)

in situazioni del tutto particolari dato che un vettore di intercette è necessario

affinché esista il vettore dei valori pre-campionari della rappresentazione a

somma mobile che verrà esposta nel paragrafo 5.8. Pagina 5-19

Modulo X – Modelli VAR

5.7. Le variabili di comodo

Nel paragrafo precedente si è mostrato come la presenza contemporanea di

variabili nelle differenze prime e variabili nei livelli nei VAR di cointegrazione

rende necessario scomporre opportunamente i vettori associate alle tendenze. Il

corretto utilizzo delle variabili di comodo nei modelli VAR cointegranti comporta

sia individuare il tipo che devono assumere sia discriminare se esse appartengono o

meno allo spazio di cointegrazione.

Da un punto di vista funzionale si possono distinguere tre tipi di variabili di

comodo, a seconda della natura dell’evento eccezionale che è occorso durante il

periodo campionario. Più specificatamente, si possono individuare

variabili di comodo per regimi

• , rappresentabili per mezzo di un vettore ,

d r

×1

, che raccoglie valori zero/uno; ossia, le variabili di

di dimensione d

comodo assumono il valore 1 in presenza di un nuovo regime ed il valore 0 in

sua assenza;

variabili di comodo per impulsi permanenti

• , rappresentabili per mezzo di un

×1

vettore , di dimensione , che raccoglie valori zero/uno; ossia, le

d d

p t

variabili di comodo assumono il valore 1 in presenza del tempo in cui si

registra un impulso con effetti permanenti sul sistema;

variabili di comodo per impulsi transitori

• , rappresentabili per mezzo di un

×1

vettore , di dimensione , che raccoglie valori zero/uno; ossia, le

d d

variabili di comodo “neutralizzano” un’oscillazione anomala nella serie

−1

assumendo i valori 1 e nei tempi in cui si registra l’anomalia con effetti

che non si protraggono nel tempo.

La specificazione del modello VAR (5.6.2) in presenza di variabili di comodo

diviene allora (5.7.1)

−

p 1

∑ ⋅

∆ = + ′ + + + + + +

Π ∆

y A B y D d D d D d µ u

t t−1 r rt p pt tr trt t

−

i t i

i 1

dove le matrici , e hanno dimensioni opportune.

D D D

r p tr

Analogamente a quanto esposto per le intercette e le tendenze lineari, il ruolo

delle variabili di comodo può essere descritto convenientemente ricorrendo alla

scomposizione (5.6.3). Anche per le variabili di comodo occorre infatti individuare

se gli effetti sono esercitati al livello delle relazioni di cointegrazione (cioè nel lungo

periodo) oppure al livello delle variabili differenziate (cioè nel breve periodo).

Dunque, coerentemente a come proceduto per l’ottenimento delle (5.6.4), la

partizione degli effetti delle variabili di comodo nelle due componenti porta ad

ottenere Pagina 5-20

Modulo X – Modelli VAR

= +

D A γ κ

r r r

= +

D A γ κ (5.7.2)

p p p

= +

D A γ κ

tr tr tr

−1 −1

′ ′

= ′ ′ = = =

, , e , .

dove A A

γ A A A D κ A A D

( ) i r, p, tr ( ) i r, p, tr

⊥ ⊥

i i

⊥ ⊥

i i

Utilizzando il risultato (5.7.2) è possibile riscrivere il modello con correzione del

divario (5.7.1) separando gli effetti esercitati dalle variabili di comodo nel breve e

nel lungo corso. Pagina 5-21

Modulo X – Modelli VAR

5.8. Le rappresentazioni a somma mobile e con tendenze

stocastiche comuni

E’ opportuno per il prosieguo riassumere le condizioni che devono essere soddisfatte

affinché il VAR( ) che genera un vettore di dimensione

p k

= (5.8.1)

A y u

(L) t t

sia composto da varabili integrate di ordine uno:

i) le radici del polinomio caratteristico 2 p

= − − + −

A I A A A

det (z) det( z z ... z )

k 1 2 p

devono tutte giacere al di fuori del cerchio unitario complesso o essere pari

ad uno; = ⋅ ′

ii) della forma nelle differenze (5.5.4) deve essere di

la matrice Π A B

0 < ;

rango ridotto r k

iii) inoltre, per escludere la presenza di componenti I(2) deve valere anche

l’ulteriore condizione ′ ′ = −

rango( ) k r

A Γ B

⊥ ⊥ e , ambedue di ordine

Come già indicato nel paragrafo 5.6, le matrici A B

⊥ ⊥

complementi ortogonali

, sono i , rispettivamente della matrice degli

k×(k−r)

aggiustamenti e della matrice di cointegrazione, e sono legate ad esse dalle

seguenti relazioni ′ ′

⋅ = ⋅ =

A 0 B 0

A B

⊥ ⊥ (5.8.2)

′ ′

⋅ = ⋅ =k

A B

) rango( )

rango( A B

⊥ ⊥

mentre la , quadrata di ordine , è definita come

Γ k −

p 1

∑

= −

Γ I Π (5.8.3)

k i

i 1

Se sussistono le condizioni i), ii) e iii), allora il teorema di Johansen-Granger

rappresentazione a

afferma che il processo autoregressivo (5.8.1) ammette la

somma mobile t ( )

∑

= + +

y Ψ u Ψ L u a (5.8.4)

t i t 0

i 1

è un vettore di costanti che dipende dai valori pre-campionari .

dove a y , y , ...

−1

0 0 Pagina 5-22

Modulo X – Modelli VAR

La (5.8.4) è composta da tre parti distinte nelle quali i coefficienti sono espressi

in forma implicita.

E’ anzitutto utile introdurre la definizione

( )

−

′ ′

= (5.8.5)

Ψ B A Γ B A

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

che, introdotta nella (5.8.4), porta ad ottenere

( ) ( )

∑

−

′ ′

= + +

* L

y B A Γ B A u Ψ u a (5.8.6)

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 0

t i

rappresentazione con tendenze (stocastiche) comuni .

chiamata 7

In questa, il vettore viene espresso in funzione delle tendenze stocastiche

( ) ( )

∑

−

′ ′

1 *

delle componenti stazionarie e dei valori iniziali

L

B A Γ B A u Ψ u

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ i

i 1

. Il processo evolve cioè nel lungo periodo secondo la tendenza

{ }

a y

0 t

( ) ∑

−

′ ′

1 con deviazioni transitorie rappresentate dal termine

B A Γ B A u

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ i

i 1

( ) 8

* . La dualità con la rappresentazione a correzione del divario (5.5.4)

L

Ψ u

t può essere considerata

appare ancora più evidente se si osserva che la matrice Ψ

′

come formata da due elementi distinti. Il primo, , determina le proprietà di

A ⊥ ( )

−

′ 1

′

lungo periodo, in maniera analoga a della (5.5.6); il secondo, ,

B B A Γ B

⊥ ⊥ ⊥

contiene le velocità di aggiustamento, similmente alla matrice .

A ( )

* si

L’esplicitazione dei coefficienti contenuti nel polinomio matriciale L

dimostra possibile ottenersi attraverso la seguente formula di aggiornamento

ricorsivo ( )

∑ =

= + −

* * * con i 1, 2, ...

Ψ Ψ Π Π Ψ

∆ (5.8.7)

− −

1 0

i i j i j

j = ≥

= − =

*0 *0

dove , e per , che risulta di particolare utilità

j k

Π 0

∆

Ψ I Ψ Ψ I j

k k

nell’analisi delle funzioni di risposta agli impulsi dove gli elementi contenuti in

( )

* shock

sono interpretati come gli effetti transitori degli .

L

Ψ u

Si veda Johansen (1995).

6 Common (Stochastic) Trend Representation

, in inglese.

7 Tale relazione può pertanto essere considerata l’estensione al caso multivariato della

scomposizione in componenti transitorie e permanenti proposta da Beveridge e Nelson

(1981). Pagina 5-23

Modulo X – Modelli VAR

La conoscenza diretta degli elementi vettore dei valori pre-campionari si

ottiene mediante la seguente relazione

( )

( ) − 1

′ ′

= − + −

...

a B A Γ B A y Π y Π y (5.8.8)

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ − − +

p p

0 0 1 1 1

che risulta fondamentale per l’analisi dei modelli con cambiamenti di struttura .

Esempio – Si consideri il seguente modello vettoriale autoregressivo

= + +

y A y A y u

t 1 t−1 2 t−2 t

Per l’analisi delle proprietà dinamiche occorre calcolare le radici del polinomio

caratteristico 2

= − −

z z z

( )

A I A A

k 1 2

Se tale polinomio contiene una radice unitaria si ha che

det ( ) 0

A

cosicché il modello non è invertibile nella sua rappresentazione duale a somma

mobile. Attraverso una opportuna scomposizione di è possibile tuttavia

( )

A

esprimere il polinomio caratteristico nel prodotto di due parti distinte, una delle

quali invertibile *

z z z

( ) (1− ) ( )

A A *

dove il fattore contiene la radice unitaria, mentre il fattore costituisce la

z z

(1− ) ( )

A

parte invertibile. Utilizzando tale scomposizione riferendosi al modello VAR di

partenza espresso in funzione dell’operatore di ritardo L

L

( )

A y u

t t

si ha Ψ

Dalla definizione di e dalle (5.8.2) discendono le due relazioni

9 ( )

−

′ ′ ′ ′

= =

B Ψ B B A Γ B A 0

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

( )

−

′ ′

= =

Ψ A B A Γ B A A 0

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

′ r

B

Moltiplicando la (5.8.6) per e utilizzando la prima di tali relazioni si trova che le

combinazioni lineari stazionarie tra le serie contenute in espresse dalla (5.5.7) possono

ora riscriversi come ( )

′ = ′ + ′

* L

B y B Ψ u B a

t t 0

che fornisce una rappresentazione alternativa delle relazioni di cointegrazione presenti

′ =

B a 0

nel sistema. Procedendo in modo analogo, e ricordando la (5.8.8), si ha che 0 Pagina 5-24

Modulo X – Modelli VAR

−1

= ∆ =

L L

(1− ) [ ( )]

y y A u

t t t

ossia, il processo espresso in termini di differenze prime può essere

rappresentato in funzione dei valori correnti e ritardati del vettore dei residui.

Similmente a quanto visto nel primo capitolo con la (1.4.4), lo sviluppo in serie

di potenze del termine che moltiplica porta ad ottenere il polinomio matriciale

t ( )

−1

* 2

= + + + =

L L L

[ ( )] ...

A Ψ Ψ Ψ Ψ L

0 1 2

che può essere espresso come ( )

( ) = + * L L

(1− )

Ψ Ψ

Ψ L

dove la è definita attraverso la (5.8.5). Il modello VAR nelle differenze prime

diviene allora ( )

∆ = + * L L

[ (1− )]

y Ψ Ψ u

t t , e non la sua differenza prima,

Per individuare la relazione che lega direttamente y

a occorre procedere integrando rispetto alle condizioni iniziali, , dividendo

u a

t 0

entrambi i membri per il termine , ottenendo

L

(1− )

 

u ( )

= + +

 

t L

y Ψ Ψ u a

t t 0

− L

 

e quindi t ( )

∑

= + +

* L

y Ψ u Ψ u a 0

t i t

è il vettore di costanti che dipende dai valori pre-campionari .

dove , , ...

a y y

−1

0 0 Pagina 5-25

Modulo X – Modelli VAR

5.9. Un esempio di VAR( ) cointegrante

Illustriamo in questo paragrafo i passi preliminari necessari per lo studio delle

proprietà di lungo periodo di un piccolo modello relativo all’economia del Belgio.

L’analisi proposta si basa sulle interazioni tra la nazione base e gli altri paesi

partecipanti all’UME.

La prima relazione di lungo periodo ipotizzata definisce la funzione di domanda

stock

di moneta, ossia una relazione stabile tra lo di moneta e un insieme di

variabili macroeconomiche rilevanti, individuate in funzione ai moventi per i quali

gli operatori detengono moneta. La condizione di equilibrio sul mercato della

moneta può essere formulata come

= (5.9.1)

M f( P, Y, )

V

stock

indica lo di moneta, rappresenta l’indice generale dei prezzi al

dove M P

consumo, definisce una variabile di scala espressa in termini reali (reddito,

Y

assorbimento, consumi, …) e è un vettore contenente il tasso di rendimento

V

proprio della moneta ed eventualmente quelli di attività alternative. Ipotizzando

l’assenza di illusione monetaria ed elasticità unitaria di lungo periodo della moneta

rispetto al reddito la (5.9.1) diventa =

/ (5.9.2)

M P Y f( )

V

ossia, l’inverso della velocità della moneta è funzione del vettore dei tassi di

, che per il criterio di parsimonia si considera

rendimento dei diversi impieghi

costituito solamente dal tasso di interesse relativo ai titoli nazionali, . La

R

specificazione econometria in termini log-lineari della (5.10.2) porta ad ottenere

− − = + ⋅ + ε

m p y r

b b

t t t 0 1 t 1

t (5.9.3)

v t

dove indica il logaritmo dell’inverso della velocità di circolazione della moneta,

v r

t t

rappresenta la trasformata logaritmica del tasso di rendimento dei titoli nazionali,

con segno atteso negativo per il coefficiente , e è un residuo aleatorio supposto

1 1t

stazionario.

In numerosi lavori, è stato sottolineato come uno schema di analisi in cui si

possono studiare le interazioni tra il settore reale e quello monetario sia

metodologicamente più appropriato rispetto ad un approccio uniequazionale basato

L’ipotesi di elasticità unitaria di lungo periodo della moneta rispetto al reddito è

naturalmente verificabile empiricamente. L’imposizione a priori è adottata sia per ridurre

la dimensionalità del vettore delle endogene del VAR sia perché in diversi lavori sui paesi

europei è stata già verificata empiricamente. Pagina 5-26

Modulo X – Modelli VAR

su una relazione LM convenzionale. La seconda relazione di lungo periodo

specifica, dunque, una tradizionale curva IS per un sistema economico aperto agli

scambi internazionali. La condizione di equilibrio sul mercato dei beni per la

nazione base si può formulare come *

= (5.9.4)

Y g( R, G, Y , Ω )

R

, è dunque funzione del tasso di interesse, ,

Il livello di attività in termini reali, Y R

della spesa pubblica, , del livello di attività reale del resto del mondo, , e del

G Y

livello di competitività, . Il termine è definito come il tasso reale di cambio

Ω Ω

R R

* *

⋅ /

espresso come , dove indica il livello generale dei prezzi del resto del

Ω P P P

mondo. Il livello delle esportazioni della nazione base è correlato positivamente sia

con il livello di attività estero sia con il tasso reale di cambio. Una prima

semplificazione della (5.9.4) conduce a sintetizzare gli effetti esercitati dalle

economie estere sul prodotto interno nazionale dal solo indice di competitività.

Sempre per il criterio di parsimonia, si ipotizza l’assenza del settore pubblico,

ottenendo così la seguente specificazione in termini log-lineari della (5.9.4)

= + ⋅ + ⋅( + − (5.9.5)

y r ω p p

c c c )

0 1 2 < >

, . Assumendo che il livello di

dove i segni attesi per i coefficienti sono c 0 c 0

1 2

attività estero sia determinato in modo analogo alla (5.9.5), si ottiene la seguente

relazione log-lineare * * *

= + ⋅ + ⋅( + − (5.9.6)

y r ω p p

d d d )

0 1 2 sia per . Considerando congiuntamente

dove il segno negativo è atteso sia per d d

1 2

la (5.9.5) e la (5.9.6) si ottiene la seconda relazione di lungo periodo da verificare

empiricamente *

− = + ⋅ + ⋅( + − + ⋅ + ε (5.9.7)

* *

r ω p p r

y y h h h ) h

0 1 t 2 t t t 3 2t

t t t

z t − − −

= = = =

dove indica il livello di attività relativo, , , , e

z h (c d ) h c h (c d ) h d

t 0 0 0 1 1 2 2 2 3 1

ε è un residuo aleatorio supposto stazionario. I segni attesi dei coefficienti della

2t < < >

(5.9.7) sono , , .

h 0 h 0 h 0

1 2 3

In relazione al processo di aggiustamento dei prezzi per il raggiungimento

dell’equilibrio sul mercato dei beni è possibile ricondursi a modelli strettamente

à la

monetari oppure a modelli con rigidità nominali. Nei modelli Dornbusch è

previsto un meccanismo comportamentale dei prezzi per il quale la flessibilità

sussiste solamente nel lungo periodo, a differenza dei modelli neoclassici

convenzionali nei quali la parità dei poteri di acquisto (PPA) è raggiunta sia nel

breve sia nel lungo corso. Da un punto di vista formale, la PPA è definita come

* ⋅ =

/ (5.9.8)

P P Ω PPA Pagina 5-27

Modulo X – Modelli VAR

e rappresenta l’inverso del tasso di cambio reale, , introdotto precedentemente.

Ω R

Collocandosi nella prospettiva di analisi delle parità internazionali, la (5.9.8)

attesta l’uguaglianza tra i prezzi interni ed esteri, ambedue espressi nella valuta

della nazione base, di una paniere comune di beni . Dalla letteratura empirica vi è

evidenza che nel breve periodo la PPA non è generalmente supportata dai dati, ad

eccezione dei casi di iperinflazione. La validità della parità di poteri di acquisto

come relazione di equilibrio di lungo periodo è usualmente verificata ricorrendo alla

specificazione in termini log-lineare della (5.9.8); ossia

− − =

p p ω u (5.9.9)

t t PPAt

è supposto stazionario, sebbene i risultati dipendano

dove il residuo aleatorio u

PPAt

fortemente dall’ampiezza del periodo campionario dell’indagine, dalle serie storiche

utilizzate per descrivere i prezzi teorici, dalla valuta del paese (regione) scelta come

resto del mondo e se nel modello il membro sinistro della (5.9.9) è rappresentato

attraverso due o tre variabili. Pertanto, è stato proposto un approccio che affronta

congiuntamente l’analisi della PPA e della relazione di parità non coperta dei tassi

di interesse (PIN). La PIN si può formulare come

Ω − Ω

  − + =

 

E R R 0 (5.9.10)

Ω

 

indica l’operatore aspettativa (condizionata alle informazioni al tempo

dove E Ω

corrente) e indica il valore del tasso di cambio nominale un tempo avanti.

Assumendo che gli agenti abbiano informazioni complete e aspettative razionali, la

rappresentazione in termini logaritmici della (5.9.10) diventa

−

= + +

r r E ω ω u

( ) (5.9.11)

t t t+1 t PINt

è un rumore bianco,

dove il residuo u

In diversi lavori, tuttavia, la verifica empirica della condizione di equilibrio sul

mercato dei capitali ha evidenziato una sostanziale non stazionarietà di u

Seguendo Juselius (1995), si ipotizza che deviazioni nel lungo periodo dalla PPA e

dalla PIN rappresentino la base sulla quale si formano le aspettative degli

operatori, secondo una regola del tipo

− −

= ⋅ + ⋅

* *

E ω p p r r

( ) n ( ) n ( ) (5.9.12)

t t+1 1 t 2 t

t t

Combinando la (5.11.11) e la (5.11.12) si ottiene la terza relazione di lungo periodo

da verificare empiricamente

In altri termini, la PPA è intesa come condizione di equilibrio e non come meccanismo per

la determinazione del tasso di cambio. Pagina 5-28

Modulo X – Modelli VAR

−

= + ⋅ + ⋅ + ε

* *

r r p p ω

m ( ) m (5.9.13)

t 1 t 2 t 3t

t t

− −

= / = / ε

e e è un residuo aleatorio supposto

dove m n (1 n ) m 1 (1 n )

1 1 2 2 2 3t

> <

stazionario. I segni attesi sono e . La (5.9.13) ingloba alcune relazioni

m 0 m 0

1 2 −

= =

particolarmente rilevanti da verificare empiricamente. Per e (o più

m 1 m 1

1 2

−

debolmente ) si ottiene la specificazione derivata direttamente dalle

m m

1 2 = =

assunzioni teoriche. Per e , si ottiene la versione della PIN in presenza

m 0 m 0

1 2 > =

di cambi fissi e perfetta mobilità dei capitali. Infine, per e , si ha che il

m 0 m 0

1 2

differenziale dei tassi di interesse è funzione delle aspettative di deprezzamento

della valuta nazionale.

Le equazioni (5.9.3), (5.9.7) e (5.9.13) possono riscriversi nella forma matriciale

′ ⋅ =

B y ε (5.9.14)

t t ×

, di dimensioni , le variabili del modello, supposte

collezionando nel vettore 6 1

t − * *

tutte endogene, , , , , , ; nella matrice di cointegrazione, , di ordine

v z r ω p p r B

t t t t t t t

× , i parametri relativi alle tre relazioni di lungo periodo; nel vettore , di ordine

6 3 ε t

× , i residui delle tre relazioni di cointegrazione ipotizzate. Lo studio della

3 1

struttura di lungo periodo del VAR di cointegrazione è subordinata alla corretta

specificazione del modello di partenza, costituito da una autoregressione vettoriale

di ordine . Dunque, occorre specificare correttamente il modello VAR nei livelli,

per poi rappresentarlo come modello con correzione del divario. In questo paragrafo

ci limitiamo a mostrare i principali aspetti connessi alla definizione della base su

cui fondare lo studio della cointegrazione, che verrà trattata in dettaglio a partire

dal paragrafo successivo.

Da quanto esposto appena sopra, il vettore delle endogene è dunque il seguente



 v

t 

 

 z t 

 

 r

t 



y (5.9.15)

t 

 ω

t 

 

 − *

p p 

 t t 

 *

r 

 t

con che copre il periodo 1982:1 – 1998:4. Per l’ottenimento delle serie utilizzate

nel VAR, tutte provenienti dal CD-Rom IFS del Fondo Monetario Internazionale, si

sono effettuate alcune trasformazioni che ripercorriamo brevemente di seguito. La

serie della moneta reale è costruita in base alla seguente trasformazione Pagina 5-29

Modulo X – Modelli VAR

 

M

 

m ln t

 

t P

 

dove indica l’aggregato monetario (costituito come somma delle serie imf-34.a

M

money quasi money

( ) e imf-35.b ( )) e è l’indice dei prezzi al consumo (anno base

P

1995, serie imf-64). Il reddito reale è ottenuto come

( )

y Y

t t

rappresenta il prodotto interno lordo in termini reali (anno base 1995, serie

dove Y

imf-99). Per la costruzione della serie del tasso di interesse del mercato monetario

si è utilizzata 12  

R

= ⋅ +

 

r 0

25 ln 1

t 100

 

è tasso di interesse del mercato monetario nazionale (serie imf-60.b). Il

dove RB

tasso nominale di cambio è definito come

( )

= Ω

ω ln

t t

, anno base 1995, è costruito come media ponderata utilizzando come pesi.

dove Ω t

la quota relativa al singolo paese dell’UME sul totale dei flussi commerciali, intesi

come somma delle importazioni e delle esportazioni, del Belgio. Più

Ω

specificatamente (serie imf-rf) è definita come

 

Ω ⋅

10 100

∑

Ω = ⋅ it

w  

t i Ω

 

 

i ,95

i pesi e

essendo w

i 95 q 4

1 ∑

Ω = ⋅ Ω

i ,95 it

4 =

t 95 q

il valor medio della variabile nei trimestri del 1995, calcolata come

E

it  

 

fr a n co belga dolla r o USA

Ω = ⋅ 

 

it i

dolla r o USA va lu t a del pa ese

   

La variabile è invece ottenuta come media ponderata degli indici dei prezzi al

P

consumo degli altri paesi appartenenti all’area dell’euro (anno base 1995, serie imf-

64), ossia come et alii

Tale trasformazione è mutuata da Garrat A. (2001).

12 Ad esclusione del Lussemburgo.

13 Pagina 5-30

Modulo X – Modelli VAR

∑

= ⋅

P w P

t i it

i 1

Utilizzando gli stessi pesi è possibile calcolare il reddito reale per gli altri paesi

dell’UME come ( )

* *

y ln Y

t t

dove 10

∑

= ⋅

Y w Y

t i it

i 1

con che rappresenta il prodotto interno lordo in termini reali dell’ -esimo paese

Y i

(anno base 1995, serie imf-99) . Infine, per i tassi di interesse a breve per gli altri

paesi dell’UME si è proceduto in maniera analoga a quanto esposto per quelli

* *

relativi all’economia belga. La variabile è costruita sostituendo a nella

r R R

t t

relazione utilizzata per , dove

r t 10

∑

= ⋅

R w R

t i it

essendo il tasso di interesse del mercato monetario dell’ -esimo paese (serie imf-

R i

60.b).

In primo luogo si effettuano i test di radice unitaria relativi alle diverse

variabili utilizzate, poiché l’esistenza di relazioni stazionarie di lungo periodo tra

variabili individualmente non stazionarie implica che queste ultime siano tutte

generate da processi stocastici integrati almeno del primo ordine. La Tavola 5.4

riporta i test ADF relativi sia alle sei serie contenute nel vettore espresse sia nei

livelli sia nelle loro differenze prime. Statistica Valore critico

Variabile Versione del Ritardi Probabilità

test secondo il al 5%

criterio di

Schwartz

v ADF-3 0 -1.47 -4.10 0.83

z ADF-3 1 -2.98 -4.10 0.15

r ADF-2 1 -2.77 -3.53 0.07

Per l’aggregazione dei livelli di attività dei diversi paesi è necessario esprimerli in

un’unità valutaria comune. La conversione può, ad esempio, effettuarsi in modo da

esprimere tale grandezza in valuta della nazione base. Pagina 5-31

Modulo X – Modelli VAR

e ADF-3 0 -3.43 -4.10 0.06

p−p ADF-3 6 -3.03 -4.12 0.13

r ADF-2 1 -1.92 -3.53 0.32

Dv ADF-2 2 -3.71 -3.54 0.01

Dz ADF-2 1 -5.55 -3.53 0.00

Dr ADF-1 7 -2.86 -2.60 0.00

De ADF-2 0 -10.93 -3.53 0.00

D(p−p ) ADF-2 1 -4.06 -3.53 0.00

Dr ADF-1 3 -3.33 -2.60 0.00

Tavola 5.4 – Verifica dell’ipotesi di radice unitaria relativamente alle variabili contenute

nel vettore (5.11.16).

Dai valori delle statistiche emerge che, in tutti i casi considerati, le variabili

risultano generate da processi integrati del primo ordine. Inoltre, la tipologia dei

trend

test ADF suggerisce la presenza di un termine costante e di un

deterministico nel processo che ha generato i dati. La stima del modello VAR nei

livelli viene condotta introducendo nella parte deterministica tali componenti, per

cui il modello di partenza è il seguente

∑

= + + +

y µ u

µ A y (5.9.16)

t t

−

0 1 i t i

Al fine di ottenere residui normali e non autocorrelati si stima un VAR di ritardo

I grafici delle densità degli sono rappresentati in Figura 5.3.

p = 4. û t Pagina 5-32

Modulo X – Modelli VAR

40 v N z N

100

20 50

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010

Density

300 r N e N

200 25

100 -0.0050 -0.0025 0.0000 0.0025 0.0050 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

p-p* N r* N

150 400

100 200

50 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003

Figura 5.3 – Confronto tra la funzione di densità dei residui stimati del modello (5.9.16)

(linea continua) e quella relativa alla distribuzione normale (linea tratteggiata).

Il confronto con la funzione di densità teorica relativa ad una distribuzione

normale evidenzia come essi siano distribuiti normalmente. Nella Figura 5.4, in cui

si riportano i grafici dei valori effettivi e stimati delle cinque serie componenti il

vettore delle endogene, emerge, inoltre, una buona rappresentazione delle variabili

relativamente a tutto l’orizzonte temporale esaminato. Pagina 5-33

Modulo X – Modelli VAR

v valori stimati z valori stimati

0.1 0.02

0.0

-0.1 0.00

-0.2 1985 1990 1995 2000 1985 1990 1995 2000

r valori stimati e valori stimati

4.75

0.04 4.70

4.65

0.02 4.60

1985 1990 1995 2000 1985 1990 1995 2000

0.03

p-p* valori stimati r* valori stimati

0.025 0.02

0.000 0.01

1985 1990 1995 2000 1985 1990 1995 2000

Figura 5.4 – Adattamento dei valori stimati di ciascuna serie del modello (5.9.16) (linea

trateggiata) a quelli effettivi (linea continua). Pagina 5-34

Modulo X – Modelli VAR

5.10. Il modello di aggiustamento di lungo periodo

Nei paragrafi precedenti si è assunto che il numero delle relazioni di cointegrazione

fosse noto. Tuttavia, il rango della matrice non è conosciuto a priori, ma può

Π 0

essere ottenenuto attraverso una procedura sviluppata da Johansen (1988, 1991,

sia

1995). Mediante tale approccio si perviene all’identificazione dell’esatto numero

sia

di relazioni di equilibrio di lungo periodo, alla stima dei parametri delle matrici

e .

A B ) di

E’ utile anzitutto riformulare in modo opportuno il generico VAR( p

cointegrazione (5.5.4) con componenti deterministiche

′

∆ = ∆ + ∆ + + ∆ + + + + (5.10.1)

A B

...

y y y Π y y µ u

Π Π µ t

t t−1 t−2 t−p+1 t−1 t

−

1 2 p 1 0 1

nel quale è stata utilizzata la posizione (5.5.6) nella forma

′

= + + (5.10.2)

z A B z Ψ z u

0t 1t 2t t

modello Z , dove si è posto

chiamata =

= ∆ z y

z y 1t t−1

0t t

′ ∆ ∆ ∆

= t

[ ... 1 ]

z y y y

t−1 t−2 t−p+1

2 t = [ ... ]

Ψ Π µ

Π Π µ

−

p 1

1 2 0 1

Per l’analisi delle relazioni di lungo periodo, occorre “concentrare” la (5.10.2)

rispetto a , ossia “depurarla” dai parametri che descrivono la dinamica di breve

periodo. A tal uopo si definiscono le due regressioni ausiliarie, stimabili

comunemente con il criterio dei minimi quadrati ordinari,

′

= +

z z r

W (5.10.3)

0t 2t 0t

′

= +

z z r

W (5.10.4)

1t 2t 1t

2 n ( )

∑

′ ′ ′

− − = ⋅ =

= ⋅ = ⋅

1 1

dove , e , con . Le serie

D z z i j

, 0, 1, 2

W D D W D D ij it jt

1 02 22 2 12 22 =

t 1 modello

e così ottenute vengono utilizzate per costruire il seguente

dei residui r r

0t 1t

di aggiustamento (esclusivamente) di lungo periodo

′ ∼N

= + (5.10.5)

(0 , )

ξ Σ

A B

r r ξ

0t 1t ξ

modello R .

chiamato Pagina 5-35

Modulo X – Modelli VAR

Calcoliamo ora le stime dei parametri e . La funzione di log-verosimiglianza

A B

associata alla rappresentazione (5.10.5) è

( ) n ′

kn n 1 



( ) ( ) ( )

∑ ′ ′

− =

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

L

ln , ln 2 ln

A, B Σ Σ r A B r Σ r A B r 



ξ ξ ξ

 0 1 0 1

t t t t

2 2 2 =

t [ ]

kn n 1

( ) ∑ ′ −

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

ln 2 ln Σ ξ Σ ξ

ξ ξ

2 2 2 =

t ( )

kn n 1

( ) ′

−

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ ⋅ =

ln 2 ln tr

Σ Σ E E

ξ ξ

2 2 2 ( )

kn n 1

( ) ′

− −

= − ⋅ π + ⋅ − ⋅ ⋅ =

1 1

ln 2 ln tr

Σ Σ E E (5.10.6)

ξ ξ

2 2 2

dove nel secondo passaggio si è utilizzata la proprietà dell’operatore traccia

applicato ai residui raccolti nella matrice

[ ]

′ =

E ξ ξ ... ξ

1 2 n

( )

k n

e nel terzo si è espresso il secondo addendo in funzione dell’inversa della matrice di

dispersione dei residui .

ξ t e occorre

Per l’ottenimento delle stime di massima verosimiglianza Â B̂

concentrare la funzione di log-verosimiglianza rispetto a , imponendo che sia

Σ ξ

− 1

uguale a zero la derivata parziale della (5.10.6) rispetto a . Utilizzando le due

Σ ξ

regole di derivazione matriciale nel caso di matrici simmetriche 15

−

∂ 1

ln ( )

ξ = ⋅ −

Σ diag Σ

2 ξ ξ

−

∂ 1

Σ ξ

e 16 ′

−

∂ 1

Σ E E

ln ′

( ) ( )

ξ ′ ′ ′

= + − =

E E E E diag E E

−

∂ 1

Σ ξ ( )

′ ′

= ⋅ −

E E diag E E

si ha che ( )

( )

′ ′

⋅ − = ⋅ −

E E diag E E Σ diag Σ

2 2 ξ ξ

Σ E′ E

La matrice è simmetrica per definizione, mentre la è tale per costruzione.

15 ξ A diag A

( )

Data una matrice quadrata , l’espressione indica la matrice che si trae dalla

16 A

diagonalizzazione di . Pagina 5-36

Modulo X – Modelli VAR

per cui 1 ′

= ⋅

Σ E E (5.10.7)

ξ n

Sostituendo la (5.10.7) nella (5.10.6) si ottiene la funzione di log-verosimiglianza

concentrata (rispetto a )

Σ ξ ′ 1

kn n E E

( ) ( ) ( )

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ =

ln ln 2 ln

L tr

A, B I

c kn

2 2 n

′

kn n kn

E E

( )

= − ⋅ π − ⋅ − =

ln 2 ln

2 2 2

′

n E E

= − ⋅ =

d 2 n (5.10.8)

n ′

n ( ) ( )

∑ ′ ′

= − ⋅ ⋅ − ⋅ −

d r A B r r A B r

0 1 0 1

t t t t

2 n =

t kn ( )

− ⋅ + π

è pari a .

dove il termine costante d 1 ln 2

2 Pagina 5-37

Modulo X – Modelli VAR

5.11. La procedura di Johansen

Per esporre lo sviluppo della procedura di Johansen è conveniente riscrivere la

funzione di log-verosimiglianza concentrata (5.10.8) come ′

n 1 ∑

( ) ( ) ( )

′ ′

= − ⋅ ⋅ − ⋅ − =

A, B r A B r r A B r

ln L d ln 0 1 0 1

c t t t t

2 n =

 n n

n 1 ∑ ∑

′ ′ ′

= − ⋅ ⋅ − +

r r r r B A

d ln  0 0 0 1

t t t t

2 n  = =

1 1

t t 

n n

∑ ∑

′ ′ ′ ′ ′

− +

A B r r A B r r B A 

1 0 1 1

t t t t 

= =

1 1

t t

n ′ ′ ′ ′

= − ⋅ − − +

S S B A A B S A B S B A

d ln (5.11.1)

00 01 10 11

dove si è posto n

1 ∑ ′

= ⋅ =

con i, j 0, 1

S r r

ij it jt

n =

t 1

Il metodo prevede due fasi distinte. Nel primo stadio si concentra la (5.11.1)

assumendo che sia nota, ossia si calcola

rispetto alla matrice A B

( )

∂ L ,

ln A B =

c 0

∂ A

da cui è immediato verificare che −1

= ′ (5.11.2)

( )

A S B B S B

01 11

Nel secondo stadio si sostituisce la posizione (5.11.2) nella (5.11.1) ottenendo

( ) ( ) ( )

− −

′ ′ ′ ′

1 1

= − ⋅ − − +

L d

ln B ln S S B B S B B S S B B S B B S

00 01 11 10 01 11 10

c 2 ( ) ( )

− −

′ ′ ′ ′

1 1

+ =

S B B S B B S B B S B B S

01 11 11 11 10

n ( )

−

′ ′

= − ⋅ −

d ln S S B B S B B S

00 01 11 10

2 (5.11.3)

−1

′ = ′ ′ =

e che vale ovviamente

dato che ( ) .

S S B S B B S B I

01 10 11 11 r Pagina 5-38

Modulo X – Modelli VAR

La massimizzazione della (5.11.3) è, ovviamente, ottenuta se si rende minimo il

determinante della matrice al membro di destra. A tale scopo, è conveniente

riscrivere la relazione nella forma

[ ]

( )

( ) −

′ ′ −

= − ⋅ − 1

ln L d ln

B S B S B B S S S S B (5.11.4)

00 11 11 10 00 01

c 2

ricorrendo alla regola per il calcolo del determinante di una matrice partizionata .

si ricava attraverso la minimizzazione

La stima di massima verosimiglianza B̂

del secondo termine del membro di destra della (5.11.4), ossia rendendo minimo il

rapporto di determinanti di forme quadratiche

( )

′ −

− 1

B S S S S B

11 10 00 01

′

B S B

11 richiede una normalizzazione che,

La specificazione univoca degli elementi di B̂

generalmente, è data dalla seguente

′ =

B S B I

11 r

La stima di massima verosimiglianza della matrice di cointegrazione può dunque

esprimersi come un problema di ottimizzazione vincolata del tipo 18

 

F F ′

11 12 =

= F F F F

F

Data una matrice , con , se , e sono non singolari si

17   12 11 12 22

F F

 

21 22

ha che − −

= − = −

1 1

F F F F F F F F F F F

11 22 21 11 12 22 11 12 22 21

= = =

F S F S B F B′ S B

Scegliendo , , si ottiene immediatamente che

11 00 12 01 22 11 ( )

−

′ ′ ′ ′ ′

−

⋅ − = ⋅ −

S B S B B S S S B B S B S S B B S B B S

00 11 10 00 01 11 00 01 11 10

per cui ( ) − 1

−

′ ′ ′ ′ ′

1 −

− = ⋅ ⋅ − 1

S S B B S B B S S B S B B S B B S S S B

00 01 11 10 00 11 11 10 00 01

ossia, la (5.12.4).

s.t. subject to

L’espressione indica “vincolato a”, dall’inglese .

18 Pagina 5-39

Modulo X – Modelli VAR

( )

′ −

− 1

min B S S S S B

11 10 00 01 (5.11.5)

′ =

t . B S B I

11 r

la cui risoluzione comporta il calcolo di

( )

−

λ − = (5.11.6)

S S S S 0

11 10 00 01 =

λ̂

autovalori , , ordinati in senso

Dalla (5.11.6) si ottengono 1, …,

k i k

decrescente, cioè ˆ ˆ

> λ > > λ >

1 ... 0

1 k =

, , in base alla

a ciascuno dei quali è associato un autovettore 1, …,

i k

β̂ i

( )

ˆ ˆ

−

λ − =

S S S S β 0

11 10 00 01

i i

sotto il vincolo =



1 i j



ˆ ˆ

′ = =

β S β , 1, ...,

i j k



i j  ≠

0 i j =

Esempio – Riprendiamo il VAR(4) esposto nel paragrafo 5.9. I autovalori,

ordinati in senso decrescente, ottenuti dalla (5.11.6) sono λ̂ =

λ̂ = λ̂ = 0.34

0.57 0.42 3

1 2

λ̂ λ̂

= =

λ̂ = 0.12 0.11

0.28 5 6

4 ∇

consiste quindi nell’individuazione

L’ipotesi di rango di cointegrazione pari ad r

più significativi

degli autovalori , ai quali corrispondono altrettanti , che

β̂

r 19 i

λ̂

permettono di costruire la matrice . Gli autovalori rappresentano il quadrato

B̂ i

delle correlazioni canoniche più grandi tra i residui e ; vale a dire le

r r

20 1t 0t

ˆ ′

combinazioni dei livelli delle variabili che sono correlate maggiormente con

B y −

t = −1

gli elementi stazionari del sistema , . Le combinazioni così

∆ y 0, …,

i p

−

t i

individuate sono, dunque, relazioni di cointegrazione poiché devono essere

necessariamente I(0) per raggiungere una correlazione sufficientemente elevata (il

cui grado è indicato dalla dimensione degli autovalori) con le rimanenti componenti

del sistema. r

Ossia i primi autovalori.

19 Cfr. Hamilton (1994).

20 Pagina 5-40

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valeria0186

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DETTAGLI

Esame: Econometria

Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)

SSD:

Docente: Carlucci Francesco

Università: La Sapienza - Uniroma1

A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.