Econometria del rischio - Appunti

1: RISCHIO DI MERCATO, LOG-RENDIMENTI, VALUE AT RISK,

EXPECTED SHORTFALL E SIMULAZIONE STORICA.

1.1: RISCHIO DI MERCATO E RENDIMENTO DI UN PORTAFOGLIO.

Ogni portafoglio di titoli è soggetto al cosiddetto rischio di mercato, concetto che riassume la

probabilità di ottenere rendimenti diversi da quelli attesi investendo sul portafoglio stesso. Il rischio

di mercato è scomponibile sulla base delle tipologie di variabili di mercato che possono influenzare

il rendimento. Si parla perciò di:

 d’interesse:

Rischio di tasso rischio derivante dai movimenti potenzialmente avversi dei tassi

d’interesse.

 Rischio di tasso di cambio: derivante dai movimenti dei tassi di cambio.

 Rischio azionario: derivante dai movimenti su titoli e indici azionari.

 Rischio di commodity: derivante dai movimenti di prezzo delle materie prime.

Per misurare le performance di un titolo, il metodo più ovvio è quello di calcolarne i rendimenti. Una

misura molto utilizzata, per via delle buone proprietà grafiche e aritmetiche dei logaritmi, è il log-

=

rendimento. Assumiamo un orizzonte temporale giornaliero in cui il parametro temporale

0,1,2, … rappresenta un particolare giorno di contrattazione; definiamo log-rendimento

+ 1:

giornaliero (o tasso di rendimento capitalizzato nel continuo) in

+1

) )

= ln( − ln( = ln ( ) ;

 +1 +1

+ 1

A partire da questa equazione possiamo facilmente calcolare il prezzo del titolo in applicando

una trasformazione esponenziale:

)

= exp(

 +1 +1

Se vogliamo invece mantenere un orizzonte temporale più ampio ( giorni), possiamo calcolare il

log-rendimento su giorni come segue:

) ) ∑ ) ) ∑

= ln( − ln( = ln( − ln( =

 +1,+ + + +−1 +

=1 =1

[, + ].

Si tratta di una semplice sommatoria dei rendimenti giornalieri nel periodo

Se vogliamo calcolare, invece, il log-rendimento giornaliero di un portafoglio di titoli, dobbiamo

= 1, … , indica l’i-esimo

sfruttare la seguente relazione (dove il parametro titolo componente il

portafoglio): =1

) ) ∑

= ln( − ln( ; =

 , ,

+1 +1

I rendimenti sui mercati azionari godono di molte importanti proprietà:

 La distribuzione dei rendimenti giornalieri ha code più spesse di quelle della normale. Quindi,

ha curtosi maggiore di 3.

 Il rendimento atteso giornaliero ha dimensioni trascurabili, tanto che spesso non è

significativamente diverso da 0 in termini statistici. Il mercato azionario occasionalmente

subisce ampie cadute, ma molto più raramente crescite altrettanto ampie. Come conseguenze

la distribuzione dei rendimenti è tipicamente asimmetrica negativamente.

 I due punti precedenti implicano la non-normalità dei rendimenti giornalieri.

 Essendo il rendimento giornaliero atteso approssimativamente nullo, la deviazione standard

domina quest’ultimo.

 I rendimenti giornalieri non presentano autocorrelazioni significative. Quindi i rendimenti

futuri non possono essere previsti usando la serie storica dei rendimenti passati.

 La varianza dei rendimenti giornalieri presenta autocorrelazione. Quindi la serie storica dei

rendimenti al quadrato può essere usata per prevedere la varianza futura.

 Le azioni mostrano una correlazione negativa tra varianza e rendimenti. Questo fenomeno

deriva dall’effetto leverage poiché una caduta del prezzo delle azioni incrementa il livello di

indebitamento della società, mantenendo il debito costante. In particolare, un alto rendimento

negativo produce un incremento della varianza superiore a quello prodotto da un rendimento

positivo della stessa ampiezza.

 La correlazione tra diversi titoli varia nel tempo. In particolare, la correlazione si intensifica

in periodi di alta volatilità e di cadute di mercato.

 Anche la distribuzione condizionata dei rendimenti è generalmente non-normale. Ciò a causa

del fatto che anche dopo aver standardizzato la serie storica dei rendimenti con una misura

dinamica di volatilità, la distribuzione dei rendimenti presenta un eccesso di curtosi positivo.

 All’aumentare dell’ampiezza dell’orizzonte temporale su cui sono calcolati i rendimenti, la

distribuzione non condizionata del rendimento tende alla normale.

Concludiamo il paragrafo mostrando un semplice modello generico per i rendimenti giornalieri,

basato sulle osservazioni precedenti:

= + ∼ . . . (0,1)

 +1 +1 +1 +1 +1 2 2

[ ]

= −

Dove è il rendimento atteso condizionato giornaliero, è la varianza

+1 +1 +1

+1

(0,1)

è un’innovazione (termine di errore), e

condizionata, è una generica distribuzione

+1

standardizzata.

1.2: VALUE AT RISK (VaR).

La deviazione standard (scarto quadratico medio), spesso chiamata volatilità in finanza, rappresenta

la misura di rischio più vecchia e diffusa. Tuttavia, la sua validità è limitata all’ipotesi in cui i

rendimenti dei titoli siano distribuiti normalmente (abbiamo detto che può essere questo il caso su

orizzonti temporali lunghi), ipotesi da rigettare per rendimenti finanziari ad alta frequenza. Di

conseguenza la deviazione standard non può essere considerata una valida misura del rischio sui

mercati finanziari quando l’orizzonte temporale considerato è breve.

Una misura di rischio che non è soggetta a questo limite sulla forma distributiva è il Value at Risk

(VaR). Il VaR indica la perdita potenziale di una posizione di investimento in un certo orizzonte

l’orizzonte

temporale (di solito un giorno), con un certo livello di confidenza. In altri termini, fissato

,

temporale e un livello di probabilità il VaR identifica una soglia di perdita che ci si aspetta di

; 1 − .

superare con probabilità quindi, la probabilità di subire una perdita inferiore al VaR è pari a

Pr( ≤ − )=

 +1 +1 = +

A partire dal modello generico visto precedentemente definiamo la forma

+1 +1 +1 +1

funzionale del VaR giornaliero:

−1 ())

= −( +

 +1 +1

+1

Dove: −1

 () .

è il p-esimo percentile della distribuzione delle innovazioni

− − +1

 = ( )

+1

+1

Il VaR può essere espresso anche in termini monetari (e non di rendimento come nel caso appena

visto); questa formulazione viene chiamata Money VaR (MVaR). La sua formulazione si ricava da

quella del VaR sui rendimenti.

−

= − ( − ) = (1 − exp(− ))

+1



+1 +1

+1

Le innovazioni usate per determinare il VaR come mostrato poco fa (e quindi i rendimenti), hanno

una distribuzione generica, poiché abbiamo constatato che la distribuzione normale rappresenta

In ogni caso, è utile fornire un’ulteriore

molto raramente quella empirica dei rendimenti stessi.

formulazione, del VaR con distribuzione normale standardizzata dei rendimenti giornalieri, che

permette di semplificare notevolmente la determinazione del VaR giornaliero nei casi in cui la

∼ . . . (0,1)

normalità delle innovazioni sia plausibile. Sapendo che in questo caso si ha che: +1

= 0,

e il VaR sarà:

+1 p−1

= − Φ

 +1

+1

p−1

Φ

Dove: è il p-esimo percentile della normale standardizzata.

Concludiamo fornendo una rappresentazione grafica esemplificativa di un VaR giornaliero all’1%

con distribuzione normale dei rendimenti.

1.3: EXPECTED SHORTFALL (ES).

Un limite del VaR è che si tratta di una misura puntuale che non è in grado di cogliere appieno le

caratteristiche della coda sinistra della distribuzione dei rendimenti; la coda potrebbe essere molto

ampia e quindi suggerire perdite potenziali molto più elevate di quelle rilevate con il VaR, seppur

riesce a cogliere adeguatamente l’entità degli eventi

poco probabili. In altre parole, il VaR non

negativi più estremi.

Una misura in grado di cogliere sia la probabilità di subire perdite superiori al VaR sia la loro

dimensione è l’Expected Shortfall (ES), che altro non è che il valore atteso della perdita

condizionato al fatto che questa sia superiore al VaR. L’ES giornaliero di un portafoglio, ad un livello

1 −

di confidenza è definito quindi come segue:

( |

= − ≤ − )

 +1 +1

+1 +1

Usiamo nuovamente il modello generico per i rendimenti per sviluppare la seguente forma funzionale

dell’ES: −1 ()

1

()

= − ( )

∫

 +1

+1 −∞

∼ (0,1).

Dove: è la funzione di densità della distribuzione di Non compare perché sia

+1

assume che sia nullo.

normalità degli shock, allora l’Expected

Se ipotizziamo la shortfall con distribuzione normale

standardizzata dei rendimenti assume la seguente forma funzionale:

−1

−1 )

(Φ

Φ

1

p

p

= − ( () ) =

∫

 +1 +1

+1 −∞

1 1

p−1 2

Φ () = exp (− )

Dove: è il p-esimo percentile della normale standardizzata; è la

2

√2

funzione di densità della normale standardizzata. Anche qui si ipotizza che i rendimenti giornalieri

attesi siano nulli.

+1

1.4: SIMULAZIONE STORICA.

La simulazione storica è una procedura analitica utilizzata per prevedere il VaR, tramite una

“simulazione” della funzione di distribuzione cumulata dei rendimenti degli asset (o dei portafogli)

nel tempo. Vediamo qui di seguito come implementarla.

Sia oggi il giorno e si consideri un portafoglio composto da differenti azioni. Sia il numero

,

=1

∑

=

di unità dell’azione in portafoglio oggi. Dunque il valore del portafoglio è come

, ,

mostrato nel paragrafo 1.1. Ai fini della simulazione storica è utile calcolare uno pseudo valore del

portafoglio di ieri, calcolato usando le quantità di oggi ma i prezzi di ieri:

=1

∑

- =

 , ,−1

−1

Si parla di pseudo-valore perché solitamente le unità di titoli detenuti variano nel tempo. A partire da

questo si ricava lo pseudo log-rendimento di portafoglio:

- = ln ( )



-

−1

Ora che abbiamo definito queste due misure fittizie di portafoglio, vediamo come usarle per svolgere

la simulazione storica. Il processo si articola nei seguenti step successivi:

1) Si deve costruire la serie storica degli pseudo log-rendimenti di portafoglio

{- } a partire da quella degli pseudo valori, costruita usando i dati sulle

+1− =1

quantità di portafoglio e le quotazioni dei titoli in portafoglio.

2) Si dispongono gli pseudo log-rendimenti così ricavati in ordine crescente.

3) Si calcola il VaR come p-esimo percentile (cambiato di segno) della serie degli pseudo log-

rendimenti ordinata come al punto precedente:

} )

= −({-



+1− =1

+1

Il percentile può essere calcolato in diversi modi. I più comuni sono i due seguenti:

 Metodo del rango più vicino (nearest-rank): metodo che individua il p-esimo

percentile tra gli elementi di una lista di elementi ordinata in modo crescente,

usando la seguente formula per determinare il suo rango (la sua posizione) all’interno

della lista stessa:

= ( ∙ )

 100

(∙) è la funzione parte intera superiore, che restituisce l’intero

Dove:

immediatamente superiore all’argomento della funzione stessa. Naturalmente, questo

metodo di calcolo del percentile è estremamente semplice, ma si tratta solo di

un’approssimazione, che perde di precisione mano a mano che l’ampiezza della

lista di elementi si riduce. Per valori di inferiori a 100, particolari elementi della

lista possono corrispondere a diversi percentili. Problematica che spesso è di scarsa

rendimenti giornalieri, data l’alta frequenza delle osservazioni.

rilevanza nel caso di

 Interpolazione lineare: alternativa più complessa ma più precisa della precedente,

articolata in diverse varianti, che prevede di interpolare i due ranghi adiacenti al valore

∙ . In altre parole si usa l’interpolazione al posto della funzione parte

assunto da 100

intera per determinare il percentile. Procedendo in questa maniera si può ottenere

anche un valore non appartenente alla lista di elementi originaria. Non descriviamo in

questa sede le differenti tecniche di interpolazione dei percentili esistenti, ma

rimandiamo l’approfondimento al lettore.

Allo stesso modo, l’Expected Shortfall può essere stimato usando la seguente relazione:

1

∑

= − - ∙



=1 +1−

+1 {- ≤− }

+1− +1

Concludiamo il paragrafo analizzando vantaggi e svantaggi della simulazione storica:

 Vantaggi:

o È semplice da implementare, poiché non richiede alcuna stima e implementazione di

procedure numeriche di ottimizzazione.

È “model free”, cioè non si basa su alcun modello parametrico e quindi non è soggetta

o al rischio di cattiva specificazione.

 Svantaggi: .

o Difficoltà nella scelta della giusta ampiezza di Se troppo grande, le osservazioni

recenti avranno un peso trascurabile e il VaR sarà relativamente stabile nel tempo e

poco reattivo alla mutazione delle condizioni di mercato; se troppo piccolo, potrebbero

essere escluse dal campione delle perdite rilevanti provocando una sottostima del

rischio.

o Tendenzialmente inadatta per stimare il VaR su orizzonti temporali più lunghi di un

giorno, poiché il metodo richiederebbe serie di dati riferiti anche a numerosi anni di

calendario, spesso non disponibili. Una soluzione (non ottimale data la natura model

free della simulazione storica) è quella di calcolare il VaR a giorni moltiplicando

:

quello giornaliero per la radice quadrata di

= ∙ √

 +

1.5: SIMULAZIONE STORICA PONDERATA.

è un’estensione della simulazione storica che prevede di

La simulazione storica ponderata

assegnare un peso maggiore alle osservazioni più recenti, e un peso minore a quelle più lontane nel

tempo, in modo da risolvere almeno in parte il problema della scelta di posto con il metodo

standard.

La simulazione storica ponderata viene svolta con i seguenti step successivi:

1) I pesi vengono assegnati alle osservazioni NON ORDINATE tramite la seguente funzione dei

pesi:

1−

−1 ∑

= { } 0,95 ≤ ≤ 0,99; = 1

 con:

=1

1− =1 1−

=

Così che al rendimento di oggi venga assegnato il peso .

1

1−

2) Le osservazioni pesate vengono poi ordinate in maniera crescente, ottenendo la seguente serie:

{ }

= 1

, dove corrisponde al primo elemento della serie.

+1− =1

3) Il VaR viene calcolato cumulando i pesi dei rendimenti disposti in ordine crescente finché

:

non viene raggiunta la probabilità cumulata

∑

=

 +1−

=1

Dove l’elemento con peso ha rango corrispondente al VaR cercato

+1−

)

= ( ⇔ =

 +1− +1−

+1

si può calcolare l’Expected

A partire dal VaR così ricavato Shortfall:

1

+1− ()

= − ( )

∫

 +1

+1 −∞

Concludiamo quindi analizzando vantaggi e svantaggi della simulazione storica ponderata:

 Vantaggi: ,

o Una volta scelto la simulazione storica ponderata non richi