Econometria 10

Dipartimento di Scienze EconomicheUniversità di Verona

Elementi di EconometriaEsercizi #4

(Stock-Watson) Considerate il modello di regressione y_i = β₀ + β₁x_i + β₂W_i + u_i dove Cov(x_i, u_i) ≠ 0. Per ciascuno dei seguenti casi indicate se Z_i è una variabile strumentale valida:

• Z_i è indipendente da (y_i, x_i, W_i).
• Z_i = W_i.
• Z_i = x_i.

(Stock-Watson) In un modello di regressione con variabili strumentali con un singolo regressore, X_i e due strumenti, Z_i1 e Z_i2, il valore della statistica J è pari a J = 18.2.

• Questo suggerisce che Z_i1 e Z_i2 siano esogeni? Motivate la risposta.
• Questo suggerisce che Z_i1 sia esogeno? Motivate la risposta.

(Stock-Watson) Considerate il modello di regressione Y_i = β₀ + β₁X_i + β₂W_i + u_i dove Cov(X_i, u_i) ≠ 0 e Z_i è uno strumento valido. Supponete che i dati su W_i non siano disponibili e che il modello sia stimato omettendo W_i dalla regressione.

• Supponete che Z_i e W_i siano incorrelate. Lo stimatore TSLS è consistente?
• Supponete che Z_i e W_i siano correlate. Lo stimatore TSLS è consistente?

(Stock-Watson) Considerate il modello di regressione y_i = β₀ + β₁x_i + u_i dove valgono le ipotesi del Teorema di Gauss-Markov. Mostrate che

• Z_i è uno strumento valido
• Lo stimatore TSLS costruito utilizzando Z_i = x_i è uguale allo stimatore OLS.

Considerate il modello di regressione Y_i = β₀ + β₁X_i + u_i dove Cov(X_i, u_i) ≠ 0 e Z_i è uno strumento valido. Mostrate che lo stimatore OLS di β₁ ottenuto dalla stima della regressione del secondo stadio

y_i = β₀ + β₁X̂_i + u_i,

dove X̂_i sono i valori predetti dalla regressione del primo stadio

X̂_i = π₀ + π₁Z_i + v_i

è uguale a

β̂₁^TSLS = ∑ⁿ_i=1(Z_i - Z̅)(Y_i - Ŷ) / ∑ⁿ_i=1(Z_i - Z̅)(X_i - X̅).

(Suggerimento: considerate l’espressione per lo stimatore OLS di π₁, cioè π̂₁, nella regressione del primo stadio, calcolate X̂_i e sostituite nell’espressione per lo stimatore OLS di β₁ nella regressione del secondo stadio.)

Dipartimento di Scienze EconomicheUniversità di Verona

a.a. 2014/2015

Elementi di EconometriaEsercizi #4

(Stock-Watson) Considerate il modello di regressione y_i = β₀ + β₁x_i + β₂W_i + u_i dove Cov(x_i, u_i) ≠ 0. Per ciascuno dei seguenti casi indicate se Z_i è una variabile strumentale valida:

• Z_i è indipendente da (y_i, x_i, W_i).
• Z_i = W_i.
• Z_i = x_i.

(Stock-Watson) In un modello di regressione con variabili strumentali con un singolo regressore, X_i e due strumenti, Z_i1 e Z_i2, il valore della statistica J è pari a J = 18.2.

• Questo suggerisce che Z_i1 e Z_i2 siano esogeni? Motivate la risposta.
• Questo suggerisce che Z_i1 sia esogeno? Motivate la risposta.

(Stock-Watson) Considerate il modello di regressione Y_i = β₀ + β₁X_i + β₂W_i + u_i dove Cov(X_i, u_i) ≠ 0 e Z_i è uno strumento valido. Supponete che i dati su W_i non siano disponibili e che il modello sia stimato omettendo W_i dalla regressione.

• Supponete che Z_i e W_i siano incorrelate. Lo stimatore TSLS è consistente?
• Supponete che Z_i e W_i siano correlate. Lo stimatore TSLS è consistente?

(Stock-Watson) Considerate il modello di regressione y_i = β₀ + β₁x_i + u_i dove valgono le ipotesi del Teorema di Gauss-Markov. Mostrate che

• Z_i è uno strumento valido
• Lo stimatore TSLS costruito utilizzando Z_i = x_i è uguale allo stimatore OLS.

Considerate il modello di regressione Y_i = β₀ + β₁X_i + u_i dove Cov(X_i, u_i) ≠ 0 e Z_i è uno strumento valido. Mostrate che lo stimatore OLS di β₁ ottenuto dalla stima della regressione del secondo stadioy_i = β₀ + β₁X̂_i + u_i,dove X̂_i sono i valori predetti dalla regressione del primo stadioX_i = π₀ + π₁Z_i + v_iè uguale a

β̂_1TSLS = Σ_i=1ⁿ(Z_i - Z̄)(Y_i - Ȳ) / Σ_i=1ⁿ(Z_i - Z̄)(X_i - X̄)

(Suggerimento: considerate l'espressione per lo stimatore OLS di π₁, cioè π̂₁, nella regressione del primo stadio, calcolate X̂_i e sostituiteli nell'espressione per lo stimatore OLS di β₁ nella regressione del secondo stadio.)

1

Considerate il seguente modello per stimare l'effetto del possesso di un personal computer sulla media dei voti alla Laurea:

MediaVoti_i = β₀ + β₁PC_i + u_i

dove PC_i è una variabile binaria pari ad 1 se lo studente i-esimo possiede un personal computer e pari a zero altrimenti.

• Indicate se, a vostro parere, PC può essere correlata con il termine di errore.
• Indicate se PC può essere correlata con il reddito familiare. Questa correlazione fa del reddito familiare una buona variabile strumentale per PC? Motivate la risposta.
• Supponete che, tre anni fa, l’Università abbia deciso di fornire a metà degli studenti immatricolati al primo anno un personal computer, scegliendo gli studenti a caso. Spiegate come usereste questa informazione per costruire una variabile strumentale per PC.
• Spiegate, in dettaglio, se e come è possibile sottoporre a verifica l’ipotesi che la variabile strumentale di cui nel punto precedente sia incorrelata con il termine di errore u_i.

Allo scopo di stimare il rendimento dell’istruzione il ricercatore A utilizza un campione di 935 maschi ed il modello

log(wage) = β₀ + β₁educ (1)

La stima della relazione di cui sopra fornisce i seguenti risultati

log(wage) = 5.97 + (0.059) educ(0.08) (0.005)

Qual è il rendimento di 5 anni addizionali di istruzione?

Il ricercatore B sostiene che gli anni di istruzione sono probabilmente correlati con il termine di errore e suggerisce di usare il numero di fratelli/sorelle (sibs) come variabile strumentale e sostiene che i risultati della regressione

educ = 14.14 - 0.228_0.03sibs

confermano la sua ipotesi. Perchè?

Dalla stima TSLS della (1) con sibs come strumento, il ricercatore A ottiene questi risultati

log(wage) = 5.13 + 0.122 educ(0.39) (0.026)

Il rendimento dell’istruzione è statisticamente diverso da zero?

Ora, il ricercatore A sostiene che anche l’ordine di nascita dell’individuo (brthord) può essere utilizzato come variabile strumentale (perchè?) e sostiene che i risultati della regressione

educ = 14.14 - 0.25_0.04brthord

confermano la sua ipotesi. Perchè?

2

A questo punto il ricercatore B afferma che entrambe le variabili strumentali dovrebbero essere utilizzate nella stima. Da un punto di vista puramente teorico, per quale motivo il ricercatore B ha ragione? (Non sono richiesti calcoli o algebra.)

Spiegate perchè il ricercatore B può riportare il seguente output di stima a sostegno della propria tesi.

educ = 14, 296 (0,133) - 0,1528 sibs (0,0398) - 0,153674 brthord (0,057076)

dove il test F di significatività della regressione vale 26.29.

Il ricercatore A decide allora di utilizzare sia sibs che brthord come strumenti ed ottiene le seguenti stime

log(wage) = 5.05 (0.36) + 0.128 (0.027) educ QUAL è il rendimento di un anno di istruzione? E’ statisticamente diverso da zero?

Indicate (siate espliciti!) se e come può essere sottoposta a verifica l’ipotesi di incorrelazione tra variabili strumentali e termine di errore.

Indicate (siate espliciti!) se e come può essere sottoposta a verifica l’ipotesi di incorrelazione tra il regressore educ e il termine di errore.

Avete a disposizione un campione di 2251 donne residenti in aree urbane dello stato africano del Botswana (i dati sono disponibili in fertility nella cartella Wooldridge in Gretl). Di queste donne sono noti il numero dei figli (children), l’età (age), gli anni d’istruzione (educ), la religione (animista, spirit, protestante, protest, cattolica, catholic, o nessuna religione), la presenza di almeno un televisore (tv) e dell’elettricità (electric) nell’abitazione, ed il mese di nascita. Vi interessa scoprire l’effetto dell’istruzione sulla fecondità. Le stime OLS sulle variabili suddette, e sul quadrato od il cubo dell’età, danno i seguenti risultati (errori standard tra parentesi):

children = 1, 59373 (0,77521) - 0,0733478 (0,0065079) educ - 0, 322975 (0,083483) age + 0, 0201676 (0,0028149) age2

- 0,0002471703 (3,050e-06) age3 + 0, 112515 (0,0555857) spirit + 0, 055804 (0,064874) protest + 0, 0623645 (0,082877) catholic

- 0, 241314 (0,0911730) tv - 0, 295904 (0,0757875) electric

T = 4358 R² = 0, 5781 F(9, 4348) = 664,37 = 1,4432

È inoltre noto che il valore della statistica F del test congiunto di eguaglianza a zero dei coefficienti sulle variabili tv e electric è di 6.17. Sulla base di queste informazioni, si risponda ora alle seguenti domande:

Che interpretazione potete dare al coefficiente su educ, tenendo conto che nella regressione di cui sopra sono incluse variabili quali l’età, la religione, la disponibilità di televisore ed elettricità?

Che effetto hanno il televisore o l’elettricità sulla fecondità? Questo effetto è congiuntamente significativo?

A voi interessa sapere se gli anni d'istruzione sono la causa della riduzione del numero dei figli, non solo se le due variabili sono negativamente correlate. Temete però che il numero di figli e gli anni d'istruzione siano entrambi influenzati da caratteristiche non osservabili. Tenendo conto del modo di operare del sistema scolastico del Paese, decidete quindi di strumentargli anni d'istruzione con una dummy che vale 1 se la donna è nata nella prima metà dell'anno (firsthalf). La regressione OLS di educ sulle altre variabili esplicative della prima regressione e su firsthalf produce le seguenti stime:

educ = 0,624953 + 0,742586 age - 0,0300698 age²+ 0,000318270 age³ (1,7976) (0,19320) (0,0056716) (7,7767e-05) + 0,630291 spirit + 1,85313 protest + 2,21997 catholic + 2,65719 tv (0,12851) (0,14777) (0,18819) (0,20747) + 2,09736 electric - 0,689361 firsthalf (0,17301) (0,10195)

T = 4358 R² = 0,2742 F(9,4348) = 183,55 σ̂ = 3,3456 (errori standard tra parentesi)

È inoltre noto che il valore della statistica F del test di uguaglianza a zero del coefficiente di firsthalf è pari a 45.72. Che cosa potete dedurre da questi risultati?

I risultati delle stime IV sono di seguito riportati:

children = 1,62471 - 0,250743 age + 0,0172346 age²- 0,000121629 age³ (0,79540) (0,098173) (0,0035067) (3,7561e-05) + 0,174100 spirit + 0,237299 protest + 0,279273 catholic + 0,0221663 tv (0,070194) (0,13778) (0,16740) (0,19857) - 0,0865621 electric - 0,171255 educ (0,15946) (0,065435)

T = 4358 R² = 0,5585 F(9,4348) = 618,84 σ̂ = 1,4803

Come mai il coefficiente su educ stimato con TSLS è più grande in valore assoluto dello stesso coefficiente stimato con OLS?

Come mai lo standard error del coefficiente su educ stimato con TSLS è più grande dello standard error dello stesso coefficiente stimato con OLS?

Interpretate le stime dei coefficienti. In particolare, tenendo fissa l'età, qual è l'effetto di un anno addizionale di istruzione sulla fertilità? Se 100 donne studiano un anno in più, quanti figli in meno ci attendiamo?

Vogliamo studiare la relazione tra salario e anni di istruzione utilizzando un campione di 513 lavoratori maschi. Stimiamo il seguente modello

ln(wage)_i = β₀ + β₁educ_i + β₂black_i + β₃met_i + β₄south_i + β₅IQ_i + β₆exper_i + β₇expper²_i + u_i

dove wage sta per il salario orario in cents, educ sta per gli anni di istruzione, _black è pari a 1 se afro-americano, met è pari a 1 se residente in una grande città, south è pari a 1 se

residente al Sud, IQ è lo score in un test IQ, exper sta per gli anni di esperienza. Il modello è stimato con OLS e IV, gli strumenti esclusi dal modello sono dati dagli anni di istruzione del padre (feduc) e dagli anni di istruzione della madre (meduc). I risultati della stima sono riportati nella tabella (errori standard tra parentesi). Rispondete alle seguenti domande:

1. gli strumenti sono esogeni? Motivate la risposta.
2. c’è un problema di strumenti deboli? Motivate la risposta.
3. dovremmo usare il metodo IV? Motivate la risposta.
4. sulla base della risposta al punto precedente, qual è il rendimento di un anno addizionale di istruzione? E’ significativamente diverso da zero?
5. Ritenete che l’omissione dell’abilità individuale all’equazione stimata rappresenti un problema? Motivate la risposta.

Spesa per alcolici. Per un campione di 195 famiglie si vuole studiare la relazione esistente tra la frazione di spesa destinata agli alcolici (V) e quella destinata al tabacco (T) tramite la seguente equazione

ln(V) = β₀ + β₁ln(T) + β₂ln(S) + β₃eta + β₄eta² + β₅ncomp + u

dove è la spesa totale, eta e eta² sono l’età e l’età al quadrato del capofamiglia, ncomp è il numero di componenti della famiglia. La tabella alla pagina successiva riporta i risultati