Econometria - i modelli statici lineari

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B(3.2.6) ha gli elementi della diagonale principale tutti uguali all'unità. Questo fatto, che corrisponde a normalizzare le equazioni in modo tale che sia uguale ad uno il coefficiente della -esima variabile endogena nella -esima equazione è una semplice convenzione utile per indicare che la -esima equazione è intesa a determinare la -esima variabile endogena.

Osservazione 3.2 - Il modello (3.2.4) contiene una funzione del consumo, una degli investimenti (privati) ed una condizione di equilibrio ex post.

3-5 Modulo I - Concetti di base

3.3 La partizione in blocchi ed i modelli ricorsivi

Le partizioni in blocchi della matrice dei parametri ε =

Se nella matrice dei coefficienti del sistema (3.2.6) poniamo, essa diventa

B 0-β

1 0

B 0 1 0

- -

1 1 1

e si ha che la variabile endogena non è determinata mediante altre endogene, mentre questo fatto non sussiste per nè per.

questa situazione corrisponde nella matrice all'esservi tutti zeri a destra dell'elemento B₂₂. Si dice in questo caso che nel modello c'è una partizione in due blocchi, in quanto il sistema lineare può essere risolto in due passi distinti. In un primo si determina la variabile endogena tramite le esogene; nel secondo passo si determinano le variabili endogene ed tramite le esogene ed il valore trovato di y. In altre parole non c'è necessità che le variabili endogene siano determinate simultaneamente. Nel caso in cui la matrice dei parametri sia del terzo ordine, si possono avere tre partizioni seguenti:

1	0	0
β	β	β
1	1	0
β	β	β
1	1	1
3	1	3

a) Nel caso si determina l'endogena nel primo blocco ed , b) Nel caso si determina l'endogena nel secondo blocco ed , c) Nel caso si determina l'endogena nel terzo blocco ed .

y1 2 3congiuntamente nel secondo utilizzando il valore trovato di ; nel caso siy b )1determinano ed simultaneamente nel primo blocco e poi i loro valori sonoy y1 2utilizzati nel secondo per determinare . Nel caso , infine, si hanno tre blocchiy c)3con determinazione in sequenza di , ed , ed il modello relativo è dettoy y y1 2 3ricorsivo .1 Osservazione 3.3 – La matrice (3.3.1) costituisce un caso di partizione ditipo , fatti gli appropriati spostamenti delle righe e delle colonne, cioèa ) ε =delle equazioni e delle incognite nel sistema (3.2.6), con .0Il termine modello ricorsivo dovuto al Wold. Si veda a tale proposito Wold (1954).1 3-6Modulo I – Concetti di baseUn modello a due settori ricorsivoUn esempio di matrice del tipo ma di ordine cinque si ha nel modelloB c)seguente, formato da due settori: il reale dato dalle equazioni (3.2.4) ed il monetario(3.3.2)= µ + ηdm y exp r=s sm mcomprendente una relazione lineare che esprime la

La quantità di moneta domandata in funzione del reddito e del tasso di interesse può essere rappresentata nel seguente modo: <div> <p>Quantità di moneta domandata in funzione del reddito e del tasso di interesse:</p> <ul> <li>Equazione 1: Q = d * S - m * 0</li> <li>Equazione 2: Q = η1 * (Y - E) + D * M * exp(R) - µ * µ</li> </ul> </div> La seconda condizione di equilibrio ex post che uguaglia la moneta offerta a quella domandata può essere rappresentata nel seguente modo: <div> <p>Seconda condizione di equilibrio ex post:</p> <ul> <li>Equazione 3: Q - ε + δ - γ = Y * I * exp(R) - β + C * G * 0</li> </ul> </div> La forma strutturale del modello può essere rappresentata in forma matriciale nel seguente modo: <div> <p>Forma strutturale del modello in forma matriciale:</p> <pre> <code> [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 ] [ d 0 m η ] [ 1 ] [ exp(R) -1 0 0 0 0 0 ] [ 0 ] [ Y ] [ µ µ v ] [ 0 ] [ -ε -δ -γ ] [ 0 i 0 1 0 0 0 0 ] [ sm ] [ -β + β ν ] </code> </pre> </div>_{α 0 c0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0} Questo modello può essere risolto in maniera ricorsiva, determinando con la prima equazione del sistema (3.3.3) la quantità di moneta domandata in funzione di quella offerta, esogena; sostituendo il valore trovato nella seconda della (3.3.3) ed utilizzando la variabile esogena tasso di interesse si calcola il reddito, che viene sostituito nella terza equazione per determinare gli investimenti privati. Il consumo è direttamente determinato dal reddito e dalle imposte, e infine anche la spesa pubblica è calcolata conoscendo i consumi, investimenti privati e reddito. I modelli ricorsivi a catena causale di Wold e Strotz Il carattere ricorsivo di alcuni sistemi di equazioni fu utilizzato da H. Wold e R.H. Strotz per rappresentare analiticamente una struttura di legami di causalità. Essi partono dal presupposto che il concetto dicausalità sia "primitivo" e che nessuno abbia il diritto di monopolio sulla sua definizione. Quando, tuttavia, si costruiscono modelli esplicativi della realtà, ad essi è necessario attribuire un'interpretazione causale e questo può essere fatto, secondo i due autori, soltanto se il sistema di equazioni è ricorsivo. Il sistema (3.3.3), come già osservato nel paragrafo precedente, lo è, e tale è anche il modello utilizzato (2.7.8) dal Simon, che può essere scritto nel modo seguente: β γ 0 0 y1 1 1 1 β β ⋅ = γ (3.3.5) 0 y 21 22 2 2 β β γ 0 y 32 33 3 3 dove la matrice dei parametri delle variabili contiene tutti zeri sopra la diagonale principale. Dunque la caratteristica essenziale del modello (3.3.5), detto a catena causale,

èla triangolarità della matrice dei coefficienti delle variabile endogene; in questocaso la matrice è detta triangolare inferiore; il sistema (3.3.5) può essere anchescritto con la matrice dei coefficienti triangolare superiore, cioè con valori nulli al disotto degli elementi della d iagonale principale. Nel caso generale (3.2.1) della formastrutturale delle equazioni si ha una rappresentazione causale secondo Wold eStrotz se la matrice dei parametri è triangolare. Se questa triangolarità nonBsussiste, il sistema di equazioni è detto interdipendente e secondo i due autori nonpuò rappresentare una struttura causale salvo che in una accezione particolare,data dalla causalità esistente tra le variabili endogene considerate in blocco e leesogene anch’esse prese globalmente.Si veda il saggio di Strotz e Wold (1960) che costituisce il primo di un famoso “trittico” di2lavori sulla causalità,

pubblicati contemporaneamente. In realtà il contributo del Wold all'impostazione ivi descritta è superiore a quello dello Strotz. Nella sostanza essa era presente in Wold (1952).

Modulo I - Concetti di base

3.4 Forma ridotta generale dei modelli lineari deterministici

Nel paragrafo 2.5 di questo modulo è stata chiamata forma ridotta del modello lineare la forma ottenuta risolvendo il sistema di equazioni strutturali rispetto alle variabili endogene in funzione delle sole esogene. In un modello con variabili endogene e esogene la forma generale ridotta è la seguente:

k = π + π + ... + π

{ y x x ... x₁ 11 1 12 2 1 k k }

= π + π + ... + π

{ y x x ... x₂ 21 1 22 2 2 k k }

...

= π + π + ... + π

{ y x x ... x_g 1 1 g 2 2 gk k }

che scritta in forma matriciale diventa:

{ π π π }

[ y ... x₁ 11 12 1 k 1 ]

{ π π π }

[ y ... x₂ 21 22 23 2 ]

...

... ... ... ... ...
     π π π
     y ...
    xg g 1 g 2 gk k
vale a dire in forma compatta, = Π (3.4.3)y xΠ π ×
dove è una matrice di parametri di ordine , è il vettore delle
g k y gijendogene ed quello delle esogene.x k
Risolvendo il sistema (3.1.1) rispetto a e ad otteniamoc y− β β α
 = + +c v i
 − β − β − β (3.4.4)1 1 1
 − β α1
 = + +y v i
 − β − β − β
 1 1 1
che è appunto la forma ridotta del modello (3.1.1); in termini matriciali le (3.4.4) si
scrivono − β β α
  ν ν 
  − β β α
   − β − β − β    c 1 (3.4.5)1 1 1
= =    i i   − β α − β α
− β1   y 11  _{β β β} ^{1 1} _{Π β} ^{1 1 1}

dove nella matrice dell'ultimo membro si è posto in evidenza il fattore 1/1 utilizzando l'operazione di moltiplicazione di una matrice per uno scalare.

Anche il sistema (3.2.4) può essere facilmente risolto rispetto alle endogene , ,c i, inserendo il valore di della prima equazione nella terza e quindi il valore diy c ydi questa nella seconda; si risolve questa rispetto ad , poi si calcola in funzionei ydel valore trovato per e quindi si ottiene .i c

In conclusione la forma ridotta del sistema (3.2.4) è:

[ ]( )1= α - ε + βγ - β - _{β β β}