Econometria del rischio - Appunti

7.6: LA FULL VALUATION SU PORTAFOGLI CON TITOLI E OPZIONI.

Consideriamo ora un portafoglio contenente titoli e opzioni (call). In questo caso, la variazione di

valore del portafoglio su giorni è data da:

=1 =1

∑ ∑ ∑

=

̃ ( − ) + (( , , , − , ; ) − )

 + ,+ , , ,+ , , , ,

̃ = = .

Con: numero di unità del titolo detenute, numero di opzioni di tipo sul sottostante

,

Anche in questo caso il VaR può essere calcolato impiegando la Full Valuation. Vediamo quindi gli

step della Full Valuation su un portafoglio di titoli e opzioni (call):

1) Usando un DCC-GARCH si simulano traiettorie dei rendimenti per ognuna delle azioni

{̂ } = 1,2 … , .

presenti in portafoglio, e i corrispondenti prezzi con:

,ℎ ℎ=1

2) Si calcolano poi ipotetiche variazioni di valore del portafoglio:

(̂ ((̂

̂ =1 =1

ℎ ∑ ∑ ∑

=

̃ − + , , , − , ; −

) ) )

 ,+ , , , , ,

,ℎ ,

3) Infine, dalla distribuzione simulata di profitti/perdite, si può ricavare il VaR (in termini monetari):

̂ ℎ

= − {{ } }

 +1:+ ℎ=1

L’ES, come al solito, è dato dalla media (cambiata di segno) delle variazioni inferiori

all’opposto del VaR.

8: BACKTESTING DEI MODELLI DI RISCHIO.

8.1: INTRODUZIONE AL BACKTESTING.

Il backtesting è un insieme di metodologie per testare la validità delle capacità esplicative di una

bontà di una strategia, basandosi sull’analisi di dati

teoria o un modello, o la del passato.

Nell’ambito della gestione del rischio, il backtesting confronta le previsioni generate dal modello di

rischio del portafoglio utilizzato (ex ante) con i rendimenti realizzati (ex post) dallo stesso portafoglio.

8.2: LE VIOLAZIONI DEL VAR.

Se osserviamo la serie storica delle passate previsioni del VaR, e la serie storica dei rendimenti ex

post, possiamo definire la serie storica delle violazioni del VaR generato dal modello:

1, < −

+1 +1

={

 +1

0, ≥ −

+1 +1

Se il modello per il calcolo del VaR fosse perfetto, date tutte le informazioni disponibili al momento

in cui la previsione del VaR è fatta, non saremmo in grado di predire se il VaR sarà violato o meno

(la nostra previsione della probabilità di una violazione del VaR sarebbe ogni giorno. In altre parole,

le violazioni del VaR dovrebbero essere imprevedibili, indipendenti nel tempo e distribuite come una

,

Bernoulli che assume valore 1 se il VaR è violato con probabilità e valore 0 se il VaR non è violato

1 − . Quindi l’ipotesi

con probabilità nulla del test è:

: ∼ . . . ()

 0 +1

8.3: IL TEST DI COPERTURA NON CONDIZIONATA PER IL BACKTESTING DEL VAR.

Il test di copertura non condizionata è usato per testare se la frazione delle violazioni sia

.

significativamente diversa da Il test si svolge nei seguenti step successivi:

1) Per cominciare, si definisce la verosimiglianza di un vettore di variabili con distribuzione

. . . ():

=1 1−

∏ (1 (1

() = − ) = − )

 +1 +1 0 1

Con e che sono rispettivamente il numero di 0 e di 1 nel nostro campione di

0 1

osservazioni. ,

2) Si massimizza la funzione di verosimiglianza rispetto al parametro ottenendo lo stimatore

1

di massima verosimiglianza. In particolare (ovvero la frazione di violazioni osservate nella

:

sequenza) risulta essere lo stimatore di massima verosimiglianza di

0 1

1 1

(̂) = (1 − ) ( )



: = ,

Sotto l’ipotesi nulla

3) la verosimiglianza è:

0

=1 1−

∏ (1 (1

() = − ) = − )

 +1 +1 0 1

È possibile testare questa ipotesi usando il test LR:

0 1

(1−)

() 12

= −2 ln [ ] = −2 ln [ ] ∼ χ

 0 1

(̂)

1 1

(1− ) ( )

Per tendente ad infinito e sotto , questa statistica test è asintoticamente distribuita come

0 ,

una variabile casuale chi-quadro con un grado di libertà. Maggiore è il valore di tanto più

inverosimile è l’ipotesi nulla. Se il p-value è inferiore al livello di significatività desiderato,

allora si rigetta l’ipotesi nulla.

8.4: IL TEST DI INDIPENDENZA PER IL BACKTESTING DEL VAR.

Assumiamo che il nostro modello VaR abbia superato il test di copertura non condizionata.

Supponiamo tuttavia, anche che le violazioni del VaR riscontrate siano concentrate tutte nello stesso

periodo. Una situazione del genere (che chiamiamo clustering delle violazioni) potrebbe costituire

un grave problema. Infatti, con violazioni concentrate nel tempo, il rischio di default è alto. Il

clustering delle violazioni è un problema tipico dei modelli VaR basati sulla simulazione storica, che

scaturisce quando il rendimento di portafoglio presenta dei clustering di volatilità.

Se le violazioni sono concentrate nel tempo, allora un risk manager può prevedere che, se oggi il VaR

.

è violato, allora sarà violato anche domani con una probabilità maggiore di In questa situazione,

un risk manager dovrebbe aumentare la propria previsione del VaR al fine di ridurre la probabilità

.

condizionata di una violazione a Diventa perciò necessario un test che consenta di rifiutare un

modello VaR che produca violazioni concentrate nel tempo. Un test con questa caratteristica è

chiamato test di indipendenza. Vediamo i vari step di questo test:

1) Assumiamo che le violazioni non siano indipendenti nel tempo, e in particolare, che solo la

violazione di oggi influenzi la violazione di domani (cioè il valore assunto dalla variabile

casuale violazione di domani non dipenda dall’intera sequenza delle violazioni passate, ma

solo dal valore della violazione del giorno precedente:

o La probabilità che domani ci sarà una violazione dato che oggi si è osservata una

violazione è data da: |

= ℙ( = 1 = 1)

 11 +1

La probabilità che domani ci sarà una violazione dato che oggi non c’è stata alcuna

o violazione è data da: |

= ℙ( = 1 = 0)

 01 +1

2) A questo punto si definisce la matrice delle probabilità:

1 −

01 01

Π = [ ]

 1 1 −

11 11

3) Se abbiamo un campione di osservazioni, possiamo allora scrivere la verosimiglianza del

campione:

) (1 ) (1 )

(Π = − −

01 11

 00 10

1 01 11

01 11

= 0,1 = 0,1).

Con: numero di osservazioni di sapendo che è successo prima ( e

4) Lo stimatore di massima verosimiglianza della matrice delle probabilità è dato da:

00 01

[̂ ̂ 1 − ̂ ̂ + +

̂ 00 01 01 01 00 01 00 01

Π = ]=[ ] = [ ]

 1 ̂ ̂ 1 − ̂ ̂

10 11

10 11 11 11 + +

10 11 10 11

D’altra parte, se le violazioni sono indipendenti nel tempo, lo stimatore della matrice di

probabilità è:

1 − ̂ ̂

̂ = [ ]

 1 − ̂ ̂ : =

testare l’ipotesi di indipendenza

5) Nuovamente, possiamo usando il test LR:

0 01 11

̂)

(Π 12

= −2 ln [ ] ∼

 (Π̂ )

1

8.5: IL TEST DI COPERTURA CONDIZIONATA PER IL BACKTESTING DEL VAR.

l’ipotesi di corretta copertura

Il test di copertura condizionata permette di testare congiuntamente

= =

e quella di indipendenza (in pratica sintetizza in un unico test i due test visti

01 11

precedentemente): () 22

= −2 ln [ ] ∼

 (Π̂ )

1

Si noti che il rapporto di verosimiglianza del test di copertura condizionata ( ) può essere ottenuto

semplicemente sommando le due statistiche test precedenti ( e ):

= +



8.6: IL BACKTESTING DEL VAR TRAMITE REGRESSIONE LINEARE.

I test analizzati precedentemente si basano unicamente sulla serie storica delle violazioni del VaR.

Tuttavia è possibile considerare anche l’informazione contenuta nelle serie storiche delle variabili di

mercato che possono aiutare a comprendere quando le violazioni si sono verificate.

Questo approccio consente al manager del rischio di comprendere meglio i problemi del modello VaR

()

impiegato e fornisce utili indicazioni per migliorarlo. Se indichiamo con il vettore delle variabili

, l’ipotesi

di mercato disponibili al risk manager al tempo nulla di un modello di rischio corretto

è data da: |

: ℙ( = 1 ()) = ⟺ [ | ()] =

 0 +1 +1

Il backtesting tramite regressione procede quindi con i seguenti step:

1) Si stima il modello di regressione lineare:

= + () +

 +1 0 1 +1

L’ipotesi nulla è equivalente a scrivere:

2) ]

[ + () + | = ⇒ + () =

 0 1 +1 0 1

L’ipotesi nulla di un modello VaR adeguato è che:

3) : = , = 0

 0 0 1 .

Questa ipotesi può essere testata usando la statistica test

8.7: APPROSSIMAZIONE PER IL BACKTESTING DELL’EXPECTED SHORTFALL.

Un approccio molto semplice per testare il modello ES può essere fondato sulla seguente

app