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Econometria - i processi stazionari

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui processi stazionari. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le serie storiche come realizzazioni di processi aleatori, i caratteri stocastici delle serie storiche, la scomposizione del Wold, lo spettro, le rappresentazioni spettrali, la rappresentazione... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.5. Le rappresentazioni spettrali

Le due funzioni di autocovarianza (1.3.4) e (1.4.4) possono essere espresse in forma

λ

complessa sfruttando le formule di Eulero. La (1.3.4), chiamando con le

− j

λ σ =

frequenze angolari simmetriche delle rispetto all’origine e ponendo ,

20 0

j

diventa ( )

( )

k k

( ) ( )

π

1

∑ ∑ ∫

γ τ = σ ⋅ λ τ = σ ⋅ λ τ = λ τ ⋅ λ

2 2 (1.5.1)

cos exp i exp i dG

v j j j j v

− π

2

= = −

j 1 j k

τ = ± ±

per , dove l’ultimo membro è un integrale di Riemann-Stieltjes. La

0 , 1

, 2 , ... ( ) ( )

λ = − λ

(1.4.4), d’altro canto, considerando che è per le (1.4.3) e che anche la

g g

funzione coseno è pari, si trasforma nella

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

π π π

∫ ∫ ∫

γ τ = λ τ ⋅ λ ⋅ λ = λ τ ⋅ λ ⋅ λ = λ τ ⋅ λ (1.5.2)

2 cos g d exp i g d exp i dG

y y

− π − π

0

τ = ± ±

per , dove ancora l’ultimo membro è un integrale di Riemann-

0 , 1

, 2 , ...

Stieltjes.

Le due rappresentazioni spettrali della funzione di autocovarianza (1.5.1) e

{ ( )

}

~

(1.5.2) sembrano essere associate a due processi aleatori diversi, il generato

v t

{ ( )

}

~

dalla (1.3.2) e l’ generato dalla (1.4.2). In realtà, Wiener (1930) e Khintchine

y t

hanno dimostrato che ad ogni processo aleatorio stazionario è associata una

( )

λ

funzione di ripartizione spettrale che è scomponibile nella somma delle due

G

( ) ( )

λ λ

componenti e definite dalle (1.4.1) e (1.4.5). In altre parole, ogni

G G

{ ( )

}

v y

~

processo stazionario è scomponibile nella somma di due altri processi

x t

stazionari, il primo dei quali è formato da una somma (anche infinita) di

componenti sinusoidali ciascuna di periodo fisso, e il secondo è costituito da un

[ ]

− π π

continuo di componenti sinusoidali di frequenza compresa nella banda . La

,

( ) ( )

λ λ

componente è una funzione di ripartizione a salti mentre la è

G G

( ) [ ]

v y

λ − π π

assolutamente continua . La è definita in ed è tale che

1 G ,

( ) ( )

− π = π = γ

e

G ( ) 0 G 0

x

{ ( )

}

Nelle applicazioni, data una serie , è difficile poterla derivare da un processo

x t

stazionario dotato di componenti di periodo costante, per cui è generalmente

( )

λ

conveniente omettere di considerare la . In altre parole, si associa la serie ad

G

v ( )

λ

un processo stazionario con funzione di ripartizione spettrale del tipo che,

G y

essendo assolutamente continua, è derivabile come la (1.5.2) indica. Partendo da

In realtà, esiste una terza componente, continua ma non assolutamente, che trascuriamo

1

per brevità poiché ininfluente nelle applicazioni. Pagina 1-9

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

{ ( )

}

una serie storica , allora, essa viene associata ad una funzione di

x t

autocovarianza del tipo (1.5.2), cioè

( )

( ) ( )

π

γ τ = λ τ ⋅ λ ⋅ λ τ = ± ± (1.5.3)

exp i g d 0 , 1

, 2 , ...

− π

( )

γ τ

che indica come possa essere considerata come la trasformata di Fourier della

( )

λ

funzione di densità spettrale . La trasformata inversa di Fourier, allora,

g

( ) ( )

λ γ τ

produce in funzione di secondo la relazione

g ( )

∞ [ ]

( ) ( )

1 ∑

λ = γ τ ⋅ − λ τ λ ∈ − π π (1.5.4)

g exp i ,

π

2 τ = −∞

Esempio – Se inseriamo le (1.2.7) nella (1.5.4) otteniamo

( ) ( )

λ = γ π = σ π

2 (1.5.5)

g 0 / 2 / 2

che indica come la funzione di densità spettrale di un rumore bianco sia costante.

Pagina 1-10

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.6. La rappresentazione spettrale del processo aleatorio

stazionario ( )

γ τ

N. Wiener (1930) ha dimostrato che come la funzione di autocovarianza è

( )

λ

esprimibile mediante una funzione di ripartizione spettrale , scomponibile

G

( ) ( )

λ λ

nella somma delle due componenti e , così il processo stazionario

G G

{ ( )

} v y

~

associato è esprimibile mediante l’integrale stocastico

x t [ ]

( ) ( )

π

~ ~

− µ = λ ⋅ λ ∈ − ∞ ∞ (1.6.1)

x exp i t d z t ,

− π

{ ( )

}

~ λ

dove è un processo aleatorio a parametro continuo con valori complessi

z

ad incrementi ortogonali, cioè tale che

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) (1.6.2)

~ ~

λ ⋅ λ = λ ∈ − π π λ ∈ − π π λ ≠ λ

, , ,

*

E d z d z 0 , ,

1 2 1 2 1 2

dove l’asterisco denota il complesso coniugato. La (1.6.2) indica come ogni

processo aleatorio stazionario a parametro discreto possa essere scomposto

nella somma integrale di componenti sinusoidali di ampiezza aleatoria

( ) { ( )

}

~ ~

λ λ

e di fase anch’essa aleatoria, . Si può dimostrare, inoltre,

d z arg d z

che [ ]

( ) ( ) (1.6.3)

~ λ = λ

2

E d z dG

( )

λ

cioè che rappresenta la quota parte di varianza del processo associata

dG

alle componenti sinusoidali stocastiche di frequenza compresa nella banda

[ ]

λ λ + λ .

, d Pagina 1-11

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.7. Il processo bivariato { }

( ) { ( )

}

~ ~

Sia ora data una coppia di processi aleatori a parametro discreto e

x t x t

j h

µ µ

ciascuno dei quali sia (debolmente) stazionario con valori medi e ,

j h

( ) ( )

γ τ γ τ

rispettivamente, e con funzioni di autocovarianza e . Se accade che la

jj hh

funzione di covarianza incrociata

[ ]

( )

( ) ( ) ( ( ) )

~ ~

γ τ = − µ − τ − µ ∀ τ = ± ±

, , (1.7.1)

E x t x t t 0 , 1

, 2 ,...

jh j j h h

è indipendente dal tempo allora le due serie sono dette congiuntamente

{ }

( ) { ( )

}

~ ~

stazionarie, con che anticipa Normalizzando la (1.7.1) si

.

x t x t

j h

ottiene la funzione di correlazione incrociata

( ) ( ) ( )

ρ τ = γ τ γ τ = ± ± (1.7.2)

/ 0 0 , 1

, 2 , ...

jh jh jh ( ) ( )

γ τ γ τ

Se ambedue le funzioni di autocovarianza semplice e convergono a

jj hh

zero in modo sufficientemente veloce così che sia

∞ ∞

( ) ( )

∑ ∑

γ τ < +∞ γ τ < +∞

e

jj hh

τ = −∞ τ = −∞

gli spettri delle due serie sono assolutamente continui, con funzioni di

( ) ( )

γ τ γ τ

densità spettrali date dalle trasformate di Fourier di e ,

jj hh

rispettivamente. Se, inoltre, è

∞ ( )

∑ γ τ < +∞ (1.7.3)

jh

τ = −∞

cioè la funzione di covarianza incrociata è assolutamente sommabile, questa

può essere trasformata secondo Fourier, ottenendosi

( )

∞ [ ]

( ) ( )

1 ∑ λ ∈ − π π

λ = γ τ ⋅ − λ τ (1.7.4)

g exp i ,

π

jh jh

2 τ = −∞ { }

( )

~

funzione di densità spettrale incrociata, a valori complessi, tra e

x t

j

{ ( )

}

~ Per i due processi valgono rappresentazioni spettrali del tipo (1.6.1) e

.

x t

h

relazioni di ortogonalità (1.6.2), ma si può dimostrare che la stazionarietà

congiunta implica anche la proprietà di ortogonalità incrociata, data dalla

[ ] [ ] [ ]

( ) ( )

~ ~

λ ⋅ λ = λ ∈ − π π λ ∈ − π π λ ≠ λ

, , , (1.7.5)

*

E d z d z 0 , ,

j 1 h 2 1 2 1 2

e che valga l’analoga della (1.6.3)

[ ]

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

~ ~

λ ⋅ λ = λ = λ ⋅ λ λ ∈ − π π (1.7.6)

*

E d z d z dG g d ,

j h jh jh Pagina 1-12

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

( )

λ

dove è la funzione di ripartizione spettrale incrociata, a valori

G { }

jh ( ) { ( )

}

~ ~

complessi, tra e .

x t x t

j h ( )

λ

Invertendo secondo Fourier la data dalla (1.7.4) si ottiene la

g jh

rappresentazione spettrale della funzione di covarianza incrociata

( )

( ) ( )

π

γ τ = λ τ ⋅ λ ⋅ λ τ = ± ± (1.7.7)

exp i g d 0 , 1

, 2 ,...

jh jh

− π Pagina 1-13

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.8. Le funzioni spettrali incrociate

( )

λ

Essendo la densità spettrale incrociata a valori complessi, può essere

g jh

( )

λ

scomposta in una parte reale , detta funzione cospettrale, e in una parte

c jh

( )

λ

immaginaria , detta funzione di quadratura spettrale

q jh [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

λ = λ λ = λ ⋅ ⋅ ϕ λ λ ∈ − π π

+ (1.8.1)

g c i q g exp i ,

jh jh jh jh jh

dove [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

λ = λ + λ λ ∈ − π π

1 / 2 (1.8.2)

2 2

g c q ,

jh jh jh

e ( )

λ

q [ ]

( )

ϕ λ = λ ∈ − π π

jh (1.8.3)

arctg ,

( )

λ

jh c jh

Questa, detta funzione di fase, indica l’angolo di sfasamento della

λ

componente sinusoidale di frequenza nelle due serie ed

j h.

( )

λ

Normalizzando il modulo di si ottiene la funzione di coerenza

g jh ( )

λ

g [ ]

( )

λ = λ ∈ − π π

jh (1.8.4)

[ ]

K ,

( ) ( )

λ ⋅ λ

jh 1 / 2

g g

jj hh

che indica il grado di relazione lineare esistente tra le componenti di

λ

frequenza nei due processi. Dalla (1.8.4) si trae, ovviamente, che

[ ]

( )

≤ λ ≤ λ ∈ − π π (1.8.5)

0 K 1 ,

jh [ ]

( ) ( ) 1 / 2

λ λ

Osservazione 1.2 – Il rapporto , detto funzione di

g / g

jh jj

guadagno, è interpretabile come il coefficiente di regressione della

{ ( )

}

~

λ

componente di frequenza di sulla componente della stessa

x t

h

{ } [ ]

( ) ( )

~ λ 1 / 2

frequenza di . Dividendo tale guadagno per si ottiene la

x t g

j hh

( )

λ

funzione di coerenza , che quindi è interpretabile come indice di

K jh

correlazione lineare esistente tra le due componenti della stessa

λ

frequenza angolare nei due processi. Pagina 1-14

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.9. Il processo multivariato

Le argomentazioni dei due paragrafi precedenti sono immediatamente estendibili

{ }

( )

~ =

al caso di k processi aleatori , , ciascuno dei quali è stazionario in

x t j 1, 2,…, k

j

senso debole ed inoltre sono congiuntamente stazionari a coppie, cioè la (1.7.1) è

=

indipendente dal tempo per ogni . Le autocovarianze e le covarianze

j 1, 2,…, k

τ

incrociate di ritardo formano le matrici delle covarianze

{ }

( ) ( )

τ ≡ γ τ = τ = ± ± (1.9.1)

à j 1, 2,…, k 0 , 1

, 2 , ...

jh τ

che costituiscono una funzione (matriciale) di . ( )

τ

Trasformando secondo Fourier ogni elemento di tramite la (1.7.4) si

Ã

ottiene la matrice delle densità spettrali, o matrice spettrale,

+∞ [ ]

( ) ( ) ( )

1 ∑

λ = τ ⋅ − λτ λ ∈ − π π (1.9.2)

G Ã exp i ,

π

2 τ = −∞

che a sua volta può essere invertita, dando luogo alla funzione (matriciale)

delle covarianze ( ) ( ) ( )

π

τ = λτ ⋅ λ ⋅ λ τ = ± ± (1.9.3)

à exp i G d 0 , 1

, 2 , ...

− π

Osservazione 1.3 – Se i elementi del processo aleatorio multivariato

k [ ]

~ ~ ~ ~

=

sono al tempo t ordinati secondo il vettore colonna , si

x x x ... x '

t 1 t 2 t kt

può scrivere [ ]

( ) ( )( ) (1.9.4)

~ ~

τ = − − τ = ± ±

'

à E x ì x ì 0 , 1

, 2 , ...

− τ

t t

e ( )

~

= ∀ (1.9.5)

ì E x t

t

La stazionarietà congiunta delle k serie implica che sia

( ) ( )

τ = − τ τ = ± ±

* (1.9.6)

à à 0 , 1

, 2 , ...

dove l’asterisco indica il coniugio complesso e la contemporanea

trasposizione, e da questa proprietà deriva, tenendo presente la (1.9.2),

l’hermitianità della matrice spettrale [ ]

( ) ( )

λ = λ λ ∈ − π π

* (1.9.7)

G G , ∇

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui processi stazionari. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le serie storiche come realizzazioni di processi aleatori, i caratteri stocastici delle serie storiche, la scomposizione del Wold, lo spettro, le rappresentazioni spettrali, la rappresentazione spettrale del processo aleatorio stazionario, il processo bivariato, le funzioni spettrali incrociate, il processo multivariato.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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