Econometria - i modelli econometrici

Francesco Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo I – Concetti di base

2 I MODELLI ECONOMETRICI E LA LORO

COSTRUZIONE

Indice del capitolo

2.1 Analisi economica e analisi econometrica..............................................................3

2.2 I modelli e le loro caratteristiche ..........................................................................7

Modelli statici e dinamici ...............................................................................7

Il breve e il lungo periodo................................................................................8

Modelli fisici e analitici ..................................................................................9

Le variabili logaritmizzate, i tassi di variazione e le elasticità....................... 10

2.3 Il processo di specificazione ................................................................................ 14

Specificazione teorica e specificazione econometrica....................................... 15

2.4 Tassonomia delle equazioni ................................................................................ 20

Equazioni di comportamento ........................................................................ 20

Equazioni istituzionali ................................................................................. 21

Equazioni tecniche........................................................................................ 22

Equazioni definitorie .................................................................................... 22

Identità ........................................................................................................ 22

Funzioni di reazione ..................................................................................... 22

2.5 Forma strutturale e forma ridotta delle equazioni .............................................. 24

La struttura economica................................................................................. 24

Forma ridotta di un modello ......................................................................... 25

Un modello di domanda e offerta .................................................................. 27

2.6 Variabili teoriche e variabili osservabili.............................................................. 29

Schemi di attese adattive .............................................................................. 29

L’operatore di ritardo L ................................................................................ 31

2.7 La causalità nelle relazioni economiche.............................................................. 33

La causalità in un modello di domanda e offerta........................................... 33

Causalità e curva di Phillips ........................................................................ 34

L’impostazione di D. Hume ........................................................................... 35

La causalità secondo G.H. Orcutt.................................................................. 36

L’impostazione di H. Simon .......................................................................... 37

La causalità secondo H. Wold ....................................................................... 39

2.8 Linearizzazione di modelli non lineari rispetto alle variabili ............................... 40

La tendenza temporale come curva polinomiale deterministica...................... 41

Semplici forme di equazioni non lineari nelle variabili.................................. 41

Il sentiero di equilibrio di lungo periodo in forma continua ........................... 42

Il modello nei logaritmi delle variabili.......................................................... 43

Riparametrizzazioni ..................................................................................... 43

La trasformazione delle variabili di Box-Cox................................................. 43

Il modello lineare.......................................................................................... 45

Il modello reciproco....................................................................................... 45

Il modello semilogaritmico............................................................................ 45

Il modello log-lineare .................................................................................... 45

2.9 Analisi dimensionale .......................................................................................... 46

Dimensioni fondamentali.............................................................................. 46

18/03/03, 17.50 Edizione 2.1

Modulo I – Concetti di base

Variabili di stock e variabili di flusso ........................................................... 48

La soddisfazione ........................................................................................... 48

Verifiche dimensionali delle equazioni .......................................................... 49

2.10 Esercizi .............................................................................................................. 51

2.11 Riferimenti bibliografici...................................................................................... 52

2-2

Modulo I – Concetti di base

2.1 Analisi economica e analisi econometrica

Per illustrare con chiarezza il significato e gli obiettivi dell’econometria è opportuno

partire da alcuni contenuti dell’analisi economica per effettuarne poi un’estensione

in termini di elaborazione econometrica; si riesce così più facilmente a metterne in

risalto le caratteristiche specifiche e ad evidenziarne le potenzialità.

Un’analisi economica di grande rilevanza fu fatta da J.M. Keynes (1936)

quando formulò la relazione tra il consumo e il reddito rappresentabile nella

c y

forma = α + β (2.1.1)

c y α β

dove ed sono mentre e sono e la caratterizzò

variabili parametri,

c y

mediante le proposizioni seguenti:

- la funzione è stabile nel tempo;

α β

- l’intercetta è positiva e la propensione marginale al consumo è positiva e

inferiore all’unità α > < β <

, (2.1.2)

0 0 1

β

- la propensione è inferiore alla propensione media.

Dal punto di vista matematico la forma (2.1.1) è sia rispetto ai

lineare

parametri che alle variabili. Per ottenere una forma rispetto a queste è

non lineare

sufficiente prendere i logaritmi naturali di queste

1

= α + β .

ln c ln y

Per ipotizzare le relazioni (2.1.1)-(2.1.2) il Keynes si basò essenzialmente su

considerazioni teoriche ed il funzionamento reale del sistema economico fu da lui

esaminato, a questo proposito, soltanto in maniera descrittiva.

Sempre nell’ambito dell’analisi economica è possibile supporre che la funzione

del consumo offra una descrizione migliore della realtà economica se viene

y

sostituito dal reddito disponibile

= − (2.1.3)

d

y y v

dove è l’imposta globale sul reddito

v ( )

= α + β − (2.1.4)

c y v

In econometria si usano soltanto i logaritmi in base e.

1 2-3

Modulo I – Concetti di base

in quanto un esame anche semplificato del comportamento dei consumatori può

condurre a ritenere che essi basino le decisioni di spesa sulla quantità di reddito

che hanno effettivamente a disposizione una volta che siano detratte le imposte.

Equazioni quali le (2.1.1) e (2.1.4) sono dette in quanto legano le

statiche

variabili , e allo stesso tempo; ma si può presumere, sempre congetturando

c v

y

in termini di teoria economica, che il consumo al tempo sia piuttosto funzione

c t

del reddito goduto nei periodi precedenti come nella relazione seguente

α >

= α + β < β <

, (2.1.5)

0

c y 0 1

−

t t 1

dove le variabili sono associate ad un indice temporale e è funzione lineare del

c t

reddito di un’unità temporale, oppure nell’altra

ritardato = α + β + β + β (2.1.6)

c y y y

− −

t 0 t 1 t 1 2 t 2

dove la variabile sussiste sia al tempo che ritardato di una e due unità.

corrente

y

La (2.1.6) può essere ulteriormente generalizzata fino a considerare ritardi del

k

reddito α β β

c = + y +β y + … + y

t 0 t 1 t-1 k t-k

ma sorge in tal caso un dissidio fra gli aspetti teorici e quelli empirici dell’analisi,

determinato dal fatto che il numero di ritardi , pur essendo relativamente

k

semplice da determinare in termini empirici, è difficile da giustificare in termini

teorici (perché e non o ?). Questa ulteriore estensione ha quindi un aspetto

k k+1 k-1

di arbitrarietà (il numero di ritardi ) che risulta difficilmente conciliabile con le

k

esigenze di generalità dell’analisi teorica.

Questo dissidio può essere ricomposto se si generalizza la (2.1.6) fino a

considerare infiniti ritardi temporali, ottenendosi lo schema a ritardi distribuiti

infiniti ∞

∑

= α + β + β + β + = α + β (2.1.7)

c y y y ... y

− − −

t 0 t 1 t 1 2 t 2 j t j

=

j 0

nel quale la motivazione economica consiste nel ritenere che il consumo sia

funzione di tutta la storia passata del reddito.

Si noti che in effetti è difficile poter supporre che esistano influenze

significative dalle sulla per ritardi molto grandi. Dal punto di vista

c j

y − t

t j

economico, però, la (2.1.7) ha il pregio di non imporre un ritardo di troncamento k

arbitrario. Al contempo, nonostante in essa figurino infiniti parametri, la (2.1.7) ha

una forte motivazione in termini operativi, data la facilità con cui lo schema a

ritardi distribuiti infiniti può essere trasformato, matematicamente, in modo da

2-4

Modulo I – Concetti di base

β

ridurre il numero, infinito, di parametri presenti ed ottenere una relazione

j

molto parsimoniosa. Se si fanno le ipotesi

β = β ⋅ ρ < ρ < (2.1.8)

,

j 0 1

j

che sono fortemente vincolanti dal punto di vista economico, sostituendo nella

(2.1.7) si ottiene = α + β + βρ + βρ + (2.1.9)

2

c y y y ...

− −

t t t 1 t 2

che, ritardata di un’unità temporale, diventa

= α + β + βρ + βρ + (2.1.10)

2

c y y y ...

− − − −

t 1 t 1 t 2 t 3 ρ

Sottraendo, infine, dalla (2.1.9) la (2.1.10) moltiplicata per si ottiene

( )

− ρ = − ρ α + β (2.1.11)

c c 1 y

−

t t 1 t

( )

− ρ α = α

cioè, ponendo ,

1 ' = α + ρ + β (2.1.12)

c ' c y

−1

t t t β

che mostra come lo schema (2.1.7) con infiniti parametri possa essere

j

α β ρ

trasformato in un altro contenente soltanto , e .

Dunque, sotto le ipotesi (2.1.8) due modelli (2.1.7) e (2.1.12) sono equivalenti,

sebbene il secondo sia ben più parsimonioso del primo. Dal punto di vista

economico, tuttavia, non è affatto detto che le (2.1.8) siano aderenti alla realtà. In

altre parole, il dissidio fra aspetti teorici e aspetti empirici è stato ricomposto

β

inserendo un elemento di rigidità nel modello, cioè l’ipotesi che i decrescano

j

secondo una progressione geometrica. − ρ

2.1 - La quantità è chiamata

Osservazione quasi differenza

c c −

t t 1

ρ =

della ; se si ha una della . Passando dalla (2.1.9)

differenza

c c

1

t t

alla (2.1.11) si dice che si è operato con una quasi differenza sulla .

c

t

2.2 - Dal punto di vista della economica le

Osservazione specificazione

due funzioni (2.1.7) e (2.1.12) differiscono per il fatto che nella prima il

consumo è funzione del reddito ritardato una, due, ..., infinite volte,

mentre nella seconda essa è funzione del solo reddito corrente e di se

y

t

stesso ritardato una sola volta.

2.3 - Se una variabile economica è funzione di se stessa

Osservazione

ritardata una o più volte sussiste un fenomeno di inerzia temporale;

nella (2.1.12) il consumo è una variabile inerziale. 2-5

Modulo I – Concetti di base

All’interno della teoria economica, a questo punto, è difficile, per non dire

impossibile, determinare quale sia la relazione migliore, tra quelle esposte, in

termini di adeguatezza alla rappresentazione del funzionamento reale del sistema

economico; in particolare, la speculazione teorica non è idonea a definire

compiutamente la dinamica economica e quindi a discriminare tra le (2.1.5), (2.1.6)

e (2.1.12) che presentano il reddito ed il consumo associati ad indici temporali

diversi. Per effettuare una scelta razionale, allora, è necessario esaminare la realtà

empirica non più soltanto in forma meramente descrittiva, ma con un’indagine più

avanzata che utilizzi convenientemente i metodi statistici per la determinazione

2

(attraverso una stima) dei parametri e per la valutazione (tramite un criterio di

ottimo) di ciascuno dei modelli proposti. Dall’analisi economica si passa, in tal

guisa, all’analisi econometrica.

Durante le indagini empiriche accade sovente che si abbiano dei suggerimenti o

delle indicazioni sul come modificare le ipotesi economiche di partenza, che quindi

sono soggette ad essere nuovamente dettagliate ed analizzate con la metodologia

fornita dalla statistica, oppure, ancora, data una formulazione teorica di partenza,

avviene frequentemente che l’uso del procedimento econometrico per convalidarla o

per confrontarla con altre ipotesi non tanto conduca ad una sua conferma o

negazione ma piuttosto possa suggerire, in virtù dei ritrovati empirici,

modificazioni o ampliamenti di carattere teorico che naturalmente soltanto il

ricercatore con adeguata preparazione economica può sfruttare integralmente. La

conseguenza di queste argomentazioni è che si sviluppa un’analisi econometrica

composta da fasi di speculazione economica teorica e da fasi di indagine empirica

non separabili bensì fortemente integrate tra di loro.

3

Dunque non è sufficiente l’uso dei dati osservati, come ad esempio l’asserito da Spanos

2

(1986, p.3), a distinguere l’econometria dalle altre forme di studio dei fenomeni economici.

L’analisi descrittiva di questi può esser effettuata all’interno di una speculazione economica

ma non è condizione sufficiente a farla denominare econometrica.

Non ha ragion d’essere, quindi, la vetusta idea secondo la quale la disamina econometrica

3

è soltanto strumentale rispetto a quella economica. 2-6

Modulo I – Concetti di base

2.2 I modelli e le loro caratteristiche

Modelli statici e dinamici

Le relazioni (2.1.1) e (2.1.4) tra le variabili ed costituiscono dei modelli

c y

rappresentativi di ipotesi economiche, e le disuguaglianze (2.1.2) cui sono soggetti

α β

loro parametri e ne costituiscono parte integrante. Questi modelli sono

rappresentazioni formali ed idealizzate delle caratteristiche osservate di regolarità

e stabilità dei fenomeni economici sotto studio e vengono specificati in base al

processo interattivo di speculazione teorica ed indagine empirica descritto nel

paragrafo precedente. Tali caratteristiche sono anche chiamate (si

fatti stilizzati

4

veda più avanti la figura 2.1).

I modelli (2.1.1) ed (2.1.4) sono detti poiché vi intervengono solo variabili

statici

cioè sono associate allo stesso tempo ; i modelli (2.1.5) (2.1.6) (2.1.7) e

correnti, t

(2.1.12) sono detti in quanto contengono variabili sia correnti che

dinamici

di una o più unità temporali.

ritardate

Poiché i fenomeni economici evolvono nel tempo, i modelli dinamici hanno una

rilevanza ben più grande degli statici, ma occorre tener presente che questi ultimi

possono sovente essere considerati come rappresentativi dei sentieri di equilibrio di

dei modelli dinamici. Consideriamo ad esempio la relazione dinamica

lungo periodo

(2.1.12), che lega l’andamento del consumo a quello del reddito. Se si suppone, per

semplicità, che il reddito segua un sentiero costante (2.2.1)

y = y

t

allora anche il consumo tenderà a seguire una traiettoria costante . Sostituendo,

c

la (2.1.12) diventa α′ β

+ (2.2.2)

c = y

− ρ − ρ

1 1

che è analogo al modello statico (2.1.1); quest’ultimo, dunque, può essere visto come

la relazione di equilibrio di lungo periodo tra il consumo ed il reddito nel caso in cui

il modello di breve periodo sia quello dinamico (2.1.12) ed il comportamento di

lungo periodo del consumo sia definito dalla (2.2.1). β

2.4 - Nella (2.1.12) il parametro , che misura l’effetto

Osservazione

immediato di un incremento del reddito sul consumo, può essere

considerato come la propensione marginale al consumo di breve periodo

Il concetto moderno di modello può essere fatto risalire i lavori di R. Frisch [1935-36] e J.

4

Tinbergen [1939]. 2-7

Modulo I – Concetti di base β/(1-ρ)

mentre ricaviamo dalla (2.2.2) che quella di lungo periodo vale .

Dato che la propensione di breve è minore di quella di lungo

0≤ρ<1 ρ =

periodo. Ovviamente, se , cioè se la (2.1.12) diventa un modello

0

statico, le due propensioni sono uguali.

Il breve e il lungo periodo

La differenziazione tra il breve e il lungo periodo assume importanza basilare non

soltanto quando si tratta la teoria economica ma anche quando si costruisce un

modello. Si ebbe un esempio di questo concetto quando fu osservato che negli anni

compresi tra le due guerre mondiali negli U