Econometria - i modelli autoregressivi vettoriali

Pla sua trasposta ~ ~ ′ ′ ′ ′− −= = = ⋅ ⋅ (1.6.2)1 1E u u Σ P P P D D D P D( ) ( ) ( )t t udove è una matrice diagonale i cui elementi nonnulli sono uguali agli elementiD −1− =1diagonali di . Ne deriva che la matrice è triangolare inferiore con gliP P DA 0elementi diagonali pari a uno. ) (1.1.5) per ed otteniamo

Premoltiplichiamo ora il modello VAR(p A0= + + +A y A A y A A y A u…0 t 0 1 t−1 0 p t Pagina 1-13Modulo X – Modelli VARcioè = + + + (1.6.3)A y A A y A A y ε…0 t 0 1 t−1 0 p t−p tdove si è posto =A u ε0 t tIl modello (1.6.3) ha due caratteristiche essenziali. In primo luogo è( ) ( )~ ~ ∀= ⋅ =E E tε A u 0t t0 ′( )′( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~′ ′ ′ ′− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ∀1 1E E tε ε A u u A D P P P D P D Dt t t t0 0che

residui.Al fine di limitare il ricorso ad ipotesi economiche nel caso dell'ortogonalizzazione dei residui è necessario mostrare che la simulazione dinamica, cioè l'analisi delle risposte all'impulso, non dipende dall'ordinamento delle variabili. Ma poiché gli ordinamenti possibili sono , tale indipendenza può essere verificata agevolmente soltanto per piccolo. Può essere di interesse ricordare che i modelli ricorsivi furono utilizzati da H.per dare una definizione di causalità in economia.Wold 10Esempio – Supponendo che la matrice di dispersione dei residui al tempo zero del modello (1.1.7) sia
[2.66 0.04 0.05
0.04 0.35 0.03
0.05 0.03 0.27]
Lo stesso che sviluppò (nel caso univariato) la (1.4.2).10 Pagina 1-14Modulo X – Modelli VARil metodo di Choleski applicato a tale matrice delle varianze e covarianze produce la seguente matrice triangolare

inferiorefi fi1 . 63 0 0fi fi=P . .0 02 0 59 0fi fifi fi. . .0 03 0 05 0 52fifi fiLa matrice , essendo diagonale con gli elementi nonnulli pari alla diagonaleDprincipale di , saràP fi fi1 . 63 0 0fi fi=D 0 0 . 59 0fi fifi fi0 0 0 . 52fifi fiper cui è fi fi1 0 0fi fi− =1 .0 01 1 0P D fi fifi fi. .0 02 0 08 1fi fiche, in base alla (1.6.2), permette di ottenere la rappresentazione ricorsiva delmodello (1.1.7) − −fi fi fi fi fiMM1 0 0 0. 82 0. 08 0. 49 −1ttfi fi fi fi fi− ⋅ = − ⋅ +YY.0 01 1 0 0. 09 1. 22 0. 04fi fi fi fi fi−1ttfi fi fi fi fi− − − − PP ..0. 02 0 08 1 0. 03 0 09 1. 57fi fi fi fi fi−1tt εfi fi fi fi fiM0. 10 0. 13 0. 52 − 12 ttfi fi fi+ − − − ⋅ + εY0. 04 0. 38 0. 01fi fi fi− 22 ttfi

chiamati . Analogamente sonoΘ moltiplicatori ad interim, chiamati . Gli elementiinterpretabili gli elementi di i∞∑Θ = Θ shockmisurano le risposte totali su di unitari edella matrice somma yti=i 0moltiplicatori totalisono quindi detti . Pagina 1-16Modulo X – Modelli VAR1.7. Il modello VAR(1)Illustriamo analiticamente alcune delle nozioni proposte nei paragrafi precedenticon il più semplice dei modelli VAR: quello di ordine uno. Questo studio presentaanche un particolare vantaggio: poiché ogni modello VAR di ordine può essereptrasformato in uno equivalente di ordine uno, è didatticamente convenientestudiare le proprietà di un modello VAR( ) sulla base di quelle di un VAR(1), chepsono di più facile determinazione. Consideriamo, dunque, quest’ultimo.= nella (1.1.5) otteniamo il modello VAR(1)Se poniamo p 1 = + (1.7.1)y A y ut 1 t−1 tsul quale possiamo ritenere valide le ipotesi deboli (1.5.1) sui residui.

modello VAR(1) dato dalla (1.7.1) viene trasformato in un altro, sempre vettoriale, a somma mobile infinita. La (1.7.4) può essere ottenuta anche in un altro modo, dato che la (1.7.1) può essere scritta nella forma 1=y ut t−I A Lk 1 ( )−utilizzando l’operatore . Considerando che può essere inteso come la L 1 / I A Lk 1 somma degli infiniti termini di una progressione geometrica di ragione A L112 2= + + +y (I A L A L …) ut k 1 t si ottiene di nuovo la (1.7.4).

Le condizioni di stabilità per un modello VAR(1) sono tratte immediatamente da quanto riportato nel paragrafo 1.2: affinché il modello (1.7.1) sia stabile occorre e basta che le radici dell’equazione z i |I − = (1.7.5) A z| 0k 1 cadano tutte al di fuori del cerchio unitario complesso, cioè |z| > 1, dove ora le due barre verticali denotano il modulo del numero (complesso) z i. Si può dimostrare che queste condizioni di stabilità equivalgono ad

essere glitutti in modulo inferiori ad 1; considerando la (1.7.3) siautovalori della matrice A1può affermare che se un modello VAR(1) è stabile allora vale la suarappresentazione a somma mobile infinita, e viceversa. Pagina 1-18Modulo X – Modelli VAR1.8. Un esempio di modello VAR(1)Esemplifichiamo alcuni dei concetti esposti in precedenza, e in particolarel’ortogonalizzazione dei residui ottenuta con la fattorizzazione di Choleski, con il=seguente modello VAR(1) con . Il vettore è costituito dalle differenze primek 3 ytdei logaritmi del PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia , relativamente al12periodo temporale compreso tra il secondo trimestre del 1982 e il secondo del 2002(ultima osservazione disponibile contenuta nel CD-Rom dell’OECD utilizzato).L’andamento nel tempo dei tre tassi di crescita del prodotto reale, , e ,USA JAP ITAè illustrato nella seguente figura–Figura 1.2 Tassi di crescita trimestrali del

` per i paragrafi - `` per evidenziare il testo in grassetto - `
` per andare a capo Ecco il testo formattato:

PIL reale degli USA, del Giappone e dell'Italia. Valori percentuali. La matrice ottenuta dai dati è: