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Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

3.4 La scomposizione del Wold

Di basilare importanza per le applicazioni economiche così come per la teoria

statistica delle serie storiche è il seguente teorema, dovuto a H. Wold (1938):

può

Teorema (del Wold) 3.4.1 – Ogni processo stazionario in senso debole { x }

t

essere scomposto nel modo seguente

− µ = +

x v y (3.4.1)

t t t

per il quale

( ) = µ ∀

i) E x t

t è generato dal modello trigonometrico (3.2.8);

ii) il processo { v }

t

è costituito dalla somma infinita di elementi di un rumore

iii) il processo { y }

t

bianco ∞

= ⋅ ε

y h (3.4.2)

t j t j

=

j 0

ε

dove è un rumore bianco non correlato con il processo , cioè tale

{ } { v }

t t

( )

ε ⋅ =

per ogni ed , ed i pesi sono costanti reali tali che

che t h

E v s

0

t s j

= , e

h 1

0 ∞

∑ < +∞

2

h (3.4.3)

j

= 0

j ∇

La dimostrazione di questo teorema può essere trovata in Priestley (1981).

L’importanza teorica del teorema del Wold risiede nella scomposizione (3.4.1) e

quella applicativa soprattutto nella rappresentazione a somma mobile infinita

(3.4.2). Infatti, nelle applicazioni il processo , detto singolare o linearmente

{ v }

t

deterministico, o non esiste o è di scarsa rilevanza, per cui si riduce alla sola

{ x }

t

componente definita dalla (3.4.2), detta regolare o linearmente indeterministica.

Questo fatto è sorprendente, in quanto significa che i processi stazionari di

interesse applicativo, la cui caratteristica di fondo è l’autocorrelazione, sono

rappresentabili mediante una combinazione lineare, sia pure infinita, di variabili

aleatorie non correlate tra di loro . D’ora in avanti trascureremo la componente

1

La scomposizione del Wold è stata negletta per lungo tempo. Si veda, invece, la rilevanza

1

che le è stata data da Carlucci (1971). Pagina 3-8

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

singolare e supporremo che ogni processo stazionario in senso debole sia

rappresentabile nella forma (3.4.2), a prescindere dal valor medio.

Il filtro lineare

La rappresentazione (3.4.2) è un caso particolare della seguente

s

= ⋅

y h w (3.4.4)

t j t j

=−

j m ∞

dove ed possono anche valere , che trasforma linearmente il processo

s m

nell’altro . La (3.4.4) costituisce un filtro lineare, invariante

aleatorio { w } { y }

t t

rispetto al tempo, che viene applicato all’entrata (input) per ottenere l’uscita

w

t

(output) . L’invarianza del filtro rispetto al tempo significa che i pesi sono da

y h

t j

esso indipendenti. vale

La (3.4.2) costituisce un caso particolare del filtro (3.4.4) nel senso che s

∞ =

, , e che il processo aleatorio in input è un rumore bianco.

{ w }

0

m t

La funzione di risposta all’impulso

L

Utilizzando l’operatore di ritardo , la (3.4.4) può essere scritta nella forma

( )

− − + − −

= + + + + + + + + ⋅ =

m m 1 1 s 1 s

y h L h L ... h L h h L ... h L h L w

− − + − −

t m m 1 1 0 1 s 1 s t (3.4.5)

( )

= ⋅

H L w

t

dove l’espressione s

( ) = j

H L hL (3.4.6)

j

=−

j m

è la funzione generatrice dei pesi la cui successione è detta funzione di

h h

{ }

j j

risposta all’impulso poiché rappresenta i valori che assume l’uscita del modello

y

t

= .

(3.4.5) quando l’entrata consiste di un impulso unitario al tempo 0

t

La funzione di risposta all’impulso è detta di quadrato sommabile se

s

∑ <∞

2

h (3.4.7)

j

=−

j m

mentre è chiamata assolutamente sommabile se

s

∑ < ∞

h (3.4.8)

j

=−

j m Pagina 3-9

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

Si osservi dalla (3.4.3) che la funzione di risposta all’impulso considerata nel

teorema di scomposizione del Wold è di quadrato sommabile.

Il filtraggio effettuato tramite la (3.4.4) è un’operazione di convoluzione tra le

ed il processo aleatorio , e pertanto il

funzione di risposta all’impulso h w

{ } { }

j t

filtro è detto di tipo convolutorio. La convoluzione (3.4.4) suole essere indicata con

la notazione .

h w

{ } { }

j t Pagina 3-10

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

3.5 Il modello autoregressivo a somma mobile (ARMA)

Nelle applicazioni non è possibile stimare gli infiniti parametri della somma mobile

(3.4.2) ed allora questa viene troncata in modo che i parametri siano in numero

finito e quindi stimabile per mezzo dei dati di una serie storica. In realtà, si ottiene

; a parità di numero di parametri, se si

in generale una approssimazione migliore

2 ∞

∑ j

approssima la funzione generatrice dei pesi della somma mobile infinita

h L

j

= 0

j

(3.4.2) con la funzione razionale seguente

q

− ϑ j

1 L

j

( ) =

j 1

=

H L (3.5.1)

1 p

− ϕ j

1 L

j

=

j 1

ϑ = ϕ =

con e numeri interi positivi e , , , , parametri

p q j q j p

1, 2, ..., 1, 2, ...,

j j

reali, per cui il modello che approssima la (3.4.2) viene ad essere

( )

= ⋅ ε

y H L (3.5.2)

t t

1

cioè ( ) ( )

− ϕ − ϕ + − ϕ ⋅ = − ϑ − ϑ + − ϑ ⋅ ε

p p

2 2

L L L y L L L

1 ... 1 ... (3.5.3)

p t q t

1 2 1 2

o ancora

= ϕ ⋅ + ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + ε − ϑ ⋅ ε − ϑ ⋅ ε + − ϑ ⋅ ε

y y y y

... ... (3.5.4)

− − − − − −

1 1 2 2 1 1 2 2

t t t p t p t t t q t q

ϑ = ϕ

, , ,

Sotto determinate condizioni riguardanti i parametri j q

1, 2, ...,

j j

= , e che analizzeremo in seguito, anche lo schema (3.5.4) genera un

j p

1, 2, ...,

processo stazionario in senso debole; in esso la variabile è funzione di se

y y

{ } t

t ε

stessa ritardata una, due, …, volte, e di una successione di residui in correlati

p t

che rappresentano i disturbi che subisce in tempi specifici rispetto al suo

y

t

andamento medio. ν

è nullo, dalla (3.4.1) si

Se, come accade generalmente, il processo singolare { }

t

= − µ

trae che e la (3.5.4) diventa

y x

t t

= + ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + ε − ϑ ⋅ ε + − ϑ ⋅ ε

x k x x

... ... (3.5.5)

− − − −

1 1 1 1

t t p t p t t q t q

è data da

dove la costante k

Si veda, a questo proposito, Zanella (1982).

2 Pagina 3-11

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

( )

= − ϕ − ϕ + − ϕ ⋅µ

k 1 ... (3.5.6)

1 2 p

Lo schema a somma mobile MA(q)

= ≠

Se è , , la (3.5.5) diventa

p q

0 0 = + ε − ϑ ⋅ ε + − ϑ ⋅ ε

...

x k (3.5.7)

− −

t t 1 t 1 q t q

e la (3.5.4) = ε − ϑ ⋅ ε − ϑ ⋅ ε + − ϑ ⋅ ε

...

y (3.5.8)

− − −

t t 1 t 1 2 t 2 q t q

e denotato con l’acronimo MA( ) . In

modello detto a somma mobile di ordine q q 3

ε

questo schema i valori dei residui hanno un’influenza soltanto temporanea sulla

t ε

variabile , nel senso che un urto al tempo , definito , ha un impatto sulla

x t x

t t

+ +

soltanto nei tempi . Il modello (3.4.2) nella scomposizione del Wold è

t t t q

, 1, ...,

ovviamente un MA( ).

Lo schema autoregressivo AR(p)

= ≠

Se invece è , , la (3.5.5) diventa

q p

0 0 = + ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + ε

...

x k x x (3.5.9)

− −

t 1 t 1 p t p t

e la (3.5.4) = ϕ ⋅ + ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + ε

...

y y y y (3.5.10)

− − −

t 1 t 1 2 t 2 p t p t

poiché costituisce la regressione di con

modello detto autoregressivo di ordine p x

t

se stessa ritardata una, due, …, volte; per ovvi motivi tale modello è indicato con

p

l’acronimo AR( ).

p ε hanno una influenza persistente sui valori di a

In questo schema i residui y

t t

partire proprio dal -esimo. Ad esempio, nel modello AR(1)

t = + ϕ ⋅ + ε

x k x (3.5.11)

t 1 t 1 t τ

ε ϕ ⋅ ε

l’impatto di un disturbo nonnullo su è pari a , come facilmente si

y +τ 1 t

t t

dimostra.

Dall’inglese “Moving Average”. In realtà lo schema (3.2.26) è una somma e non una media

3 ϑ = 1, 2, ...,

j q

, , non è necessariamente pari

mobile, in quanto la somma dei parametri j

all’unità. In questo senso si veda, ad esempio, Wold (1963). Pagina 3-12

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

Lo schema ARMA(p,q)

Il modello (3.5.5) può essere visto come la combinazione di uno schema AR( ) con

p

un altro MA( ): è allora detto autoregressivo a somma mobile ed indicato con

q

l’acronimo ARMA. Si noti che ora l’ordine del modello è definito da una coppia

( ) di numeri interi.

p , q =

ϕ , , sono detti

Ancora con ovvia denominazione, i parametri j 1, 2, ..., p

j

=

ϑ ϕ

coefficienti di autoregressione, mentre le , , , sono detti

j 1, 2, ..., q

j j

coefficienti di somma mobile. θ

intero non negativo, numeri

Esempio 3.5 – Il modello a somma (3.5.7) con q j

ε

reali e variabili aleatorie costituenti un rumore bianco, genera un processo

t

stazionario in quanto ( ) =

E x k

t

e la funzione di autocovarianza

( ) ( )

( )  

γ τ = ε − θ ⋅ ε + − θ ⋅ ε ⋅ ε − θ ⋅ ε + − θ ⋅ ε

E ... ...

 

− − +τ +τ− +τ−

t 1 t 1 q t q t 1 t 1 q t q

  

−τ

q

σ ⋅ −θ + θ ⋅ θ <τ≤

2 (3.5.12)

0 q

  

 ε τ +τ

j j

 

= =

j 1

 τ>

0 q

 τ e non da . La varianza del processo è facilmente ottenuta

dipende dal ritardo t

( )

( )

γ = + θ + + θ ⋅ σ

2 2 2

0 1 ... (3.5.13)

ε

q

1 ∇

ϕ sia un numero reale

Esempio 3.6 – Il modello (3.5.11) di tipo AR(1), nel quale 1

ε

e le costituiscano un rumore bianco, genera un processo stazionario se vale la

t =

ϕ < p 1

. Infatti, se ritardiamo lo schema (3.5.10) per una, due, …,

condizione 1

1

τ volte = ϕ ⋅ + ε

y y

− − −

t 1 1 t 2 t 1

= ϕ ⋅ + ε

y y

− − −

t 2 1 t 3 t 2

... Pagina 3-13

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

e sostituiamo iterativamente, otteniamo

τ−

1

τ τ =

= ϕ ⋅ + ϕ ⋅ε

j 1, 2, ...

y y (3.5.14)

−τ −

t 1 t 1 t j

=

j 0 τ

τ ϕ →

Facendo poi tendere all’infinito, per cui , si perviene al modello a somma

0

1

mobile infinita ∞

= ϕ ⋅ε

j

y (3.5.15)

t t j

1

=

j 0

( ) =

per il quale e

E y 0

t ∞ ∞

( ) ( )

∑ ∑

( ) ( )

γ = = ϕ ⋅ ε = σ ⋅ ϕ = σ − ϕ

j j

2 2 2 2 2 2

y E

0 V ar / 1 (3.5.16)

− ε ε

t t j

1 1 1

= =

j j

0 0

ϕ ≠ ε

con , essendo le non correlate tra di loro.

1 t

1 è composta da

Per determinare la funzione di autocovarianza notiamo che y −τ

t

ε − τ

residui con indice inferiore o uguale a , per cui è incorrelata con

t y −τ

t t

ε ε

. Allora, se moltiplichiamo la (3.5.14) per e prendiamo il valor

, , ... y

−τ+ −τ+ −τ

t t t

1 2

medio dei prodotti, otteniamo  

τ−

1

( ) ∑

( ) ( ) τ

γ τ = ⋅ = ϕ ⋅ + ⋅ ϕ ⋅ ε

2 j

E y y E y E y

  (3.5.17)

−τ −τ −τ −

t t 1 t t 1 t j

 

=

j 0 ∇

In relazione a questo esempio è utile fare alcune osservazioni. In primo luogo

ϕ <

notiamo che affinché valga la (3.5.16) occorre che sia , che quindi è

1

1

condizione necessaria per la stazionarietà. In secondo luogo è interessante rilevare

che il modello (3.5.9) autoregressivo del primo ordine è equivalente al (3.5.15) a

somma mobile di ordine infinito. Per ultimo si può osservare che l’equivalenza dei

due modelli può essere anche dimostrata facendo uso dell’operatore di ritardo L

mediante il quale la (3.5.9) è scritta nella forma seguente

( )

− ϕ = ε

L y

1 (3.5.18)

t t

1 ∞

dalla quale si trae immediatamente lo schema MA( )

∞ ∞

∑ ∑

( ) ( ) j

= ε − ϕ = ϕ ⋅ ε = ϕ ⋅ ε

j

y L L

/ 1 −

t t t t j

1 1 1

= =

j j

0 0

ϕ < ϕ <

, dalla quale si trae l’ipotesi di stazionarietà .

assumendo che L 1 1 4

1 1

La consequenzialità delle due ipotesi è dimostrata nell’Algebra degli operatori.

4 Pagina 3-14

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

3.6 Stazionarietà ed invertibilità dei modelli ARMA

I processi a somma mobile sono sempre stazionari in quanto la loro varianza è

finita, come si evince dalla (3.5.11). Questo fatto non sussiste più nei generici

processi ARMA in quanto, se anche lo schema MA( ) continua a non porre

q

problemi di stazionarietà, questi esistono per lo schema AR( ). Le condizioni di

p

stazionarietà per questa componente del processo sono date nel seguente )

Teorema 3.6.1 – Condizione necessaria e sufficiente affinché un processo AR( p

sia stazionario è che gli zeri del polinomio in L 5

( )

ϕ = − ϕ + − ϕ p

L L L

1 ... (3.6.1)

p

1

siano tutti al di fuori del cerchio unitario. In questo caso il processo è equivalente ad

uno MA( ).

La dimostrazione può essere trovata in W.A. Fuller (1976). ) viene calcolata

La funzione di autocovarianza del processo ARMA( ,

p q

iterativamente mediante la formula che si ottiene moltiplicando per i due

y −τ

t

membri della (3.5.5) che possiamo riscrivere, più convenientemente, nella forma

= ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + ε − ϑ ⋅ ε + − ϑ ⋅ ε

... ...

y y y (3.6.2)

− − − −

t t p t p t t q t q

1 1 1 1

e prendendo il valor medio

p q

( ) ( )

∑ ∑

( ) ( )

⋅ = ϕ ⋅ ⋅ + ε ⋅ − θ ⋅ ε ⋅

E y y E y y E y E y

−τ − −τ −τ − −τ

t t j t j t t t j t j t

= =

j j

1 1

cioè p q ( )

∑ ∑

( ) ( ) ( )

γ τ = ϕ ⋅ γ τ − + ε ⋅ − θ ⋅ ε ⋅

j E y E y (3.6.3)

−τ − −τ

j t t j t j t

= =

j j

1 1

che particolarizziamo nei seguenti esempi. ) la (3.6.3) fornisce la funzione di

Esempio 3.7 – Per il modello AR( p

autocovarianza L

In questo polinomio, ovviamente, come nel successivo (3.6.16) l’operatore è considerato

5

come una vera e propria variabile. Pagina 3-15

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

 p

∑ ( )

ϕ ⋅ γ + σ τ=

2

j 0

 ε

j

 =

1

j

( )

γ τ =  (3.6.4)

 p

∑ ( )

ϕ ⋅ γ τ − τ =

 j 1, 2, ...

j

 =

1

j ( )

ε > ε ⋅ = σ

2

incorrelate con , per , mentre e vale la

essendo tutte le 0

y j E y

− ε

t j t t t

(3.2.4). ∇

Le equazioni di Yule-Walker

( )

γ la seconda delle (3.6.4) si ottengono le cosiddette equazioni di

Dividendo per 0

Yule-Walker ( ) ( ) ( )

ρ = ϕ + ϕ ⋅ρ + + ϕ ⋅ρ −

1 1 ... p 1

1 2 p

 ( ) ( ) ( )

ρ = ϕ ⋅ρ + ϕ + + ϕ ⋅ρ −

2 1 ... p 2

 1 2 p

 (3.6.5)

 ...

 ( ) ( ) ( )

ρ = ϕ ⋅ρ − + ϕ ⋅ρ − + + ϕ

1 2 ...

p p p

 1 2 p

( )

ρ =

essendo . Queste legano tra di loro i coefficienti di correlazione del processo

0 1

AR( ) con i coefficienti di autoregressione e possono essere utilizzate per la stima

p

di questi ultimi a partire della stima dei primi.

Esempio 3.8 – Il processo ARMA(1,1) è generato dal modello

= ϕ ⋅ + ε − θ ⋅ ε

y y (3.6.6)

− −

t 1 t 1 t 1 t 1

con funzione di autocovarianza che si trae dalla (3.6.3)

( ) ( ) ( ) ( )

γ τ = ϕ ⋅ γ τ − + ε ⋅ − θ ⋅ ε ⋅

1 E y E y (3.6.7)

−τ − −τ

1 t t 1 t 1 t

τ = τ >

. Per i due valori medi nel membro a destra sono nulli; per

per 0, 1, 2, ... 1 σ

τ = τ =

2

il secondo valor medio vale mentre il primo è nullo; per il primo

1 0

ε

σ 2

valor medio vale mentre il secondo è

ε

( ) ( ) ( )

ε ⋅ =  ε ⋅ ϕ ⋅ + ε − θ ⋅ ε  = ϕ ⋅ σ − θ ⋅ σ = σ ⋅ ϕ − θ

2 2 2

E y y

 

− − − − ε ε ε

t 1 t t 1 1 t 1 t 1 t 1 1 1 1 1

per cui la (3.6.7) diventa Pagina 3-16


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui processi stazionari e i modelli ARMA. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le serie storiche e i processi aleatori, i processi aleatori stazionari (in senso debole), il processo stazionario in senso forte, la scomposizione del Wold, il modello autoregressivo a somma mobile (ARMA), la stazionarietà e l'invertibilità.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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