Econometria - i modelli ARMA

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

− Serie storiche: il dominio temporale

Modulo VII

3 PROCESSI STAZIONARI E MODELLI ARMA

Indice del capitolo

3.1 Serie storiche e processi aleatori................................................................................. 2

Valori medi condizionati ed incondizionati ......................................................... 2

Autocovarianze ed autocorrelazioni...................................................................... 3

3.2 Processi aleatori stazionari (in senso debole)............................................................. 4

3.3 Il processo stazionario in senso forte .......................................................................... 7

3.4 La scomposizione del Wold .......................................................................................... 8

Il filtro lineare........................................................................................................ 9

La funzione di risposta all’impulso ...................................................................... 9

3.5 Il modello autoregressivo a somma mobile (ARMA)................................................ 11

Lo schema a somma mobile MA(q) ..................................................................... 12

Lo schema autoregressivo AR(p) ......................................................................... 12

Lo schema ARMA(p,q)......................................................................................... 13

3.6 Stazionarietà ed invertibilità dei modelli ARMA .................................................... 15

Le equazioni di Yule-Walker ............................................................................... 16

Le condizioni di invertibilità .............................................................................. 18

3.7 Bibliografia ................................................................................................................. 20

15/04/03;21.31 −

Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

3.1 Serie storiche e processi aleatori

Nel capitolo precedente si è ipotizzato che le serie storiche relative ad una

{ x }

t

variabile concernente l’attività economica potessero essere scomposte in una

componente secolare, la tendenza, ed in una residuale, contenente le fluttuazioni

cicliche. Nel modello (2.3.2) la componente secolare è costituita da un polinomio nel

tempo e quella residuale dal processo , mentre nel modello (2.3.1) la

t { v }

t

componente residuale costituisce, a prescindere dalla costante , la differenza

{ u } µ

t

−

. Soffermiamoci ora su questa componente residuale che indichiamo più in

x x −

t t 1 = ± ±

generale con , , e che è essa stessa un processo aleatorio

{ y } t 0, 1, 2, ...

t

costituito da una successione infinita di variabili aleatorie ordinate secondo il

tempo t { }

y , ..., y , ..., y , y , y , ..., y , ..., y (3.1.1)

−∞ − − ∞

t 1 0 1 t

Questo processo è detto a parametro discreto in quanto gli indici costituiscono un

è viceversa

insieme discreto di numeri interi relativi. Un processo aleatorio { y }

t

detto a parametro continuo quando l’indice è un numero reale variante con

t

continuità in un certo intervallo.

generalmente conosciamo soltanto una parte (finita)

Del processo aleatorio { y }

t

di una sua realizzazione: è la serie storica a parametro discreto .

{ y }

t , ma nel

Analogamente si definisce la serie storica a parametro continuo y (

t )

{ }

prosieguo, salvo quando esplicitamente indicato, tratteremo soltanto serie storiche

e processi aleatori a parametro discreto.

Valori medi condizionati ed incondizionati

Se il valor medio del processo è rappresentato perfettamente dalla sua

{ x }

t

( ) =

componente tendenziale, allora per ogni . Questo fatto accade, ad

t

E y 0

t

esempio, nei due modelli (2.3.2) e (2.3.3): nel primo possiamo supporre che

( ) ( ) ∀

= α + α ⋅ =

per cui è , mentre nel secondo, supponendo che sia

, t

E x t E v 0

t 0 1 t

( ) = + µ ⋅

E x x t (3.1.2)

t 0

( ) =

, .

è anche E x 0 ∀

t

t

Si è osservato che il modello (2.3.3) è equivalente all’altro (2.3.1), per cui la

definita dalla (2.3.1). In effetti,

(3.1.2) rappresenta anche il valor medio della x t

tuttavia, è possibile calcolare il valor medio della in forma diretta tramite la

x t −

(2.3.1) e condizionatamente all’insieme di informazioni disponibili al tempo , in

t 1

particolare alla conoscenza di ; così si ha

x −

1

t Pagina 3-2

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Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

( ) ( )

= + µ + = + µ

E x x E u x (3.1.3)

− −

1 1

t t t t . Il valor medio (3.1.2) è allora

che rappresenta il valor medio condizionato di x

t

detto incondizionato.

Autocovarianze ed autocorrelazioni

Si è detto nel capitolo precedente che altre caratteristiche delle serie storiche si

ritrovano nel loro DGP e quindi nei modelli stocastici che rappresentano questo

sono le autocorrelazioni, cioè nella sostanza, insieme alle varianze, i momenti del

secondo ordine. Queste caratterizzano, ovviamente, non tanto la componente

~

secolare di quanto le sua componente residuale , per cui possiamo

{ x } { }

y t

t

definire covarianza tra e o, come suol dirsi, autocovarianza di ritardo al

y y τ

−τ

t t

tempo t { }

( ) ( ) ( )

γ τ = − ⋅ −

   

, t E y E y y E y (3.1.4)

   

−τ −τ

t t t t

σ

τ 2

per ogni e . Se poi è la varianza di , si definisce autocorrelazione di

t { y }

t t

τ

ritardo al tempo il rapporto

t [ ]

( ) ( )

ρ τ = γ τ σ ⋅ σ

, t , t / −τ

t t

τ e .

per ogni t permette, poi, di determinare quelli

La conoscenza dei momenti secondi di { y }

t

di .

{ x }

t Pagina 3-3

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Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

3.2 Processi aleatori stazionari (in senso debole) ~

La conoscenza dei momenti primi e secondi della distribuzione di probabilità di è

x

t

( )

ϑ

spesso sufficiente a caratterizzare la sua funzione di densità e

p x ; x , x ,...

− −

t t t 1 t 2

~

quindi a dare una rappresentazione stilizzata del DGP di . Sfortunatamente,

{ }

x

t

tuttavia, il campione di dati disponibili è generalmente limitato ad una serie

storica contenente una sola osservazione per ogni tempo , ed è quindi in

{ x } t

t ϑ

pratica impossibile stimare un vettore di parametri diverso per ogni . È per

t

t

questo motivo che si limita il DGP imponendo la condizione che i momenti primi e

secondi di siano invarianti nel tempo; in altre parole si suppone che sia, per ogni

y

t

,

t ( ) = µ

E y (3.2.1)

t

( ) ( )

 

2

− µ = σ = γ < ∞

2

E y 0 (3.2.2)

 

t

( ) ( ) ( ) τ = ± ±

− µ ⋅ − µ = γ τ

 

1, 2, ...

E y y (3.2.3)

 

−τ

t t

~ che gode di queste proprietà è detto stazionario in senso

Il processo aleatorio { }

y t

debole o stazionario del secondo ordine (o in covarianza) ed in termini non rigorosi

ma chiarificanti si può dire che generi serie storiche di elementi fluttuanti intorno

µ

ad un valor medio, , che non cambia nel tempo, con oscillazioni anch’esse di

ampiezza media costante. τ ed è per

L’autocovarianza (3.2.3) dipende unicamente dal ritardo di calcolo

( )

γ τ

questo motivo che è detta funzione di autocovarianza; essa è pari, infatti

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

γ τ =  − µ ⋅ − µ  =  − µ ⋅ − µ  = γ −τ

E u u E u u (3.2.4)

   

−τ +τ

t t t t τ =

e pertanto la (3.2.3) può essere definita anche per i soli valori .

1, 2, ...

Si noti che poiché vale la relazione

( ) ( ) ( )

 − µ ⋅ − µ  = ⋅ − µ 2

E y y E y y

 

−τ −τ

t t t t

τ = , l’invariabilità nel tempo della varianza e delle autocovarianze è

per 0, 1, 2, ...

garantita da quelle dei momenti secondi non centrali.

σ 2 la (3.2.3) si ottiene la funzione di autocorrelazione

Dividendo per ( ) ( ) τ =

ρ τ = γ τ σ 2 1, 2, ...

/

anche questa, ovviamente, funzione pari. Osserviamo infine che non si perde in

generalità dal punto di vista statistico se si considerano al posto delle variabili

− µ

aleatorie quelle scarto e pertanto nel seguito, specialmente nel contesto di

y y

t t Pagina 3-4

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Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

dimostrazioni riguardanti processi stazionari in senso debole, sarà lecito supporre

µ = .

0 possiede valor

Esempio 3.1 – Se il processo stazionario in senso debole { y }

t σ 2

medio ed autocovarianze tutti nulli, salvo ovviamente la varianza , tale processo

è detto puramente aleatorio o anche, con terminologia derivata dall’acustica,

rumore bianco. Analiticamente, per ogni è

t

( ) =

E y 0

t τ≠

 0 0 (3.2.5)

( )

⋅ =

E y y 

−τ

t t σ τ=

2

 0

cioè gli elementi del rumore bianco non sono autocorrelati. ∇

ε

un processo del tipo rumore

Indichiamo generalmente nel seguito con { }

t

ε

bianco; la sua realizzazione può essere considerata come il costituente più

{ }

t

semplice, elementare, non più ulteriorm