Econometria - i ritardi distribuiti

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo V – Modelli dinamici

2. RITARDI DISTRIBUITI

Indice del capitolo

2.1 Lo schema a ritardi distribuiti .................................................................................... 2

I mol t iplicatori ....................................................................................................... 2

Schemi parsimoniosi ............................................................................................. 3

Il a modello funzione di trasferimento ................................................................. 5

Il modello ARMAX................................................................................................. 6

2.2 Lo schema del Koyck.................................................................................................... 7

Il caso di due variabili esplica

t iv e ........................................................................ 8

2.3 Il modello delle attese adattive ................................................................................... 9

2.4 La stima del modello del Koyck ................................................................................ 10

Il me t

od

o di stima della g

r

iglia .......................................................................... 10

2.5 Il criterio di stima dei minimi quadrati non lineari ................................................ 12

2.6 Lo schema della Almon.............................................................................................. 14

La stima del m

o dello della Almon ...................................................................... 15

La scelta della lunghezza dei polinomi a ritardi distribuiti ............................. 16

I criteri di Akaik

e e di Schwarz.......................................................................... 16

2.7 Lo schema dello Schiller ............................................................................................ 18

2.8 Bibliografia ................................................................................................................. 20

03/03/2005, 5.14 Edizione 2.1

Modulo V – Modelli dinamici

2.1 Lo schema a ritardi distribuiti

Quando l’effetto che una esplicativa produce su un’endogena non si esaurisce

x y

t t

tutto al tempo ma si distribuisce nel tempo è possibile rappresentarlo

t schema a ritardi distribuiti

efficacemente mediante lo

µ δ δ δ (2.1.1)

y = + x + x + … + x + u

t 0 t 1 t−1 m t−m t

è un residuo aleatorio sul quale si possono fare svariate ipotesi stocastiche.

dove u t

Il ritardo massimo può essere finito o infinito; questo secondo caso è già stato

m

esemplificato, nella situazione deterministica, dalla (I-2.6.4), che mostrava come il

tasso di inflazione atteso, in uno schema adattivo, dipenda da tutti gli infiniti tassi

di inflazione misurati in passato. Usando la terminologia introdotta in questo

capitolo potremo dire che le attese adattive (in particolare, di inflazione) sono un

ritardo distribuito infinito

particolare dei valori storici della variabile rispetto alla

quale le attese stesse vengono definite.

la (2.1.1) può essere scritta nella forma

Utilizzando l'operatore L 2 m

µ δ δ δ (2.1.2)

y = + (δ + L + L + … + L ) x + u

t 0 1 2 m t t

ovvero nell'altra, ancora più sintetica,

µ δ(L)x (2.1.3)

y = + + u

t t t

dove si è posto 2 m

δ(L) δ δ δ δ (2.1.4)

= + L + L + … + L

0 1 2 m

nell'operatore .

polinomio di grado m L è rappresentata per mezzo di più di una

Ovviamente, se la dinamica di y t δ(L)x

variabile esplicativa vengono utilizzati più elementi del tipo ; così nel caso di

t

due esplicative e si ottiene il modello, sempre detto a ritardi distribuiti,

x x

1t 2t µ δ δ (2.1.5)

y = + (L)x + (L)x + u

t 1 1t 2 2t t

δ δ

e polinomi del tipo (2.1.4) di grado ed rispettivamente; la

con (L) (L) m m

1 2 1 2

generalizzazione al caso di tre o più variabili esplicative è intuitiva.

I moltiplica

t

ori δ

L'effetto della variabile su di è misurato, per i vari ritardi, dai coefficienti ;

x y

t t

così ∂

y

δ = t

0 ∂

x t moltiplicatore

indica l'effetto immediato che svolge su ed è pertanto chiamato

x y

t t τ

d’impatto ; l'effetto prodotto, invece, con un ritardo è dato dal parametro Pagina 2-2

Modulo V – Modelli dinamici

∂

y

δ = τ

t = 1,2,…,m

τ ∂

x − τ

t

moltiplicatore ad interim

detto , e la sua somma parziale da ad costituisce un

0 r<m

moltiplicatore intermedio . Sommando tutti i moltiplicatori ad interim si ottiene il

moltiplicatore totale m

∑ δ τ

τ = 0

che misura l'effetto complessivo della , per tutti i suoi ritardi, sull'endogena .

x y

t t

In modelli lineari come il (2.1.1) e le sue generalizzazioni i moltiplicatori,

τ = 0, …,

definiti in termini generali come derivata dell’endogena rispetto al ritardo

τ

m m

dell’esogena, coincidono semplicemente con i coefficienti dei ritardi = 0, …,

dell’esogena stessa. Moltiplicando questi coefficienti per l’incremento dell’esogena

τ

si ottiene il corrispondente incremento dell’endogena dopo intervalli temporali (da

moltiplicatore

cui il termine ). Si noti che in modelli non lineari viene a cadere sia

l’identificazione fra coefficienti e moltiplicatori, sia il carattere globale del

moltiplicatore (nel senso che in questo caso a rigore si dovranno considerare solo

incrementi infinitesimi delle esogene).

Osservazione 2.1 - Può accadere che il moltiplicatore totale valga zero,

δ

pur essendo i vari parametri tutti statisticamente ben differenti

τ

dall'essere nulli. In tale caso in termini statistici lo schema a ritardi

distribuiti è significativo ma in termini economici l'impatto della

variabile esplicativa sull'endogena è nullo nel lungo periodo.

Schemi parsimoniosi

Se il ritardo massimo è grande, oppure se il modello contempla più variabili

m

esplicative, ciascuna con il suo schema dinamico, può sussistere nell'equazione un

numero di parametri molto grande che fa abbassare notevolmente il numero dei

gradi di libertà. La stima dell'equazione diventa pertanto difficile, ed anche

impossibile se è infinito.

m

Sono state pertanto formulate delle restrizione sui parametri tali da

diminuirne, anche notevolmente, il numero.

Queste restrizioni possono essere più o meno forti, ma in ogni caso vincolano la

forma dello schema a ritardi distribuiti che non è più perfettamente libero di

δ che presentiamo:

adeguarsi ai dati. Tre sono i tipi di restrizioni sui parametri

quella razionale, che illustriamo di seguito, quella della Almon, nel paragrafo 2.6, e

quella dello Shiller, nel successivo 2.7. Pagina 2-3

Modulo V – Modelli dinamici δ(L) polinomio

Il primo esempio di vincolo, dunque, consiste nel sostituire a il

ω(L)/ψ(L)

razionale costituito dal rapporto dei due polinomi

2 r

ω(L) ω ω ω ω (2.1.6)

= + L + L + … + L

0 1 2 r

2 s

ψ(L) − ψ − ψ − ψ (2.1.7)

= 1 L L + … L

1 2 s

ed rispettivamente. Poiché in generale si riesce ad approssimare bene

di ordine r s

δ(L) ω(L)/ψ(L)

il polinomio mediante il rapporto caratterizzato dalla somma r + s

sensibilmente più piccola di , la sostituzione dell'equazione (2.1.3) con l'altra

m ω

( L ) +

= µ +

y x u (2.1.8)

t t t

ψ ( L )

permette di risolvere egregiamente i problemi di stima dei parametri senza

deteriorare percettibilmente la relazione dinamica esistente tra l’esplicativa e

x t

a ritardi distribuiti razionali

l’endogena . Lo schema (2.1.8), detto , è un caso

y 1

t modello a funzione di trasferimento

particolare di , che descriveremo tra breve.

2

ψ(L)

Moltiplicando per i due membri della (2.1.8) si ottiene

2 s

− ψ − ψ ψ (2.1.9)

(1 L L + …− L ) y =

1 2 s t 2 r 2 s

ω ω ω − ψ − ψ − ψ

µ′ + L + L + … + L ) x + (1 L L + … L ) u

= + (ω

0 1 2 r t 1 2 s t

con µ′ −ψ

= (1−ψ + …−ψ )µ

1 2 s

Nella (2.1.9) l’endogena viene moltiplicata per un polinomio in di grado ,

y L s

t

per cui essa è presente con il valore corrente, e con i valori ritardati fino all' -

y , s

t autoregressivo di ordine

esimo: questa configurazione è detta schema ed è

s

3

indicata con l'acronimo .