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Econometria - i ritardi distribuiti Appunti scolastici Premium

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui ritardi distribuiti. Gli argomenti trattati sono i seguenti: lo schema a ritardi distribuiti, lo schema del Koyck, il modello delle attese adattive, la stima del modello del Koyck, il criterio di stima dei minimi quadrati non lineari, lo schema della Almon,... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo V – Modelli dinamici

2.4 La stima del modello del Koyck

~

Supponiamo che per i residui dello schema del Koyck valgano le ipotesi

u t

stocastiche standard sotto le quali è conveniente utilizzare lo stimatore dei minimi

quadrati ordinari. Questo stimatore, tuttavia, non può essere adoperato

direttamente poiché lo schema del Koyck non è lineare nei parametri: si vede

infatti dalla (2.2.3) che la variabile esplicativa è moltiplicata per un fattore nel

δ e . È allora necessario fare uso dello

quale sussistono contemporaneamente w

stimatore dei minimi quadrati non lineari, che illustreremo nel prossimo paragrafo,

oppure di quello della massima verosimiglianza, oppure ancora di una procedura

più semplice, basata sugli , che esponiamo di seguito.

OLS

Il metodo di stima della griglia

Riscriviamo lo schema del Koyck (2.2.4) nella forma

−u µ′ −u δx (2.4.1)

y = + w(y ) +

t t t−1 t−1 t

che diventa µ′ δx (2.4.2)

z = wz + +

t t−1 t

se poniamo − (2.4.3)

z = (y u )

t t t

La (2.4.2) è un'equazione alle differenze del primo ordine, con la specificità che la

µ′ δx

è stocastica è che il termine noto è funzione del tempo tramite

variabile z +

t t

l'esplicativa .

x t

Possiamo trovare, tuttavia, la soluzione generale dell'equazione alle differenze

(2.4.2) utilizzando la procedura basata sulle sostituzioni successive

µ′ δx

z = wz + +

1 0 1 2

µ′ δx µ′(1 δ(wx

z = wz + + = w z + + w) + + x )

2 1 2 0 1 2

3 2 2

µ′ δx µ′(1 δ(w

z = wz + + = w z + + w + w ) + x + wx + x )

3 2 3 0 1 2 3

per cui per un tempo generico si ha

t − t

1 w

µ′

= + + δ

t * (2.4.4)

z w z x w≠1

t 0 t

1 w

*

dove viene calcolata ricorsivamente, in funzione del parametro w

x t Pagina 2-10

Modulo V – Modelli dinamici

=

*

x x

1 1

= +

* *

x x wx

2 2 1

= +

* *

x x wx (2.4.5)

3 3 2

... = +

* *

x x wx −

1

t t t

data dalla (2.4.3) nella (2.4.4) si ottiene l'equazione

Sostituendo l'espressione per z t − t

1 w

µ′

= + + δ ⋅ +

t * (2.4.6)

y z w x u w≠1

t 0 t t

1 w µ δ

nella quale sussistono tre parametri incogniti, , e , in funzione delle tre

z 0

*

variabili , e , i cui valori sono noti per tutto il campione

w (1−w )/(1−w) x

t t t . È allora possibile suddividere l'intervallo

subordinatamente alla conoscenza di w griglia

nel quale è compreso il parametro in una di valori, ad esempio

(0,1) 6

=

ˆ

w 0

.

1

, 0

.

15

, 0

.

20

, ..., 0

. 95

e stimare la (2.4.6) con il criterio dei minimi quadrati ordinari per ognuno dei

µ δ

valori della griglia. Si scelgono infine le stime di , e corrispondono

ŵ z che

0

all'iterazione con devianza dei residui minima (ed anche viene di conseguenza

selezionato). Nel caso in cui il valore scelto sia quello vero valgono esattamente

le proprietà usuali degli , altrimenti gli errori standard effettivi delle stime ,

OLS ẑ 0

µ δ̂

ˆ e possono anche essere diversi da quelli stimati.

grid search

In lingua inglese la procedura è detta: .

6 Pagina 2-11

Modulo V – Modelli dinamici

2.5 Il criterio di stima dei minimi quadrati non lineari

Si è osservato nel paragrafo precedente che l'equazione del Koyck (2.2.3) è non

lineare nei parametri e quindi non può essere stimata con il criterio dei minimi

quadrati ordinari. Esponiamo allora il criterio dei minimi quadrati non lineari

7

(indicati con l'acronimo ) che permette appunto di ottenere con metodo

NLLS

iterativo degli stimatori per i parametri di tale equazione e delle altre non lineari.

In generale supponiamo che sia

u = h(y ,x ;a) (2.5.1)

t t t

funzione non lineare dei parametri ed il

come nella II-(1.3.5), con h a = [a ,a ,…,a ]′

1 2 h

vettore formato dai valori delle variabili esplicative al tempo . Il criterio dei

x k t

t

minimi quadrati consiste ancora nel minimizzare la funzione

n

n

∑ ∑

= =

2 2

S ( ) u [ h ( y , ; )]

a x a (2.5.2)

t t

t

= =

t

t 1 1

ma le equazioni normali che si ottengono imponendo le condizioni necessarie sono

generalmente non lineari, a seguito della non linearità della (2.5.1). Si può

sfruttare, allora, l'algoritmo iterativo di Gauss-Newton che linearizza il vettore dei

residui intorno al valore ottenuto nell’iterazione precedente tramite lo sviluppo

u a

in serie di Taylor troncato al secondo termine

j j j + 1 j j + 1

−a (2.5.3)

u(a ) = G (a ) + u(a )

j ha per elemento generico la quantità

dove la matrice G ⎤

⎡ ∂

u (a )

= −

j t

g ⎥

⎢ (2.5.4)

ti ∂

a ⎦

⎣ i j

=

a a

i i

j

Data la forma di , che si determina all'inizio, nell’iterazione -esima l'algoritmo

G j

j

procede nel seguente modo: il vettore di parametri è calcolato nell’iterazione

a

j

precedente e quindi è noto, così come nota dalla (2.5.4); tramite la regressione

G

j + 1 j j + 1

−a

lineare (2.5.3) si calcola il vettore e quindi minimizzando la (2.5.2)

(a ) a

nella quale ora è lineare nei parametri.

u t 0 possono essere valutati soggettivamente,

Nella prima iterazione i parametri a

ad esempio pari a zero, oppure stimati mediante un altro criterio. L'algoritmo si

arresta o dopo un numero prefissato di iterazioni, oppure quando i valori dei

parametri si scostano meno di una soglia determinata preliminarmente e

soggettivamente dai valori dell’iterazione precedente.

Non linear least squar

e s

, in lingua inglese.

7 Pagina 2-12

Modulo V – Modelli dinamici

È di un certo interesse applicare questo algoritmo al modello lineare II-(1.3.1)

β

ed analizzare i risultati dell'applicazione. Il vettore dei parametri è e le

a = [β ]′

1 2

derivate (2.5.4) sono ∂ ∂

u

u = =

− −

t t

1 x

, t

β ∂

β

1 2

j

, per cui la matrice è

per ogni t G ′

⎡ 1 1 ... 1

=

G ⎥⎦

⎢ x x ... x

⎣ 1 2 n

0 β β

0 02

Ponendo uguale a zero i valori iniziali per cui è

a = [ ]′ = [0 0]′

1

0 − β − β

0 02

u (a ) = y x = y

t t t t

1

la (2.5.3) diventa nella prima iterazione

0 j 1 0 1

−a

u(a ) = G (a ) + u(a )

cioè 1 1

y = Ga + u(a )

dalla quale si traggono le stime dei minimi quadrati

⎡ ⎤

β

11 ′ ′

−1

= (

G G ) G y

⎢ ⎥

β

1

⎣ ⎦

2

uguali a quelle trovate nel paragrafo II-1.3. È stata sufficiente una sola iterazione

per addivenire a queste stime. Pagina 2-13

Modulo V – Modelli dinamici

2.6 Lo schema della Almon

Un ulteriore metodo per diminuire la numerosità dei parametri in uno schema a

ritardi distribuiti è dovuta alla Almon (1965), che considerò lo schema a ritardi

δ

distribuiti con finito (2.1.1) ed impose ai parametri di essere uguali a

m α

particolare polinomi nei nuovi coefficienti

2 r

δ α α α α (2.6.1)

= + j + j + … + j j = 0, 1,…, m , r<m

j 0 1 2 r

ben inferiore ad si diminuisce notevolmente il numero dei

Scegliendo un grado r m

parametri, che con la trasformazione (2.6.1) si riducono ad . Si ha, infatti, che

r + 2

δ α

=

0 0

δ α α α

= + + … +

1 0 1 r r

δ α α

= + 2α + 4α + … + 2

2 0 1 2 r

… 2 r

δ α α α

= + mα + m + … + m

m 0 1 2 r

δ α

cioè gli parametri sono espressi mediante gli coefficienti e quindi

m + 1 r + 1 8

µ α

l'equazione (2.1.1) viene a contenere il termine noto più le .

r + 1

Esempio 2.1 - Sia lo schema a ritardi distribuiti di ordine m = 3

µ δ δ δ δ

y = + x + x + x + x + u

t 0 t 1 t−1 2 t−2 3 t−3 t

e lo si voglia trasformare tramite le restrizioni della Almon con ; è

r = 3

δ α δ α α α δ α δ α

= , = + + , = + 2α + 4α , = + 3α + 9α

0 0 1 0 1 2 2 0 1 2 3 0 1 2

per cui, sostituendo, si ottiene

µ α α α

y = + (x + x + x + x ) + (x + 2x + 3x ) + (x +

t 0 t t−1 t−2 t−3 1 t−1 t−2 t−3 2 t−1

+ 9x ) + u

4x t−2 t−3 t

contenente 4 parametri al posto dei 5 iniziali. Si osservi come le variabili

esplicative dello schema della Almon siano ottenute come combinazioni lineari

dell'esplicativa originale, corrente e ritardata fino a 3 tempi.

Anche il modello della Almon, come quello del Koyck, può essere reso meno

rigido facendo partire lo schema a ritardi distribuiti dopo unità temporali; in

b

questo caso esso diventa (2.6.2)

m

= µ + δ +

y x u

t j t j t

=

j b PDL

Polynomial Distributed Lag

Lo schema della Almon è detto in lingua inglese: ( ).

8 Pagina 2-14

Modulo V – Modelli dinamici

e torna ad essere uguale al (2.1.1) per .

b = 0

D'altro canto anche lo schema della Almon impone una precisa conformazione

sulla ; è l'andamento illustrato nella figura 2.1

alla dinamica dell'impatto della x y

t t

che non necessariamente coincide con la realtà economica. Si noti, in tale figura,

δ δ δ

che e che .

r = 6 = = = 0

−2 −1 7 δ r =

Figura 2.1 - Distribuzione dei coefficienti assoggettata ad uno schema della Almon c

o n

6 . L’imposizione, a fini modellistici, di tale conformazione costituisce un notevole

difetto dello schema, che soltanto in parte viene mitigato dal fatto che questo può

iniziare ad un ritardo qualsiasi e non necessariamente in quello nullo.

b

Talvolta può essere utile condizionare lo schema vincolandolo ad assumere

valori nulli prima che esso inizi e dopo che esso è concluso: si impone, cioè, che sia

δ δ , come nel caso illustrato dalla figura 2.1.

= = 0

−1 m + 1

La stima del modello della Almon

Se i parametri ed sono scelti correttamente, la stima dell'equazione (2.1.1)

m r

condizionata dai vincoli (2.6.1) può essere effettuata con il criterio dei minimi

quadrati ordinari sotto le ipotesi stocastiche standard. Per applicare tale criterio

osserviamo che le equazioni (2.6.1) possono essere scritte nella forma matriciale

d = Ga (2.6.3)

dove , e è la seguente matrice di potenze

d = [δ ,δ ,…,δ ]′ a = [α ,α ,…,α ]′ G

0 1 m 0 1 r

⎡ ⎤

0 1 r

0 0 ... 0

⎢ ⎥

0 1 r

1 1 ... 1 (2.6.4)

⎢ ⎥

=

G ⎢ ⎥

... ... ... ...

⎢ ⎥

0 1 r

⎢ ⎥

m m ... m

⎣ ⎦

di ordine , detta di Van der Monde. Sostituendo nella forma

(m×1)×(r + 1) d

matriciale della (2.1.1) che scriviamo nel modo usuale

µi (2.6.5)

y = + Xd + u

dove è stata tenuta separata la costante dalle variabili esplicative, otteniamo

µi (2.6.6)

y = + XGa + u

immediatamente stimabile con il criterio dei minimi quadrati ordinari. , stimando

Alternativamente, si può evitare di effettuare la sostituzione di d

direttamente la (2.6.5) con il vincolo costituito dalla (2.6.3); allora, al fine di

Pagina 2-15

Modulo V – Modelli dinamici

utilizzare il criterio dei minimi quadrati vincolati si può trasformare il vincolo

(2.6.3) nella forma standard !? osservando che dalla (2.6.3) si trae

G′d = G′Ga

cioè −1

a = (G′G) G′d

che sostituita nella (2.6.3) produce −1

[I− G(G′G) G′]d = 0

della forma, appunto, !?.

La scelta della lunghezza dei polinomi a ritardi distribuiti

Se i parametri ed non sono quelli appropriati gli stimatori dei coefficienti

m r d

sono distorti e vi è una estesa letteratura volta sia a stabilire criteri per scegliere

correttamente ed , sia ad individuare le conseguenze di valori ed non giusti

m r m r

sugli stimatori .

d

Molti criteri di selezione si basano sulla stima di diversi modelli che differiscono

ed e sulla scelta di quello che ottimizza un

per i valori dati ai parametri m r

particolare indicatore, generalmente penalizzato in funzione dell’ingrandirsi di m

ed . Un semplice tipo di questi indicatori è fornito dal coefficiente di

r 9

2

determinazione corretto , che appunto decresce quando aumenta il numero dei

R c

parametri da stimare.

I criteri di Akaike e di Schwa r

z

Due altri indicatori raccomandati in letteratura per la selezione del modello sono

dovuti ad Akaike (1972) ed a Schwarz (1978): con il primo, indicato con l'acronimo

10 , si sceglie il modello per il quale è minima la quantità

AIC 2 (2.6.7)

AIC = n⋅ln(1−R ) + 2k

è il numero dei regressori e quello delle osservazioni; con il secondo,

dove k n

indicato con , si minimizza l'indicatore

BIC 2 (2.6.8)

BIC = n⋅ln(1−R ) + k⋅lnn

Consigliato da Schmidt e Waud (1973).

9 =

AIC Automatic Information Criterion; è stato sviluppato dall'Akaike nell'ambito della

10

minimizzazione della verosimiglianza invece che in è quello della minimizzazione della

=

BIC Bayesian Inf

o rmation Criterion ; sviluppato dallo Schwarz

devianza dei residui. AIC e

nell'ambito di una procedura di selezione bayesiana. Si noti che le formulazioni di

BIC sono svariate. Pagina 2-16

Modulo V – Modelli dinamici Pagina 2-17

Modulo V – Modelli dinamici

2.7 Lo schema dello Schiller

Lo Schiller (1973) modificò lo schema della Almon notando che se si applica una

δ

differenza -esima al coefficiente espresso mediante il polinomio di grado della

d r

j

(2.6.1) il risultato è zero, per cui gli vincoli lineari di queste relazioni implicano

m

che r + 1 δ (2.7.1)

(1−L) j = r + 1,r + 2,…,m

j δ i seguenti vincoli di

Partendo da questa osservazione, impose ai parametri j

carattere stocastico d δ ε

(1−L) = j = 0,1,2,…,m

j j δ

è l'ordine di una differenza che opera sui , da determinare

dove d j

~

ε

soggettivamente, e gli sono variabili aleatorie indipendenti, ugualmente

j

distribuite e tali che ~

~ ε = σ ∀j

2

ε = Var ( )

, ,

( ) 0

E j j

j

δ non è deterministico, come nello schema della Almon, ma è

Così ogni parametro j

aleatoria lungo la distribuzione dei ritardi, di modo che lo schema dello Schiller

impone ai parametri una conformazione meno stringente rispetto a quella della

Almon.

Lo Schiller (1973) dimostrò che se è la matrice dei vincoli che derivano dalle

R

(2.7.1) e se poniamo =< σ σ σ >

2 22 2

V ...

1 m δ δ δ

, lo stimatore dei minimi quadrati di = [ ]′,

matrice diagonale di ordine m d …

0 1 m

vincolata al rispetto della (2.7.1), sotto le ipotesi standard, è

11

′ ′ ′

− −

= + σ (2.7.2)

2 1 1

d ( X X R V R ) X y ) vale

A titolo di esempio mostriamo che la differenza terza (con d = 3

− = − + −

3 2 3 e la matrice corrispondente, con ed , è

(

1 L ) (

1 3 L 3 L L ) R m = 4 r = 7

− −

⎡ ⎤

1 3 3 1 0 0 0

⎢ ⎥

− −

0 1 3 3 1 0 0

⎢ ⎥

=

R ⎢ ⎥

− −

0 0 1 3 3 1 0

⎢ ⎥

− −

0 0 0 1 3 3 1

⎣ ⎦

Lo Schiller opera in ambito statistico bayesiano e chiama le trasformazioni (2.7.1)

11 Smoothness P

r

ior

“distribuzioni iniziali di livellamento”; in lingua inglese “ ”, da cui

SP per indicare lo stimatore relativo.

l'acronimo Pagina 2-18


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui ritardi distribuiti. Gli argomenti trattati sono i seguenti: lo schema a ritardi distribuiti, lo schema del Koyck, il modello delle attese adattive, la stima del modello del Koyck, il criterio di stima dei minimi quadrati non lineari, lo schema della Almon, lo schema dello Schiller.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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