Econometria - i processi stazionari

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E x t[ ][ ]{ }[ ] [ ]( ) { ( ) ( ) } ~ ~~ ~ ~ ~γ = = ⋅ λ + ⋅ λ ⋅ λ + ⋅ λ =t , s E x t x s E a cos t b sin t a cos s b sin s (1.2.11)[ ] ( ) ( )= σ λ ⋅ λ + λ ⋅ λ = σ ⋅ λ − = σ ⋅ λτ = γ τ2 2 2cos t cos s sin t sin s cos t s cosτ = ± ± τ = −per avendo posto .0 , 1, 2 ,..., t sLe (1.2.10) e (1.2.11) soddisfano alle (1.2.3) e (1.2.4) e quindi il processo definitodalla (1.2.8) è stazionario, con funzione di autocovarianza( ) ( )ρ τ = σ ⋅ λτ σ = λτ τ = ± ± (1.2.12)2 2cos / cos 0, 1, 2 ,... ~Il processo è composto da una oscillazione di ampiezza aleatoria (generata da ea~ ), ma di periodo T fissob π λ=T 2 / λ πmisurato in “(unità di tempo)/ciclo”. L’inverso di T è la frequenza

misurata/ 2in “porzione di ciclo per unità di tempo”.λLa frequenza angolare è misurata in “radianti per unità di tempo”.Il processo aleatorio stazionario generato dalla (1.2.8) è composto da unaλoscillazione sinusoidale di frequenza angolare fissa . Inoltre, poiché( ) ( )λ + π = λ λ + π = λecos 2 h cos sin 2 h sin [ ]λ ∈ − π πcon numero relativo qualsiasi, è sufficiente considerare anzichéh ,[ ]λ ∈ − ∞ ∞ ., Pagina 1-4Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale1.3. La scomposizione del WoldSommiamo processi del tipo (1.2.8), con l’aggiunta delle ipotesik ( ) ( )( ) ~ ~ ~~ ~ ~⋅ = ⋅ = ⋅ = (1.3.1)E a a E b b E a b 0 j,h = 0, 1, 2, …, kj h j h j he otteniamo ( )k k [ ]( ) ( )∑ ∑= = ⋅ λ + λ ∈ − ∞ ∞ < λ ≤ π,

(1.3.2)v t x t a cos t b sin t t , 0j j j j j j= =j 1 j 1con [ ]( )~ = (1.3.3)E v t 0[ ] k( ) ( ) ( )∑~ ~⋅ = σ ⋅ λ τ = γ τ τ = ± ±2 (1.3.4)E v t v s cos 0 , 1, 2 ,...j j v=j 1come è immediato verificare. Poiché k( ) ∑γ = σ = σ2 2 (1.3.5)0v v j=j 1{ ( )}~la funzione di autocorrelazione di èv tk∑ σ ⋅ λ τ2 cosj j( ) = τ = ± ±ρ τ = j 1 0 , 1, 2 ,...k∑ σ 2j=j 1Osservazione 1.1 – Poiché la funzione coseno è pari, non si perde inλgeneralità se le frequenze angolari considerate nella (1.3.5) sono[ ]j πipotizzate tutte non negative, cioè se si prendono nell’intervallo .0 ,H.Wold (1938) dimostrò il seguente fondamentale teorema{ ( )}~Teorema 1.1 – Ogni processo stazionario in senso debole può essere scompostox tnella somma di due processi( ) ( ) ( ) [ ]-

µ = + ∈ − ∞ ∞ (1.3.6)x t v t y t t ,dove µ è il valor medio (1.2.3);i) Pagina 1-5Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale{ ( )}~ii) il processo (componente “singolare” o “deterministica” div t{ ( )}~ ) è quello generato dalla (1.3.2);x t { ( )} { ( )}~ ~iii) il processo (componente “regolare” di ) è generatoy t x tdallo schema “a somma mobile” infinita∞ [ ]( ) ( )∑= ⋅ ε − ∈ − ∞ ∞ (1.3.7)y t h t j t ,j=j 0{ ( )} { ( )}~ ~εcon rumore bianco incorrelato con , cioè tale chet v t[ ]( ) ( )~ ~ε ⋅ = ∀E t v s 0 t , s (1.3.8)e i pesi sono pari a costanti reali tali cheh j =h 10 (1.3.9)∞∑ < +∞2h j=j 0cioè sono “di quadrato sommabile”.La dimostrazione di questo teorema può essere trovata in Priestley (1981).Pagina 1-6Modulo XI – Serie

storiche: il dominio frequenziale 1.4. Lo spettro Il processo generato dalla (1.3.2) ha la varianza (1.3.5) formata dalla somma delle varianze dei suoi processi periodici componenti: se rappresentiamo queste varianze in un grafico che ha le frequenze angolari in ascisse otteniamo lo spettro. Cumulando le varianze all'aumentare di λ, si ottiene la funzione di ripartizione spettrale: v(j) = ∑λ=σλ-π π2G (1.4.1) v(jλ) < λjσλ che indica come si ripartisce in relazione alle frequenze angolari e costituisce quindi la funzione di ripartizione spettrale. Ovviamente, λ-π = π = σe 2G (0) Gv v v Il processo aleatorio può essere esteso alla considerazione di una infinità di processi periodici elementari e anche a quella di un "continuum" di tali processi, ciascuno associato alle frequenze angolari contenute in λ.Questo caso la, d(1.3.2) si trasforma nell'integraleπ [ ]( ) ( ) ( )∫= λ ⋅ λ + λ ⋅ λ ⋅ λ (1.4.2)y t a cos t b sin t d− π{ ( )}~generatore di . Sotto alcune ipotesi di non correlazione tra i processi aleatoriy t{ }{ ( ) } ( )~~ λ ⋅ λ λ ⋅ λe e sotto le altre seguentia d b d [ ][ ]( ) ( ) ( )~ (1.4.3)~ λ ⋅ λ = λ ⋅ λ = λ ⋅ λVar a d Var b d g dcorrispondenti alle (1.2.9), si ha[ ]( )~ =E y t 0 (1.4.4)π[ ]( ) ( ) ( ) ( )∫~ ~γ τ = ⋅ − τ = λτ ⋅ λ ⋅ λ τ = ± ±E y t y t cos g d 0 , 1, 2 ,...y − πdalla quale si trae π[ ]( ) ( ) ( )∫~ = γ = λ ⋅ λVar y t 0 g dy − π( )λ ⋅ λDunque la quantità può essere interpretata come la porzione di varianzag d [ ]λ λ +

λdel processo associata all’intervallo (banda) infinitesimo di frequenze . La, d( ) { ( )}~λ − π λè detta funzione di densità spettrale del processo ; integrata tra eg y t{ ( )}~definisce la funzione di ripartizione spettrale di y t Pagina 1-7Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenzialeλ [ ]( ) ( )∫λ = ω ⋅ ω λ ∈ − π π (1.4.5)G g d ,y − π( ) { ( )}~λIl grafico della è anch’esso detto spettro del processo . In breve, si diceg y tche è lo spettro della serie. Ovviamente è ( )− π = π = σe 2G ( ) 0 Gy y v Pagina 1-8Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale1.5. Le rappresentazioni spettraliLe due funzioni di autocovarianza (1.3.4) e (1.4.4) possono essere espresse in formaλcomplessa sfruttando le formule di Eulero. La (1.3.4), chiamando con le− jλ σ =frequenze angolari

simmetriche delle rispetto all'origine e ponendo ,20 0jdiventa ( )( )k k( ) ( )π1∑ ∑ ∫γ τ = σ ⋅ λ τ = σ ⋅ λ τ = λ τ ⋅ λ2 2 (1.5.1)cos exp i exp i dGv j j j j v− π2= = −j 1 j kτ = ± ±per , dove l'ultimo membro è un integrale di Riemann-Stieltjes. La0 , 1, 2 , ... ( ) ( )λ = − λ(1.4.4), d'altro canto, considerando che è per le (1.4.3) e che anche lag gfunzione coseno è pari, si trasforma nella( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )π π π∫ ∫ ∫γ τ = λ τ ⋅ λ ⋅ λ = λ τ ⋅ λ ⋅ λ = λ τ ⋅ λ (1.5.2)2 cos g d exp i g d exp i dGy y− π − π0τ = ± ±per , dove ancora l'ultimo membro è un integrale di Riemann-0 , 1, 2 , ...Stieltjes.Le due rappresentazioni spettrali

della funzione di autocovarianza (1.5.1) e{ ( )}~(1.5.2) sembrano essere associate a due processi aleatori diversi, il generatov t{ ( )}~dalla (1.3.2) e l’ generato dalla (1.4.2). In realtà, Wiener (1930) e Khintchiney thanno dimostrato che ad ogni processo aleatorio stazionario è associata una( )λfunzione di ripartizione spettrale che è scomponibile nella somma delle dueG( ) ( )λ λcomponenti e definite dalle (1.4.1) e (1.4.5). In altre parole, ogniG G{ ( )}v y~processo stazionario è scomponibile nella somma di due altri processix tstazionari, il primo dei quali è formato da una somma (anche infinita) dicomponenti sinusoidali ciascuna di periodo fisso, e il secondo è costituito da un[ ]− π πcontinuo di componenti sinusoidali di frequenza compresa nella banda . La,( ) ( )λ λcomponente è una funzione di ripartizione a salti mentre la èG G( ) [ ]v yλ − π

πassolutamente continua. La è definita in ed è tale che1 G ,( ) ( )− π = π = γeG ( ) 0 G 0x{ ( )}

Nelle applicazioni, data una serie , è difficile poterla derivare da un processox tstazionario dotato di componenti di periodo