Econometria - Appunti

Che cos'è l'Econometria?

* Scienza che sottopone a verifica le teorie economiche

* Insieme di strumenti usati per prevedere i valori futuri delle variabili economiche

* Processo con cui si adattano i modelli economici matematici ai dati del mondo reale

* Arte e scienza, di usare dati storici per fare raccomandazioni di politica economica

L'Econometria si occupa dello studio quantitativo delle relazioni economiche

[in P.E. era studio qualitativo → se i ↑ Borsa ↓ ]

in Econometria ci interessa di quanto la Borsa diminuisce → &i

Utilizzo di tecniche statistiche per interpretare la realtà alla luce della teoria economica

A cosa serve l'Econometria?

Dare una risposta quantitativa ad una domanda economica

Es. Quale frazione di reddito disponibile viene consumaato?

Elementi di uno studio econometrico:

• Modello economico e ipotesi di lavoro
• Modello econometrico
• Dati
• Stime
• Interpretazione risultati

Modello Econometrico

REGRESSIONE MULTIPLA

permette di valutare qual è l’effetto di determinate variabili su una variabile di interesse, mantenendo tutte le altre condizioni/caratteristiche costanti (CETERIS PARIBUS).

IL RISULTATO (y) DIPENDE DA PIÙ VARIABILI / FATTORI / VALORI

Tentativo di passare da correlazioni a EFFETTI CAUSALI → ad un’azione specifica corrisponde una specifica e misurabile conseguenza.

Es. fertilizzante → pomodori

COVARIANZA → quanto due variabili si muovono assieme

Cov (x, y) = Cov (y, x)

difetto: dipende dalla scala delle variabili

CORRELAZIONE = covarianza standardizzata

Cov / st.error

R = 0 non c’è nessun legame tra le variabili

dunque, ci dice se c’è legame tra le variabili ma NON ci dice se c’è un LEGAME CAUSALE

Dati NON SPERIMENTALI

(≠ statistica)

• Foto del mondo reale, non possiamo scegliere la dimensione del campione ecc.

Tipologie di DATI:

• SEZIONALI → [1 colonna] in uno stesso momento osservo più unità economiche [consumo di 50 famiglie]
• SERIE TEMPORALI → [1 riga] stessa unità in diversi stadi temporali [1 famiglia, Qnt consum.um/anno negli ultimi 20 anni]
• DATI PANEL → [1 tabella] tante unità osservate in tanti stadi temporali
• DATI LONGITUDINALI → [mix dei primi due]

L'OSSERVAZIONE puo' essere:

• ie numerino

* essa stessa una variabile casuale che ha la stessa distribuzione della popolazione

ŷ₁ = α + βx₁ + ε₁ → OSSERVAZIONE COME ELEMENTO ESTRATTO DALLA POPOLAZIONE

ŷ₁ = α + βx₁ + ε₁ → OSSERVAZIONE EMPIRICA [ie numerino]

ε = ERRORE ➔ e' una variabile casuale

E(ε)=0

ε non dev'essere legato alla Xnon lo osservo!

Conosco la X, e la X non mi dice nulla su ε

E(ε|x)=0

inoltre...

Cov(ε, x) = 0

ε e' anche scritto con la μ

y = α + βx + (μ → ε)

x = var. indipendente regresso re

y = var. dipendente

μ = TERMINE d’ERRORE NON OSSERUABILE

E(μ)=0 e E(μ|x)=0

19/09

2) ∂∑(4_i - a - b x_i)² = 0

∂θ

-2∑(4_i - a - b x_i) x_i = 0 . (∑2)

∑(4_i - a - b x_i) x_i = 0 --> ∑e_i x_i = 0

Abbiamo trovato le stesse condizioni trovate con il METODO dei MOMENTI

E(μ) = 0

E(μ . x) = 0

la soluzione è la stessa!

il metodo utilizzato è il METODO dei MINIMI QUADRATI

Stime:

a = ȳ - b x̄

b = ∑(4_i - ȳ) (x_i - x̄) ÷ ∑(x_i - x̄)²

la ∑ e_i = 0 dunque ē = 0

4_i = ŷ_i + e_i

valore ricostruito

valore osservato

moltiplico tutti i membri per 1/n ∑ , dunque

1/n ∑ 4_i = 1/n ∑ ŷ_i + 1/n ∑ e_i

∴

∑ȳ = ∑ŷ +∑(e) => 0 perciò Ȳ = Ŷ 11

Se le estrazioni sono tutte indipendenti allora

Cov (ū_i, ū_j | x) = 0      ∀i ≠ j.

dunque      Cov (ŷ_i, ŷ_j | x) = 0      ∀i ≠ j.

x è come se fosse nota, una costante!

facendo E(a) ed E(b) in teoria dovrei trovare i valori di α e β (i vero valore dei parametri)

E(a|x)      e = ad α ?

E(b|x)      e = a β ?

Se ciò è vero, allora gli stimatori sono corretti (non distorti).

E(b|x) =

      =       ε [ Σ_i(ŷ_i - ū_i) (x_i - x̄) ]

                        Σ_i (x_i - x̄)²

- ε[ Σ_i(ŷ_i - α) (x_i - x̄) ]

      =

                        Σ_i (x_i - x̄) ε (ŷ_i - ū_i)

                                  Σ_i (x_i - x̄)²

MA E(ŷ_i - ū) e =

= E (ŷ_i - E(ū)

= α + β x_i - E( 1/n Σ_i ū_i)

= α + β x_i - 1/n Σ_i E(ū_i)

= α + β x_i -α - β 1/n Σ_i x_i

= β (x_i - x̄)

= Σ_i (x_i - x̄) β (x_i - x̄) = β Σ_i (x_i - x̄)²

           Σ_i (x_i - x̄)`2                                      Σ_i (x_i - x̄)²

E = β :). Lo stimatore é corretto!

e per b₁?

y_i = α + B₁ x_1i + B₂ x_2i + u_i

ci interessa B₁ ma y non dipende anche da x_2i

Dobbiamo ripulire x_1i e y dall'effetto di x_2i

x_1i = γ + γ̑ + γ x_2i + res_x1i

res_x1i = x_1i - γ̑ - γ x_2i

x_1i ripulito dell'effetto di x_2i

y_i = Ô + Ô x_2i + res_yi

res_yi = y_i - Ô - Ô x_2i

y_i ripulito dall'effetto di x_2i

risultato res_x1i res_yi osservazioni ripulite di x_2i

B₁ lo stimiamo con b₁

b₁ = Σ res_yi res_x1i / Σ res_x1i² = Σ y_i res_x1i / Σ res_x1i²

Rappresentazione Matriciale

osservazioni da 1 = 1, ..... , n

[ y₁ ] = α [ 1 ] + B₁ [ x₁₁ ] + B₂ [ x₂₁ ] + [ u₁ ] [ y₂ ] [ 1 ] [ x₁₂ ] [ x₂₂ ] [ u₂ ] [ ⋮ ] [ ⋮ ] [ ⋮ ] [ ⋮ ] [ ⋮ ] [ y_n ] [ 1 ] [ x_1n ] [ x_2n ] [ u_n ]

vettore di dimensione n

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