Econometria - i modelli autoregressivi vettoriali
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Modulo X – Modelli VAR
cioè, il modello VAR(1) dato dalla (1.7.1) viene trasformato in un altro, sempre
vettoriale, a somma mobile infinita. La (1.7.4) può essere ottenuta anche in un
altro modo, dato che la (1.7.1) può essere scritta nella forma
1
=
y u
t t
−
I A L
k 1 ( )
−
utilizzando l’operatore . Considerando che può essere inteso come la
L 1 / I A L
k 1
somma degli infiniti termini di una progressione geometrica di ragione A L
1
12 2
= + + +
y (I A L A L …) u
t k 1 t
si ottiene di nuovo la (1.7.4).
Le condizioni di stabilità per un modello VAR(1) sono tratte immediatamente
da quanto riportato nel paragrafo 1.2: affinché il modello (1.7.1) sia stabile occorre
e basta che le radici dell’equazione
z i I − = (1.7.5)
A z 0
k 1
cadano tutte al di fuori del cerchio unitario complesso, cioè
z 1
>
i
dove ora le due barre verticali denotano il modulo del numero (complesso) .
z i
Si può dimostrare che queste condizioni di stabilità equivalgono ad essere gli
tutti in modulo inferiori ad 1; considerando la (1.7.3) si
autovalori della matrice A
1
può affermare che se un modello VAR(1) è stabile allora vale la sua
rappresentazione a somma mobile infinita, e viceversa. Pagina 1-18
Modulo X – Modelli VAR
1.8. Un esempio di modello VAR(1)
Esemplifichiamo alcuni dei concetti esposti in precedenza, e in particolare
l’ortogonalizzazione dei residui ottenuta con la fattorizzazione di Choleski, con il
=
seguente modello VAR(1) con . Il vettore è costituito dalle differenze prime
k 3 y
t
dei logaritmi del PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia , relativamente al
12
periodo temporale compreso tra il secondo trimestre del 1982 e il secondo del 2002
(ultima osservazione disponibile contenuta nel CD-Rom dell’OECD utilizzato).
L’andamento nel tempo dei tre tassi di crescita del prodotto reale, , e ,
USA JAP ITA
è illustrato nella seguente figura
−
Figura 1.2 Tassi di crescita trimestrali del PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia.
Valori percentuali.
La matrice ottenuta dai dati è
A
1
In questo esempio, analogamente al modello (1.1.7), è presente una parte deterministica,
12
costituita ora solamente da un vettore di costanti. Pagina 1-19
Modulo X – Modelli VAR
0.34 0.44 0.08 0.15
= + +
y y u
0.36 0.04 0.01 0.41 (1.8.1)
−
t t 1 t
0.27 0.17 0.13 0.02
per il quale l’equazione (1.7.4) è
1 0 0 0.44 0.08 0.15
− =
det 0 1 0 0.04 0.01 0.41 z 0
0 0 1 0.17 0.13 0.02
con soluzioni = = =
, ,
z 1.87 z 4.64 z 6.71
1 2 3
Queste sono tutte maggiori dell’unità in modulo, e quindi il modello (1.8.1) è
stabile.
Se al modello (1.7.1) viene tolta la parte deterministica e si riduce ad uno
l’ordine del processo autoregressivo, si ottiene un nuovo sistema
0 . 93 0 . 05 0 . 05
= − +
y 0 . 04 0 . 97 0 . 05 y u (1.8.2)
−
t t 1 t
0 . 00 0 . 01 0 . 98
è tale per cui le soluzioni della (1.7.4) risultano ora
La matrice A
1 = = =
, , .
z 0.9998 z 1.02 z 1.11
1 2 3
Il modello (1.8.2), dunque, non è stabile.
Consideriamo ora nuovamente il modello (1.8.1). Supponiamo che la matrice di
dispersione dei residui al ritardo zero sia
−
0.34 0.07 0.03
= − 0.07 0.90 0.01
Σ (1.8.3)
u
0.03 0.01 0.31
per cui, scomponendola con la fattorizzazione di Choleski (1.6.1) otteniamo le
matrici
0.58 0 0
= −
0.12 0.94 0
P
0.05 0.02 0.55
Pagina 1-20
Modulo X – Modelli VAR -1
0.58 0 0 0.58 0 0 1 0 0
− = − ⋅ = −
1 0.12 0.94 0 0 0.94 0 0.21 1 0
PD
0.05 0.02 0.55 0 0 0.55 0 .
08 0 .
02 1
per mezzo delle quali si raggiunge la forma ricorsiva (1.6.3)
1 0 0 0.34 0 44 0 08 0 15 1 0 0
. . .
= +
. . . . .
y y u
0 21 1 0 0.43 + 0 13 0 03 0 44 0 21 1 0
−
1
t t t
− − − −
. . . . . . .
0 09 0 02 1 0.23 0 13 0 12 0 00 0 09 0 02 1
nella quale i residui sono ortogonali. Pagina 1-21
Modulo X – Modelli VAR
p
1.9. Il modello VAR( )
Le condizioni di stabilità di un modello VAR( ) possono essere ricondotte a quelle
p
di un modello VAR(1) scrivendo il primo nella forma del secondo. Infatti, a partire
dalla (1.1.5), possiamo porre:
= + + + + +
y A y A y A y A y
... u
− − − + −
t t t p t p p t p
1 1 2 2 1 t
=
y y
− −
t t
1 1
=
y y
− −
t t
2 2
... =
y y
− + − +
t p t p
1 1
cioè, in termini matriciali,
y y
A A A A
... u
−
− 1
t
t 1 2 1
p p t
y y
I 0 ... 0 0 0
−
− 2
1 t
t k
(1.9.1)
= + +
y y
0 I ... 0 0 0
−
− 3
2 t
t k
...
... ... ... ... ... ... ...
y y
0 0 ... I 0 0
−
− +
1 t p
t p k
o ancora = + (1.9.2)
ξ F ξ v
−1
t t t
= = sono vettori di ordine , e
dove ξ [y y … y ]′ e v [u 0 … 0]′ p×k
t t−1 t−p+1 t t
t
A A ... A A
−
p p
1 2 1
I 0 ... 0 0
k
=
F 0 I ... 0 0
k
... ... ... ... ...
0 0 ... I 0
k .
è una matrice quadrata (di sottomatrici) di ordine p×k ) corrispondono a quelle del
Allora, le condizioni di stabilità del modello VAR(
p
modello VAR(1) (1.9.2), che sono date nel paragrafo 1.7: occorre e basta che le
soluzioni dell’equazione
z i I − =
Fz 0
pk
cioè Pagina 1-22
Modulo X – Modelli VAR
2 p
I − − + − = (1.9.3)
A z A z … A z 0
k 1 2 p
giacciano tutte fuori del cerchio unitario nel campo complesso. Il che è equivalente
siano in modulo inferiori
a richiedere che tutti gli autovalori della matrice F
all’unità, come notato nel paragrafo 1.7. ) generico può essere
Come il modello VAR(1) anche il modello VAR( p
rappresentato mediante una somma mobile infinita, VMA(∞). Illustriamo questa
rappresentazione duale che ci sarà utile nell’analisi del paragrafo seguente.
Consideriamo dapprima il fatto che possiamo risalire dal modello VAR(1) (1.9.2) a
quello VAR( ) (1.1.5) mediante la trasformazione lineare
p = (1.9.4)
y J ξ
t t
= è una matrice di ordine . Consideriamo poi che il modello
dove J [I 0 … 0] (k×kp)
k
VAR(1) (1.9.2) è equivalente alla somma infinita (1.7.3)
∞
∑
= i
ξ F v −
t t i
=
i 0
e moltiplichiamo a sinistra per i due membri di questa equazione. Otteniamo, in
J
virtù della (1.9.4),
∞ ∞ ∞ ∞
∑ ∑ ∑ ∑
′
= = = = =
i i
J ξ y J F v J F J J v Ψ J v Ψ u
− − − −
t t t i t i i t i i t i
= = = =
0 0 0 0
i i i i (1.9.5)
′ 0 =
= i
dove si è posto , per cui
Ψ J F J , F I pk
i ′ = =
0
J F J I Ψ
k 0
e si è considerato che ′
I I 0 ... 0
k k
′
0 0 0 ... 0
[ ]
′ = = =
J J v I 0 ... 0 v v v
t k t t t
... ... ... ... ...
′
0 0 0 ... 0
Esempio – In base alla (1.9.2), il modello VAR di ordine due (1.1.7) composto da
=
variabili, è riscrivibile nel modello VAR(1) formato da variabili
3 6
k= p×k Pagina 1-23
Modulo X – Modelli VAR
− −
7
.
77 0
.
00 0
.
82 0
.
08 0 49 0
.
10 0
. 13 0 52
. .
− − −
165 .
19 0
.
03 0 10 1 22 0 05 0 04 0 38 0
.
00
. . . . .
− − −
2
.
40 0
.
00 0 01 0 01 1 56 0 03 0 02 0 59
. . . . . .
= + ⋅ + +
ξ ξ v
t
t t t
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
×
La matrice nell’esempio proposto è di ordine , ed è costituita da quattro
F (6 6)
blocchi formati dalle matrici e del modello (1.1.7), da una matrice identità e
A A
1 2 ×
da una matrice di zeri, tutte di ordine . Il processo è stabile poiché le radici
(3 3) ξ t
− =
dell’equazione I F 0
z
pk
= = = = = =
, , , , ,
1.02 1.13 1.48 1.48 1.83 8.37
z z z z z z
1 2 3 4 5 6
giacciono tutte al di fuori del cerchio unitario complesso. Pagina 1-24
Modulo X – Modelli VAR
1.10. Analisi delle risposte all’impulso
Si è già anticipato nel paragrafo 1.5 una delle utilizzazioni più correnti dei modelli
VAR: l’analisi degli effetti (le risposte) sulle variabili del modello di un impulso
unitario imposto sul residuo di una variabile un numero di tempi prima di
j h
quello corrente.
In effetti i modelli VAR, pur essendo simultanei, vanno interpretati in modo
marcatamente differente dai sistemi di equazioni simultanee tradizionali. Non sono
rappresentativi, in quanto incapaci di rappresentare nei dettagli i fenomeni
economici. Non sono decisionali, in quanto non suggeriscono al decisore quali
politiche economiche attuare. Essi sono soltanto in grado di indicare quali effetti
shock
sono in grado di produrre, su di un numero limitato di variabili, derivanti
dall’alterazione di determinate variabili.
Segue allora, come nota il Sims (1980), che è poco utile effettuare uno studio
sulla significatività dei parametri stimati per un modello VAR; i segni dei
parametri relativi a ritardi successivi sono generalmente oscillanti, e quindi poco
interessanti di per sé. Ciò che viceversa è molto utile è visualizzare il
comportamento nel tempo delle risposte all’impulso, che appunto sono funzioni del
tempo.
Nei modelli VAR tutte le variabili sono considerate endogene, a differenza di
quanto avviene solitamente nei sistemi di equazioni simultanee tradizionali. Ma
non è vero che siano modelli ateorici: tutt’altro. Si è visto che per distinguere gli
effetti di un impulso singolo su di una singola variabile è necessario
ortogonalizzare i residui: questa operazione è lecita soltanto sulla base di una
teoria economica.
Sempre l’ortogonalizzazione implica la ricorsività del modello VAR che a sua
volta implica che venga imposto un ordinamento alle variabili. Ed anche questa
operazione può essere fatta soltanto sulla base di una teoria economica.
A titolo di esempio illustriamo le funzioni di risposta all’impulso associate al
modello (1.1.7), nel quale si ipotizza che la moneta sia la variabile più
“controllabile” dalle autorità di governo e che la scelte di politica monetaria si
riflettono sul reddito e sul livello dei prezzi.
L’insieme delle risposte delle variabili , e , rispettivamente ad impulsi
M Y P
prodotti sui residui della moneta, del reddito e dei prezzi, sono riportati nella
Figura 1.3 Pagina 1-25
Modulo X – Modelli VAR
R
i s p
o
s t a a d un impulso pari ad una deviazione standard
R i s p o s t a d i M a d u n i m p u l s o s u M Ris p os t a d i M a d u n im p u lso s u Y Ris p os t a d i M a d u n i m p u l s o s u P
2.0 2.0 2.0
1.6 1.6 1.6
1.2 1.2 1.2
0.8 0.8 0.8
0.4 0.4 0.4
0.0 0.0 0.0
-0.4 -0.4 -0.4
-0.8
-0.8 -0.8
10 15 20 10 15 20 10 15 20
5 5 5
R i s p o
s t a d i Y a d u n i m p u ls o s u M Ris pos t a d i Y a d u n im p u lso s u Y Ris p ost a d i Y a d u n i m p u l s o s u P
0.8 0.8 0.8
0.4 0.4 0.4
0.0 0.0 0.0
-0.4
-0.4 -0.4
10 15 20 10 15 20 10 15 20
5 5 5
R i s p o s t a d i P a d u n i m p u ls o s u M Ris p os t a d i P a d u n im pu ls o s u Y Risp os t a d i P a d u n i m p u l s o s u P
1.6 1.6 1.6
1.2 1.2 1.2
0.8 0.8 0.8
0.4 0.4 0.4
0.0 0.0 0.0
-0.4 -0.4 -0.4
-0.8
-0.8 -0.8
10 15 20 10 15 20 10 15 20
5 5 5
Figura 1.3 – Funzioni delle risposte agli impulsi (linea continua) ed intervalli di confidenza
(linee tratteggiate) calcolati a seguito di uno shock strutturale di intensità pari ad una
deviazione standard. Valori espressi in termini percentuali, relativamente ad un orizzonte
di ventiquattro trimestri.
Si osservi che la Figura 1.3 riporta le nove funzioni associate agli impulsi
prodotti sui residui di tutte e tre le variabili. In realtà interessano soltanto i tre
riportati sulla prima colonna, associati ad un impulso prodotto sull’unica variabile
che può essere, in un certo qual modo, “controllabile”.
I valori sull’asse delle ascisse dei grafici in Figura 1.3 indicano gli effetti sulle
shock
variabili, espressi in termini percentuali, di uno di intensità pari ad una
deviazione standard. Limitando il commento alle risposte di , e ad un impulso
M Y P
shock
sulla moneta, si osserva come gli monetari siano non persistenti e abbiano
effetti sul reddito reale solo nel brevissimo periodo. La risposta dei prezzi ad una
espansione monetaria non è immediata. La risposta inflazionistica si sviluppa con
Pagina 1-26
Modulo X – Modelli VAR
un certo ritardo, annullando gli effetti espansivi della politica monetaria dopo circa
otto trimestri. Pagina 1-27
Modulo X – Modelli VAR
1.11. Stazionarietà del secondo ordine
Le condizioni di stabilità di un modello VAR hanno un corrispondente stocastico
che risulta molto utile per determinarne le proprietà e le stime dei parametri. Per
definire tale corrispondente è innanzitutto necessario considerare l’equazione alle
~ come processo aleatorio vettoriale,
differenze (1.1.5) come stocastica e quindi y t
definito nel tempo discreto. Tale processo aleatorio, che indichiamo come tale con
{ }
~ stazionario del secondo ordine
è detto se valgono, per ogni , le due condizioni
y t
13
t ( )
~ 14
= (1.11.1)
y 0
E t
( ) ( )
~ ~ ′
⋅ = = ± ± 2, (1.11.2)
y y Γ 0
, 1
, ...
E τ τ
−
t t τ y
{ }
~ è stazionario del secondo ordine quando i suoi
In altre parole il processo y t
momenti primi e secondi non dipendono dal tempo. In particolare, le matrici di
~ ~ τ
, riferite ai vettori aleatori e distanti tra di loro unità
dispersione Γ y y
(τ ) − τ
y t t τ .
temporali, dipendono unicamente dal ritardo di calcolo
sono quelle di correlazione al ritardo
Più utili delle matrici di dispersione Γ (τ )
y ~
τ , , che riportano le correlazioni tra gli elementi di (e quindi anche le
P y
(τ )
y t
τ
autocorrelazioni) al ritardo . Si ha che
( ) ( )
− −
= ⋅ ⋅ = ± ± 2, (1.11.3)
1 1
τ τ τ
P D Γ D 0
, 1
, ...
y y
è la matrice di dispersione data dalla (1.11.2) che contiene sulla
dove Γ (τ )
y { }
~
τ
diagonale principale le autocorrelazioni di ritardo degli elementi di e fuori di
y t
τ
essa le loro correlazioni incrociate, ancora calcolate con ritardo ; è la matrice
D
diagonale ( )
γ 0 0 ... 0
11
( )
γ
0 0 ... 0
= 22
D
... ... ... ...
( )
γ
0 0 ... 0
nn
che serve a dividere ciascun elemento della matrice di dispersione per il
Γ
(i,j) (τ )
y
( ) ( ) ~
γ ⋅ γ degli scarti quadratici medi degli elementi e di .
prodotto y
i j
0 0
ii jj t
in senso debole in covarianza
O o . Nel prosieguo la stazionarietà sarà sempre considerata
13
di questo tipo e quindi non la specificheremo. µ
y
Si ricordi che è definito come scarto dal proprio valor medio. Se questo è la
14 t
( )
~ =
y µ
E .
condizione è t Pagina 1-28
Modulo X – Modelli VAR
Esempio – La matrice di dispersione al ritardo zero delle variabili relative al
modello (1.1.7) sia
4191
. 96 886 . 03 3871 . 04
( ) =
Γ 0 886 . 03 192 . 42 813 . 07
y
3871
. 04 813
. 07 3597 . 86
per cui
64 . 74 0 0
=
D 0 13 . 87 0
0 0 60 . 00
τ = 0
Applicando la (1.11.3), per , si ottiene la matrice delle correlazioni a ritardo
zero − −
1 1
64
.
74 0 0
4191
.
96 886
.
03 3871
.
04
64
.
74 0 0
( ) =
⋅
⋅
=
P 0 13
.
87 0
886
.
03 192
.
42 813
.
07
0 0 13
.
87 0
y
0 0 60
.
00
3871
.
04 813
.
07 3597
.
86
0 0 60
.
00
. .
1 0 98 0 99
= . .
0 98 1 0 97
. .
0 99 0 97 1
∇
Si noti che ( ) ( )
′ = − ∀ (1.11.4)
Γ Γ
τ τ t
y y +τ
possa essere sostituito con ,
poiché la condizione (1.11.2) implica che il tempo t t
per cui ′
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
~ ~ ~ ~ ~ ~
′ ′ ′ ′
= = = = −
Γ y y y y y y Γ
τ E E E τ
− + +
y t t τ t τ t t t τ y
e trasponendo si ottiene la (1.11.4). Da questa si può ricavare che
( ) ( )
′ = (1.11.5)
Γ Γ
0 0
y y
Le condizioni di stabilità del modello VAR(1) riportate nel paragrafo 1.7, così come
{ }
~
), sono sempre soddisfatte se è stazionario.
le analoghe per i modelli VAR( y
p t Pagina 1-29
Modulo X – Modelli VAR
Vale anche il viceversa ma con alcune eccezioni: queste sono talmente poco
rilevanti che di fatto è generalizzato l’uso di considerare equivalenti i due concetti
di stabilità (matematico) e stazionarietà (probabilistico). Pagina 1-30
Modulo X – Modelli VAR
1.12. Proprietà stocastiche del modello VAR(1)
τ = ±1,
Le matrici di dispersione , , del processo aleatorio stazionario
Γ τ
( ) 2, …
y
generato dal modello VAR(1) dato dalla (1.7.1) sono facilmente determinate facendo
uso della somma mobile infinita (1.7.3) ′
∞ ∞
( ) ( )
~ ~ ~ ~
∑ ∑
′ =
= = ⋅
i j
Γ y y A u A u
τ E E
− − − −
y t t τ t i t τ j
1 1
= =
i j
0 0
(1.12.1)
′
( )
∞
∑ +
= ⋅ ⋅
i τ i
A Σ A
u
1 1
=
i 0 del modello
ma è in certi casi molto utile notare che tra la matrice dei parametri A
1
sussistono notevoli relazioni che vanno
VAR(1) e le matrici di dispersione Γ τ
( )
y equazioni di
sotto il nome di due studiosi che le scoprirono indipendentemente: le
′
Yule-Walker
. Per ottenerle è sufficiente moltiplicare a destra per la (1.7.1) e
y t−τ
prendere il valor medio; si ottiene
( ) ( ) ( )
′
= − + = + =
per
Γ A Γ Σ A Γ Σ τ
0 1 1 0
y 1 y u 1 y u (1.12.2)
( ) ( )
= − >
per
Γ A Γ
τ τ τ
1 0
y 1 y τ = ±1, ±2,
e , le matrici possono essere
Ora, se sono note A Γ Γ τ
( 0
) ( ) , ...,
1 y y
calcolate iterativamente tramite la seconda delle (1.12.2) e la (1.11.4). Se, invece,
sono note e , la matrice può essere calcolata considerando che
A Σ Γ ( 0
)
1 y
u ( ) ( )
=
Γ A Γ
1 0
y 1 y
τ =
per la seconda delle (1.12.2) con . Trasponendo questa relazione e sostituendo
1
′ nella prima delle (1.12.2) si ottiene
Γ (
1
)
y ( ) ( )
′ ′
= +
Γ A Γ A Σ
0 0
y 1 y 1 u
,
dalla quale, sfruttando la (1.11.5)
15
( )
( ) ( ) ( ) ( )
′ ′
= + = ⊗ +
Γ A Γ A Σ A A Γ Σ
vec 0 vec 0 vec vec 0 vec
y 1 y 1 u 1 1 y u
,
dalla quale, risolvendo per Γ
vec ( 0 )
y A B C
Di seguito si utilizza il teorema di algebra delle matrici secondo il quale se , e sono
15 = ′ ⊗
A B C A B C C A B
vec( ) ( ) vec
esiste, allora , dove il
matrici tali che il loro prodotto
⊗ prodotto di Kronecker
indica il .
segno Pagina 1-31
Modulo X – Modelli VAR
( )
( ) − (1.12.3)
1
= − ⊗
Γ I A A Σ
vec 0 vec
y u
1 1
2
k { }
~
− ⊗ è garantita dall’essere un processo
dove, l’invertibilità di I A A y
( )
2
k 1 1 t
aleatorio vettoriale stazionario (del secondo ordine). Ottenuta la , le matrici
Γ ( 0
)
y
τ = ±1, ±2, possono essere determinate ancora iterativamente tramite la
Γ τ
( ) , ...,
y
seconda delle (1.12.2) e la (1.11.4). Pagina 1-32
Modulo X – Modelli VAR p
1.13. Le equazioni di Yule-Walker per i processi VAR( )
{ }
~
Anche le matrici di dispersione di un processo aleatorio generato da un
Γ y
τ
( )
y t
) possono essere determinate iterativamente per mezzo di equazioni
modello VAR( p
di Yule-Walker
dette . ′ a destra la (1.1.5) e ne prendiamo il valor
Se, infatti, moltiplichiamo per y t−τ
medio otteniamo
( ) ( ) ( ) ( )
= − + − + + − + =
Γ 0 A Γ 1 A Γ 2 ... A Γ Σ
p
y 1 y 2 y p y u =
per 0
τ (1.13.1)
( ) ( ) ( )
′ ′ ′
= + + + +
A Γ 1 A Γ 2 ... A Γ Σ
p
1 y 2 y p y u
facendo uso della (1.11.4), e le equazioni di Yule-Walker
( ) ( ) ( ) ( )
= − + − + + − >
per (1.13.2)
Γ A Γ A Γ A Γ
τ τ τ ... τ p τ
1 2 0
y 1 y 2 y p y τ >
per
mediante le quali è possibile determinare le matrici di dispersione p
Γ (τ
)
y
−
se sono note , , …, , , e . Le matrici di
A A A Γ Γ Γ Σ
p
(
1
) ( 2
) , ..., ( 1
)
1 2 p y y y u
τ <
dispersione per possono essere, d’altro canto, determinate
p
Γ τ
( )
y
trasformando il modello VAR( ) in un VAR(1) secondo la procedura del paragrafo
p
1.9.
Infatti, valendo la (1.9.2), si ha
y t
y [ ]
( )
−
1
t ′ ′ ′
= =
Γ E y y y
0 ...
− − +
ξ t t 1 t p 1
...
y
− +
t p 1 (1.13.3)
( ) ( ) ( )
−
Γ Γ Γ p
0 1 ... 1
y y y
( ) ( ) ( )
− −
Γ Γ Γ p
1 0 ... 2
y y y
=
... ... ... ...
( ) ( ) ( )
− + − +
Γ p 1 Γ p 2 ... Γ 0
y y y
τ <
per possono essere calcolate a
per cui le matrici di dispersione Γ τ p
( )
y
partire dalla . Ma questa è immediatamente determinabile tramite la (1.12.3)
Γ τ
( )
ξ
che applicata al modello VAR(1) (1.9.2) diventa
( )
( ) −
1
= − ⊗
vec
Γ 0 vec I F F vec
Σ
( )
ξ v
2
kp
dove indica la matrice di dispersione al tempo zero dei residui .
Σ v
t
v Pagina 1-33
Modulo X – Modelli VAR
q
1.14. Il modello MA( )
Si è visto nel paragrafo 1.4 come il modello VAR( ) sia equivalente (in virtù della
p
rappresentazione del Wold) ad una somma mobile infinita di residui . Dal punto
u
t
di vista operativo questa può essere ben approssimata da un numero finito di
termini, ottenendosi la somma mobile vettoriale finita di ordine q
q
∑
=
y Ψ u (1.14.1)
−
t i t i
= 0
i
= , indicata con l’acronimo VMA( ). Utilizzando l’operatore ritardo
con Ψ I q L
k
0
possiamo riscrivere la (1.14.1) nella forma
( ) ( )
= + + + + = (1.14.2)
2 q
y I Ψ L Ψ L ... Ψ L u Ψ L u
1 2
t k q t t
avendo posto ( ) = + + + +
2 q
Ψ L I Ψ L Ψ L Ψ L
...
k 1 2 q
( ) è invertibile possiamo trasformare il modello VMA( ), che viene
Se la matrice q
Ψ L
invertibile
detto quindi , in uno autoregressivo, generalmente di ordine infinito,
1 =
y u
( ) t t
Ψ L
cioè =
A y u
L
( ) t t
con ( ) ( )
= (1.14.3)
A L Ψ L
1 / ) è invertibile se e soltanto se le soluzioni
Si può dimostrare che il modello VMA(
q z i
dell’equazione ( )
+ + + + = (1.14.4)
2 q
I Ψ z Ψ z Ψ z u
det ... 0
1 2
k q t
giacciono tutte al di fuori del cerchio unitario complesso. Si noti l’analogia di queste
condizioni con quelle di stabilità per il modello VAR( ).
p
= ∞ τ
la matrice di dispersione di ritardo è
Se q ′
τ − ∞ ∞
1
( ) ( )
~ ~ ~ ~ ~
∑ ∑ ∑
′
= = + ⋅ =
Γ y y Ψ u Ψ u Ψ u
τ E E
− − τ + − τ − − −
1
y t t τ i t i t i i t τ i
= = =
0 0 0
i i i
(1.14.5)
∞
∑ ′
= ⋅ ⋅
Ψ Σ Ψ
+
τ i u i
=
i 0 Pagina 1-34
Modulo X – Modelli VAR
dalla quale si trae la matrice di dispersione per un qualsiasi
q
−
q τ
∑ ′
⋅ ⋅ =
Ψ Σ Ψ per τ 0
,
1
,..., q
( ) ( )
~ ~ ′
= = +
Γ τ E y y τ i u i
−
y t t τ =
i 0
= + +
0 per τ q 1
, q 2
,...
e vale ancora, ovviamente, la (1.11.4).
Si può mostrare che i momenti primo e secondo di un processo a somma mobile
di qualsiasi ordine sono sempre indipendenti dal tempo. In altre parole, i processi
MA( ) sono sempre stazionari.
q Pagina 1-35
DESCRIZIONE APPUNTO
Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui modelli autoregressivi vettoriali. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le critiche del Sims ai modelli simultanei strutturali, la stabilità e l'instabilità, le relazioni del modello VAR(p) con il sistema di equazioni simultanee tradizionale, la rappresentazione a somma mobile del modello VAR(p), l'ipotesi stocastiche deboli sui residui e la simulazione dinamica, l'ortogonalizzazione dei residui, le risposte all’impulso, le equazioni di Yule-Walker per i processi VAR(p), il modello VARMA(p,q), i modelli a funzione di trasferimento.
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.
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