Econometria - i modelli statici lineari

Modulo I – Concetti di base

abbia il diritto di monopolio sulla sua definizione . Quando, tuttavia, si

2

costruiscono modelli esplicativi della realtà, ad essi è necessario attribuire una

interpretazione causale e questo può essere fatto, secondo i due autori, soltanto se

il sistema di equazioni è ricorsivo. Il sistema (3.3.3), come già osservato nel

paragrafo precedente, lo è, e tale è anche il modello utilizzato (2.7.8) dal Simon, che

può essere scritto nel modo seguente

β γ

     

0 0 y

11 1 1

     

β β ⋅ = γ (3.3.5)

0 y

     

21 22 2 2

     

β β γ

     

0 y

32 33 3 3

dove la matrice dei parametri delle variabili contiene tutti zeri sopra la diagonale

principale.

Dunque la caratteristica essenziale del modello (3.3.5), detto a catena causale, è

la triangolarità della matrice dei coefficienti delle variabile endogene; in questo

caso la matrice è detta triangolare inferiore; il sistema (3.3.5) può essere anche

scritto con la matrice dei coefficienti triangolare superiore, cioè con valori nulli al di

sotto degli elementi della d iagonale principale. Nel caso generale (3.2.1) della forma

strutturale delle equazioni si ha una rappresentazione causale secondo Wold e

Strotz se la matrice dei parametri è triangolare. Se questa triangolarità non

B

sussiste, il sistema di equazioni è detto interdipendente e secondo i due autori non

può rappresentare una struttura causale salvo che in una accezione particolare,

data dalla causalità esistente tra le variabili endogene considerate in blocco e le

esogene anch’esse prese globalmente.

Si veda il saggio di Strotz e Wold (1960) che costituisce il primo di un famoso “trittico” di

2

lavori sulla causalità, pubblicati contemporaneamente. In realtà il contributo del Wold

all’impostazione ivi descritta è superiore a quello dello Strotz. Nella sostanza essa era

presente in Wold (1952). 3-8

Modulo I – Concetti di base

3.4 Forma ridotta generale dei modelli lineari

deterministici

Nel paragrafo 2.5 di questo modulo è stata chiamata forma ridotta del modello

lineare la forma ottenuta risolvendo il sistema di equazioni strutturali rispetto alle

variabili endogene in funzione delle sole esogene. In un modello con variabili

g

endogene e esogene la forma generale ridotta è la seguente

k = π + π + + π

 y x x ... x

1 11 1 12 2 1 k k

 = π + π + + π

 (3.4.1)

y x x ... x

2 21 1 22 2 2 k k



...



 = π + π + + π

y x x ... x

 g g 1 1 g 2 2 gk k

che scritta in forma matriciale diventa

π π π

     

y ... x

1 11 12 1 k 1

     

π π π (3.4.2)

y ... x

     

=

2 21 22 23 2

     

... ... ... ... ... ...

     

π π π

     

y ...

    x

g g 1 g 2 gk k

vale a dire in forma compatta, = Π (3.4.3)

y x

Π π ×

dove è una matrice di parametri di ordine , è il vettore delle

g k y g

ij

endogene ed quello delle esogene.

x k

Risolvendo il sistema (3.1.1) rispetto a e ad otteniamo

c y

− β β α

 = + +

c v i



 − β − β − β (3.4.4)

1 1 1

 − β α

1

 = + +

y v i

 − β − β − β

 1 1 1

che è appunto la forma ridotta del modello (3.1.1); in termini matriciali le (3.4.4) si

scrivono − β β α

  ν ν

 

  − β β α

   

− β − β − β    

c 1 (3.4.5)

1 1 1

= =

 

   

i i

   

− β α − β α

− β

1

   

y 1

1

   

   

1 1

 

− β − β − β

 

1 1 1 ( )

Π − β

dove nella matrice dell’ultimo membro si è posto in evidenza il fattore 1 / 1

utilizzando l’operazione di moltiplicazione di una matrice per uno scalare. 3-9

Modulo I – Concetti di base

Anche il sistema (3.2.4) può essere facilmente risolto rispetto alle endogene , ,

c i

, inserendo il valore di della prima equazione nella terza e quindi il valore di

y c y

di questa nella seconda; si risolve questa rispetto ad , poi si calcola in funzione

i y

del valore trovato per e quindi si ottiene .

i c

In conclusione la forma ridotta del sistema (3.2.4) è

 [ ]

( ) ( )

1

= α − ε + βγ − β − ε + β + βδ

 c 1 1 v g exp r

− β − ε

1



 [ ]

( ) ( )

1 (3.4.6)

= αε + γ − β − εβ + ε + δ − β

 i 1 v g 1 exp r

− β − ε

1



 [ ]

1

= α + γ − β + + δ

 y v g exp r

− β − ε

 1

che scritta in termini matriciali diventa  

exp r

( ) ( )

βδ β − β − ε α − ε + βγ

     

c 1 1

    (3.4.7)

g

( ) ( )

1  

= δ − β ε − εβ αε + γ − β

i 1 1

     

− β − ε v

1

   

δ − β α + γ  

   

y 1  

i

( )

Π − β − ε

dove nella matrice si è posto in evidenza il fattore .

1 / 1 3-10

Modulo I – Concetti di base

3.5 I moltiplicatori nei sistemi statici

Nei semplici modelli di tipo keynesiano (3.1.1) e (3.2.4) è facile vedere come

variazioni di una variabile influiscano sulle altre variabili qualora le prime siano

supposte causare le seconde: queste relazioni tra variazioni permettono di studiare,

ad esempio, politiche alternative di spesa, oppure di carattere fiscale o monetario

da parte delle autorità di governo. Consideriamo in primo luogo un modello (3.1.1)

la cui forma ridotta è data dalle equazion1 (3.4.4): da queste si trae che le

variazioni del reddito e del consumo in funzione di una variazione delle spese

autonome sono date da

i β

1

∆ = ∆ ∆ = ∆ (3.5.1)

y i c i

− β − β

1 1

( ) ( )

− −

− β > β − β >

dove i fattori di proporzionalità e sono i noti

1 1

1 0 1 0

moltiplicatori del reddito e del consumo in una economia chiusa e in assenza di

imposizione fiscale sul reddito .

3

Considerando, d’altro canto, il modello (3.2.4) si trova facilmente che i

moltiplicatori del reddito, del consumo e degli investimenti sono costituiti,

Π

utilizzando l’equazione (3.4.6), dagli elementi della matrice , fornita dalla (3.4.7).

In altre parole è π = ∆ ∆ (3.5.2)

y / x

ij i j

Π

e la può essere chiamata matrice dei moltiplicatori.

La determinazione della matrice dei moltiplicatori

L’equazione matriciale (3.2.2) può essere risolta come nel par. XIX-1.6

−

premoltiplicandola a sinistra e a destra per , ottenendosi

1

B

= − Γ

− (3.5.3)

1

y B x

Questa esprime la forma ridotta del sistema (3.2.2) che invece è scritto in forma

strutturale; confrontando la (3.5.3) con la (3.4.3) si ottiene

In questo esempio si comparano gli effetti sui valori di equilibrio delle variabili endogene

3

dovuti a variazioni di una variabile esogena. Dato che il modello sottostante, cioè il (3.1.1) è

statico, perché in esso figurano solo variabili associate al medesimo intervallo temporale (si

veda il par. 2.2), esso non descrive il sentiero di transizione del sistema fra due equilibri

successivi. Poiché si compara una situazione statica di equilibrio con un’altra, l’analisi

relativa è detta, come è ben noto, di statica comparata e fornisce indicazioni utili a

un’analisi economica di medio-lungo periodo. 3-11

Modulo I – Concetti di base

Π = − Γ

− (3.5.4)

1

B Π

attraverso la quale si possono determinare gli elementi di (i moltiplicatori)

Γ

−

mediante il prodotto di per .

1

B

Costituisce un utile esercizio la verifica della (3.5.4) nel caso dei due sistemi

(3.1.1) e (3.2.4). La matrice del sistema (3.1.1) è esposta nella (3.2.3)

B − β

 

1

=  

B −

 

1 1

− β

con determinante e matrice aggiunta

1 ′

 

1 1

=  

agg B β

 

1

L’inversa è allora β

 

1

1

=

− 1  

B − β 1 1

1

Γ

per cui, prendendo dalla (3.2.3),

β β − α − β β α

     

1 0

1 1

− Γ = − =

− 1      

B − − β α

− β − β

   

1 1 0 1 0 1

1 1

Π

identica alla matrice riportata nella (3.4.5).

Β

D’altro canto, la matrice del sistema (3.2.4) è esposta nella (3.2.6)

− β

 

1 0

 

Β = − ε (3.5.5)

0 1

 

 

− −

 

1 1 1

− β − ε

con determinante e matrice aggiunta

1 ′

− ε ε

 

1 1

  (3.5.6)

= β − β

agg B 1 1

 

 

β ε

 

1

L’inversa è allora − ε β β

 

1

 

1

− = ε − β ε

1

B 1

 

− β − ε

1  

 

1 1 1 3-12

Modulo I – Concetti di base

Γ

per cui, prendendo dalla (3.2.6)

− ε β β β − α

   

1 0 0

   

1

− Γ = ε − β ε − δ − γ =

−

1

B 1 0 0

   

− β − ε

1    

−

   

1 1 1 0 1 0 0

( ) ( )

βδ β − β − ε α − ε + βγ

 

1 1

 

( ) ( )

1

= δ − β ε − εβ αε + γ − β

1 1

 

− β − ε

1  

δ − β α + γ

 

1

Π

identica alla matrice riportata nella (3.4.7). 3-13

Appunti di Econometria per l'esame del professor Bagnai sui modelli statici lineari. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la forma strutturale generale dei modelli statici lineari, la forma matriciale delle equazioni strutturali, la partizione in blocchi ed i modelli ricorsivi, la forma ridotta generale dei modelli lineari deterministici, i moltiplicatori nei sistemi statici.