Econometria - i processi stazionari

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1. I PROCESSI STAZIONARI

Indice del capitolo

1.1. Le serie storiche come realizzazioni di processi aleatori............................... 2

1.2. Caratteri stocastici delle serie storiche .......................................................... 3

Stazionarietà (in senso debole) .................................................................. 3

Funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione ................................... 3

Il rumore bianco.......................................................................................... 3

Processo periodico....................................................................................... 4

1.3. La scomposizione del Wold.............................................................................. 5

1.4. Lo spettro .......................................................................................................... 7

1.5. Le rappresentazioni spettrali.......................................................................... 9

1.6. La rappresentazione spettrale del processo aleatorio stazionario ............. 11

1.7. Il processo bivariato ....................................................................................... 12

1.8. Le funzioni spettrali incrociate ..................................................................... 14

1.9. Il processo multivariato ................................................................................. 15

Pagina 1-1

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.1. Le serie storiche come realizzazioni di processi

aleatori

Le caratteristiche delle serie storiche economiche sono

• la tendenza, che riguarda il livello, eventualmente crescente o

decrescente, delle serie,

• le stagionalità,

• il ciclo,

• le accidentalità, che riguardano la componente residuale che si ottiene

eliminando i tre caratteri precedenti,

• la variabilità, che anche può essere crescente o decrescente, oppure più

alta in certi periodi e più bassa in altri (volatility clustering).

Queste caratteristiche sistematiche sono il soggetto dell’analisi oppure della

rappresentazione mediante modelli.

Una serie storica economica è una successione di valori associati ad un indice

temporale t variabile da 1 a n

{ ( ) ( ) ( )

} (1.1.1)

x 1 , x 2 , ..., x n

considerata come una parte finita di una realizzazione

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

}

− ∞ − + ∞

x , ..., x 1 , x 0 , x 1 ,

..., x

di un processo aleatorio discreto (nel tempo)

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

}

~ ~ ~ ~ ~

− ∞ − + ∞

x ,

..., x 1 , x 0 , x 1 ,

..., x

che possiamo ancora, per traslazione, chiamare serie storica e che

indichiamo in forma compatta con

{ ( )

}

~ (1.1.2)

x t Pagina 1-2

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.2. Caratteri stocastici delle serie storiche

Denotiamo con [ ]

( ) ( )

~ = µ ∀ (1.2.1)

E x t t t

{ ( )

}

~

il valor medio della serie , eventualmente variabile nel tempo, e con

x t ( )

 σ =

2

[ ]

[ ]

{ ( ) ( ) ( ) ( ) } t s t

~ ~

− µ − µ = ∀

 (1.2.2)

E x t t x s s t

( )

γ ≠

 t , s s t

il momento secondo centrato.

Stazionarietà (in senso debole)

Spesso le caratteristiche delle serie storiche economiche sono invarianti nel tempo,

per cui le (1.2.1) e (1.2.2) possono semplificarsi nelle altre

[ ( )

]

~ = µ ∀ (1.2.3)

E x t t

 σ < +∞ =

2

[ ]

[ ]

{ ( ) ( ) } s t

~ ~

− µ − µ = ∀

 (1.2.4)

E x t x s t

( )

γ − = γ τ ≠

 (

t s

) s t

dove il valor medio è costante, la varianza è costante e finita, e le (auto)

( )

γ τ τ = ± ±

covarianze sono funzioni del ritardo temporale che

, 1

, 2 , ..., t−s

( ) ( )

~ ~

separa da . Le (1.2.3) e (1.2.4) costituiscono le condizioni di

x t x s

stazionarietà (in senso debole) del processo aleatorio (1.1.2). In particolare,

{ ( )

}

~

la (1.2.3) caratterizza la stazionarietà in media di .

x t

Funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione

( )

γ τ τ

, considerata come funzione del ritardo , è detta funzione di

autocovarianza. Essa è pari

( ) ( )

γ τ = γ − τ τ = ± ±

0 , 1

, 2 ,...

Normalizzando con la varianza si ottiene la funzione di autocorrelazione

( ) ( )

ρ τ = γ τ σ τ = ± ± (1.2.5)

2

/ 0 , 1

, 2 ,...

Il rumore bianco

Se le (1.2.3) e (1.2.4) sono [ ( )

]

~ = ∀ (1.2.6)

E x t 0 t Pagina 1-3

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

 σ τ =

2

[ ] [ ]

{ ( ) ( ) } 0

~ ~ =  ∀ (1.2.7)

E x t x s t

τ = ± ±

 0 1

, 2 , ...

il processo aleatorio (stazionario) è detto rumore bianco.

Processo periodico

Sia [ ]

( ) = ⋅ λ + ⋅ λ ∈ − ∞ +∞ (1.2.8)

x t a cos t b sin t t ,

~

~

con parametro reale prefissato; e variabili aleatorie incorrelate, con

λ a b

() ( )

( ) ~ ~

~ ~

= = ⋅ =

, , e

E a E b 0 E a b 0 ( )

( ) ~

~ = = σ (1.2.9)

2 2 2

E a E b

Allora [ ]

( )

~ = ∀ (1.2.10)

E x t 0 t

[ ][ ]

{ }

[ ] [ ]

( ) { ( ) ( ) } ~ ~

~ ~ ~ ~

γ = = ⋅ λ + ⋅ λ ⋅ λ + ⋅ λ =

t , s E x t x s E a cos t b sin t a cos s b sin s (1.2.11)

[ ] ( ) ( )

= σ λ ⋅ λ + λ ⋅ λ = σ ⋅ λ − = σ ⋅ λτ = γ τ

2 2 2

cos t cos s sin t sin s cos t s cos

τ = ± ± τ = −

per avendo posto .

0 , 1

, 2 ,..., t s

Le (1.2.10) e (1.2.11) soddisfano alle (1.2.3) e (1.2.4) e quindi il processo definito

dalla (1.2.8) è stazionario, con funzione di autocovarianza

( ) ( )

ρ τ = σ ⋅ λτ σ = λτ τ = ± ± (1.2.12)

2 2

cos / cos 0

, 1

, 2 ,... ~

Il processo è composto da una oscillazione di ampiezza aleatoria (generata da e

a

~ ), ma di periodo T fisso

b π λ

=

T 2 / λ π

misurato in “(unità di tempo)/ciclo”. L’inverso di T è la frequenza , misurata

/ 2

in “porzione di ciclo per unità di tempo”.

λ

La frequenza angolare è misurata in “radianti per unità di tempo”.

Il processo aleatorio stazionario generato dalla (1.2.8) è composto da una

λ

oscillazione sinusoidale di frequenza angolare fissa . Inoltre, poiché

( ) ( )

λ + π = λ λ + π = λ

e

cos 2 h cos sin 2 h sin [ ]