Econometria 10

Dipartimento di Scienze Economiche

Università di Verona

a.a. 2014/2015

Elementi di Econometria

Esercizi #4

• (Stock-Watson) Considerate il modello di regressione y_i = β₀ + β₁x_i + β₂W_i + u_i dove Cov(x_i, u_i) ≠ 0. Per ciascuno dei seguenti casi indicate se Z_i è una variabile strumentale valida:
• Z_i è indipendente da (y_i, x_i, W_i).
• Z_i = W_i.
• Z_i = x_i.

• (Stock-Watson) In un modello di regressione con variabili strumentali con un singolo regressore, X_i e due strumenti, Z_i1 e Z_i2, il valore della statistica J è pari a J = 18.2.
• Questo suggerisce che Z_i1 e Z_i2 siano esogeni? Motivate la risposta.
• Questo suggerisce che Z_i1 sia esogeno? Motivate la risposta.

• (Stock-Watson) Considerate il modello di regressione Y_i = β₀ + β₁X_i + β₂W_i + u_i dove Cov(X_i, u_i) ≠ 0 e Z_i è uno strumento valido. Supponete che i dati su W_i non siano disponibili e che il modello sia stimato omettendo W_i dalla regressione.
• Supponete che Z_i e W_i siano incorrelate. Lo stimatore TSLS è consistente?
• Supponete che Z_i e W_i siano correlate. Lo stimatore TSLS è consistente?
• (Stock-Watson) Considerate il modello di regressione y_i = β₀ + β₁x_i + u_i dove valgono le ipotesi del Teorema di Gauss-Markov. Mostrate che

• Z_i è uno strumento valido
• lo stimatore TSLS costruito utilizzando Z_i = x_i è uguale allo stimatore OLS.

• Considerate il modello di regressione Y_i = β₀ + β₁X_i + u_i dove Cov(X_i, u_i) ≠ 0 e Z_i è uno strumento valido. Mostrate che lo stimatore OLS di β₁ ottenuto dalla stima della regressione del secondo stadio

y_i = β₀ + β₁X̂_i + u_i,

dove X̂_i sono i valori predetti dalla regressione del primo stadio

X̂_i = π₀ + π₁Z_i + v_i

è uguale a

β̂_1TSLS = Σⁿ_i=1(Z_i - Z̄)(Y_i - Ȳ) / Σⁿ_i=1(Z_i - Z̄)(X_i - X̄)

(Suggerimento: considerate l'espressione per lo stimatore OLS di π₁, nella regressione del primo stadio, calcolate X̂_i e sostituite nell'espressione per lo stimatore OLS di β₁ nella regressione del secondo stadio.)

1

Considerate il seguente modello per stimare l'effetto del possesso di un personal computer sulla media dei voti alla Laurea:

Mediavoti_i = β₀ + β₁PC_i + u_i

dove PC_i è una variabile binaria pari ad 1 se lo studente i-esimo possiede un personal computer e pari a zero altrimenti.

1. Indicate se, a vostro parere, PC può essere correlata con il termine di errore.
2. Indicate se PC può essere correlata con il reddito familiare. Questa correlazione fa del reddito familiare una buona variabile strumentale per PC? Motivate la risposta.
3. Supponete che, tre anni fa, l'Università abbia deciso di fornire a metà degli studenti immatricolati al primo anno un personal computer, scegliendo gli studenti a caso. Spiegate come usereste questa informazione per costruire una variabile strumentale per PC.

Spiegate, in dettaglio, se e come è possibile sottoporre a verifica l'ipotesi che la variabile strumentale di cui nel punto precedente sia incorrelata con il termine di errore u_i.

Allo scopo di stimare il rendimento dell'istruzione il ricercatore A utilizza un campione di 935 maschi ed il modello

log(wage) = β₀ + β₁educ (1)

La stima della relazione di cui sopra fornisce i seguenti risultati

log(wage) = 5.97 + 0.059 educ

(0.08)  (0.005)

Qual è il rendimento di 5 anni addizionali di istruzione?

Il ricercatore B sostiene che gli anni di istruzione sono probabilmente correlati con il termine di errore e suggerisce di usare il numero di fratelli/sorelle (sibs) come variabile strumentale e sostiene che i risultati della regressione

educ = 14.14 - 0.228 sibs

(0.11)   (0.03)

confermano la sua ipotesi. Perché?

Dalla stima TSLS della (1) con sibs come strumento, il ricercatore A ottiene questi risultati

log(wage) = 5.13 + 0.122 educ

(0.38)   (0.026)

Il rendimento dell'istruzione è statisticamente diverso da zero?

Ora, il ricercatore A sostiene che anche l'ordine di nascita dell'individuo (brthord) può essere utilizzato come variabile strumentale e sostiene che i risultati della regressione

educ = 14.14 - 0.25 brthord

(0.12)   (0.04)

confermano la sua ipotesi. Perché?

2

di alcune stime, dove u_IV sono i residui della seconda colonna e u_L sono i residui della terza colonna. Inoltre è noto che il test di Sargan delle restrizioni di sovraidentificazione vale 3.10. Utilizzando i risultati riportati nella tabella rispondete alle seguenti domande:

a indicate se le quattro dummy sui titoli di studio si possono considerare strumenti rilevanti ed esogeni per la quota di spesa in tabacco, ln(T).

b indicate se è necessario utilizzare uno stimatore di variabili strumentali.

c fornite la stima "preferita" per l'elasticità della spesa per alcolici rispetto alla spesa totale e verificate che tale elasticità sia nulla. Giustificate la vostra risposta.

Metodo → OLS IV OLS OLS OLS OLS

Var. dipendente → ln(V) ln(V) ln(T) ln(T) u_IV ln(V)

Var. esplicative ↓ ↑ ↑ × ×

costante -1.869 -1.871 0.991 1.64 .182 1.871

     (88) (1.077) (.746) (.719) (.915) (1.08)

ln(T) .188 .189 - - -.708 .189

     (.088) (.389) - - (.454) (.39)

ln(S) (.709) .708 -.864 0 - .708

     (.149) (.353) (.107) (.131) (.315)

eta .512 .512 0.42 - 0.736 .512

     (.345) (.346) (.285) (.285) (.349) (.347)

eta2 -.039 -.039 -.005 0.000 .032 -.002

     (.032) (.032) (.027) (.027) (.032) (.032)

ncomp .174 .174 .051 .049 -.063 .174

     (.063) (.065) (.051) (.052) (.063) (.066)

¹Elementari - - .350 - .176 -

     (.142) (.174)

²Medie - - .535 - -.146 -

     (.201) (.25)

³Superiori - - .301 - -.045 -

     (.166) (.203)

⁴Laurea - - .172 - .163 -

     (.181) (.221)

u_L - - - - - -.0001

     (.401)

SQR 144.98 144.98 94.90 99.97 112.68 144.98

        -

        -

1^st GRADO