Econometria - le equazioni simultanee

Modulo…

2.2 Generalità sui modelli dinamici

Fin dal modulo I è stata introdotta la differenza tra modelli statici, comprendenti

correnti variabile

soltanto variabili , e modelli dinamici, contenenti almeno una

ritardata , di una o più unità di tempo. L'equazione del consumo (I-2.1.5)

rappresenta un modello dinamico in quanto è specificata sotto l'ipotesi che il

consumo al tempo sia funzione lineare del reddito al tempo precedente.

t

Sostituendo la (I-2.1.5) al posto della funzione del consumo statica del sistema (I-

3.1.1) si ottiene il modello dinamico seguente, scritto in forma strutturale,

= α + β α > < β < (1.2.1)

⎧

c y 0 , 0 1

−

t t 1

⎨ = +

y c i

⎩ t t t

nella quale sono presenti due variabili endogene, ed ed una esogena, la ; la

c y i

variabile , tuttavia, è ora riferita a una svolta al tempo , nella condizione di

y t

equilibrio, ed una volta al tempo , nella funzione del consumo.

t−1

Con il modello (1.2.1) è possibile effettuare un’analisi dinamica, che ad esempio

può esser utilizzata per:

i) studiare l'evoluzione temporale di sistemi economici;

ii) rappresentare mercati ine disequilibrio;

iii) esaminare i processi, i modi e nei velocità di aggiustamento;

iv) esaminare il passaggio del sistema in esame da una posizione di equilibrio

ad un'altra;

v) determinare le condizioni di stabilità delle posizioni di equilibrio.

Se la posizione di equilibrio che viene raggiunta dal sistema rappresentato dal

una qualsiasi posizione di disequilibrio, tale posizione è detta

modello partendo da

globalmente stabile . Se è invece essa viene raggiunta soltanto partendo da

localmente

particolari posizioni di disequilibrio, la posizione di equilibrio è detta

stabile .

Una posizione di equilibrio può mantenersi costante nel tempo, come quella

determinata dalla (I-2.2.5) per il rapporto consumo/reddito; ma può anche essere

funzione del tempo, avendo essa stessa proprietà dinamiche che tuttavia

rimangono inalterate con il passare del tempo: i sentieri di crescita di lungo periodo

della forma (I-2.2.4), ovvero (I-2.2.6), costituiscono posizioni di equilibrio di questo

dinamico

tipo. L'equilibrio in questo caso è detto , in contrapposizione al caso

statico

precedente, . Pagina X-4

Modulo…

Forma ridotta di un modello dinamico

Se nelle (1.2.1) sostituiamo il valore di ottenuto dalla prima equazione nella

c t

forma ridotta

seconda, si perviene ad una del modello

= α + β α > < β < (1.2.1)

⎧

c y 0 , 0 1

−

t t 1

⎨ = α + β +

y y i

⎩ −

t t 1 t variabili esogene

nella quale le variabili endogene sono esplicitate in funzione delle

(in generale sia correnti che ritardate, ma nel caso (1.2.2) costituite dalla sola i

t

endogene ritardate.

corrente) e delle L'insieme delle variabili esogene ritardate è

variabili predeterminate

detto formato da , in quanto si presuppone che al tempo t

siano conosciute sia tutte le variabili esogene che le indagine e ritardate. Si dice

pertanto che un modello dinamico è dato in forma ridotta quando esprime le

variabili endogene (correnti) in funzione di quelle predeterminate.

La forma finale

Ma il modello (1.2.1) non possiede soltanto la forma ridotta (1.2.2): infatti,

sostituendo la della seconda delle (1.2.1) nella prima e la della prima nella

y c

t t

seconda, si ottiene = α + β + β (1.2.3)

⎧

c c i

− −

t t 1 t 1

⎨ = α + β +

y y i

⎩ −

t t 1 t

che è ancora una forma ridotta del modello in quanto nei membri a destra

compaiono soltanto variabili esogene (correnti e ritardate); in più ha tuttavia la

caratteristica che le variabili endogene ritardate sono, in ogni equazione, dello

stesso tipo della endogena corrente che si vuole esprimere. Nella (1.2.3) la è

c t

se stessa ritardata

espressa mediante le variabili esogene (la ) e , e la , ancora

i y

t−1 t

se stessa ritardata

per mezzo delle esogene (la ) e .

i

t

Quando in un modello dinamico scritto in forma ridotta compaiono, in ogni

equazione, tra le variabili endogene ritardate soltanto quelle che sono dello stesso

tipo della endogena corrente che si vuole esprimere, si dice che il modello è scritto

forma finale

in .

Osservazione 1.1 - Un modello in forma finale è anche in forma ridotta,

ma non è necessariamente vero il viceversa. Pagina X-5

Modulo…

2.3 Forma generale strutturale dei modelli dinamici

Il modello dinamico (1.2.1) può essere scritto in forma matriciale nel seguente modo

− β − α (1.3.1)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

c c

1 0 0 0 0

i

−

1

t t t

+ + =

⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

− −

y y

1 1 0 0 1 0 1 0

⎣ −

1

t t

che in termini più compatti diventa

+B +Γ = (1.3.2)

B y y x 0

0 t 1 t−1 0 t

=[c =[i

, , e

con y ,y ]′ x ,1]′

t t t t t − β − α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 0 0 0

= Γ

= =

B B

, ,

⎢ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎦

0 1 0

− −

1 1 0 0 1 0

⎣ ⎣ ⎣

ritardi per il vettore delle endogene e di ritardi

Estendendo la (1.3.2) al caso di p r

per quello delle esogene, si ha la forma generale strutturale del modello dinamico

deterministico p r

∑ ∑

+ Γ =

B y y 0

− −

j t j

i t 1

= =

j

i 0 0 Γ

dove le matrici sono tutte di ordine e le di ordine , essendo il numero

B g×g g×k g

i j

delle variabili endogene e quello delle esogene.

k , la (1.3.1) può essere scritta nella forma

Utilizzando l'operatore L − α

− β ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤ c c

1 0 0 0 0

L i

t t t

+ =

+ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢⎣ ⎥⎦

⎢ ⎥⎦ −

− y y

1 1 0 0 1 0 1 0

⎣ t t ; quindi

dove le matrici hanno gli elementi funzioni di L

+B +Γ = (1.3.3)

B (L)y (L)y (L)x 0

0 t 1 t−1 0 t

con − β

⎤ ⎤

⎡ ⎡

⎡ ⎤ − α

L

0

0 0

0

0

L L

= Γ

= =

B L

( )

, ,

B ( )

L ⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎢ ⎥

1

0 0

− −

0 0

0 0 0 0

L L L

⎣ ⎦

⎦ ⎦

⎣ ⎣

ed ancora +Γ(L)x = (1.3.4)

B(L)y 0

t t

Γ(L)=Γ

e . La (1.3.4) rappresenta la forma strutturale

dove B(L)=B (L)+B (L) (L

)

0 1 0

generale dei modelli dinamici deterministici se si pone Pagina X-6

Modulo… (1.3.5)

p r

∑ ∑

= Γ = Γ

,

B ( L ) B ( L ) ( L ) ( L )

i j

= =

i 0 0

j

Un secondo esempio di modello dinamico che è utile rappresentare nella forma

(1.3.4) si ha estendendo il (1.2.1) con la disaggregazione delle spese autonome in

spesa pubblica ed investimenti privati , supposti funzione dell'incremento di

g i

reddito avutosi nel tempo precedente

= α + β < α < β < δ >

⎧

c y 0 , 0 1 , 0

−

t t 1

⎪ = γ + δ −

i ( y y )

⎨ (1.3.6)

− −

t t 1 t 2

⎪ = + +

y c i g

⎩ t t t t

dove è una variabile esogena.

g

Questo modello, che è una versione dinamica del (I-2.3.5) con l'omissione del

tasso di interesse, costituisce la riformulazione di Hicks (1950) del modello con cui

Samuelson (1939) spiegò l'interazione tra il moltiplicatore ed il principio

dell'acceleratore. In forma matriciale il sistema (1.3.6) è scritto − α

− β ⎤ ⎤

⎡ ⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡ c c c

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

− −

t t 1 t 2 ⎡ ⎤

g

⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ t

+ − γ =

+ δ

+ − δ

i i i

0 1 0 0 0 0 0 0 0

⎢ ⎥

⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ − −

t t 1 t 2 1

⎣ ⎦

⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ −

− − y y y

1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

⎦ ⎦

⎣ ⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣ − −

t t 1 t 2

oppure ancora, mediante l'operatore ,

L

− β − α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 0 0 0

L c t ⎡ ⎤

g

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− δ + δ + − γ =

t

2

0 1 0 0

L L i (1.3.7)

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

t 1

⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − −

1 1 1 1 0 0

y

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

t

nella forma generale (1.3.4). Pagina X-7

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulle equazioni simultanee. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la generalità sui modelli dinamici, la forma generale strutturale dei modelli dinamici, la forma generale finale, le endogene ritardate, le variabili esogene, le variabili predeterminate, la forma ridotta di un modello dinamico.