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Pla sua trasposta ~ ~ ′ ′ ′ ′− −= = = ⋅ ⋅ (1.6.2)1 1E u u Σ P P P D D D P D( ) ( ) ( )t t udove è una matrice diagonale i cui elementi nonnulli sono uguali agli elementiD −1− =1diagonali di . Ne deriva che la matrice è triangolare inferiore con gliP P DA 0elementi diagonali pari a uno. ) (1.1.5) per ed otteniamo
Premoltiplichiamo ora il modello VAR(p A0= + + +A y A A y A A y A u…0 t 0 1 t−1 0 p t Pagina 1-13Modulo X – Modelli VARcioè = + + + (1.6.3)A y A A y A A y ε…0 t 0 1 t−1 0 p t−p tdove si è posto =A u ε0 t tIl modello (1.6.3) ha due caratteristiche essenziali. In primo luogo è( ) ( )~ ~ ∀= ⋅ =E E tε A u 0t t0 ′( )′( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~′ ′ ′ ′− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ∀1 1E E tε ε A u u A D P P P D P D Dt t t t0 0che
È una matrice diagonale con elementi nonnulli tutti positivi; quindi i residui del modello (1.6.3) sono incorrelati tra di loro e le loro varianze sono pari ai quadrati degli elementi diagonali di P che moltiplica è una matrice triangolare inferiore per. In secondo luogo, la A y0 tricorsivo cui il modello (1.6.3) è, e la variabile non ha impatto istantaneo su se y yr k >. In altre parole, non è regredita su alcuna altra variabile allo stesso tempo, r k y y1 2 lo è soltanto su, su e, e così via. y y y y1 3 2 1 Ovviamente la ricorsività del modello e l'ordinamento delle variabili sono stabiliti dal costruttore del modello sulla base di ipotesi economiche e quindi il Sims (1980) fu costretto a far uso di un po' di teoria economica, pur asserendo di volerla limitare il più possibile. Si osservi che questa è la seconda volta che il Sims usa una teoria economica; la prima ha riguardato l'ortogonalizzazione dei.residui.Al fine di limitare il ricorso ad ipotesi economiche nel caso dell'ortogonalizzazione dei residui è necessario mostrare che la simulazione dinamica, cioè l'analisi delle risposte all'impulso, non dipende dall'ordinamento delle variabili. Ma poiché gli ordinamenti possibili sono , tale indipendenza può essere verificata agevolmente soltanto per piccolo. Può essere di interesse ricordare che i modelli ricorsivi furono utilizzati da H.per dare una definizione di causalità in economia.Wold 10Esempio – Supponendo che la matrice di dispersione dei residui al tempo zero del modello (1.1.7) sia
[2.66 0.04 0.05
0.04 0.35 0.03
0.05 0.03 0.27]
Lo stesso che sviluppò (nel caso univariato) la (1.4.2).10 Pagina 1-14Modulo X – Modelli VARil metodo di Choleski applicato a tale matrice delle varianze e covarianze produce la seguente matrice triangolare
inferiorefi fi1 . 63 0 0fi fi=P . .0 02 0 59 0fi fifi fi. . .0 03 0 05 0 52fifi fiLa matrice , essendo diagonale con gli elementi nonnulli pari alla diagonaleDprincipale di , saràP fi fi1 . 63 0 0fi fi=D 0 0 . 59 0fi fifi fi0 0 0 . 52fifi fiper cui è fi fi1 0 0fi fi− =1 .0 01 1 0P D fi fifi fi. .0 02 0 08 1fi fiche, in base alla (1.6.2), permette di ottenere la rappresentazione ricorsiva delmodello (1.1.7) − −fi fi fi fi fiMM1 0 0 0. 82 0. 08 0. 49 −1ttfi fi fi fi fi− ⋅ = − ⋅ +YY.0 01 1 0 0. 09 1. 22 0. 04fi fi fi fi fi−1ttfi fi fi fi fi− − − − PP ..0. 02 0 08 1 0. 03 0 09 1. 57fi fi fi fi fi−1tt εfi fi fi fi fiM0. 10 0. 13 0. 52 − 12 ttfi fi fi+ − − − ⋅ + εY0. 04 0. 38 0. 01fi fi fi− 22 ttfi| | | − εP0. 03 0. 01 0. 60| | |− 32 ttcon ordinamento delle variabiliM Y P→ →t t tstabilito a priori. ∇Utilizzando la matrice definita dalla (1.6.2) è possibile riscrivere la (1.4.3)Pnella forma Pagina 1-15Modulo X – Modelli VAR−1 −1 −1+ + + ==y P P u P P u P P u ...Ψ Ψt t t−1 t−21 2 (1.6.4)Θ + + += Θ Θw w w ...t t−1 t−20 1 2dove Θ = = ∞iΨ P 0, 1, …,i i ~Θ = e gli elementi del vettore sono incorrelati in quantoP w0 t ′ ′( ) ( )[ ]( )~ ~ ~ ~′ ′ == ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅- - - -1 1 1 1E w w E P u u P P Σ P I (1.6.5)[][]t t t t u k residuiDunque la rappresentazione (1.6.4) è a somma mobile infinita conΘ =ortogonali ; gli elementi di misurano le risposte immediate su di impulsiP yt0 moltiplicatori d’impattounitari e sono perciò
chiamati . Analogamente sonoΘ moltiplicatori ad interim, chiamati . Gli elementiinterpretabili gli elementi di i∞∑Θ = Θ shockmisurano le risposte totali su di unitari edella matrice somma yti=i 0moltiplicatori totalisono quindi detti . Pagina 1-16Modulo X – Modelli VAR1.7. Il modello VAR(1)Illustriamo analiticamente alcune delle nozioni proposte nei paragrafi precedenticon il più semplice dei modelli VAR: quello di ordine uno. Questo studio presentaanche un particolare vantaggio: poiché ogni modello VAR di ordine può essereptrasformato in uno equivalente di ordine uno, è didatticamente convenientestudiare le proprietà di un modello VAR( ) sulla base di quelle di un VAR(1), chepsono di più facile determinazione. Consideriamo, dunque, quest’ultimo.= nella (1.1.5) otteniamo il modello VAR(1)Se poniamo p 1 = + (1.7.1)y A y ut 1 t−1 tsul quale possiamo ritenere valide le ipotesi deboli (1.5.1) sui residui.
Il modello(1.7.1) può essere scritto nella forma12= + + = + +y A A y u u A y A u u( )t 1 1 t−2 t−1 t t−2 1 t−1 te
iterando la sostituzione volte si ottiene j j∑+= +j i1y A y A u− − −t t j1 1 1 t i (1.7.2)=i 0 generato (daQuesta relazione può essere interpretata nel senso di considerare yt− −1 = ∞un modello VAR(1)) a partire dal tempo . Passando al limite per si ha chet j j∞j∑ ∑=i ilim A u A u− −1 1t i t i→ ∞j = =0 0ii λ di ha modulo minore di unoesiste finito, se e soltanto se ogni autovalore A1λ (1.7.3)< 1Inoltre è11 + =j 1lim A y 0− −t j1 1→ ∞jper cui, alla fine, si ottiene ∞∑= iy A u −1t t i (1.7.4)= 0i +→ ∞ j 1j AAl limite per la convergenza a zero di è rapida, per cui possiamo11 1+j 1Aconsiderare nullo, al limite, il termine .1 Pagina 1-17Modulo X – Modelli VARcioè, il
modello VAR(1) dato dalla (1.7.1) viene trasformato in un altro, sempre vettoriale, a somma mobile infinita. La (1.7.4) può essere ottenuta anche in un altro modo, dato che la (1.7.1) può essere scritta nella forma 1=y ut t−I A Lk 1 ( )−utilizzando l’operatore . Considerando che può essere inteso come la L 1 / I A Lk 1 somma degli infiniti termini di una progressione geometrica di ragione A L112 2= + + +y (I A L A L …) ut k 1 t si ottiene di nuovo la (1.7.4).
Le condizioni di stabilità per un modello VAR(1) sono tratte immediatamente da quanto riportato nel paragrafo 1.2: affinché il modello (1.7.1) sia stabile occorre e basta che le radici dell’equazione z i |I − = (1.7.5) A z| 0k 1 cadano tutte al di fuori del cerchio unitario complesso, cioè |z| > 1, dove ora le due barre verticali denotano il modulo del numero (complesso) z i. Si può dimostrare che queste condizioni di stabilità equivalgono ad
essere glitutti in modulo inferiori ad 1; considerando la (1.7.3) siautovalori della matrice A1può affermare che se un modello VAR(1) è stabile allora vale la suarappresentazione a somma mobile infinita, e viceversa. Pagina 1-18Modulo X – Modelli VAR1.8. Un esempio di modello VAR(1)Esemplifichiamo alcuni dei concetti esposti in precedenza, e in particolarel’ortogonalizzazione dei residui ottenuta con la fattorizzazione di Choleski, con il=seguente modello VAR(1) con . Il vettore è costituito dalle differenze primek 3 ytdei logaritmi del PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia , relativamente al12periodo temporale compreso tra il secondo trimestre del 1982 e il secondo del 2002(ultima osservazione disponibile contenuta nel CD-Rom dell’OECD utilizzato).L’andamento nel tempo dei tre tassi di crescita del prodotto reale, , e ,USA JAP ITAè illustrato nella seguente figura–Figura 1.2 Tassi di crescita trimestrali del
nte al testo fornito, utilizzeremo i seguenti tag HTML: - `` per i paragrafi
- `` per evidenziare il testo in grassetto
- ` PIL reale degli USA, del Giappone e dell'Italia. Valori percentuali. La matrice ottenuta dai dati è: In questo esempio, analogamente al testo fornito, abbiamo utilizzato i tag HTML per formattare il testo.
` per andare a capo
Ecco il testo formattato: