Appunti Econometria

chinaz.ee#--7zizrna

#

PROBLEMA

1 ECONOMICO

Per l'elasticità bene

di

della rispetto

domanda al

di

misurare proprio

esempio prezzo

consumo

un

)

f- elasticità diretta )

Q

la funzione di quantità

funzione f-

di :

produzione (

prezzi

è una = p

e \

/

'

quantita prezzo

Lj

Il

Eap = _ .

elasticità dev'

l' quantità

perche positiva

essere e

una

la domanda inclinata negativamente

di è

curva )

[

E c- geco sensibilità

elasticità reattività prezzi

da indicazioni domanda

della

sulla ai

: =

L quando

elevata domanda

la prezzi

molto

varia variano

se i

(per il di birra

di la

marchio

di

anche domanda

aumentando

esempio prezzo

poco

se un )

diminuisce

bene altro marchio

sposta

molto

quel

per si verso un

e

I l )

bassa ( domanda

quando

domanda

la i prezzi rigida

varia

se poco variano

MODELLO

2 ECONOMICO

↳ funzione domanda

traduce matematica

un' di

la

espressione

in

Ipotizziamo tra Q lineare

semplicità che la relazione sia

per :

p

e

Q-TIP )

b ( inclinata

di

perche

di domanda

la

0 negativamente

è

domanda

modello < curva

→

=

Dato elasticità

l'

tra

" il

" modello

ponte

costruire

modello

il un

possiamo :

e

.ly

µ scala

Eap = -

coeff retta

della

angolare variabile dipendente

Q

dove la

è Slope)

(

l'

esplicativa

P

e P Sa

^ D

domanda verticale

◦ ↑ 51

%

f- -

- - - -

-

{ sensibile

perfettamente la

Epa domanda

di

op 0

- curva non e a

= =

p •

- - -

-

-

- E

, 1

) variazioni

/ elastica

rigida prezzo

del

non ' a

a-

P l' equilibrio

equilibrio quando

di

prezzo è

: Ei

-

, a-

consumatori

I produttori che potere

hanno di

i mercato

continuano consumare pieno

a e ,

)

( l' completamente

monopolio consumatore

scaricano prezzo sul

aumento del

,

MONOPOLIO

= )

( tauer

consumatore

monopolista Price Maker price

:

: ; -

-

ÈÈa dell' consumatore

del

intero surplus

conoscere importante produttore sul mercato

il perche regala

e si

per

a .

P a

domanda la di domanda

E

orizzontale estremamente

→ :

◦ 00 o

→ curva

Poi

F ☐ dei

sensibile prezzi

variazioni

a

È

Perfetta

CONCORRENZA

=

( i

tecnologico

tante prodotto produttori praticano

imprese non

omogenea

piccole un

poco

À la bene

altrimenti diventa

domanda i produttori

suo nulla

prezzo ;

il

a

superiore non

per

, F tenderebbe

inferiori infinito situazione

domanda la

praticano altrimenti la ad

prezzi a e

, )

diventerebbe insostenibile produttore

il

per variabile

l' dipende

bene

domanda di

la

ma anche

il dal

descrivere →

per prezzo è unica

non

un

il

reddito beni

degli

monetario altri

prezzo

e

)

( + la

che lineare

detto relazione

non sia

è '

definizione di

( ) quantita

lei

+ e ?

medio

prezzo

( dall' abilità

dipende

vogliamo che

determinare salario caratteristiche

il da alcune

es

per e

. ,

)

?

individuale → misurarla

ma come

STATISTICO

3 Modello (

dell' funzionale

dovuta forma

Modello incertezza

tiene alla alle

modello

del

conto

che ,

)

variabili variabili

queste

di

misura

alla

omesse e

POI

atb

① = ↳ )

termine (

di disturbo osservato

/ va

errore non

= ;

variabile osservata misurata

proxy errore

non con

: / economiche

variabili

OSSERVAZIONI sulle

4 DATI i ai dati

vogliamo applicare modelli

tra

Distinguiamo variabili : )

(

storiche T

t

tempo

evolvono

serie 1

nel

: -

- .

.

. .

.

mm NÈ dimensione

i

cambiano (

tra individui

Sector del

-1

cross campione

:

- - .

. .

. , ✓

mmm

PIL di la

PIL valutare evoluzione

guardare

Es tempo

paese

posso nel

al sua

un e

-

. f-

PIL

storica T

1

serie :

= t

\ .

.

. .

, . " confrontarli

PIL

al

guardare "

di di

paesi

più

posso anno e

un

Sector Pili N

cross 1

= : i =

-

\ .

. .

, ,

, panel)

PIL ( variabili

variabili doppio indice

con

it =

ottengo bptout t

il

→ modello T

1

Qt a +

= - .

. . ,

.

,

1

I 1 variabili /

gli indicizzati

elementi sono

gli costanti parametri

altri sono ,

variabili distinte

le

ma loro in

volta

vengono a : )

'

osservate Pt

(

} quantita at

prezzo

es e

e

- .

)

( abbiamo osservazioni

cui

su } )

(

osservate es Vt

non errore

- .

stimabili

le costanti note

sono

invece ma

non

obiettivo stimatori ⇐

stimare i parametri con

: /

5 STIMATORE STIMA \

Ittero dati

statistico o )

(

AFFIDABILITÀ ipotesi

STIME

6 delle

delle prova

PREVISIONE

7 variabili di

sulle

fare

il previsione

usiamo interesse

modello per

bpt

Qt t T

ES Ut 1

→

a →

= -

. .

.

.

, > )

birra

( b

Ipotizziamo stimatori

di dati Pt domanda di

su +

di

avere Qt prezzi a e

e e

5

è 7 -0.5

stime

otteniamo le due =

→ e = 1)

) f-

Vogliamo fuori

f- domani

prevedere valore

il Tt

relativo modello

dal

→

T

oggi a

Ò

Ó È PTU t PTM

0.5

= → = '

tu -

le previsione

= il statistico

modello domani

valido

IPOTESI valido anche

: oggi è

◦

( PT

devo

) conoscere

+ -11 LINEARE

REGRESSIONE

IL MODELLO DI

C- T

1

= .

. .

,

INTRODUZIONE :

→ È

Pt

SCALARE pt opyxtyt Pr

Baxter

versione pu Ut Ut

✗ →

: ti tr

✗

◦ ✗

→ tua

- → =

.

.

.

. .

. 1

←

/

eletnerti /

\ /

I rispetto

indicizzati al

tempo variabili

:

variabili

:

✗ esplicative / i

regresso

tr /

Pr note

parametri costanti

: non variabile costante

la esplicativa

IEEE intercetta

è

prima una

ma

una

non

: t T

1 1

ti

✗ = = .

.

. ,

,

, pr

dei

Interpretazione parametri :

0¥ di

varia

tot poco

per di

variazione marginale xtr

se

= =

dxtr di

MARGINALE sunt

Xtr

= Effetto

Se pt Poitàut

2 it

le modello

propri poi

Ut di

: prima

paxt ut

✗

tre ]

=

xtz

- →

+

= →

↑ ↑

Pt

Qt :

MATRICIALE

versione

• ;)

=/

)

=/

=/ }

| ) 1×12 ×

✗ 13

È

il % - . .

! 1 ? "

}

? "

? le

ti . .

.

È

xp tu dove

= ¥

? in ¥

i :P ;

= ,

"

T .

txn

un

/ ,

Pt Ut ✗

✗ XT TU

}

T2

TXU .

.

.

"

IPOTESI " CLASSICHE

→

Ipotesi sugli ✗

U

errori sulla

e )

1) ) (

( / )

E ≥

u tt

e -1

-0

ovvero T

Ut

= .

. . .

.

1 1

TX

✗

1-

2) TÈ

) It di

matrice

ECUU degli errori

' covariante

varianze e

=

=

TXT )

=/ " "" ut

"

° usu

V22

' U④ t ≠ s

-

" ?

Ut

. " . vi

| =/ (g)

) } (

"

con

»

< " " [

°

"°

" e '

" ☐

i

) _

( 02

Varcut

' It

) qua

)

UU

E /

= =

E =

utz .

e .

' .

TXT .

. ,

. , ( )

) ornoschedasticità

( ohi

var ft

ut = , )

) (

tt

Calicut s

0 incorrelazione

Us -

, ,

3) deterministica /

✗ stocastica

: non

)

' -1

4) ( )

ha

' esiste

(

T '

✗ ✗ ✗

→ ✗ singolare

rango →

a < → ×

=

rango non ✗

pieno

KXU

↳ (a)

la indipendenti

ha

matrice colonne linearmente

× )

1+2+3+4 (

modello classico

di CLRM

regressione lineare

→

STIMA PARAMETRI §

DEI

→

↳ Al

CRLTERLO NUNINU QUADRATI

È '

2 U u

Ut

mipn =

+ 1

✗

^ T

✗ T

|

parametri

a )

condizioni (

ordine

del FOC

primo

dÙ e

=

UA nn

1

✗

te

| :#

FÈ ti piu ti

B o xp

0 N

= =

→ -

. . xp)

)

( '

u' (

ti N

xp

u

: = - -

%÷ }

' (

' incognite f)

Sistema

xp lineare

✗ di

0

✗ epurazioni

K in K

y in

=

- un

axuuxn uxt ,

, × }

' ✗ '

B- "

"

✗ epurazioni

sistema di normali

K

× y

= invertibile ha

perche rango pieno

§ '

) )

'

( _ dei ordinari (

' minimi

stimatore as

X quadrati

✗

→ :

y

✗

=

1

✗

a

pò )

) -1 ' ) '

1 '

( ( '

) -1

( )

' ' '

' '

( (

xp

×

× -

✗ ✗ - xp ✗

× × ✗

✗ ✗

✗

y ×

u → U

= + =

= -7 fan

↓ ↓ casuali

noti

non -

random

non

ma

casuali

pi combinazione degli quindi

lineare errori lei casuale

anche

è è

,

pi '

) samph-ebia.si

'

'

(

p _ ✗

× ≠

✗ →

u

= o

- distorsione al

dovuta campione

lo ]

parametri

esatti

dà

stimatore dei

valori

i

non

lo da

media

in

stimatore i ⇐

ai dei

veri valori

ci parametri

mq .

PROPRIETÀ

→ OLS

dello STIMATORE

1) ]

pò

[

Non E =p

distorsione :

[ ] ^

[ ] -1

§ ) EHI

' il

) bias

' valore

(

' ✗

( ' sample

E del

→

-

× atteso

0

✗

E

p × zero

è

✗ ✗

= =

u =

-

↳ pò ]

pi ] [

[ p

E =p

e

o

= →

-

2) Efficienza §

)

colpi matrice di

di varianze covarianza kxu

= e

" ] ]

[

§ ^

] →

pi -1

) ' )

^ )

)

[ )

-1

' ' '

'

' /

[

) ) '

( ( (

) ' -

) ' (

Le

( E

'

'

' ( ×

( -

( ✗

E ×

E ' ✗ ✗ ×

_

p ✗ ×

✗

p ×

✗ ✗

✗ ✗ ✗

× ✗ ×

UU UU

=

= =

- - ☐ ÷

1

1 ✗

U il ÷

✗ .

.

^

)

TI -

'

/ ×

✗

= ]

) pi

' Var

2µL )

(

X

✗ 7--1 K

= y

☐ y .

.

. ,

,

, ] Dimostrazione del

l'

valutare

Per efficienza teorema

stimatore alternativo

consideriamo as Gauss

di

uno :

a

, Marna

È ]

§

[ ^

) '

' Ay

( -

=L ✗

×

✗ y =

y =

TT

1 ✗

a

✗

a 1

✗

1) stocastica

L text

di dimensione

:

i p non

+

.

più )

/ tu

Xp Xp

=L

L e

→ u

] Pier

poi ]

[ [ [ ]

↳ xp Xp distorto

xp

E LE

E in

Lu =L

=L

L generale

u

+

= - →

"

2) In

✗

L o

Ip =

. TTX i l

U ✗

poi distorto

ei non abbiamo distorto

perche supposto che ei non

↑

colpi ]

) ]

[ [

pie )

B) § [

' ] the '

(

( LL

L'

E LUU l LE

E ' '

p

= =

UU

=

=

- -

,

UX k ) FÈ

( =

sample

bias

pi Lo

p

= =

- pic

pi -1

) The

→ )

)

the '

( LL

( ( cov

'

ca vs

✗ ×

= =

↑ distorto

stimatore

qualsiasi in

lineare

non y

e

Riscriviamo L modo

nel seguente :

^

) '

( D

'

L - ✗

× a

✗

= ↳ stocastica

generica matrice non

=

-1

) )

' (

' 0

( DX

X

LX tra

✗ loro

D

× ortogonali

DX

✗ ✗ di

sono

→ =

→

= e

.

" TÈ

In

CONFRONTO : #

' XXI

]

]

[ [ ^

1

)

^ 1

) ' D'

' )

' ^ '

' (

' ' ) '

)

'

(

( DD

'

' (

D (

ad

- ✗ DX

✗ ✗

- -

-

LL × X

× ✗ ✗

✗ × -

✗ ×

✗ a

a = → →

= =

ó

E

) 1

' '

( DD

× -

✗

= o

In ) ' '

' Nn

'

the DD

/

LL -

X

✗

o

= → ET

Jin def

semi positiva

colpi pi

) ) ( )

definita

Cal

→ matrice positiva

semi ≥ 0

=

- }

/

teorema efficiente

lo stimatore stimatore

più di lineare

as corretto

altro

qualsiasi

a e

Di

Gauss )

( Linear biased

best

BLUE classiche

stimatore

Lo sotto ipotesi

estimatori le

è un

=

maruov ,

DISTINZIONE /

TRA ACTUAL / RESIDUA LS

FIITED

→

Actual valori osservati y

=

◦ : 1

T ✗ )

( birra

valori osservati di

domanda

della

es . pi

I

Filted valori previsti ✗

= :

• = 1

TXU UX

1

TX

Ù j

Residua residui

valori

5- :

◦ y

= -

^

✗

1- ^ 1

TX TX

↳ §

Ù utejt.tt T

1

y =

+ yt

= = . . .

, .

1 ↳ di

parte modello

dal

spiegata

y

parte dei modello

dal

spiegata

non

y '

)

È '

'

J ( -

}

valori =P ✗ ×

✗

previsti ×

Protezione

MATRICE Di

y

✗ y =

= = =

: pigro

§ =

TXT di

matrice proiezione

= }

Residui J )

(

Ù ANNI P

CITATA IT

MATRICE

Py My =

: y

y

y =

= = = -

= -

- myra

g ,

M

= TXT annichilita

matrice

=

PROPRIETÀ P

→ MATRICI

delle Mi

E

'

1) P

Simmetria =p

-

\ mi M

= [ ]

'

2) # '

1

)

¥-1 '

(

PP ' )

'

Idem (

(

potenza =p

=p × ×

× ✗ _

-

✗

✗ ×

= ✗

[ MM M

- ( )

3) Ortogonalità =p

PM p P pp 0

p

It p

o

=

: → =

= -

- - ¥-1 #

)

( X-p

)

( 0

O

MX

corollario I P ✗

: × ✗

✗

no × =

=

✗

t =

= = -

-

-

Ù

Jo

Sappiamo che Pytmy

g- = la

ortogonalità parte modello

dal

di

spiegata spiegata

non

→ e y

ortogonali separate

sono sono

B.

N Errori residui

vs

. osservabili

(1) Xp

U y

= → non

- §

j

i osservabili

✗

y g-

= -

=

- )

]

[

(2) entrambi

hanno

( ipotesi

E ] valore<