Econometria - i modelli autoregressivi vettoriali

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di Econometria

Modulo X – Modelli VAR

1. MODELLI AUTOREGRESSIVI VETTORIALI

Indice del capitolo

1.1. Le critiche del Sims ai modelli simultanei strutturali .............................................. 2

1.2. Stabilità e instabilità ................................................................................................... 6

p

1.3. Relazioni del modello VAR( ) con il sistema di equazioni simultanee tradizionale 7

p

1.4. La rappresentazione a somma mobile del modello VAR( )....................................... 9

1.5. Le ipotesi stocastiche deboli sui residui e la simulazione dinamica....................... 11

1.6. L’ortogonalizzazione dei residui................................................................................ 13

1.7. Il modello VAR(1)....................................................................................................... 17

1.8. Un esempio di modello VAR(1).................................................................................. 19

p

1.9. Il modello VAR( )....................................................................................................... 22

1.10. Analisi delle risposte all’impulso .............................................................................. 25

1.11. Stazionarietà del secondo ordine .............................................................................. 28

1.12. Proprietà stocastiche del modello VAR(1) ................................................................ 31

p

1.13. Le equazioni di Yule-Walker per i processi VAR( )................................................. 33

q

1.14. Il modello MA( )......................................................................................................... 34

p q

1.15. Il modello VARMA( , ).............................................................................................. 36

1.16. I modelli a funzione di trasferimento ....................................................................... 40

1.17. Bibliografia ................................................................................................................. 42

Pagina 1-1

Modulo X – Modelli VAR

1.1. Le critiche del Sims ai modelli simultanei strutturali

Vettoriali AutoRegressivi

I modelli (VAR) rappresentano in una forma speciale le

economiche

relazioni simultanee tra variabili (nel nostro caso , ma più in generale

qualsiasi ). Possono quindi essere considerati come forme particolari dei tradizionali

sistemi di equazioni simultanee (SEM ).

1

Questi furono fortemente criticati, all’inizio degli anni ottanta, dall’economista

statunitense C.A. Sims, evidenziando dei difetti che illustriamo con un esempio.

Consideriamo un sistema simultaneo costituito da due equazioni, la prima delle

in funzione del reddito (corrente e

quali descrive la dinamica del consumo c t

ritardato fino al secondo periodo) e del residuo aleatorio la seconda rappresenta

u ;

1t

ex post

una condizione di equilibrio che definisce il reddito come somma del

y t

consumo , degli investimenti e del residuo in una economia chiusa

c i u

t t 2t

= β + β + β + β +



c y y y u

− −

0 1 1 2 2 3 1

t t t t t

 (1.1.1)

= + +

y c i u

 2

t t t t

In termini matriciali esso può essere espresso come

 

y −

1

t 



 

− β − β − β − β

   

   

c u

1 0 y − 1

t

t

0 1 2 3 2

t

 

+ =

   

    



   

   

− −

y u

1 1 0 0 1 0 i

   

   

2 t

t t

 

 

1

 

o in maniera più compatta come + =

Β y Γ x u (1.1.2)

c y

è il vettore composto dalle variabili [ ]′ che possiamo considerare

dove y t t

è il vettore che contiene le variabili predeterminate, cioè l’esogena e

endogene, x i t

e sono le matrici dei rispettivi coefficienti, e è il

le endogene ritardate Β Γ u

,

vettore dei residui. è discutibile, perché potremmo aggiungere al sistema (1.1.1)

Ma l’esogenità di i t

un’equazione che definisce gli investimenti in funzione del reddito rendendoli così

endogeni

Simultaneous Equation Model , in inglese.

1 Pagina 1-2

Modulo X – Modelli VAR

= β + β + β + β +

 c y y y u

− −

10 11 1 12 2 13 1

t t t t t



 (1.1.3)

= + +

y c i u

 2

t t t t



 = β + β +

i y u

 30 33 3

t t t

La suddivisione delle variabili in endogene ed esogene è arbitraria, argomenta il

Sims, e quindi, per eliminare questa arbitrarietà, è necessario considerare le

variabili come tutte endogene.

Una seconda critica mossa dal Sims ai modelli simultanei tradizionali riguarda

il fatto che essi sono costruiti aggregando equazioni ciascuna delle quali definisce

una variabile (l’endogena) in funzione di altre secondo una determinata teoria

economica. Ogni equazione viene quindi costruita separatamente dalle altre,

modello di equilibrio parziale

costituisce cioè un , e deriva direttamente da come si

strutturata

ritiene che l’economia sia . E’ questo il motivo per cui i modelli

simultanei del tipo (1.1.3), derivati dall’assemblaggio di equazioni che definiscono

le variabili con forme funzionali fatte discendere da ipotesi economiche, sono detti

strutturali .

Ogni equazione del sistema nella sua forma strutturale, critica il Sims, è

costituito come modello di equilibrio parziale sulla base di ipotesi economiche che

impongono una serie di vincoli. Questi vincoli, però, sono generalmente diversi da

equazione a equazione e quindi possono essere inconsistenti (cioè contraddittori tra

di loro) quando si considerano le equazioni (i modelli di equilibrio parziale)

congiuntamente. Il Sims ne deduce che i modelli simultanei non possono essere

costruiti aggregando equazioni che rappresentano modelli di equilibrio parziale;

tali equazioni devono molto più semplicemente definire una variabile in funzione di

tutte le altre.

Una terza critica mossa dal Sims ai modelli simultanei strutturali attiene

all’identificazione delle equazioni. In generale, mentre è possibile stimare in modo

univoco i parametri della forma ridotta

Π − − −

= − + = + (1.1.4)

1 1 1

y Β Γ x Β u Π x Β u

t t t t t

e della forma strutturale non è univoca poiché il

la stima dei parametri Β Γ

numero di questi è troppo grande rispetto alle equazioni del sistema. Il problema

identificazione

(detto appunto dell’ delle equazioni simultanee) è risolto diminuendo

il numero dei parametri da stimare, vincolandoli a soddisfare delle relazioni tratte

2

dalla teoria economica. In altre parole, la teoria, dopo essere stata utilizzata per

Zero restrictions

Le più semplici di queste sono costituite dall’azzeramento dei parametri. ,

2

in inglese. Pagina 1-3

Modulo X – Modelli VAR

costruire le varie equazioni del modello strutturale, è nuovamente tirata in ballo

per essere sfruttata nella soluzione di un problema (quello dell’identificazione)

puramente statistico. Qui la critica del Sims (1980), che ritiene “poco credibili” i

vincoli fatti derivare dalla teoria economica al fine di rendere stimabili i parametri

della forma strutturale del modello.

Il Sims (1980), si propone allora di costruire un modello ad equazioni

simultanee nel quale:

• tutte le variabili siano endogene,

k

• le equazioni non costituiscano modelli di equilibrio parziale, per cui ogni

variabile può dipendere a priori da ogni altra,

ed inoltre sia definito direttamente nella forma ridotta eliminando così il problema

della stima dei parametri della forma strutturale e cioè quello di dover determinare

i vincoli necessari all’identificazione.

Il modello che risponde a queste esigenze è quello che fa dipendere

al tempo da se stesso ritardato di

(linearmente) l’insieme (il vettore) di variabili y t

t

una, due, …, unità temporali

p = + + + + (1.1.5)

y A y A y … A y u

t 1 t−1 2 t−2 p t−p t

=

, , sono le matrici dei parametri (quadrate di ordine ) ed

dove le A 1, 2,…,

i p k

i

= è il vettore dei residui aleatori al tempo .

u [u u … u ]′ t

t 1t 2t kt la (1.1.5) può essere scritta nella forma più

Sfruttando l’operatore di ritardo L

compatta = (1.1.6)

A( ) y u

L t t

p

= − + − è un polinomio matriciale funzione di .

dove A( ) I A … A

L L L L

k 1 p

~ ~

è un vettore aleatorio, anche , per ogni , lo è. Qualora non si

Poiché u y t

t t

~ = ∀

avesse , , sarebbe necessario includere nella (1.1.5) un termine

( y ) 0

E t

t =

vettoriale . Per semplicità didattica supponiamo che .

c c 0

La (1.1.5) rappresenta la regressione di su se stesso ritardato: è chiamato

y

t

Vettoriale AutoRegressivo

perciò modello di ordine , o più concisamente VAR( ).

p p

Esempio – Il Sims (1980) considerò un vettore composto da sei variabili, la

y

t

M Y U W

moneta , il reddito reale , il tasso di disoccupazione , i salari , il deflatore del

P PM

reddito , i prezzi all’importazione , e generato da un modello VAR(4) che si

aggiunge ad una tendenza lineare deterministica. Noi, a titolo didattico,

consideriamo un vettore formato da tre variabili soltanto, rappresentate

M

graficamente in Figura 1.1: la moneta ( ), espressa dall’aggregato M1, il prodotto

Y P

interno lordo in termini reali ( ), ed il livello dei prezzi, ( ), descritto dal deflatore

Pagina 1-4

Modulo X – Modelli VAR =

del reddito, e lo generiamo tramite un modello VAR di ordine . I dati

2

p

trimestrali destagionalizzati utilizzati sono di fonte OCSE e si riferiscono all’Italia

relativamente all’orizzonte temporale 1976:1 - 1998:1.

1400 1460

1350 1450

1300 1440

1430

1250 1420

1200 1410

1150 1400

1100 1390

1050 1380

76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

M Tendenza lineare Y Tendenza lineare

520

470

420

370

320

270

220 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

P Tendenza lineare

−

Figura 1.1 Valori logaritmici (moltiplicati per 100) di M, Y, P.

Le serie storiche, rappresentate in Figura 1.1, sono state tutte espresse in

termini logaritmici e la parte deterministica del modello è costituita da una

costante e da una tendenza lineare per ciascuna equazione del sistema

− −

         

7

. 77

M 0

. 00 M

0

. 82 0

. 08 0

. 49

t −

t 1

         

= + ⋅ + − ⋅ +

165

. 19

Y t 0

. 03 . Y

0

. 10 1

. 22 0 05

         

−

t t 1

         

−

2

. 40

P 0

. 00 P

0

. 01 0

. 01 1

. 56

         

−

t t 1

      (1.1.7)

M

0

. 10 0

. 13 0

. 52 u

− 1

t

t 2

     

+ − − ⋅ +

Y

0

. 04 0

. 38 0

. 00 u

     

− 2 t

t 2

     

− − P

0

. 03 0

. 02 0

. 59 u

     

− 3 t

t 2 Pagina 1-5

Modulo X – Modelli VAR

1.2. Stabilità e instabilità

Il modello (1.1.5) può essere considerato sotto almeno tre punti di vista diversi.

Esaminiamoli.

Innanzitutto quello economico, ed allora è necessario distinguere tra il breve ed

il lungo periodo, nonché ipotizzare l’assenza o la presenza della tendenza. Se

questa è presente, può essere direttamente inglobata nella variabile vettoriale y

t

oppure può essere rappresentata mediante un polinomio nel tempo, da inserire nel

termine , come fatto nell’esempio precedente, ed allora la costituisce la

c y

t

deviazione rispetto alla tendenza. Anche il Sims (1980) utilizzò nel suo lavoro le

variabili nei loro livelli, regredendole rispetto al tempo e a variabili di comodo

stagionali.

Un secondo modo di considerare il modello (1.1.5) è quello matematico. Esso

equazione alle differenze finite (stocastica) di ordine

rappresenta allora un’ ed il

p

+∞

tempo varia necessariamente da a . Allora la generata dall’equazione può

y

t 1 t

−∞ +∞

divergere verso o (l’equazione alle differenze possiede soluzioni divergenti)

oppure convergere verso un sentiero di equilibrio (l’equazione alle differenze

possiede soluzioni convergenti) : se il modello contiene una tendenza la sua parte

3

VAR genera una convergente, ed affinché avvenga questo, si dimostra che le

y

t ( )

radici del polinomio in , cioè le soluzioni dell’equazione

z A z 4 5

( ) = (1.2.1)

0

A z . In questa

devono giacere tutte fuori del cerchio unitario nel campo complesso

6

situazione il modello VAR (o più precisamente la parte VAR del modello

stabile

rappresentata dall’equazione alle differenze) è detto . Nei paragrafi seguenti

analizzeremo in modo più specifico queste condizioni di stabilità, prima per il

modello VAR di ordine uno e poi per quello di ordine generico .

p

Il terzo modo di considerare il modello (1.1.5) riguarda le caratteristiche

~ e può essere considerato come il corrispondente stocastico del

stocastiche di y t

primo (matematico). Analizzeremo compiutamente questo caso nel paragrafo 1.9.

y

Esiste ovviamente la terza possibilità in cui né diverge né converge.

3 t A

Nelle pagine di questo modulo si ricorre alla notazione per indicare il determinante

4 A A

det

. In alcuni casi ricorriamo alla notazione, più conveniente, .

della matrice

Che in generale sono complesse.

5 Quando le radici giacciono esattamente nel cerchio le variabili del modello (1.1.5) né

6

divergono né convergono. Si ha, cioè, una situazione patologica che verrà esaminata nel

seguito. Pagina 1-6

Modulo X – Modelli VAR

p

1.3. Relazioni del modello VAR( ) con il sistema di equazioni

simultanee tradizionale

Il modello VAR( ) (1.1.5) può essere considerato come una particolare forma ridotta

p

di un modello di equazioni simultanee tradizionale nel quale tutte le variabili sono

endogene.

Per illustrare questo concetto riprendiamo il modello (1.1.1) e lo esprimiamo in

termini matriciali nella forma

− β β β β

       

         

c c c u

0

1 0 0 i

− −

1

t t t 2 1

t

0 1 2 3 t

= + + +

       

         

− y y y u

1 1 0 0 0 0 1 0 1

         

        (1.3.1)

− −

1

t t t 2 2 t

cioè in modo compatto, = + + + (1.3.2)

A y y y Ψ x ε

Φ Φ

0 t t−1 t−2 t

1 2 0 t

= [ ]′ = [ ]′ = [ ]′

, , , e le matrici , , , e sono le

dove y x ε A Ψ

c y i 1 u u Φ Φ

t t t t t 1t 2t 0

t 1 2 0

corrispondenti nella (1.3.1). L’equazione (1.3.2) rappresenta l’usuale modello

strutturale vettoriale autoregressivo a ritardi distribuiti (VARDL ). Dividendolo

7

per si ottiene

A

0 − − − −

= + + +

1 1 1 1

y A y A y A Ψ x A ε

Φ Φ

t t−1 t−2 t

0 0 0 0

1 2 0 t

che diventa il modello VAR(2) dato dalla (1.1.5) se non sussistono variabili esogene

− −

= = =

1 1

, , .

e ponendo u A ε A A Φ i 1, 2

t i

0 0

t i ) dato dalla (1.1.5) è una forma

Generalizzando, si può dire che il modello VAR(

p

ridotta, e più precisamente la forma finale, del modello SEM o VARDL

= + + + (1.3.3)

A y y Φ y ε

...

Φ

0 t t−1 t−p

p

1 t

in cui tutte le variabili sono endogene.

D’altro canto, in modo generale, scrivendo la (1.1.5) per tutti i tempi

= si ha

t 1, 2, …, n

[ ] = [ ] + + [ ] + [ ]

y y y A y y y A y y y u u u

… … ... … …

1 2 n 1 0 1 n−1 p 1−p 2−p n−p 1 2 n

cioè = + + + + (1.3.4)

Y A Y A Y A Y U

…

−1 −2 −p

1 2 p

dove

Vector AutoRegressive Distributed Lag model , in inglese.

7 Pagina 1-7

Modulo X – Modelli VAR

= (1.3.5)

Y [ y y ... y ]

1 2 n

( )

×

k n =

= (1.3.6)

i 1, 2, ..., p

Y [ y y ... y ]

− − − −

i 1 i 2 i n i

( )

×

k n = (1.3.7)

U [

u u ... u ]

1 2 n

( )

×

k n

La (1.3.1) può essere scritta nella forma ancor più compatta

= +

Y Π Z U (1.3.8)

se si pone = (1.3.9)

Π [ A A ... A ]

1 2 p

( )