Econometria - i modelli ARMA

Processo stazionario in senso debole

L L L y L L L1 ... 1 ... (3.5.3)p t q t1 2 1 2o ancora= ϕ ⋅ + ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + ε − ϑ ⋅ ε − ϑ ⋅ ε + − ϑ ⋅ εy y y y... ... (3.5.4)− − − − − −1 1 2 2 1 1 2 2t t t p t p t t t q t qϑ = ϕ, , ,Sotto determinate condizioni riguardanti i parametri j q1, 2, ...,j j= , e che analizzeremo in seguito, anche lo schema (3.5.4) genera unj p1, 2, ...,processo stazionario in senso debole; in esso la variabile è funzione di sey y{ } tt εstessa ritardata una, due, …, volte, e di una successione di residui in correlatip tche rappresentano i disturbi che subisce in tempi specifici rispetto al suoytandamento medio. ν è nullo, dalla (3.4.1) siSe, come accade generalmente, il processo singolare { }t= − µtrae che e la (3.5.4) diventay xt t= + ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + ε − ϑ ⋅ ε +

_- ϑ ⋅ εx k x x... ... (3.5.5)_{- - - -}1 1 1 1t t p t p t t q t qè data dadove la costante kSi veda, a questo proposito, Zanella (1982).2 Pagina 3-11_-Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale( )= _- ϕ _- ϕ + _- ϕ ⋅µk 1 ... (3.5.6)1 2 pLo schema a somma mobile MA(q)= ≠Se è , , la (3.5.5) diventap q0 0 = + ε _- ϑ ⋅ ε + _- ϑ ⋅ ε...x k (3.5.7)_{- -}t t 1 t 1 q t qe la (3.5.4) = ε _- ϑ ⋅ ε _- ϑ ⋅ ε + _- ϑ ⋅ ε...y (3.5.8)_{- - -}t t 1 t 1 2 t 2 q t qe denotato con l’acronimo MA( ) . Inmodello detto a somma mobile di ordine q q 3εquesto schema i valori dei residui hanno un’influenza soltanto temporanea sullat εvariabile , nel senso che un urto al tempo , definito , ha un impatto sullax txt + soltanto nei tempi. Il modello (3.4.2) nella scomposizione del Wold è un MA(q), ovviamente un MA(q). Lo schema autoregressivo AR(p) ≠ q. Se invece è p, la (3.5.5) diventa p0 = + ϕ₁xt-1 + ϕ₂xt-2 + ... + ϕ_pxt-p + ε...x_kx_x (3.5.9) - ε_t-1 - ε_t-2 - ... - ε_t-p e la (3.5.4) = ϕ₁yt-1 + ϕ₂yt-2 + ... + ϕ_pyt-p + ε...y_yy_y (3.5.10) - ε_t-1 - ε_t-2 - ... - ε_t-p poiché costituisce la regressione di yt con un modello detto autoregressivo di ordine p xt se stessa ritardata una, due, ..., volte; per ovvi motivi tale modello è indicato con l'acronimo AR(p). ε hanno una influenza persistente sui valori di yt a partire proprio dal t-esimo. Ad esempio, nel modello AR(1) yt = + ϕ₁yt-1 + ε...x_kx (3.5.11) - ε_t-1 - ε_t-1 τε ϕ₁ l'impatto di un disturbo non nullo su yt è pari a τε, come facilmente si dimostra. Dall'inglese

“Moving Average”. In realtà lo schema (3.2.26) è una somma e non una media3 ϑ = 1, 2, ...,j q, , non è necessariamente parimobile, in quanto la somma dei parametri jall’unità. In questo senso si veda, ad esempio, Wold (1963). Pagina 3-12−Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

Lo schema ARMA(p,q)

Il modello (3.5.5) può essere visto come la combinazione di uno schema AR( ) conpun altro MA( ): è allora detto autoregressivo a somma mobile ed indicato conql’acronimo ARMA. Si noti che ora l’ordine del modello è definito da una coppia( ) di numeri interi.p , q =ϕ , , sono dettiAncora con ovvia denominazione, i parametri j 1, 2, ..., pj=ϑ ϕcoefficienti di autoregressione, mentre le , , , sono dettij 1, 2, ..., qj jcoefficienti di somma mobile. θintero non negativo, numeri

Esempio 3.5 – Il modello a somma (3.5.7) con q jεreali e variabili aleatorie costituenti un

rumore bianco, genera un processo stazionario in quanto ( ) =E x kte la funzione di autocovarianza( ) ( )( )  γ τ = ε − θ ⋅ ε + − θ ⋅ ε ⋅ ε − θ ⋅ ε + − θ ⋅ ε E ... ... − − +τ +τ− +τ−t 1 t 1 q t q t 1 t 1 q t q  −τq∑σ ⋅ −θ + θ ⋅ θ <τ≤2 (3.5.12)0 q   ε τ +τj j = =j 1 τ>0 q τ e non da . La varianza del processo è facilmente ottenutadipende dal ritardo t( )( )γ = + θ + + θ ⋅ σ2 2 20 1 ... (3.5.13)εq1 ∇ϕ sia un numero realeEsempio 3.6 – Il modello (3.5.11) di tipo AR(1), nel quale 1εe le costituiscano un rumore bianco, genera un processo stazionario se vale lat =ϕ < p 1. Infatti, se ritardiamo lo schema (3.5.10)

per una, due, …,condizione 11τ volte = ϕ ⋅ + εy y− − −t 1 1 t 2 t 1= ϕ ⋅ + εy y− − −t 2 1 t 3 t 2... Pagina 3-13−Modulo VII Serie storiche: il dominio temporalee sostituiamo iterativamente, otteniamoτ−1∑τ τ == ϕ ⋅ + ϕ ⋅εj 1, 2, ...y y (3.5.14)−τ −t 1 t 1 t j=j 0 ττ ϕ →Facendo poi tendere all’infinito, per cui , si perviene al modello a somma01mobile infinita ∞∑= ϕ ⋅εjy (3.5.15)−t t j1=j 0( ) =per il quale eE y 0t ∞ ∞( ) ( )∑ ∑( ) ( )γ = = ϕ ⋅ ε = σ ⋅ ϕ = σ − ϕj j2 2 2 2 2 2y E0 V ar / 1 (3.5.16)− ε εt t j1 1 1= =j j0 0ϕ ≠ εcon , essendo le non correlate tra di loro.1 t1 è composta daPer determinare la funzione di autocovarianza notiamo che y −τtε − τ residui con

indice inferiore o uguale a , per cui è incorrelata cont y - τt ε ε . Allora, se moltiplichiamo la (3.5.14) per e prendiamo il valor, , ... y-τ+ -τ+ -τt t t1 2medio dei prodotti, otteniamo ^{τ-1( ) ∑( ) ( ) τγ τ = · = ϕ · + · ϕ · ε2 j E y y E y E y} _{(3.5.17)-τ -τ -τ -t t 1 t t 1 t j} =j 0 ∇In relazione a questo esempio è utile fare alcune osservazioni. In primo luogo ϕ

dell'operatore di ritardo L mediante il quale la (3.5.9) è scritta nella forma seguente( )- ϕ = εL y1 (3.5.18)t t1 ∞dalla quale si trae immediatamente lo schema MA( )∞ ∑ ∑( ) ( ) j= ε - ϕ = ϕ · ε = ϕ · εjy L L/ 1 -t t t t j1 1 1= =j j0 0ϕ < ϕ <, dalla quale si trae l'ipotesi di stazionarietà. assumendo che L 1 1 41 1La consequenzialità delle due ipotesi è dimostrata nell'Algebra degli operatori.4 Pagina 3-14-Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale3.6 Stazionarietà ed invertibilità dei modelli ARMAI processi a somma mobile sono sempre stazionari in quanto la loro varianza è finita, come si evince dalla (3.5.11). Questo fatto non sussiste più nei generici processi ARMA in quanto, se anche lo schema MA( ) continua a non porre problemi di stazionarietà, questi esistono per lo schema AR( ).

Le condizioni di stazionarietà per questa componente del processo sono date nel seguente Teorema 3.6.1 - Condizione necessaria e sufficiente affinché un processo AR(p) sia stazionario è che gli zeri del polinomio in L, ϕ(L) = 1 - ϕ1L - ϕ2L^2 - ... - ϕpL^p, siano tutti al di fuori del cerchio unitario. In questo caso il processo è equivalente ad un MA(∞). La dimostrazione può essere trovata in W.A. Fuller (1976). La funzione di autocovarianza del processo ARMA(p,q) viene calcolata iterativamente mediante la formula che si ottiene moltiplicando per i due membri della (3.5.5) che possiamo riscrivere, più convenientemente, nella forma: y(t) = ϕ1y(t-1) + ϕ2y(t-2) + ... + ϕpy(t-p) + ε(t) - θ1ε(t-1) - θ2ε(t-2) - ... - θqε(t-q) e prendendo il valore medio: E(y(t)y(t-τ)) = ϕ1E(y(t-1)y(t-τ)) + ϕ2E(y(t-2)y(t-τ)) + ... + ϕpE(y(t-p)y(t-τ)) + E(ε(t)ε(t-τ)) - θ1E(ε(t-1)ε(t-τ)) - θ2E(ε(t-2)ε(t-τ)) - ... - θqE(ε(t-q)ε(t-τ))⋅ − θ ⋅ ε ⋅ E y y E y y E y E y−τ − −τ − −τt t j t j t t t j t j t= =j j1 1cioè p q ( )∑ ∑( ) ( ) ( )γ τ = ϕ ⋅ γ τ − + ε ⋅ − θ ⋅ ε ⋅ j E y E y (3.6.3)−τ − −τj t t j t j t