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Econometria - i modelli econometrici Appunti scolastici Premium

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui modelli econometrici e la loro costruzione. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'analisi economica e l'analisi econometrica, i modelli e le loro caratteristiche, il processo di specificazione, la tassonomia delle equazioni, la forma strutturale e la forma ridotta delle... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo I – Concetti di base

dunque, spiega la tendenza di , per cui è detta (o

variabile di livello di scala)

c y

della funzione del consumo (2.1.1).

- La propensione media al consumo, essendo costituita

Osservazione 2.8

da una variabile divisa per la sua stessa variabile di livello, genera una

α

equazione, ad esempio la (2.2.3), nella quale il livello è costante (la ).

Il sentiero di lungo periodo di consumo e

reddito - Italia 1970-1996

400000

350000

300000

250000

200000

150000

100000

50000

1970:01 1974:01 1978:01 1982:01 1986:01 1990:01 1994:01

CF90 CF90FIT Y90 Y90FIT

Figura 2.2 – Serie storiche del prodotto interno lordo ai prezzi di mercato (in alto) e dei

consumi finali interni delle famiglie in Italia, dal primo trimestre del 1970 al terzo del 1996,

interpolati mediante curve che ne costituiscono i rispettivi sentieri di equilibrio di lungo

periodo (dati trimestrali grezzi a prezzi 1990, miliardi di lire).

Questa argomentazione è illustrata nella figura 2.2 che riporta gli andamenti

effettivi – le serie storiche – dei consumi finali interni delle famiglie e del

c t

prodotto interno lordo ai prezzi di mercato dal primo trimestre del 1970 al terzo

y t

del 1996, interpolati tramite curve che rappresentano la loro tendenza crescente;

questa può essere considerata come il (dei punti)

sentiero di equilibrio di lungo

o “steady Una seconda caratteristica presente nelle due serie

periodo state”.

storiche è la costituita da una conformazione che si ripete similmente

stagionalità,

ogni anno e che deriva, nel caso delle serie trimestrali della figura 2.2, dal calo

della produzione che si ha nel terzo trimestre di ogni anno. Altri caratteri delle

2-16

Modulo I – Concetti di base

serie (ad esempio il ciclo economico) oppure altri effetti di breve periodo modulano

ulteriormente la tendenza in modo da determinare l’andamento effettivo delle

variabili ed .

c y - L’equazione che genera il sentiero di equilibrio di

Osservazione 2.9

lungo periodo per la variabile può essere presa soggettivamente del

y

tipo (2.2.6); la stessa equazione nel caso del consumo è

( )

t

= + γ

c 1 c

t 0

– Il ciclo economico italiano, ben visibile nella figura

Osservazione 2.10

2.4, è stato commentato alla fine del par. 2.2.

Investimenti e tasso di interesse

Italia 1960-1997

25.00 280000

260000

20.00 240000

220000

15.00 200000

180000

10.00 160000

140000

5.00 120000

0.00 100000

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

r i

Figura 2.3 – Il tasso di interesse a lungo termine e gli investimenti privati in Italia dal

r

1960 al 1997. La serie degli investimenti mostra una tendenza crescente (evidenziata dalla

retta tratteggiata), che la porta a triplicare nel periodo di osservazione; viceversa, quella del

tasso di interesse a lungo manifesta ampie fluttuazioni attorno a una media

approssimativamente pari a 10 punti percentuali, per cui al termine del periodo di

osservazione supera di poco i valori iniziali.

Se estendiamo il modello (2.3.1) disaggregando le spese autonome in spesa

i

pubblica ed in investimenti privati che indichiamo ancora, per semplicità, con ,

g i

e se consideriamo questi come funzione del tasso interesse , otteniamo il modello

r 2-17

Modulo I – Concetti di base

I tassi di variazione di consumo e reddito

Italia 1970-1996

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

-0.01

-0.02

-0.03

1970:01 1974:01 1978:01 1982:01 1986:01 1990:01 1994:01

CF90 Y90

Figura 2.4 – I tassi tendenziali di variazione di consumo e reddito in Italia (dati trimestrali

grezzi 1970:1-1996:3). Per tasso tendenziale si intende il tasso di variazione “periodo su

periodo” (in questo caso, trimestre sullo stesso trimestre dell’anno precedente). I dati di

origine sono quelli della figura 2.2. Si noti come le fluttuazioni del reddito siano

generalmente più ampie di quelle dei consumi: questi ultimi, cioè, hanno un andamento più

“liscio” o, per meglio dire, livellato. Questo comportamento (visibile anche nella figura 2.2) è

coerente con l’ipotesi di Duesenberry: infatti, se durante le recessioni la propensione media al

consumo aumenta, questo significa che i consumi diminuiranno proporzionalmente meno dei

redditi e quindi che il loro grafico sarà più “liscio” (si osservi ad esempio il comportamento

delle due serie durante la recessione del 1974-75). Un discorso uguale e contrario vale

durante le fasi di espansione.

= α + β α > < β <

 c y 0 0 1

t t

 γ > δ <

= γ + δ

 (2.3.4)

0 0

i r

t t

 = + +

 y c i g

t t t t

che è coerente con la teoria economica ma insoddisfacente dal punto di vista

econometrico. Infatti, come anche si rileva graficamente nella figura 2.3,

nell’equazione degli investimenti privati manca una variabile nel membro a destra

dell’equazione che funga da supporto al livello crescente di . È necessario, quindi,

i

t

specificare la (2.3.4) aggiungendo una variabile di livello nel membro di destra

2-18

Modulo I – Concetti di base

dell’equazione degli investimenti privati: questa può essere di nuovo il reddito ,

y t

di modo che il sistema diventa

= α + β α > < β <

 c y 0 0 1

t t

 γ > δ < ε >

= γ + δ + ε

 (2.3.5)

0 0 0

i r y

t t t

 = + +

 y c i g

t t t t

Comparando il modello (2.3.4), che discende direttamente dalla teoria

economica, con il (2.3.5), la cui specificazione è necessaria per l’uso econometrico, si

inizia a comprendere la differenza concettuale esistente tra la costruzione di

modelli validi per l’analisi economica e quella di modelli utilizzabili nell’analisi

econometrica. 2-19

Modulo I – Concetti di base

2.4 Tassonomia delle equazioni

Nella specificazione delle relazioni tra variabili economiche è necessario tenere

nella dovuta considerazione i fenomeni rappresentati dalle equazioni e spesso è

utile classificare queste in funzione di tali fenomeni, ad esempio raggruppandole in

equazioni:

a) di comportamento,

b) istituzionali,

c) tecniche,

d) definitorie.

A queste se ne possono aggiungere altre, più speciali, che possiamo ancora

inserire nella tassonomia delle equazioni econometriche, come ad esempio le

e) identità,

f) funzioni di reazione.

Equazioni di comportamento

In molte situazioni è necessario esprimere un’ipotesi circa il di un

comportamento

insieme di operatori, siano questi consumatori, produttori o altri. Una funzione di

domanda rappresenta l’ipotesi che se il prezzo di un certo bene decresce i

consumatori ne chiederanno di più; questa è una conclusione che riguarda il loro

comportamento e può essere espressa mediante l’equazione di domanda lineare

α >

= α + β β < (2.4.1)

,

d 0

q p 0

Un altro esempio di equazione di comportamento è costituito dalla funzione del

consumo (2.1.4) già esaminata nel paragrafo 2.1, nella quale sono impiegate due

ipotesi, quella che il consumo sia funzione del reddito disponibile e l’altra che la

funzione sia lineare. Anche l’equazione della domanda di moneta (2.2.7), lineare nei

logaritmi delle variabili e e nei tassi di interesse, è di comportamento.

y p

Si noti che anche se viene utilizzata una formulazione analitica (matematica)

per rappresentare una relazione di comportamento, la forma che questa prende ed i

vincoli che sono posti sui parametri sono determinati da considerazioni economiche.

Nella funzione del consumo (2.1.4), ad esempio, la teoria economica impone che

β >

- il consumo sia funzione crescente del reddito disponibile, per cui ;

0

- l’inclinazione della funzione, che indica la propensione marginale al consumo e

β

che è definita dal coefficiente angolare , sia compresa tra zero ed uno;

α >

- l’intercetta, il termine noto dell’equazione, sia maggiore di zero, .

0 2-20

Modulo I – Concetti di base

Con l’ultima ipotesi si suppone che le spese per il consumo possano anche essere

maggiori del reddito disponibile corrente. Il comportamento definito è quindi di

breve periodo in quanto si ritiene che i consumatori possano finanziare le loro spese

tramite il risparmio.

Un ulteriore esempio di equazione di comportamento riguarda lo stock di

+

capitale desiderato per il tempo che può esser fatto dipendere dalla

t 1

produzione programmata per lo stesso tempo; se questa è supposta funzione dei

livelli di produzione passati, dando maggior peso a quelli recenti e mi nore a quelli

lontani nel tempo, si può scrivere l’equazione nella stessa forma composta dalle

(2.1.7) e (2.1.8) ∞

= α + β ρ β > < ρ <

,

j

k x 0 0 1

+ −

t 1 t j

=

j 0 β

dove è lo stock di capitale desiderato al tempo , la produzione al tempo ,

k t t

x

t t

ρ

il coefficiente di accelerazione e un fattore di ponderazione.

Equazioni istituzionali

Un’equazione è una relazione nella quale sono incorporati gli effetti di

istituzionale

vincoli istituzionali (leggi, norme d’attuazione, decreti, ecc.) in vigore.

L’imposizione fiscale, ad esempio, può essere determinata istituzionalmente e

quindi può rivelarsi necessario inserire nei modelli le imposte sui profitti, sul

valore aggiunto e così via. Una equazione istituzionale per l’imposta globale sul

reddito potrebbe indicare che = ζ + ε (2.4.2)

v y

rappresentando il fatto che le imposte dipendano linearmente dal reddito stesso.

Sostituendo la (2.4.3) nella (2.1.4) si ottiene la

( )

= α − ζβ + β − ε (2.4.3)

c 1 y

che consiste in una tra un’equazione di comportamento ed una

mistura

istituzionale. ( )

β − ε

2.11 – Poiché può essere considerata come un

Osservazione 1

α − ζβ

unico parametro, così come , la relazione (2.4.3) ha la stessa

composizione della (2.1.1); quindi non vi è sostanziale differenza formale

tra la (2.1.1) e la (2.1.4) qualora l’imposta globale sul reddito sia

supposta funzione lineare di questo. Tale situazione riveste un certo

interesse, poiché accade sovente che uno schema analitico viene criticato

per la sua semplicità e siano proposti al suo posto modelli più complessi

sui quali, tuttavia, si fanno ipotesi che li trasformano nello schema

2-21

Modulo I – Concetti di base

semplice sottoposto a critiche. Non sempre, dunque, modelli

apparentemente banali sono derivati da teorie altrettanto banali.

Equazioni tecniche

Una equazione molto utilizzata nella modellistica economica è quella relativa alla

funzione di produzione ( )

= (2.4.4)

x f l , k

dove è il prodotto, il fattore lavoro e il fattore capitale. Una tale equazione

x l k

non è di comportamento: si riferisce invece alla tecnologia in uso nella produzione,

in quanto collega due risorse (lavoro e capitale) ad un prodotto, e rappresenta,

pertanto, una equazione Un caso particolare della (2.4.4) è offerto dalla

tecnica. α β

= γ ⋅ ⋅ α β (2.4.5)

x l k + = 1

che rappresenta il ben noto tipo di funzione di Cobb e Douglas.

Equazioni definitorie

Si chiamano, infine, equazioni quelle che servono semplicemente a

definitorie

definire una variabile per mezzo di altre; è tale ad esempio la (2.1.3) che indica il

reddito disponibile come differenza tra il reddito e le imposte.

In realtà, queste relazioni definitorie sono identità “ex ante” che semplicemente

esprimono concetti veri per definizione.

Identità

È necessario prestare attenzione a non confondere le equazioni definitorie con altre

condizioni; ad esemp io la relazione = +

y c i

t t t

del modello (2.3.1) indica un’identità "ex post" e non è un’equazione definitoria “ex

ante”.

Funzioni di reazione

Un’equazione che rappresenta il modo di reagire di un’autorità di governo a

specifiche variazioni di aggregati economici è detta Tale modo

funzione di reazione.

di reagire può riguardare, ad esempio, il cambio, la moneta offerta, il tasso di

sconto, l’imposizione fiscale. Una semplice funzione di reazione sul tasso di sconto

d è del tipo seguente

r

t ∆ = α + β ∆ (2.4.6)

d

r ln p

t t 2-22

Modulo I – Concetti di base

d

che indica come la variazione di sia operata in funzione del tasso di variazione

r

t

dei prezzi. Un’altra, del tipo seguente

∆ = α + β ∆ + β ∆ + β ∆ (2.4.7)

d

r ln b ln f ln d

t 1 t 2 t 3 t

d

indica come la variazione di venga governata in funzione dei tassi di variazione

r

t

percentuale della bilancia commerciale (definita come rapporto tra esportazioni

b t

ed importazioni di merci), del movimento dei capitali (rapporto fra flussi di

f t

capitale a breve termine in entrata ed in uscita) e di un indicatore dell’attività

d t

economica (ad esempio la domanda totale). β <

Nella (2.4.7) la manovra sul tasso di sconto è se (ad un

prociclica 0

3 d

aumento dell’attività economica l’autorità di governo reagisce abbassando ),

r

t

β >

se .

anticiclica 0

3 2-23

Modulo I – Concetti di base

2.5 Forma strutturale e forma ridotta delle equazioni

La struttura economica

Un modello econometrico è rappresentativo in generale di una struttura economica,

che può essere definita, in termini generali, come un insieme di comportamenti, di

possibilità tecniche di produzione, di fattori istituzionali, di convenzioni contabili,

ecc., che si ipotizzano costanti per un certo periodo di tempo, detto periodo di

Sul piano descrittivo, alla costanza della struttura teorica corrisponde

osservazione.

un insieme di regolarità empiriche, i cosiddetti che riassumono le

fatti stilizzati,

caratteristiche salienti manifestate dai dati nel periodo di osservazione. Le

equazioni (di comportamento, tecniche, istituzionali, ecc.) che rappresentano i

diversi aspetti di una data struttura economica in base a specifiche ipotesi teoriche

vengono dette come i parametri ad esse associati durante i periodi di

strutturali,

osservazione. Il modello composto mettendo a sistema un insieme di equazioni

strutturali viene detto modello strutturale.

Inflazione e velocità di circolazione della

moneta in Italia: 1970-1992

12% 1.6

10% 1.5

8% 1.4

6% 1.3

4% 1.2

2% 1.1

0% 1.0

1970 1975 1980 1985 1990

M P V

Figura 2.5 – Il grafico rappresenta le serie storiche dei tassi annuali di variazione dello stock

di moneta M e del deflatore implicito del PIL P (scala di destra), e la velocità di circolazione

della moneta V (scala di sinistra). Dati annuali riferiti all’Italia, 1970-1992. Si noti

l’impennata della velocità di circolazione contestuale all’incremento dell’inflazione nella

seconda metà degli anni ’70.

Talvolta, in un dato periodo esiste un tempo nel quale cambia la struttura

t

economica e quindi si modifica il modello econometrico associato nei valori dei suoi

2-24

Modulo I – Concetti di base

parametri o anche nella specificazione stessa delle relazioni che lo compongono: si

dice, allora, che nel tempo si è avuto un cambiamento strutturale.

t

In effetti, è necessaria molta cautela nel ritenere costante la struttura

economica in un certo periodo: ad esempio, nella cosiddetta equazione di

Cambridge che mette in relazione la domanda di moneta con il reddito

=

d (2.5.1)

m ky

t t

il coefficiente rappresenta l’inverso della velocità di circolazione della moneta e

k

può essere considerato costante perché è determinato dall’insieme dei pagamenti e

di introiti che a loro volta derivano da abitudini o da fattori sociali ed istituzionali

che cambiano molto lentamente. Ma in periodi di inflazione sostenuta la velocità di

circolazione cambia in modo notevole e quindi varia anche ; in tale caso questa

k

deve essere considerata come una variabile ed indicata con . Questa

k t

argomentazione è illustrata nella figura 2.5 che mostra i grafici dei tassi annuali di

variazione della quantità di moneta (misurata in termini di M2) e del deflatore

implicito del PIL, nonché il grafico della velocità di circolazione della moneta;

questo è relativamente costante degli anni 1970-1978, s’impenna negli anni di alta

inflazione 1979-1981 e ritorna ad essere costante nel periodo successivo.

β

Anche la propensione marginale al consumo del modello (2.1.1) può variare

lentamente nel tempo come osserveremo più in dettaglio nel prosieguo.

β

L’assunzione di costante comporta, pertanto, una approssimazione il cui costo, in

termini di adeguatezza di rappresentazione, può essere compensato o meno dalla

β

semplicità dell’equazione. In effetti, se nella (2.1.1) si introducesse variabile il

modello potrebbe diventare non lineare nelle variabili, come vedremo più in

dettaglio nel paragrafo 2.8.

Forma ridotta di un modello

Il sistema (2.3.1) è scritto in forma strutturale in quanto deriva direttamente da

ipotesi circa la struttura del sistema economico, riguardanti, in particolare, il

comportamento dei consumatori e la struttura del bilancio economico nazionale

(cioè il fatto che nell’economia rappresentata il reddito risulta dalla somma di

consumi e spese autonome). Se risolviamo matematicamente le sue due equazioni

rispetto alle variabili endogene e , otteniamo

c y

t t

α β

 = +

c i

 − β − β

t t

 1 1 (2.5.2)

 α 1

 = +

y i

 − β − β

t t

 1 1 2-25

Modulo I – Concetti di base

< α < β <

con , , che costituisce un sistema di equazioni scritte in forma

0 0 1

nel quale ogni equazione definisce una variabile endogena in funzione di

ridotta,

tutte e sole le esogene (in questo caso la sola ).

i

t

Con semplici sostituzioni possiamo scrivere la forma ridotta (2.5.2) come segue

= π + π

 c i (2.5.3)

t 11 12 t

 = π + π

 y i

t 21 22 t

π

dove i , ovvero i parametri che legano l’ esima endogena alla esima esogena,

i- j-

ij

sono detti o (per motivi che verranno chiariti in

parametri della forma ridotta

questo paragrafo) moltiplicatori.

Dal punto di vista matematico la forma ridotta e quella strutturale di un

sistema di equazioni sono equivalenti; in termini economici, al contrario, le

equazioni strutturali rappresentano le relazioni così come vengono formulate dalla

teoria economica. Di conseguenza, i parametri strutturali rappresentano entità

facilmente interpretabili in senso economico (si ricordi il cenno all’analisi

strutturale nel paragrafo 1.1). In particolare, gli eventuali vincoli provenienti dalla

teoria economica vengono di solito espressi in termini dei parametri strutturali (si

veda ad esempio la (2.1.2)).

Lo studio delle equazioni in forma ridotta, viceversa, è utile nelle previsioni e

nelle simulazioni di politica economica. Ad esempio, la prima delle (2.3.1), presa

singolarme nte, non ci consente di determinare gli effetti di un incremento delle

spese autonome sul consumo , dato che in essa le spese autonome non figurano.

c

Viceversa, nella forma ridotta questo effetto, che si esplica attraverso la seconda

π β/(1-β)

delle (2.3.1), è espresso dal parametro , che costituisce il moltiplicatore

=

12

del modello (2.3.1).

keynesiano π

In generale i parametri della forma ridotta sono detti moltiplicatori appunto

ij

perché esprimono il coefficiente per il quale occorre moltiplicare l’incremento della

-esima esogena onde ottenere il corrispondente incremento dell’ -esima endogena,

j i

tenuto conto di tutte le interazioni fra le varie equazioni che compongono il

modello.

Anche in termini statistici le due rappresentazioni differiscono sostanzialmente

in quanto la forma strutturale, incorporando l’informazione proveniente dalla

teoria economica, è generalmente più della forma ridotta, ovvero

parsimoniosa

prevede un numero minore di parametri. Questo fatto risulta, ad esempio, dal

π

confronto fra la (2.5.3) (nella quale figurano i quattro parametri ) e la (2.3.1)

ij 2-26

Modulo I – Concetti di base

α β

(dove compaiono solo i due parametri strutturali e ). Sotto il profilo statistico

10

ciò comporta che la forma strutturale consente un uso più efficiente

dell’informazione statistica disponibile (i dati campionari), poiché gli stessi dati

vengono utilizzati per stimare un minor numero di coefficienti. Come vedremo in

seguito, a questo vantaggio in termini di stima si associano però anche alcune

difficoltà inerenti al fatto che in generale nelle equazioni strutturali alcune

variabili esplicative sono endogene, e quindi determinate simultaneamente alla

variabile dipendente.

Possiamo, ora, riassumere alcuni caratteri di base di un modello econometrico

così com’è stato illustrato finora:

i) il numero di equazioni è uguale al numero delle variabile endogene;

ii) la forma funzionale di ciascuna equazione strutturale è esplicitamente

specificata insieme agli eventuali vincoli sui domini di variazione dei

parametri;

iii) l’insieme delle variabili esogene è incluso nel modello ed è specificata la

maniera in cui esse vi entrano;

iv) se sussistono mercati in equilibrio le condizioni relative vanno inserite nel

modello, che viene detto di equilibrio.

Vedremo in seguito che il carattere i) non sempre sussiste.

Un modello di domanda e offerta

Consideriamo ora, come altro esempio, un semplice modello di domanda e offerta in

un mercato concorrenziale

 = α + β α >

 d

q p 0

 (2.5.4)

 = γ + δ γ <

s

q p 0

nel quale la prima equazione, già esposta nella (2.4.1), stabilisce una relazione

d

lineare tra la quantità domandata ed il prezzo di mercato

per unità di tempo q

, mentre la seconda ne stabilisce un’altra tra la quantità offerta per unità di

p ed ancora il prezzo di mercato. In virtù di come sono state costruite, le

tempo

equazioni (2.5.4) sono in forma strutturale; esse rappresentano un modello di

disequilibrio.

Se il mercato è in equilibrio dobbiamo aggiungere alle (2.5.4) la condizione

π π

In effetti i parametri della forma ridotta sono tre: sussiste infatti il vincolo , dato

10 =

11 21

α/(1-β)

che entrambi questi parametri sono uguali a in virtù delle (2.5.2). 2-27

Modulo I – Concetti di base

= =

d s (2.5.5)

q q q

ottenendosi così un modello con tre equazioni strutturali (una condizione di

e due equazioni che rispecchiano il comportamento dei consumatori e dei

equilibrio d s

produttori) e tre variabili endogene , , e .

q q p

Risolvendo il sistema rispetto a ed a , otteniamo

q p

α − γ αδ − βγ

= = δ ≠ β

, , (2.5.6)

p q

δ − β δ − β

che rappresentano la del modello. Sui valori dei suoi parametri la

forma ridotta d

teoria economica impone dei vincoli: poiché se il prezzo scende aumenta e

q

p

β <

viceversa, segue che ; inoltre se il prezzo aumenta anche la quantità offerta

0

δ >

cresce per cui segue che .

0

δ > β > α > γ

Poiché allora è sempre e poiché , essendo un prezzo, si ha che

p 0

αδ > βγ

dalla prima delle (2.5.6) e che dalla seconda. In conclusione, la

specificazione del modello (2.5.4)-(2.5.5) include i seguenti vincoli sui parametri

δ >

β < βγ < αδ

α > γ

, , ,

0

0

Nel modello (2.5.4)-(2.5.5) non compaiono variabili esogene; possiamo tuttavia

considerar e il reddito come esogena aggiuntiva e costruire il sistema

y t

 = α + β + ε

d α > β < ε >

q p y 0 0 0

 δ > γ <

= γ + δ (2.5.7)

s

 0 0

q p

 = =

d s

q q q

specificato in modo tale che una variazione positiva del reddito influisce

positivamente sulla quantità domandata. La forma ridotta della (2.5.7) è costituita

dalle α − γ ε αδ − βγ δε

= + = + δ ≠ β

, , (2.5.8)

p y q y

δ − β δ − β δ − β δ − β

ε =

che diventano le (2.5.6) per .

0

Poiché in ambedue le equazioni (2.5.8) compare il reddito, è possibile

determinare come una variazione di questo influisca sia su che su tramite le

p q

derivate ε δε

dp dq

= > = >

,

0 0

δ − β δ − β

dy dy

che sono, in effetti, i del reddito nel modello (2.5.6).

moltiplicatori 2-28

Modulo I – Concetti di base

2.6 Variabili teoriche e variabili osservabili

Le variabili contemplate nella teoria economica sono dette e non sempre

teoriche

sono misurabili empiricamente; quelle che, invece, possono assumere valori dedotti

dai dati a disposizione sono chiamate In molti casi, ovviamente,

osservabili.

variabili teoriche e variabili osservabili non coincidono.

Illustriamo questa differenza con un esempio tratto dall’analisi della domanda e

dell’offerta, che concerne la determinazione del prezzo in regime di mercato

conc orrenziale.

La domanda di un certo bene viene espressa mediante una funzione che mette

in relazione la quantità domandata con il prezzo del bene.

per unità di tempo

Tuttavia tale quantità domandata si riferisce a ciò che il consumatore desidera

comperare ad un certo prezzo e non a ciò che egli effettivamente compera, sebbene

possa accadere in certi casi che la quantità comperata sul mercato coincida con la

quantità domandata.

La quantità domandata e la quantità offerta per unità di tempo sono variabili

soltanto teoriche, mentre la quantità effettivamente comperata per unità di tempo

è una variabile osservabile. d s

Allora, quando nel modello (2.5.4) e assumono i valori determinati dai

q q

consumatori e, rispettivamente, dai produttori, le due variabili sono teoriche;

quando il mercato le uguaglia a , questa è osservabile.

q

Alcune serie fornite dalle statistiche ufficiali non sono osservate direttamente,

ma vengono ridotte, tramite particolari procedure statistiche, ad una cadenza più

veloce a partire da serie osservate ad una cadenza più lenta. Questo è il caso delle

serie della contabilità nazionale trimestrale, che sono derivate da serie (osservate)

annuali mediante un algoritmo di trimestralizzazione.

In altre situazioni di necessità, serie non osservate vengono sostituite da serie

con andamenti simili: ad esempio il PIL mensile, di dubbio ottenimento

proxy,

anche mensilizzando il prodotto annuale, può essere in taluni casi sostituito con la

produzione industriale, che funge da mensile.

proxy

Variabili economiche di importanza teorica notevole ma raramente osservabili

sono quelle attese: ad esempio le aspettative di inflazione o di produzione. In certi

casi le variabili non osservabili sono generate mediante modelli costruiti

appositamente, come vedremo nei due punti seguenti.

Schemi di attese adattive

Un semplice modello generatore delle attese di inflazione è dovuto a Cagan (1956)

ed ha la forma della seguente relazione di apprendimento 2-29

Modulo I – Concetti di base

( )

( ) ≤ λ ≤

− = − λ − (2.6.1)

& & & &

e e e 0 1

p p 1 p p

− −

t t 1 t t 1

dove è il tasso di inflazione al tempo dato dalla differenza prima logaritmica

&

p t

t = ∆ = − (2.6.2)

&

p ln p ln p ln p −

t t t t 1

approssimativamente uguale, come si è visto nel paragrafo 2.2, alla variazione

− e

percentuale del livello dei prezzi tra e ; e è il tasso di inflazione atteso

&

t 1

p t p

t t

+

per il tempo , formulato nel tempo .

t 1 t

L’equazione (2.6.1) indica che l’operatore che esprime l’opinione nel tempo t

e

confronta la sua previsione , fatta nel tempo precedente, con il valore effettivo

&

p −

t 1

+ >

e e

e formula per il tempo una attesa maggiore di se , ed una

& & & & & e

t 1

p p p p p

− −

t t t 1 t t 1

minore nel caso contrario. È per questo comportamento che la (2.6.1) costituisce

− e

uno schema di (di previsione, pari allo scarto )

apprendimento dall’errore & &

11 p p −

t t 1

ovvero di attese adattive, in quanto le aspettative si adattano all’andamento del

tasso di inflazione effettivo, sia pure con un certo ritardo.

λ = λ = − e

Se l’adattamento è inesistente; se è invece , cioè il valore

& &

1 0 p p −

t t 1

atteso è uguale all’ultimo dato effettivo disponibile e l’adattamento è immediato.

e

L’equazione (2.6.1) può essere risolta rispetto a , ottenendosi

&

p t

( )

= λ + − λ (2.6.3)

& & &

e e

p p 1 p

t t 1 t

che può essere riscritta iterativamente nel tempo

( )

= λ + − λ

e e

& & &

p p 1 p

− − −

t 1 t 2 t 1

( )

= λ + − λ

& & &

e e

p p 1 p

− − −

t 2 t 3 t 2

...

Sostituendo successivamente questi valori nella (2.6.3) si ha

( ) ( )

= λ + λ − λ + − λ =

& & & &

e 2 e

p p 1 p 1 p

− −

t t 2 t 1 t (2.6.4)

( ) ( ) ( ) ( )

= λ + λ − λ + λ − λ + − λ = = − λ λ

& & & & &

3 e 2 j

p 1 p 1 p 1 p ... 1 p

− − − −

t 3 t 2 t 1 t t j

=

j 0

dove la variabile attesa è funzione soltanto di tutti i valori passati del tasso di

λ

inflazione secondo lo schema di decadimento geometrico di ragione . Questa

relazione mette bene in evidenza come l’attesa di inflazione sia da un

generata

modello contenente soltanto i tassi di inflazione presente e passati. In questo senso

In lingua inglese: Tale schema di apprendimento è utilizzato anche

error-learning model.

11

in altre situazioni. 2-30

Modulo I – Concetti di base

il (2.6.4), e cioè il (2.6.1), è un modello generatore di una variabile non osservabile,

l’inflazione attesa appunto, in funzione di variabili osservate, cioè il valore

dell’inflazione sperimentato storicamente.

– L’equazione (2.6.1), o l’equivalente (2.6.4), è

Osservazione 2.12

definitoria per il tasso di inflazione atteso, secondo la tassonomia del

paragrafo 2.2. La relazione (2.6.4) rappresenta uno schema a ritardi

distribuiti infiniti, già utilizzato dalla funzione del consumo (2.1.7) e in

quella dello stock di capitale.

L’operatore di ritardo L

Alla relazione (2.6.4) si arriva più direttamente se si fa uso dell’operatore di ritardo

che, elevato all’esponente ed applicato alla generica variabile , la ritarda di

s

L z

unità temporali

s =

s (2.6.5)

L z z −

t t s

Utilizzando tale operatore, la (2.6.3) diventa, considerando che, per semplicità,

=

1

si usa porre ,

L L ( )

− λ = − λ

& & &

e e

p L p 1 p

t t t

cioè ( ) ( )

− λ = − λ

& &

e

1 L p 1 p

t t

da cui, adoperando la somma di infiniti termini di una progressione geometrica di

λ

ragione ,

L ∞

1 ∑

= λ j j (2.6.6)

L

( )

− λ

1 L =

j 0

si ottiene di nuovo la (2.6.4)

− λ ∞

( )

1 ∑

= = − λ λ

& & &

e j (2.6.7)

p p 1 p

( ) −

− λ

t t t j

1 L =

j 0

In realtà, lo sviluppo in serie di potenze (2.6.6) è comunemente utilizzato, e

dimostrato, quando la ragione della progressione è pari ad una costante, ma la sua

validità nel caso in cui sia un operatore viene dimostrata nell’algebra degli

L =

0

operatori. Come è d’uso in algebra, si pone ; valgono inoltre le proprietà

L 1

( )

+ = +

s s s

aL bL a b L

+

=

s v s v

L L L

con e costanti arbitrarie.

a b 2-31

Modulo I – Concetti di base

Da quanto illustrato segue che nelle varie operazioni è da considerarsi come

L

una costante; esso sussiste diversamente soltanto se opera su di una variabile con

indice temporale , poiché se opera su di un eleme nto invariabile nel tempo

t

svanisce. Così, se è una costante, si ha per ogni

a s

=

s (2.6.8)

L a a

e inoltre (2.6.9)

s s

L = L 1 = 1

relazione di uso molto frequente. ∆

L’operatore “differenza prima” , già utilizzato nella (2.2.9), è legato ad L

dall’uguaglianza ∆ = − (2.6.10)

1 L

Inoltre, si ha ( )

∆ = − = − +

2 2 2 (2.6.11)

1 L 1 2 L L

e più in generale ( )

∆ = − =

s s

1 L ...

Una fattorizzazione molto utile è la seguente

( )

( ) ( ) −

∆ = − = − + + + +

s

s 2 s 1

1 L 1 L 1 L L ... L

che mette in luce come la differenza -esima sia uguale al prodotto della differenza

s −

prima per un polinomio in di grado con coefficienti tutti uguali all’unità.

s 1

L 2-32

Modulo I – Concetti di base

2.7 La causalità nelle relazioni economiche

La causalità in un modello di domanda e offerta

Quando si associano tra di loro delle variabili economiche in un processo di

specificazione nasce il problema costituito dalla determinazione delle relazioni di

causa ed effetto. Se consideriamo la prima delle (2.5.4), che possiamo scrivere nella

forma generale seguente (non necessariamente lineare)

( )

=

d (2.7.1)

q f p

1

appare implicito che variazioni di prezzo causino variazioni della quantità di merce

domandata nell’unità di tempo. Così, se un monopolista fissa il prezzo ed osserva

quanto il mercato domanda, vale la (2.7.1) e si può ritenere che la direzione della

causalità vada dal prezzo alla quantità domandata. Ma se il monopolista fissa la

quantità di merce offerta ed aspetta quale prezzo risulterà nel mercato, si può

porre ( )

= s (2.7.2)

p f q

2

ritenendosi in tal modo che la direzione della causalità vada dalla quantità offerta

al prezzo .

12

Da questi esempi risulta che possiamo arguire che la direzione della causalità

sia determinata dall’argomentazione economica e che la formulazione matematica

ne sia soltanto una rappresentazione.

Sempre dal lato dell’offerta, se consideriamo la seconda delle (2.5.4) scritta nella

forma funzionale ( )

=

s (2.7.3)

q f p

3

appare implicito che la direzione della causalità vada dal prezzo alla quantità

offerta, ma se consideriamo un modello di equilibrio

( )

 =

d

q f p

1

 ( ) (2.7.4)

s =

 q f p

3

 =

d s

 q q

 d s

notiamo che le tre variabili , e sono determinate simultaneamente, per

q q p

cui non appare lecito dire che una causi l’altra.

Il concetto di causalità delineato, che è basato sui rapporti che sussistono tra variazioni

12

di variabili, è simile a quello formulato dal Wold (1954), sul quale torneremo tra breve. 2-33

Modulo I – Concetti di base

Causalità e curva di Phillips

Nelle considerazioni svolte al punto precedente alcune equazioni prese

singolarmente rispecchiano l’esistenza di relazioni causali nelle ipotesi economiche,

mentre il modello di mercato in equilibrio (2.7.4) non sembra poter essere

interpretato in senso causale. Argomentazioni simili possono essere proposte in

relazione alla curva di Phillips (1958) che il Lipsey (1960) linearizzò (nei parametri)

con la formulazione seguente

13 ( ) (2.7.5)

k w

∑ − −

= α + α + α ∆ + α + α − + α + α

& & & &

i e t 1

w u u p p p ln t

t 0 1 t 2 t 3 t 4 t t 5 6

p

= −

i 1 t 1

dove = salari nominali,

w

t = prezzi al consumo,

p t

e = prezzi al consumo attese,

p t = disoccupazione,

u t

= tempo

t

ed inoltre il punto sulle variabili denota una differenza prima logaritmica, come

nella (2.6.2), e una differenza prima semplice. L’equazione (2.7.5) è dinamica nel

senso descritto nel paragrafo 2.2 e contiene una tendenza lineare crescente

α + α

rappresentata dal polinomio nel tempo : .

t t

0 6

La specificazione (2.7.5) di Lipsey presuppone che sussista un nesso causale

teorico con direzione da a , mentre la rielaborazione della curva di Phillips

&

u w

t t

fatta da Lucas e Rapping (1969) che partono dalla relazione

  (2.7.6)

0

w w p

 

= β + β − + β

t t 1 t

u ln ln ln

 

t 0 1 2

0 0

 

p p p

− −

t t 1 t 1

dove lo zero in apice indica il valore permanente della variabile, implica la

causazione inversa, dato . Lucas e Rapping suppongono, infatti, che i valori

p t

permanenti per i salari ed i prezzi derivino da schemi adattivi del tipo (2.6.7) con lo

λ

stesso parametro , per cui − λ

1

∆ = ∆

0

ln p ln p

− λ

t t

1 L

Per la precisione, anche se la prima linearizzazione della curva di Phillips va attribuita a

13

Lipsey (1960), l’inserimento del salario reale ritardato è dovuto all’opera di Sargan (1964).

2-34

Modulo I – Concetti di base

− λ

1

∆ = ∆

0

ln w ln w

− λ

t t

1 L

dalle quali si trae − λ

( ) ( )

1

=

0 0

ln p / w ln p / w

− λ

t t t t

1 L

Sostituendo nella (2.7.6) si ottiene ( )

β − λ β

( ) ( )

1

= β + β + + ∆

1 2

u ln w / p ln p / w ln p

− −

− λ − λ

t 0 1 t t t 1 t 1 t

1 L 1 L

ed ancora, tenendo conto della (2.6.8),

( ) ( ) ( )

∆ = β − λ − − λ + β + β − β (2.7.7)

& &

u 1 1 u w p

t 0 t 1 1 t 2 1 t

dove viene rappresentata la causazione da a .

&

w u

t t

In effetti, da un punto di vista econometrico non è possibile scegliere tra le due

direzioni di causalità, vale a dire tra i due modelli (2.7.5) e (2.7.7), sulla base delle

singole equazioni soltanto: occorre aggiungere a queste ulteriori equazioni che

spieghino le altre variabili ivi contenute.

Ma, più in generale, Desai (1975) ha ritenuto che la curva di Phillips consista

nel luogo dei punti di equilibrio della coppia di variabili tasso di variazione dei

salari e disoccupazione, per cui se questa argomentazione fosse valida non si

avrebbe alcuna relazione di causalità tra di esse.

Da queste indicazioni preliminari si può già dedurre come il concetto di

causalità nelle relazioni economiche non sia facilmente definibile; ed infatti

illustreremo nel prosieguo alcune impostazioni differenti che al riguardo sono state

formulate. Risulta, tuttavia, già sufficientemente chiaro che non si manifestano

relazioni di causalità nelle situazioni di equilibrio, mentre è possibile individuarne

in quelle di disequilibrio.

L’impostazione di D. Hume

Fatte queste esemplificazioni, per esporre molto sinteticamente alcune

interpretazioni del concetto di causalità in economia è conveniente risalire a

14

David Hume , il quale parte dal presupposto che ciò che è possibile conoscere

15

tramite i sensi è contingente e particolare, e quindi è impossibile costruire una

Più estesamente esposte in Alemanno e Carlucci (1983).

14 Si veda D. Hume (1739 e 1777); in particolare, nel "Treatise" il libro I, parte III, sez. XIV,

15

e nell’"Enquiry" le sezioni IV e VII. Da questo sono tratti i passi dello Hume che seguono.

2-35

Modulo I – Concetti di base

affermazione circa una relazione causale tra due eventi: “A un fatto ne segue un

altro, ma non possiamo mai osservare un nesso tra di essi. Essi sembrano

ma mai collegati”. Questa posizione scettica viene in gran parte superata

congiunti,

dallo stesso Hume quando fornisce una giustificazione dell’uso delle relazioni

causali basata (i) sulla del nesso e (ii) sulla a tale

ripetizione consuetudine

regolarità:

“Perfino dopo un esempio o un esperimento in cui abbiamo osservato un

particolare evento seguirne un altro non siamo autorizzati a formulare una regola

generale o a dire in anticipo cosa accadrà in casi simili, essendo giustamente

considerata temerità imperdonabile giudicare l’intero corso della natura da un

singolo esperimento, per quanto accurato e sicuro. Ma quando una particolare

specie di eventi è sempre stata congiunta con un’altra, in tutti gli esempi, non ci

facciamo ulteriori scrupoli nel prevedere l’una all’apparire dell’altra, e

nell’utilizzare quel ragionamento che solo può darci sicurezza su questioni di fatto e

di esistenza. Così chiamiamo l’uno ‘causa’ e l’altro ‘effetto’”.

Si noti la sequenzialità temporale tra gli eventi che caratterizza la definizione

di causalità dello Hume e che era presente soltanto in modo implicito nelle

relazioni di domanda e di offerta considerate sopra. Un secondo carattere della

definizione è costituito dalla soggettività delle valutazioni di causa e di effetto che

sono supposte di pertinenza dell’osservatore.

La causalità secondo G.H. Orcutt

Sostanzialmente oggettivista è, al contrario, l’impostazione di G.H. Orcutt (1952

a,b), il quale in due dei lavori che danno inizio agli studi moderni della causalità di

economia fornisce una sintetica interpretazione concettuale di nesso causale ed una

sua definizione operativa.

L’Orcutt parte dalla necessità del decisore politico di governare l’economia in

modo da indirizzarla lungo il sentiero di sviluppo desiderato.

Il decisore “deve essere in grado di osservare le discrepanze tra l’attuale livello

delle variabili di interesse ed il livello desiderato di queste variabili. Quindi, se

deve portare a compimento qualche cosa, ha la necessità di avere a sua disposizione

strumenti per mezzo dei quali modificare il corso effettivo delle variabili” .

16

Questi concetti di governo dell’economia venivano utilizzati nell’epoca

pionieristica della politica economica quantitativa e dell’econometria, in tempi nei

quali si ponevano e si risolvevano alcuni problemi di fondo relativi ai sistemi di

Si veda Orcutt (1952 a).

16 2-36

Modulo I – Concetti di base

equazioni e si differenziavano i concetti di variabile endogena ed esogena, di

e .

variabile obiettivo strumentale

17

Arrivato al punto in cui si suppone che sia necessario fornire al decisore politico

un insieme di relazioni che permettono di controllare determinate variabili

endogene per mezzo delle esogene strumentali, l’Orcutt si trova di fronte alla

necessità teorica di definire concettualmente il rapporto tra esogene controllabili ed

endogene governate, il nesso, cioè, tra causa ed effetto economici.

Questo argomento è affrontato nel secondo lavoro del 1952 (b), nel quale il nesso

causale è definito come una relazione tra eventi asimmetrica: “Se è vero l’evento A,

allora è vero l’evento B”. Ma questa affermazione non implica che dobbiamo

considerare la possibilità che sussista anche la relazione inversa, con causalità da

B ad A. La definizione di causalità è soltanto “unidirezionale” (asimmetrica) e “per

esprimere una relazione non direzionale in termini di relazioni causali occorrono

almeno due relazioni causali”.

L’implicazione causale tra A e B non deve essere intesa in senso meccanico,

automatico: se A causa B, non necessariamente dobbiamo ritenere che B non possa

variare senza che anche A sia cambiato; infatti “quando diciamo che A è una causa

di B, intendiamo spesso dire che se A varia, B sarà diverso in modo specifico da ciò

che se A non fosse variato. Non escludiamo, comunque, la possibilità

sarebbe stato

di una variazione di entità sconosciuta di B anche in assenza di variazioni di A”.

Ignorato nella definizione teorica iniziale, il tempo è in seguito considerato

dall’Orcutt come elemento fondamentale per l’utilizzazione operativa del concetto

di nesso causale. Al fine di porre le variabili nella loro corretta posizione

nell’intelaiatura delle relazioni, non si può fare a meno di ricorrere al loro

ordinamento temporale.

L’impostazione di H. Simon

La caratterizzazione dell’esogenità e dell’endogenità delle var iabili è utilizzata

anche da Herbert Simon (1953) per la formalizzazione di una interpretazione della

causalità vicina a quella dell’Orcutt ma più rigorosa. La relazione causale è un ente

astratto, simmetrico, indipendente in linea di massima dalla cronologia temporale,

rappresentato da un modello analitico: “gli ordinamenti causali sono

semplicemente delle proprietà del modello dello scienziato, proprietà che sono

soggette a variare quando il modello è alterato per adattarsi a nuove

osservazioni...”.

La locuzione "variabile esogena controllabile" è stata coniata da J. Marschack (1950) e

17

quella di "variabile strumentale" da J. Tinbergen (1952). 2-37

Modulo I – Concetti di base

Suo obiettivo è, dunque, quello di dare delle regole attraverso le quali sia

possibile ordinare causalmente le variabili di un modello e non del mondo reale che

tale modello vuol rappresentare.

Un suo esempio è chiarificatore: supponiamo che il prezzo di un certo tipo di

grano dipenda linearmente dalla quantità di raccolto e che questa sia

y

y 2

3

funzione dell’andamento delle condizioni meteorologiche . Tale insieme di

y

1

relazioni causali può essere rappresentato dal sistema di equazioni lineari

β

 = γ

y

11 1 1

 β + β = γ

 (2.7.8)

y y

21 1 22 2 2

 β + β = γ

 y y

32 2 33 3 3 γ

β = =

che è risolvibile se sono conosciuti i parametri e , . Dalla

i 1

, 2 , 3 j 1

, 2 , 3

i

ij

prima equazione si ottiene , che non è funzione delle altre due variabili;

y

1

sostituendola nella seconda equazione si può risolvere questa rispetto ad , ed

y 2

infine, inserendo nella terza equazione il valore trovato per , si ottiene .

y y

3

2

Sussiste allora nelle tre equazioni un ordinamento di “antecedenza” che fa

precedere la prima rispetto alle altre due e la seconda rispetto alla terza; esiste,

inoltre, un ordinamento causale tra le variabili, per il quale la causa la e

y y

1 2

questa la . Tale ordinamento si fonda su di una causalità asimmetrica e non fa

y

3

uso del tempo.

In realtà il Simon non nega aprioristicamente la possibilità dell’ordine

cronologico e nella seconda parte del saggio del 1953 ammette: “Non c’è connessione

necessaria tra l’asimmetria di questa relazione (tra certe variabili) e l’asimmetria

temporale, sebbene un’analisi della struttura causale dei sistemi dinamici in

econometria ed in fisica dimostrerà che le relazioni ritardate possono essere

generalmente interpretate come relazioni causali”.

La definizione di causalità del Simon è restrittiva, in quanto necessita di un

modello rappresentativo per poter esplicitarsi, ed incontra difficoltà qualora si

voglia passare dalla formulazione teorica alle applicazioni.

18

Una di queste difficoltà è dovuta al fatto che, nel caso di modelli di sistemi economici,

18

spesso ad un insieme di osservazioni campionarie non corrisponde un solo insieme di valori

dei parametri ma più insiemi diversi. Segue da questo fatto, che rappresenta il problema

econometrico dell’identificazione, che, dato un modello, non sempre ai dati empirici

corrisponde un solo sistema di relazioni causali tra le variabili. Le relazioni tra il significato

razionale della causalità ed il problema dell’identificazione sono trattate nel sesto e nel

settimo paragrafo del lavoro del 1953. Successivamente il Simon (1955) riconosce che

operativamente la causalità da lui definita è discernibile soltanto se il modello su cui si

basa è sovraidentificato. 2-38


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui modelli econometrici e la loro costruzione. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'analisi economica e l'analisi econometrica, i modelli e le loro caratteristiche, il processo di specificazione, la tassonomia delle equazioni, la forma strutturale e la forma ridotta delle equazioni, le variabili teoriche e le variabili osservabili, la causalità nelle relazioni economiche, la linearizzazione di modelli non lineari rispetto alle variabili.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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