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Econometria - i modelli econometrici

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui modelli econometrici e la loro costruzione. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'analisi economica e l'analisi econometrica, i modelli e le loro caratteristiche, il processo di specificazione, la tassonomia delle equazioni, la forma strutturale e la forma ridotta delle... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo I – Concetti di base

All’interno della teoria economica, a questo punto, è difficile, per non dire

impossibile, determinare quale sia la relazione migliore, tra quelle esposte, in

termini di adeguatezza alla rappresentazione del funzionamento reale del sistema

economico; in particolare, la speculazione teorica non è idonea a definire

compiutamente la dinamica economica e quindi a discriminare tra le (2.1.5), (2.1.6)

e (2.1.12) che presentano il reddito ed il consumo associati ad indici temporali

diversi. Per effettuare una scelta razionale, allora, è necessario esaminare la realtà

empirica non più soltanto in forma meramente descrittiva, ma con un’indagine più

avanzata che utilizzi convenientemente i metodi statistici per la determinazione

2

(attraverso una stima) dei parametri e per la valutazione (tramite un criterio di

ottimo) di ciascuno dei modelli proposti. Dall’analisi economica si passa, in tal

guisa, all’analisi econometrica.

Durante le indagini empiriche accade sovente che si abbiano dei suggerimenti o

delle indicazioni sul come modificare le ipotesi economiche di partenza, che quindi

sono soggette ad essere nuovamente dettagliate ed analizzate con la metodologia

fornita dalla statistica, oppure, ancora, data una formulazione teorica di partenza,

avviene frequentemente che l’uso del procedimento econometrico per convalidarla o

per confrontarla con altre ipotesi non tanto conduca ad una sua conferma o

negazione ma piuttosto possa suggerire, in virtù dei ritrovati empirici,

modificazioni o ampliamenti di carattere teorico che naturalmente soltanto il

ricercatore con adeguata preparazione economica può sfruttare integralmente. La

conseguenza di queste argomentazioni è che si sviluppa un’analisi econometrica

composta da fasi di speculazione economica teorica e da fasi di indagine empirica

non separabili bensì fortemente integrate tra di loro.

3

Dunque non è sufficiente l’uso dei dati osservati, come ad esempio l’asserito da Spanos

2

(1986, p.3), a distinguere l’econometria dalle altre forme di studio dei fenomeni economici.

L’analisi descrittiva di questi può esser effettuata all’interno di una speculazione economica

ma non è condizione sufficiente a farla denominare econometrica.

Non ha ragion d’essere, quindi, la vetusta idea secondo la quale la disamina econometrica

3

è soltanto strumentale rispetto a quella economica. 2-6

Modulo I – Concetti di base

2.2 I modelli e le loro caratteristiche

Modelli statici e dinamici

Le relazioni (2.1.1) e (2.1.4) tra le variabili ed costituiscono dei modelli

c y

rappresentativi di ipotesi economiche, e le disuguaglianze (2.1.2) cui sono soggetti

α β

loro parametri e ne costituiscono parte integrante. Questi modelli sono

rappresentazioni formali ed idealizzate delle caratteristiche osservate di regolarità

e stabilità dei fenomeni economici sotto studio e vengono specificati in base al

processo interattivo di speculazione teorica ed indagine empirica descritto nel

paragrafo precedente. Tali caratteristiche sono anche chiamate (si

fatti stilizzati

4

veda più avanti la figura 2.1).

I modelli (2.1.1) ed (2.1.4) sono detti poiché vi intervengono solo variabili

statici

cioè sono associate allo stesso tempo ; i modelli (2.1.5) (2.1.6) (2.1.7) e

correnti, t

(2.1.12) sono detti in quanto contengono variabili sia correnti che

dinamici

di una o più unità temporali.

ritardate

Poiché i fenomeni economici evolvono nel tempo, i modelli dinamici hanno una

rilevanza ben più grande degli statici, ma occorre tener presente che questi ultimi

possono sovente essere considerati come rappresentativi dei sentieri di equilibrio di

dei modelli dinamici. Consideriamo ad esempio la relazione dinamica

lungo periodo

(2.1.12), che lega l’andamento del consumo a quello del reddito. Se si suppone, per

semplicità, che il reddito segua un sentiero costante (2.2.1)

y = y

t

allora anche il consumo tenderà a seguire una traiettoria costante . Sostituendo,

c

la (2.1.12) diventa α′ β

+ (2.2.2)

c = y

− ρ − ρ

1 1

che è analogo al modello statico (2.1.1); quest’ultimo, dunque, può essere visto come

la relazione di equilibrio di lungo periodo tra il consumo ed il reddito nel caso in cui

il modello di breve periodo sia quello dinamico (2.1.12) ed il comportamento di

lungo periodo del consumo sia definito dalla (2.2.1). β

2.4 - Nella (2.1.12) il parametro , che misura l’effetto

Osservazione

immediato di un incremento del reddito sul consumo, può essere

considerato come la propensione marginale al consumo di breve periodo

Il concetto moderno di modello può essere fatto risalire i lavori di R. Frisch [1935-36] e J.

4

Tinbergen [1939]. 2-7

Modulo I – Concetti di base β/(1-ρ)

mentre ricaviamo dalla (2.2.2) che quella di lungo periodo vale .

Dato che la propensione di breve è minore di quella di lungo

0≤ρ<1 ρ =

periodo. Ovviamente, se , cioè se la (2.1.12) diventa un modello

0

statico, le due propensioni sono uguali.

Il breve e il lungo periodo

La differenziazione tra il breve e il lungo periodo assume importanza basilare non

soltanto quando si tratta la teoria economica ma anche quando si costruisce un

modello. Si ebbe un esempio di questo concetto quando fu osservato che negli anni

compresi tra le due guerre mondiali negli U.S.A. la relazione tra il consumo di

reddito, piuttosto che essere del tipo (2.1.1), risultava tale che:

- nel lungo periodo la propensione media al consumo era costante;

c/y

- nel breve periodo tale rapporto oscillava.

Un fatto stilizzato: l'ipotesi di Duesenberry

Italia 1960-1997

0.7 6.0

0.6 4.0

0.5

0.4 2.0

0.3

0.2 0.0

0.1

0 -2.0

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

c/y Dlog y

Figura 2.1 – Andamento del rapporto (propensione media al consumo) e del tasso di

c /y

t t

crescita del PIL in Italia nel periodo dal 1960 al 1997, dati annuali. La propensione media

presenta un andamento di fondo lievemente crescente (da 0.5 a 0.6) e, in accordo con l’ipotesi

di Duesenberry, oscilla aumentando nelle fasi di recessione dell’attività economica

∆logy ∆logy

(diminuzione di ) e diminuendo in quelle di espansione (aumento di ). In altre

t t

parole, le due serie sono inversamente correlate: il loro coefficiente di correlazione

campionario è pari a -0.69.

Inoltre fu notato che per ogni dato individuo tale rapporto diminuiva

all’aumentare del reddito, fatto questo che J.S. Duesenberry [1949] spiegò con la

2-8

Modulo I – Concetti di base

secondo la quale la percentuale di reddito consumato da

ipotesi del reddito relativo,

ogni individuo non dipendeva direttamente dal suo reddito assoluto, ma dalla sua

posizione, in termini di percentili, nella distribuzione del reddito; in altre parole,

dal suo reddito relativo. Analiticamente questa ipotesi può essere scritta nella

forma ( )

c y α >

= α + β = <

β <

, , ; 0

t t (2.2.3)

0 y max y ; s t

0 s

0

y y

t

dove è il reddito massimo goduto dall’individuo nel passato; nel lungo periodo si

0

y γ >

può ritenere che il reddito cresca ad un saggio costante per unità di tempo

0

( )

= + γ (2.2.4)

y 1 y −

t t 1 =

analogamente a quanto ipotizzato nella (2.2.1) per il consumo, per cui è , e

0

y y −

t 1

la (2.2.3) diviene (2.2.5)

c ( )

= α + β + γ

t 1

y t

con rapporto costante. Nel breve periodo, d’altro canto, si ha che durante le

c / y

t t <

fasi di recessione è e quindi aumenta, mentre in quelle di espansione

0 c / y

y y t t

t

>

è ed il rapporto consumo su reddito diminuisce, come indicato dalla

0

y y

t

evidenza empirica. Nella figura 2.1 è illustrato lo schema di questo comportamento.

2.4 - L’ipotesi di sentiero di crescita di lungo periodo

Osservazione

(2.2.4) per il reddito è una delle tante che si possono fare, anche se

y

t

molto comune. Poiché da essa si trae, partendo dalla costante che è il

y 0

=

valore che assume all’origine dei tempi per , che

t 0

y

t ( )

= + γ

y 1 y

1 0

( ) ( )

= + γ = + γ 2

y 1 y 1 y

2 1 0

...

sostituendo iterativamente si ottiene

( )

= + γ t (2.2.6)

y 1 y

t 0

che rappresenta un’altra forma, anche questa molto adoperata,

dell’ipotesi (2.2.4). La è una al di fuori della serie

condizione iniziale,

y

0

storica {y }

t

Modelli fisici e analitici

I modelli sono impiegati in molte branche della scienza per aiutare a comprendere

e rappresentare situazioni complesse di vario tipo. Un modello in scala ridotta di

2-9

Modulo I – Concetti di base

aeromobile o di autovettura posti nella galleria del vento possono essere usati per

studiare gli effetti aerodinamici dell’aria sul velivolo o sulla vettura; i geografi

usano modelli topografici per riprodurre le caratteristiche fisiche di aree di

interesse. Tutti questi sono esempi di modelli fisici.

Un è invece costituito da un insieme di relazioni matematico-

modello analitico

logiche che rappresentano le caratteristiche principali di certi fenomeni secondo

una teoria od una ipotesi.

Esempi interessanti sono i modelli matematici della circolazione delle correnti

atmosferiche e quelli che rappresentano i movimenti tellurici in aree più o meno

vaste della superficie terrestre. Modelli di questo tipo sono utilizzati anche in

economia: un esempio è costituito dall’insieme di relazioni di domanda e di offerta

di un certo bene, con le quali si ricercano gli effetti di spostamenti della curva di

domanda o di quella di offerta sul prezzo e sulla quantità; in questa analisi si

rappresenta sinteticamente un particolare mercato interpretato in base ad una

determinata teoria economica e la sua formulazione analitica fornisce un modello

.

di domanda e offerta 2.5 - In questi anni di forte sviluppo dei calcolatori si usa

Osservazione

simulare con essi il comportamento di oggetti fisici in determinate

circostanze (ad esempio in differenti condizioni aerodinamiche). In

questo caso il modello è analitico, poiché la rappresentazione

dell’oggetto, anche se fisico, è effettuata con relazioni matematiche.

Le variabili logaritmizzate, i tassi di variazione e le elasticità

Spesso è conveniente utilizzare, al posto delle variabili originali, le loro trasformate

ottenute con i logaritmi. La convenienza può essere duplice, statistica ed

economica.

Generalmente le serie storiche economiche presentano una tendenza (crescente

o decrescente) ed in funzione di questa modificano la loro variabilità. Di solito in

una serie con tendenza crescente anche la variabilità aumenta, e questo può creare

difficoltà sia nell’ispezione grafica sia, come vedremo in seguito, nel suo

trattamento econometrico: la logaritmizzazione della serie ne produce un’altra con

una variabilità molto più costante, ed in questo consiste la convenienza del tipo

statistico.

Dal punto di vista economico, d’altro canto, l’uso delle variabili logaritmizzate

nelle equazioni permette di interpretare alcuni parametri come elasticità.

Consideriamo ad esempio l’equazione della domanda di moneta

( )

= α + β + β + β − (2.2.7)

d

ln m ln y ln p r r

1 2 3 2-10

Modulo I – Concetti di base

dove il simbolo “ ” denota il logaritmo naturale, è la domanda di moneta

m

ln

nominale, è il reddito in termini reali, è un appropriato indice dei prezzi e

( ) y p

− d è il differenziale fra il tasso di interesse sulle attività alternative a ed il

m

r r

tasso di interesse sui depositi bancari. I tassi di interesse generalmente non vanno

logaritmizzati poiché rappresentano già di per sé valori percentuali.

Se si opera sulla (2.2.7) con una differenza prima nel senso definito

nell’osservazione 2.1 si ottiene, dopo avere inserito gli indici temporali,

[ )]

(

( ) ( ) ( )

− = β − + β − + β − −

d d (2.2.8)

ln m ln m ln y ln y ln p ln p r r r r

− − − − −

t t 1 1 t t 1 2 t t 1 3 t t 1 t t 1

che può essere riscritta anche nella forma

( )

= β + β + β ∆ − ∆ (2.2.9)

& & & d

m y p r r

t 1 t 2 t 3 t t

dove il simbolo “ ” denota appunto una differenza prima e il punto sopra una

= ∆

variabile indica una (cioè ). Nella (2.2.9)

differenza prima logaritmica &

m ln m

t t

compaiono quindi alcune differenze prime logaritmiche, che sono

approssimativamente uguali al delle rispettive variabili Ad

tasso di variazione

esempio, al membro di sinistra si ha

5 ( )

∆ = − ≈ − (2.2.10)

ln m ln m ln m m m / m

− − −

t t t 1 t t 1 t 1

che, moltiplicato per 100, produce un tasso di variazione percentuale. La

specificazione della (2.2.8) è corretta nel senso che fa corrispondere a variazioni

percentuali del membro a sinistra altre variazioni percentuali a destra; se si

logaritmizzassero i tassi di interesse verrebbe a cadere la loro dimensione di saggio

di variazione.

L’approssimazione (2.2.10) è semplice da dimostrare: sviluppando in serie di

( )

+

Taylor la funzione si ha

ln 1 z

( )

+ = − + − + (2.2.11)

2 3 4

ln 1 z z z / 2 z / 3 z / 4 ...

e ponendo = −

z m / m 1

t t 1

si ottiene ( ) ( )

= − +

ln m / m m m / m ...

− − −

t t 1 t t 1 t 1

Il segno indica “approssimativamente uguale a”

5 2-11

Modulo I – Concetti di base

cioè la (2.2.10). Si noti che l’approssimazione nella (2.2.10) è tanto migliore quanto

più piccolo è il valore (compreso tra 0 ed 1) di : infatti i termini di secondo, terzo,

z

... grado sono tanto più piccoli quanto minore è .

z

È degno di nota il fatto che operando con una

Osservazione 2.6 – α

differenza prima è stata eliminata l’intercetta .

Ricordiamo ora che data la funzione si definisce elasticità di a il

y = f(x) y x

rapporto fra tassi di variazione ∆ y

y

η = (2.2.12)

yx x

x

Se nella (2.2.9) ipotizziamo che tutte le variabili esplicative tranne il reddito siano

costanti, essa si riduce alla = β

& &

m y

t 1 t β

dalla quale si ricava immediatamente che il coefficiente approssima l’elasticità

1

della moneta al reddito −

m m −

t t 1

∆ ln m m −

β = ≈ η (2.2.13)

t t 1 =

1 y y

ln y −

t t 1

t y −

t 1

dove l’approssimazione è determinata dal fatto che, secondo la (2.2.10), la

differenza logaritmica approssima il relativo tasso di variazione. In modo analogo

6

β

si chiarisce che il coefficiente è l’elasticità della moneta al livello dei prezzi.

7

2

L’elasticità definita nella (2.2.12) è riferita a un incremento discreto della

β

variabile indipendente . È possibile dimostrare che in effetti il coefficiente (o, in

x 1

β

modo analogo, il ) approssima questa elasticità perché esso misura

discreta

2

l’elasticità cosiddetta ovvero riferita ad un incremento infinitesimo della

puntuale,

8

x.

Si noti che l’elasticità definita dalla (2.2.13) è un’elasticità perché è calcolata

parziale,

6

mantenendo costanti le altre variabili, e quindi ignorando, ad esempio, possibili retroazioni

sulla moneta attraverso l’effetto del prodotto sui prezzi o sui tassi di interesse.

β

Il coefficiente ha un diverso significato, che verrà chiarito spiegando il modello

7 3

semilogaritmico nel paragrafo 2.8.

Per la dimostrazione rinviamo all’appendice A-2 di Johnston (1984).

8 2-12

Modulo I – Concetti di base

Nella figura 2.4 sono esposte le serie storiche dei tassi di variazione annuali

( )

delle due variabili della figura 2.2, i consumi finali interni delle famiglie ed il

c

t

( )

prodotto interno lordo ai prezzi di mercato , nonché della propensione media al

y t

consumo per ogni tempo . Dai primi due grafici si nota che il PIL possiede

c / y t

t t

maggiore variabilità dei consumi finali interni e che sussistono chiaramente

almeno quattro ciclicità: la prima che parte all’inizio del campione e procede fino al

1975; la seconda comprende gli anni 1975-1978; la terza gli anni 1978-1982 e la

quarta interessa il resto del campione. Il confronto tra le serie dei tassi di

variazione del sottostante grafico della propensione media al consumo permette di

rilevare che i due picchi negativi della propensione media gli inizi degli anni 1974 e

1977 sono dovuti al fatto che nei periodi precedenti (nel corso del 1973 e 1976), il

tasso di crescita del reddito è stato superiore a quello del consumo. La propensione

media, d’altro canto, presenta una tendenza crescente abbastanza persistente, con

una flessione nei primi anni ’80 ed una successiva ripresa.

I tassi di variazione annuali della figura 2.4 sono

Osservazione 2.7 – −

stati ottenuti con le operate

differenze quarte logaritmiche ln z ln z −

t t 4

sui dati trimestrali esposti nella figura 2.2. 2-13

Modulo I – Concetti di base

2.3 Il processo di specificazione

Un elementare modello analitico di carattere economico formato da due equazioni è

costituito dal seguente sistema statico di tipo keynesiano

= α + β

 c y < α < β <

t t ,

 (2.3.1)

0 0 1

= +

 y c i

t t t

dove la prima equazione è la funzione del consumo (2.1.1) e la seconda è un’identità

ex post tra il reddito e la somma del consumo e delle spese autonome .

i

Nel sistema (2.3.1) sono presenti delle le , ed , che sono quantità

variabili, c

y i

che assumono valori generalmente differenti in circostanze (tempi, luoghi,

α β

individui, ecc.) diverse, e dei le e , che servono a legare le variabili

parametri,

in forme funzionali precise e che spesso sono soggetti a vincoli, ad esempio di

disuguaglianza. Per questi motivi è spesso opportuno o necessario definire

l’intervallo di variazione delle variabili e dei parametri: i prezzi, per esempio, sono

non negativi, i profitti possono assumere valori sia positivi che negativi, la

propensione marginale al consumo deve essere compresa tra zero ed uno.

Le variabili determinate all’interno di un modello sono dette , mentre

endogene

quelle definite esternamente sono dette (deterministicamente) . La scelta di

esogene

9

quali variabili considerare come endogene e di quali altre come esogene è

generalmente effettuata in base alla formulazione teorica di partenza; nel caso del

modello (2.3.1) possiamo, ad esempio, definire come endogene il reddito ed il

y

consumo , e come esogena la variabile spesa autonoma .

c i

La determinazione di quali variabili inserire in un modello, di quali considerare

come esogene e quali endogene, delle relazioni funzionali da usare per metterle in

relazione l’una con l’altra, costituisce il processo di del modello che si

specificazione

basa sulla procedura interagente di analisi teorica ed indagine empirica illustrata

in precedenza.

Alcuni dei concetti appena introdotti possono essere ribaditi anche sfruttando

un modello costituito da una sola equazione. Al posto della (2.1.4) possiamo

specificare una funzione del consumo nella quale questo sia funzione della

ricchezza w = α + γ (2.3.2)

c w

Questa forma di esogenità vale per modelli deterministici; la definizione nel caso

9

stocastico è differente, come in seguito vedremo. 2-14

Modulo I – Concetti di base

oppure un’altra nella quale compaiano sia il reddito disponibile che la ricchezza

= α + β + γ (2.3.3)

d

c y w

Queste due variabili considerate nella singola equazione (2.3.3) sono esogene, ma in

un contesto pluriequazionale potrebbero essere endogene (in altre equazioni, come

la nella prima delle (2.3.1)); è allora più conveniente chiamarle (in

esplicative

y

questo caso, del consumo ).

c

Dal punto di vista della teoria economica la (2.3.3) non pone soverchi problemi

di costruzione se non quelli derivanti dall’approccio che si predilige. Da quello

econometrico, viceversa, i problemi da risolvere sono molteplici. In primo luogo è

necessario trovare dei contenuti per : ammesso che sia stata ottenuta una

w

definizione precisa di cosa rappresenti (contiene la porzione di debito pubblico

detenuta dai privati? contiene il patrimonio immobiliare?...), per la stima dei

parametri occorre trovare i dati ad essa relativi, una parte dei quali può essere di

difficile, se non di impossibile, reperimento.

In secondo luogo la ricchezza delle famiglie, data dai loro redditi scontati, è

d

fortemente collegata a ; variando questo, tende a variare nella stessa direzione

y

d

anche , per cui influisce sulla variabile non soltanto direttamente ma anche

w y

tramite la ricchezza. Si ha, dunque, su una di effetti che può

ridondanza

c

deteriorare la capacità rappresentativa della specificazione (2.3.3), in quanto può

essere difficile discriminare statisticamente fra l’effetto diretto del reddito sul

β

consumo (captato dal parametro ) e quello indiretto, tramite la ricchezza (che

γ

confluisce nel parametro ).

Di più, la stima stessa dei parametri della (2.3.3) è resa inaffidabile dalla

correlazione esistente tra le variabili esplicative, come vedremo in seguito, per cui,

alla fine, la specificazione (2.3.3) risulta, dal punto di vista econometrico,

problematica.

Specificazione teorica e specificazione econometrica

Se la specificazione è basata unicamente su concetti teorici, spesso non si hanno

elementi sufficienti a costruire una rappresentazione econometrica adeguata alla

realtà dei fenomeni economici da interpretare. Affinché la specificazione sia buona

anche dal punto di vista empirico, oltre che da quello teorico, occorre che le

caratteristiche di fondo delle variabili che compaiono nei membri a sinistra dei

modelli siano rappresentate da caratteristiche analoghe esistenti nelle variabili dei

membri a destra considerate globalmente. Nella (2.1.1), ad esempio, la tendenza

crescente, che è una caratteristica basilare del consumo , è insita anche nel

c

reddito , che quindi la rappresenta in modo soddisfacente, e si ottiene un modello

y

buono sia dal punto di vista economico che econometrico. Il livello crescente di ,

y

2-15

Modulo I – Concetti di base

dunque, spiega la tendenza di , per cui è detta (o

variabile di livello di scala)

c y

della funzione del consumo (2.1.1).

- La propensione media al consumo, essendo costituita

Osservazione 2.8

da una variabile divisa per la sua stessa variabile di livello, genera una

α

equazione, ad esempio la (2.2.3), nella quale il livello è costante (la ).

Il sentiero di lungo periodo di consumo e

reddito - Italia 1970-1996

400000

350000

300000

250000

200000

150000

100000

50000

1970:01 1974:01 1978:01 1982:01 1986:01 1990:01 1994:01

CF90 CF90FIT Y90 Y90FIT

Figura 2.2 – Serie storiche del prodotto interno lordo ai prezzi di mercato (in alto) e dei

consumi finali interni delle famiglie in Italia, dal primo trimestre del 1970 al terzo del 1996,

interpolati mediante curve che ne costituiscono i rispettivi sentieri di equilibrio di lungo

periodo (dati trimestrali grezzi a prezzi 1990, miliardi di lire).

Questa argomentazione è illustrata nella figura 2.2 che riporta gli andamenti

effettivi – le serie storiche – dei consumi finali interni delle famiglie e del

c t

prodotto interno lordo ai prezzi di mercato dal primo trimestre del 1970 al terzo

y t

del 1996, interpolati tramite curve che rappresentano la loro tendenza crescente;

questa può essere considerata come il (dei punti)

sentiero di equilibrio di lungo

o “steady Una seconda caratteristica presente nelle due serie

periodo state”.

storiche è la costituita da una conformazione che si ripete similmente

stagionalità,

ogni anno e che deriva, nel caso delle serie trimestrali della figura 2.2, dal calo

della produzione che si ha nel terzo trimestre di ogni anno. Altri caratteri delle

2-16

Modulo I – Concetti di base

serie (ad esempio il ciclo economico) oppure altri effetti di breve periodo modulano

ulteriormente la tendenza in modo da determinare l’andamento effettivo delle

variabili ed .

c y - L’equazione che genera il sentiero di equilibrio di

Osservazione 2.9

lungo periodo per la variabile può essere presa soggettivamente del

y

tipo (2.2.6); la stessa equazione nel caso del consumo è

( )

t

= + γ

c 1 c

t 0

– Il ciclo economico italiano, ben visibile nella figura

Osservazione 2.10

2.4, è stato commentato alla fine del par. 2.2.

Investimenti e tasso di interesse

Italia 1960-1997

25.00 280000

260000

20.00 240000

220000

15.00 200000

180000

10.00 160000

140000

5.00 120000

0.00 100000

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

r i

Figura 2.3 – Il tasso di interesse a lungo termine e gli investimenti privati in Italia dal

r

1960 al 1997. La serie degli investimenti mostra una tendenza crescente (evidenziata dalla

retta tratteggiata), che la porta a triplicare nel periodo di osservazione; viceversa, quella del

tasso di interesse a lungo manifesta ampie fluttuazioni attorno a una media

approssimativamente pari a 10 punti percentuali, per cui al termine del periodo di

osservazione supera di poco i valori iniziali.

Se estendiamo il modello (2.3.1) disaggregando le spese autonome in spesa

i

pubblica ed in investimenti privati che indichiamo ancora, per semplicità, con ,

g i

e se consideriamo questi come funzione del tasso interesse , otteniamo il modello

r 2-17

Modulo I – Concetti di base

I tassi di variazione di consumo e reddito

Italia 1970-1996

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

-0.01

-0.02

-0.03

1970:01 1974:01 1978:01 1982:01 1986:01 1990:01 1994:01

CF90 Y90

Figura 2.4 – I tassi tendenziali di variazione di consumo e reddito in Italia (dati trimestrali

grezzi 1970:1-1996:3). Per tasso tendenziale si intende il tasso di variazione “periodo su

periodo” (in questo caso, trimestre sullo stesso trimestre dell’anno precedente). I dati di

origine sono quelli della figura 2.2. Si noti come le fluttuazioni del reddito siano

generalmente più ampie di quelle dei consumi: questi ultimi, cioè, hanno un andamento più

“liscio” o, per meglio dire, livellato. Questo comportamento (visibile anche nella figura 2.2) è

coerente con l’ipotesi di Duesenberry: infatti, se durante le recessioni la propensione media al

consumo aumenta, questo significa che i consumi diminuiranno proporzionalmente meno dei

redditi e quindi che il loro grafico sarà più “liscio” (si osservi ad esempio il comportamento

delle due serie durante la recessione del 1974-75). Un discorso uguale e contrario vale

durante le fasi di espansione.

= α + β α > < β <

 c y 0 0 1

t t

 γ > δ <

= γ + δ

 (2.3.4)

0 0

i r

t t

 = + +

 y c i g

t t t t

che è coerente con la teoria economica ma insoddisfacente dal punto di vista

econometrico. Infatti, come anche si rileva graficamente nella figura 2.3,

nell’equazione degli investimenti privati manca una variabile nel membro a destra

dell’equazione che funga da supporto al livello crescente di . È necessario, quindi,

i

t

specificare la (2.3.4) aggiungendo una variabile di livello nel membro di destra

2-18

Modulo I – Concetti di base

dell’equazione degli investimenti privati: questa può essere di nuovo il reddito ,

y t

di modo che il sistema diventa

= α + β α > < β <

 c y 0 0 1

t t

 γ > δ < ε >

= γ + δ + ε

 (2.3.5)

0 0 0

i r y

t t t

 = + +

 y c i g

t t t t

Comparando il modello (2.3.4), che discende direttamente dalla teoria

economica, con il (2.3.5), la cui specificazione è necessaria per l’uso econometrico, si

inizia a comprendere la differenza concettuale esistente tra la costruzione di

modelli validi per l’analisi economica e quella di modelli utilizzabili nell’analisi

econometrica. 2-19

Modulo I – Concetti di base

2.4 Tassonomia delle equazioni

Nella specificazione delle relazioni tra variabili economiche è necessario tenere

nella dovuta considerazione i fenomeni rappresentati dalle equazioni e spesso è

utile classificare queste in funzione di tali fenomeni, ad esempio raggruppandole in

equazioni:

a) di comportamento,

b) istituzionali,

c) tecniche,

d) definitorie.

A queste se ne possono aggiungere altre, più speciali, che possiamo ancora

inserire nella tassonomia delle equazioni econometriche, come ad esempio le

e) identità,

f) funzioni di reazione.

Equazioni di comportamento

In molte situazioni è necessario esprimere un’ipotesi circa il di un

comportamento

insieme di operatori, siano questi consumatori, produttori o altri. Una funzione di

domanda rappresenta l’ipotesi che se il prezzo di un certo bene decresce i

consumatori ne chiederanno di più; questa è una conclusione che riguarda il loro

comportamento e può essere espressa mediante l’equazione di domanda lineare

α >

= α + β β < (2.4.1)

,

d 0

q p 0

Un altro esempio di equazione di comportamento è costituito dalla funzione del

consumo (2.1.4) già esaminata nel paragrafo 2.1, nella quale sono impiegate due

ipotesi, quella che il consumo sia funzione del reddito disponibile e l’altra che la

funzione sia lineare. Anche l’equazione della domanda di moneta (2.2.7), lineare nei

logaritmi delle variabili e e nei tassi di interesse, è di comportamento.

y p

Si noti che anche se viene utilizzata una formulazione analitica (matematica)

per rappresentare una relazione di comportamento, la forma che questa prende ed i

vincoli che sono posti sui parametri sono determinati da considerazioni economiche.

Nella funzione del consumo (2.1.4), ad esempio, la teoria economica impone che

β >

- il consumo sia funzione crescente del reddito disponibile, per cui ;

0

- l’inclinazione della funzione, che indica la propensione marginale al consumo e

β

che è definita dal coefficiente angolare , sia compresa tra zero ed uno;

α >

- l’intercetta, il termine noto dell’equazione, sia maggiore di zero, .

0 2-20

Modulo I – Concetti di base

Con l’ultima ipotesi si suppone che le spese per il consumo possano anche essere

maggiori del reddito disponibile corrente. Il comportamento definito è quindi di

breve periodo in quanto si ritiene che i consumatori possano finanziare le loro spese

tramite il risparmio.

Un ulteriore esempio di equazione di comportamento riguarda lo stock di

+

capitale desiderato per il tempo che può esser fatto dipendere dalla

t 1

produzione programmata per lo stesso tempo; se questa è supposta funzione dei

livelli di produzione passati, dando maggior peso a quelli recenti e mi nore a quelli

lontani nel tempo, si può scrivere l’equazione nella stessa forma composta dalle

(2.1.7) e (2.1.8) ∞

= α + β ρ β > < ρ <

,

j

k x 0 0 1

+ −

t 1 t j

=

j 0 β

dove è lo stock di capitale desiderato al tempo , la produzione al tempo ,

k t t

x

t t

ρ

il coefficiente di accelerazione e un fattore di ponderazione.

Equazioni istituzionali

Un’equazione è una relazione nella quale sono incorporati gli effetti di

istituzionale

vincoli istituzionali (leggi, norme d’attuazione, decreti, ecc.) in vigore.

L’imposizione fiscale, ad esempio, può essere determinata istituzionalmente e

quindi può rivelarsi necessario inserire nei modelli le imposte sui profitti, sul

valore aggiunto e così via. Una equazione istituzionale per l’imposta globale sul

reddito potrebbe indicare che = ζ + ε (2.4.2)

v y

rappresentando il fatto che le imposte dipendano linearmente dal reddito stesso.

Sostituendo la (2.4.3) nella (2.1.4) si ottiene la

( )

= α − ζβ + β − ε (2.4.3)

c 1 y

che consiste in una tra un’equazione di comportamento ed una

mistura

istituzionale. ( )

β − ε

2.11 – Poiché può essere considerata come un

Osservazione 1

α − ζβ

unico parametro, così come , la relazione (2.4.3) ha la stessa

composizione della (2.1.1); quindi non vi è sostanziale differenza formale

tra la (2.1.1) e la (2.1.4) qualora l’imposta globale sul reddito sia

supposta funzione lineare di questo. Tale situazione riveste un certo

interesse, poiché accade sovente che uno schema analitico viene criticato

per la sua semplicità e siano proposti al suo posto modelli più complessi

sui quali, tuttavia, si fanno ipotesi che li trasformano nello schema

2-21

Modulo I – Concetti di base

semplice sottoposto a critiche. Non sempre, dunque, modelli

apparentemente banali sono derivati da teorie altrettanto banali.

Equazioni tecniche

Una equazione molto utilizzata nella modellistica economica è quella relativa alla

funzione di produzione ( )

= (2.4.4)

x f l , k

dove è il prodotto, il fattore lavoro e il fattore capitale. Una tale equazione

x l k

non è di comportamento: si riferisce invece alla tecnologia in uso nella produzione,

in quanto collega due risorse (lavoro e capitale) ad un prodotto, e rappresenta,

pertanto, una equazione Un caso particolare della (2.4.4) è offerto dalla

tecnica. α β

= γ ⋅ ⋅ α β (2.4.5)

x l k + = 1

che rappresenta il ben noto tipo di funzione di Cobb e Douglas.

Equazioni definitorie

Si chiamano, infine, equazioni quelle che servono semplicemente a

definitorie

definire una variabile per mezzo di altre; è tale ad esempio la (2.1.3) che indica il

reddito disponibile come differenza tra il reddito e le imposte.

In realtà, queste relazioni definitorie sono identità “ex ante” che semplicemente

esprimono concetti veri per definizione.

Identità

È necessario prestare attenzione a non confondere le equazioni definitorie con altre

condizioni; ad esemp io la relazione = +

y c i

t t t

del modello (2.3.1) indica un’identità "ex post" e non è un’equazione definitoria “ex

ante”.

Funzioni di reazione

Un’equazione che rappresenta il modo di reagire di un’autorità di governo a

specifiche variazioni di aggregati economici è detta Tale modo

funzione di reazione.

di reagire può riguardare, ad esempio, il cambio, la moneta offerta, il tasso di

sconto, l’imposizione fiscale. Una semplice funzione di reazione sul tasso di sconto

d è del tipo seguente

r

t ∆ = α + β ∆ (2.4.6)

d

r ln p

t t 2-22

Modulo I – Concetti di base

d

che indica come la variazione di sia operata in funzione del tasso di variazione

r

t

dei prezzi. Un’altra, del tipo seguente

∆ = α + β ∆ + β ∆ + β ∆ (2.4.7)

d

r ln b ln f ln d

t 1 t 2 t 3 t

d

indica come la variazione di venga governata in funzione dei tassi di variazione

r

t

percentuale della bilancia commerciale (definita come rapporto tra esportazioni

b t

ed importazioni di merci), del movimento dei capitali (rapporto fra flussi di

f t

capitale a breve termine in entrata ed in uscita) e di un indicatore dell’attività

d t

economica (ad esempio la domanda totale). β <

Nella (2.4.7) la manovra sul tasso di sconto è se (ad un

prociclica 0

3 d

aumento dell’attività economica l’autorità di governo reagisce abbassando ),

r

t

β >

se .

anticiclica 0

3 2-23

Modulo I – Concetti di base

2.5 Forma strutturale e forma ridotta delle equazioni

La struttura economica

Un modello econometrico è rappresentativo in generale di una struttura economica,

che può essere definita, in termini generali, come un insieme di comportamenti, di

possibilità tecniche di produzione, di fattori istituzionali, di convenzioni contabili,

ecc., che si ipotizzano costanti per un certo periodo di tempo, detto periodo di

Sul piano descrittivo, alla costanza della struttura teorica corrisponde

osservazione.

un insieme di regolarità empiriche, i cosiddetti che riassumono le

fatti stilizzati,

caratteristiche salienti manifestate dai dati nel periodo di osservazione. Le

equazioni (di comportamento, tecniche, istituzionali, ecc.) che rappresentano i

diversi aspetti di una data struttura economica in base a specifiche ipotesi teoriche

vengono dette come i parametri ad esse associati durante i periodi di

strutturali,

osservazione. Il modello composto mettendo a sistema un insieme di equazioni

strutturali viene detto modello strutturale.

Inflazione e velocità di circolazione della

moneta in Italia: 1970-1992

12% 1.6

10% 1.5

8% 1.4

6% 1.3

4% 1.2

2% 1.1

0% 1.0

1970 1975 1980 1985 1990

M P V

Figura 2.5 – Il grafico rappresenta le serie storiche dei tassi annuali di variazione dello stock

di moneta M e del deflatore implicito del PIL P (scala di destra), e la velocità di circolazione

della moneta V (scala di sinistra). Dati annuali riferiti all’Italia, 1970-1992. Si noti

l’impennata della velocità di circolazione contestuale all’incremento dell’inflazione nella

seconda metà degli anni ’70.

Talvolta, in un dato periodo esiste un tempo nel quale cambia la struttura

t

economica e quindi si modifica il modello econometrico associato nei valori dei suoi

2-24

Modulo I – Concetti di base

parametri o anche nella specificazione stessa delle relazioni che lo compongono: si

dice, allora, che nel tempo si è avuto un cambiamento strutturale.

t

In effetti, è necessaria molta cautela nel ritenere costante la struttura

economica in un certo periodo: ad esempio, nella cosiddetta equazione di

Cambridge che mette in relazione la domanda di moneta con il reddito

=

d (2.5.1)

m ky

t t

il coefficiente rappresenta l’inverso della velocità di circolazione della moneta e

k

può essere considerato costante perché è determinato dall’insieme dei pagamenti e

di introiti che a loro volta derivano da abitudini o da fattori sociali ed istituzionali

che cambiano molto lentamente. Ma in periodi di inflazione sostenuta la velocità di

circolazione cambia in modo notevole e quindi varia anche ; in tale caso questa

k

deve essere considerata come una variabile ed indicata con . Questa

k t

argomentazione è illustrata nella figura 2.5 che mostra i grafici dei tassi annuali di

variazione della quantità di moneta (misurata in termini di M2) e del deflatore

implicito del PIL, nonché il grafico della velocità di circolazione della moneta;

questo è relativamente costante degli anni 1970-1978, s’impenna negli anni di alta

inflazione 1979-1981 e ritorna ad essere costante nel periodo successivo.

β

Anche la propensione marginale al consumo del modello (2.1.1) può variare

lentamente nel tempo come osserveremo più in dettaglio nel prosieguo.

β

L’assunzione di costante comporta, pertanto, una approssimazione il cui costo, in

termini di adeguatezza di rappresentazione, può essere compensato o meno dalla

β

semplicità dell’equazione. In effetti, se nella (2.1.1) si introducesse variabile il

modello potrebbe diventare non lineare nelle variabili, come vedremo più in

dettaglio nel paragrafo 2.8.

Forma ridotta di un modello

Il sistema (2.3.1) è scritto in forma strutturale in quanto deriva direttamente da

ipotesi circa la struttura del sistema economico, riguardanti, in particolare, il

comportamento dei consumatori e la struttura del bilancio economico nazionale

(cioè il fatto che nell’economia rappresentata il reddito risulta dalla somma di

consumi e spese autonome). Se risolviamo matematicamente le sue due equazioni

rispetto alle variabili endogene e , otteniamo

c y

t t

α β

 = +

c i

 − β − β

t t

 1 1 (2.5.2)

 α 1

 = +

y i

 − β − β

t t

 1 1 2-25

Modulo I – Concetti di base

< α < β <

con , , che costituisce un sistema di equazioni scritte in forma

0 0 1

nel quale ogni equazione definisce una variabile endogena in funzione di

ridotta,

tutte e sole le esogene (in questo caso la sola ).

i

t

Con semplici sostituzioni possiamo scrivere la forma ridotta (2.5.2) come segue

= π + π

 c i (2.5.3)

t 11 12 t

 = π + π

 y i

t 21 22 t

π

dove i , ovvero i parametri che legano l’ esima endogena alla esima esogena,

i- j-

ij

sono detti o (per motivi che verranno chiariti in

parametri della forma ridotta

questo paragrafo) moltiplicatori.

Dal punto di vista matematico la forma ridotta e quella strutturale di un

sistema di equazioni sono equivalenti; in termini economici, al contrario, le

equazioni strutturali rappresentano le relazioni così come vengono formulate dalla

teoria economica. Di conseguenza, i parametri strutturali rappresentano entità

facilmente interpretabili in senso economico (si ricordi il cenno all’analisi

strutturale nel paragrafo 1.1). In particolare, gli eventuali vincoli provenienti dalla

teoria economica vengono di solito espressi in termini dei parametri strutturali (si

veda ad esempio la (2.1.2)).

Lo studio delle equazioni in forma ridotta, viceversa, è utile nelle previsioni e

nelle simulazioni di politica economica. Ad esempio, la prima delle (2.3.1), presa

singolarme nte, non ci consente di determinare gli effetti di un incremento delle

spese autonome sul consumo , dato che in essa le spese autonome non figurano.

c

Viceversa, nella forma ridotta questo effetto, che si esplica attraverso la seconda

π β/(1-β)

delle (2.3.1), è espresso dal parametro , che costituisce il moltiplicatore

=

12

del modello (2.3.1).

keynesiano π

In generale i parametri della forma ridotta sono detti moltiplicatori appunto

ij

perché esprimono il coefficiente per il quale occorre moltiplicare l’incremento della

-esima esogena onde ottenere il corrispondente incremento dell’ -esima endogena,

j i

tenuto conto di tutte le interazioni fra le varie equazioni che compongono il

modello.

Anche in termini statistici le due rappresentazioni differiscono sostanzialmente

in quanto la forma strutturale, incorporando l’informazione proveniente dalla

teoria economica, è generalmente più della forma ridotta, ovvero

parsimoniosa

prevede un numero minore di parametri. Questo fatto risulta, ad esempio, dal

π

confronto fra la (2.5.3) (nella quale figurano i quattro parametri ) e la (2.3.1)

ij 2-26

Modulo I – Concetti di base

α β

(dove compaiono solo i due parametri strutturali e ). Sotto il profilo statistico

10

ciò comporta che la forma strutturale consente un uso più efficiente

dell’informazione statistica disponibile (i dati campionari), poiché gli stessi dati

vengono utilizzati per stimare un minor numero di coefficienti. Come vedremo in

seguito, a questo vantaggio in termini di stima si associano però anche alcune

difficoltà inerenti al fatto che in generale nelle equazioni strutturali alcune

variabili esplicative sono endogene, e quindi determinate simultaneamente alla

variabile dipendente.

Possiamo, ora, riassumere alcuni caratteri di base di un modello econometrico

così com’è stato illustrato finora:

i) il numero di equazioni è uguale al numero delle variabile endogene;

ii) la forma funzionale di ciascuna equazione strutturale è esplicitamente

specificata insieme agli eventuali vincoli sui domini di variazione dei

parametri;

iii) l’insieme delle variabili esogene è incluso nel modello ed è specificata la

maniera in cui esse vi entrano;

iv) se sussistono mercati in equilibrio le condizioni relative vanno inserite nel

modello, che viene detto di equilibrio.

Vedremo in seguito che il carattere i) non sempre sussiste.

Un modello di domanda e offerta

Consideriamo ora, come altro esempio, un semplice modello di domanda e offerta in

un mercato concorrenziale

 = α + β α >

 d

q p 0

 (2.5.4)

 = γ + δ γ <

s

q p 0

nel quale la prima equazione, già esposta nella (2.4.1), stabilisce una relazione

d

lineare tra la quantità domandata ed il prezzo di mercato

per unità di tempo q

, mentre la seconda ne stabilisce un’altra tra la quantità offerta per unità di

p ed ancora il prezzo di mercato. In virtù di come sono state costruite, le

tempo

equazioni (2.5.4) sono in forma strutturale; esse rappresentano un modello di

disequilibrio.

Se il mercato è in equilibrio dobbiamo aggiungere alle (2.5.4) la condizione

π π

In effetti i parametri della forma ridotta sono tre: sussiste infatti il vincolo , dato

10 =

11 21

α/(1-β)

che entrambi questi parametri sono uguali a in virtù delle (2.5.2). 2-27

Modulo I – Concetti di base

= =

d s (2.5.5)

q q q

ottenendosi così un modello con tre equazioni strutturali (una condizione di

e due equazioni che rispecchiano il comportamento dei consumatori e dei

equilibrio d s

produttori) e tre variabili endogene , , e .

q q p

Risolvendo il sistema rispetto a ed a , otteniamo

q p

α − γ αδ − βγ

= = δ ≠ β

, , (2.5.6)

p q

δ − β δ − β

che rappresentano la del modello. Sui valori dei suoi parametri la

forma ridotta d

teoria economica impone dei vincoli: poiché se il prezzo scende aumenta e

q

p

β <

viceversa, segue che ; inoltre se il prezzo aumenta anche la quantità offerta

0

δ >

cresce per cui segue che .

0

δ > β > α > γ

Poiché allora è sempre e poiché , essendo un prezzo, si ha che

p 0

αδ > βγ

dalla prima delle (2.5.6) e che dalla seconda. In conclusione, la

specificazione del modello (2.5.4)-(2.5.5) include i seguenti vincoli sui parametri

δ >

β < βγ < αδ

α > γ

, , ,

0

0

Nel modello (2.5.4)-(2.5.5) non compaiono variabili esogene; possiamo tuttavia

considerar e il reddito come esogena aggiuntiva e costruire il sistema

y t

 = α + β + ε

d α > β < ε >

q p y 0 0 0

 δ > γ <

= γ + δ (2.5.7)

s

 0 0

q p

 = =

d s

q q q

specificato in modo tale che una variazione positiva del reddito influisce

positivamente sulla quantità domandata. La forma ridotta della (2.5.7) è costituita

dalle α − γ ε αδ − βγ δε

= + = + δ ≠ β

, , (2.5.8)

p y q y

δ − β δ − β δ − β δ − β

ε =

che diventano le (2.5.6) per .

0

Poiché in ambedue le equazioni (2.5.8) compare il reddito, è possibile

determinare come una variazione di questo influisca sia su che su tramite le

p q

derivate ε δε

dp dq

= > = >

,

0 0

δ − β δ − β

dy dy

che sono, in effetti, i del reddito nel modello (2.5.6).

moltiplicatori 2-28


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui modelli econometrici e la loro costruzione. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'analisi economica e l'analisi econometrica, i modelli e le loro caratteristiche, il processo di specificazione, la tassonomia delle equazioni, la forma strutturale e la forma ridotta delle equazioni, le variabili teoriche e le variabili osservabili, la causalità nelle relazioni economiche, la linearizzazione di modelli non lineari rispetto alle variabili.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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