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Modello a funzione di trasferimento
L'equazione del modello a funzione di trasferimento è:
L(L) = µ + ε + yx(2.1.13)t t tϕψ
Questa equazione contiene una sola variabile esplicativa. Nel caso in cui le variabili esplicative siano la generalizzazione è immediata:
ω ϑ(L) (2.1.14)k (L)∑ = µ + ε + εi xy t it tψ ϕ(L) (L) = 1i iω ψe polinomi del tipo (2.1.6) e (2.1.7), di ordine appropriato e funzioni con (L) (L)i idell'indice.
Osservazione 2.3 - Il modello a funzione di trasferimento (2.1.13) può essere razionalizzato moltiplicando i due membri per il minimo comune denominatore ψ(L)⋅ϕ(L) ψ(L). A seguito degli ordini dei due polinomi eϕ(L) l'endogena viene ad essere moltiplicata per uno schema AR(s + p)tε ed il residuo per uno schema MA(s + q)t. La razionalizzazione del modello (2.1.14) è immediata.
Osservazione 2.4 - L'esistenza di uno schema sui residui può essere dovuta a molteplici ragioni; è ad esempio motivata dagli errori di misura.
Studiato nei dettagli da Box e Jenkins (1970).
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Modulo V - Modelli dinamici
Il modello ARMAX
Un caso particolare molto utilizzato di modello a funzione di trasferimento nella forma più generale (2.1.14) si ha ponendo in questa per tutte le , per cui(L) = 1 iiϑk ( L )∑= µ + ω ⋅ + εy ( L ) x (2.1.15)t i it tϕ( L )=1i in quanto possiede uno schema sui residui
Questo modello è detto ARMAX ARMAωpiù variabili esplicative ciascuna moltiplicata per un polinomio di gradok (L)5 iappropriato, funzione di .i X ARMAXExplanato ry
In lingua inglese: ; da cui la di .5 Pagina 2-6Modulo V - Modelli dinamici
2.2 Lo schema del Koyck
Se nella (2.1.1) il numero dei ritardi è infinito si ottiene lo schema∞ (2.2.1)∑= µ + δ +y x u−t j t j t=
0jchiaramente non stimabile senza porre dei vincoli sui parametri. Una forma moltousata di restrizione è costituita dalla imposizionejδ δ⋅w (2.2.2)= 0 della (2.2.3) per 1−wLµ′ δx − (2.2.4)y = + wy + + u wut t−1 t t t−1µ′ . Si noti che questa relazione è stata ottenuta senza far ricorsocon = (1−w)µall'algoritmo della somma degli infiniti termini di una progressione geometrica, chequindi non è necessario per la definizione dello schema del Koyck.Questo modello gode del pregio di sostituire agli infiniti parametri della (2.2.1) iµ δsoli tre parametri , e della (2.2.4); d'altro canto esso impone una precisaw xconfigurazione di impatto dinamico della sulla , basata su di un effettoyt tmonotonamente decrescente, come si ricava dalla (2.2.2) che impone ai coefficientiδ di essere costantemente decrescenti. Dunque si obbligano i parametri ajsoddisfare ad un vincolo di carattere matematico per rendere lo schema a ritardidistribuiti infiniti (2.2.1) trattabile dal punto di vista statistico, al prezzo, però, diximporre una Configurazione di impatto dinamico della sulla che non è affattoyt tdetto corrisponda alla realtà economica. Pagina 2-7 Modulo V – Modelli dinamici Osservazione 2.5 - Una maggiore flessibilità nello schema del Koyck viene ottenuta permettendo allo schema a ritardi distribuiti infiniti di iniziare con un ritardo di unità temporali, con fatto dipendere dai dati del campione. In questo caso la (2.2.3) diventa δ= µ + +y x u (2.2.5)−t t b t−1 w Le la (2.2.4) si modifica di conseguenza. Il caso di due variabili esplicative È di un certo interesse applicativo esaminare lo schema del Koyck quando è seguito da due variabili esplicative. La (2.2.1) diventa, allora, ∞ ∞∑ ∑= µ + δ + γ +y x z u (2.2.6)− −t j t j j t j t= =0 0j j che sottoponiamo alle due restrizioni seguenti δ = δ ⋅ γ = γ ⋅j jw w, , 0<w <1 , 0<w <1 , j = 0,1,2,…1 2j j1 Si ottiene lo schema del Koyck con due variabili esplicative δ γ= µ + + +y x z u (2.2.7)t t t t− −1 1w L w L1 2 che è ancora un caso particolare del modello a funzione di trasferimento (2.1.14). Razionalizzando la (2.2.7), cioè moltiplicando i suoi due membri per, si osserva che sull'endogena viene a sussistere uno schema (1−w L)(1−w L) y1 2 te sul residuo uno . AR(2) u MA(2)t Pagina 2-8 Modulo V – Modelli dinamici 2.3 Il modello delle attese adattive Lo schema di attese adattive è stato già esposto nel paragrafo I-(2.6) e commentato nel caso dell'applicazione all'inflazione; in relazione alla generica variabile attesa e, tale schema vige nella forma x t − = − λ − ≤ λ ≤ (2.3.1) e e e ex x (1 )( x x ) 0 1− −t t 1 t t 1 e si ottiene Risolvendo la (2.3.1) rispetto alla x t − λ(1 ) (2.3.2)=ex xt t− λ(1 L )e è inserita in un valori sono noti per tutto il campione w (1-w)/(1-w) xt t t. È allora possibile suddividere l'intervallo subordinatamente alla conoscenza di w griglia nel quale è compreso il parametro in una di valori, ad esempio (0,1) 6=ˆw 0.1, 0.15, 0.20, ..., 0. 95 e stimare la (2.4.6) con il criterio dei minimi quadrati ordinari per ognuno dei µ δvalori della griglia. Si scelgono infine le stime di θ, e corrispondono ŵ z che all'iterazione con devianza d.
Osservazione 2.6 - Applicando alla (2.3.2) il procedimento iterativo che ha condotto alla formulazione I-(2.6.4) si ottiene∞ (2.3.5)∑= − λ λe jx (1 ) x −t t j= 0j che esprime la variabile attesa con uno schema adattivo tramite una combinazione lineare di tutti i valori contemporanei e passati della xt ponderati con pesi che decadono geometricamente. Pagina 2-9
Modulo V – Modelli dinamici
2.4 La stima del modello del Koyck~
Supponiamo che per i residui dello schema del Koyck valgano le ipotesi stocastiche standard sotto le quali è conveniente utilizzare lo stimatore dei minimi quadrati ordinari. Questo stimatore, tuttavia, non può essere adoperato direttamente poiché lo schemadel Koyck non è lineare nei parametri: si vede infatti dalla (2.2.3) che la variabile esplicativa è moltiplicata per un fattore nel Δe. È allora necessario fare uso dello quale sussistono contemporaneamente wstimatore dei minimi quadrati non lineari, che illustreremo nel prossimo paragrafo, oppure di quello della massima verosimiglianza, oppure ancora di una procedura più semplice, basata sugli , che esponiamo di seguito.
OLS
Il metodo di stima della griglia
Riscriviamo lo schema del Koyck (2.2.4) nella forma
-u μ' -u δx (2.4.1)
y = + w(y ) +t t t-1 t-1 t
che diventa μ' δx (2.4.2)
z = wz + +t t-1 t
se poniamo - (2.4.3)
z = (y u )t t t
La (2.4.2) è un'equazione alle differenze del primo ordine, con la specificità che la μ' δx è stocastica è che il termine noto è funzione del tempo tramite variabile z +t tl'esplicativa .x t
Possiamo trovare,tuttavia, la soluzione generale dell'equazione alle differenze(2.4.2) utilizzando la procedura basata sulle sostituzioni successive è:
µ′ δxz = wz + +1 0 1 2
µ′ δx µ′(1 δ(wxz = wz + + = w z + + w) + + x )2 1 2 0 1 23 2 2
µ′ δx µ′(1 δ(wz = wz + + = w z + + w + w ) + x + wx + x )3 2 3 0 1 2 3
per cui per un tempo generico si ha:
− t1 wµ′= + + δt * (2.4.4)z w z x w≠1t 0 t−1 w*
dove viene calcolata ricorsivamente, in funzione del parametro wx t Pagina 2-10Modulo V – Modelli dinamici:
*x x1 1= +* *x x wx2 2 1= +* *x x wx (2.4.5)3 3 2... = +* *x x wx −1t t t
data dalla (2.4.3) nella (2.4.4) si ottiene l'equazione:
Sostituendo l'espressione per z t − t1 wµ′= + + δ ⋅ +t * (2.4.6)y z w x u w≠1t 0 t t−1 w µ &delta*
nella quale sussistono tre parametri incogniti, , e , in funzione delle trez 0*variabili , e , i cui
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