Riassunti econometria

I PARTE ECONOMETRIA

DIMOSTRAZIONE CHE LO STIMATORE OLS DEL VAR SI RIDUCE ALLO STIMATORE OLS

EQUAZIONE PER EQUAZIONE

′ →

= +

Consideriamo il modello: e trasformiamolo in un modello di regressione univariato da cui

′

() = ( + ). ′ )

() = ( + ().

Applico la proprietà di linearità ′ ∗ ∗ ∗ ∗

→

( )

() = ⊗ )( + () = +

Applico la proprietà del prodotto da cui

(Modello di regressione lineare univariato in forma compatta)

• ∗ ∗

̂

= ⊗ ) =

Stimo i parametri con OLS: Se =( ha rango pieno allora lo stimatore

−

′

∗ ∗ ∗ ∗

′

( ) , quindi lo stimatore OLS fatto equazione per equazione.

−1

′ ′

0 ⋯ 0

0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 1.

′ ′

0 ⋯ 0

0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 2.

∗

̂ = ([ ][ ]) [ ][ ]

⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

′ ′

0 0 ⋯

0 0 ⋯ 0 0 ⋯ .

−1 ′ ′ −1 ′

′ (

( ) ̂

) 0 ⋯ 0 1. 1. 1

′

′ ′ −1 ′ ̂

(

0 ) ⋯ 0 ( ) 2 ′ −

2.

→[ → →

2 (

̂

̂ = ) ′

] [ ] [ ]= dove

⋮

⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

′

′ ′ −1 ′ ̂

(

0 0 ⋯ ) ( )

[ ]

.

Ottengo lo stesso risultato con il prodotto di Kroneker:

∗

= ⊗

Ricorda

−

′

∗ ∗ ∗ ∗′ ∗ ′ − ′ ∗ ′ − ′ ∗

→ →

[( [(

( ( )( ( )

̂

= ⊗ ) ⊗ )] ⊗ ) ⊗ ⊗ )] ⊗

( ) =

′ − ′ ∗ →

[( ( )

⊗ )] ⊗

.

.

′ − ′ ∗ ′ − ′ ∗ ′ − ′

→ →

(

[( ⊗ ) ]( ⊗ ) [ ⊗ ) ⊗ )

(( )] (( )] [ ]

[ =

⋮

.

′ −1 ′

′ −1 (

( ) ̂

) ′ 0 ⋯ 0 1. 1. 1

′ −1 ′ −1 ′

̂

( (

0 ) ′ ⋯ 0 ) .

2. 2 ∗

2 ̂

[ ] [ ]= [ ]=

=

⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

′ −1 ′ −1 ′ ̂

( (

0 0 ⋯ ) ′ )

[ ]

.

.

DIMOSTRAZIONE CHE LO STIMATORE GLS DEL VAR SI RIDUCE ALLO STIMATORE OLS

1

2

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ … )

= + = ( = ( )

con ⋮

1. 2. .

−1

′ ′

∗ ∗ −1 ∗ ∗ −1 ∗ ∗ ∗ ∗

)

̂ = = ( = ( ′)

( ) ( ) dove

′

| ] | ] | ]

[ = 0 , [ = [ = Λ

Vogliamo ricavare : Le ipotesi alla base del modello sono: −1 −1 −1

(omoschedasticità)

Implicazioni:

| ] | ]

[ = [ =

1) 2

−1 −1

| ]

[ , = [ , =

| ]

2) −1 −1

′

| ]

[ , = 0 , <

3) ′ −1 →

| ] ]

[ = [ =

Se −1

1

2

.′ [ …

′

∗ [ . ])

( [ = =

] ([ ]

Consideriamo ), il cui generico blocco è ] quindi 1 2

⋮

0 ⋯ 0

…

1 1 1 2 1

⋯ 0 ⋯ 0

2 1 2 2 2

′

[ = [ = =

] ]

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ . . ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ 0 0 0

[ ]

1 2

.

∗ ∗ )

( = Λ ⊗ = Ω

Da qui trovo la matrice di varianza-covarianza di che è uguale a e quindi non sferica

2

(Ω ≠ ) questo significa che lo stimatore OLS potrebbe non essere sufficiente, per cui bisogna

∗

Ω = Λ ⊗ = ⊗

considerare lo stimatore GLS le cui proprietà sono: 1) e 2)

̂

Vedo se riesco a calcolare esplicitamente

′ −1 −1 ′ −1 ∗ ′ −1

→[(

[( )(Λ ) ( ( )(Λ ) )(Λ )(

̂ = ⊗ ⊗ ⊗ )] ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

−1 ′ −1 ∗ −1 ′ −1 −1 ′ ∗ ′ −1 −1 ′ ∗

→ → →

[Λ [Λ ](Λ

( )(Λ ) (Λ ) ( )

)] ⊗ ⊗ ⊗ ] ⊗ ⊗ ) ⊗

′ −1 ′ ∗ →

[ ]

(

⊗ )

′ −1 ′

′ −1 ′ (

( ) ̂

) 0 ⋯ 0 1. 1. 1

′ −1 ′ ′ −1 ′ ̂

( (

0 ) ⋯ 0 )

2. 2

2.

= = = ̂

[ ][ ] ( )

⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

′ −1 ′ ′ −1 ′

̂

( (

0 0 … ) )

[ ]

.

.

Consegue il fatto che lo stimatore GLS coincide con lo stimatore OLS.

STIMA DI = +

Λ, { }→

Poiché non è osservabile occorre stimare e dunque dobbiamo usare i residui:

̂

̂ ≔ − ̂

1 1

̂ ̂ ′̂ ̂

=1

∑

Λ ≔ ̂ ̂′ = ≔ − ̂′

Definiamo lo stimatore con

− −

̂

Λ

Proprietà di :

1 1 1

̂ =1 =1 =1

′

∑ ∑ ∑

)

Λ = ̂ ̂′ = ( − ̂ )( − ̂ = ( − ̂ )(′ − ′ ̂′) =

− − −

1 1 1

̂

=1 =1

′ ′ ′ ′ ′

′

∑ ∑ (∑ )̂

( ′ − ̂′ − ̂ + ̂ )→ = ′ − −

=1

− − −

1 1 1 1 1 1

=1 =1

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

∑ ∑

̂ + ̂ ̂ = − ̂ − ̂ + ̂( )̂′

− − − − − −

Notiamo che:

′ ′ ′ −1

̂′ = ( ) ′

′ ′ ′ −1 →

̂ = ( ) ′ vediamo che compaiono le stesse quantità

′ ′ ′ −1 ′ ′ −1 ′

(

̂( )̂′ = ( ) )( )

1 1 1 1 1

′ ′ ′ −1 ′ ′ ′ −1 ′ ′

∑ [ ] [

̂ ̂′ = − ( ) = − ( ) = −

Quindi:

=1

− − − − −

1

]

= ′

−

sono matrici di proiezione: sono SIMMETRICHE, sono INDIEPENDENTI e sono ORTOGONALI tra loro

( )

= + = + dove la prima quantità è la matrice var-cov dei valori stimati e la seconda

quantità sono i residui

STIMA DEL VAR CON IL METODO DEI MOMENTI

| )

= + ( = 0

con

−1 −1 ′ ′

→ → ) )

′ ′ = ′ + ′ ( = ( +

Post-moltiplico per passo ai valori attesi:

′ ′ ′

→ )

( ) ( = ( )

−1

′ ′ ′

→

) )(( ))

( = (

Se ha rango pieno possiamo scrivere

MM: in questo caso sostituiamo i valori attesi (non noti) con gli equivalenti valori campionari

−1

1 1

′ ′ ′ ′ −1

̂ = ∑ ( ∑ ) = ( ) = ̂

/

=1 =1

Stimatore ML (MASSIMAVEROSIMIGLIANZA)

= + ~(0, Λ) | ~( , Λ) |

, , a corrisponde la seguente funzione di log-

−1 −1

verosimiglianza:

1 =1 −1

∑

(, Λ) = − (2) − log|| − ( − )′Λ ( − )

2 2 2

,

Massimizzo rispetto a ovvero minimizziamo.

=1 =1 =1

′ −1 −1 −1

∑ ∑ ∑

( ) ( ) )

− Λ − = {Λ ( − )( − )′} {Λ [( − ̂

+

=

=1

−1 ′ ′ ′

∑

(̂ ) (̂ ) (̂ )

− ) ][( −

̂

+ − ) ]′} {Λ [( − ̂

+ − ) ][( − ̂ +

=

=1 =1

′ ′ −1 ′ −1 ′ −1

∑ ∑

(̂ )(

− ) ]} {Λ ( − ̂ − ̂) + Λ ( − ̂ ) (̂ − )′ + Λ (̂ −

=

=1 =1 =1 =1

−1 ′ −1 −1 ′

→

∑ ∑ ∑ ∑ (̂

) ( − ̂ )′ + Λ (̂ − ) (̂ − )′} {Λ ̂ ̂ ′ + Λ ̂ −

=1 =1

′ −1 −1 ′ ′

∑ ∑

(̂ (̂ (̂

) + Λ − ) ̂′ + Λ − ) − ) }

=1 →

∑ ̂ ′ = 0

Sappiamo che: i residui sono ortogonali

′

=1 =1 =1

−1 −1 −1 ′

∑ ∑ (̂ )(̂

( − )′Λ ( − ) {Λ ̂ ̂ + Λ − )(∑ − )′}

Quindi: = che è

= ̂

minima per (stimatore OLS) 1 =1

−1 ∑

(̂, Λ) = − 2 − log|Λ| − {Λ ̂ ̂′ }

La log-verosimiglianza diventa:

2 2 2

1 ̂

̂ =1

→ ∑

Λ Λ = ̂ ′

Il punto di MASSIMO rispetto a si ottiene per

La log-verosimiglianza massimizzata è:

1

̂