Econometria - le equazioni simultanee

Modulo… (1.3.5)

p r

∑ ∑

= Γ = Γ

,

B ( L ) B ( L ) ( L ) ( L )

i j

= =

i 0 0

j

Un secondo esempio di modello dinamico che è utile rappresentare nella forma

(1.3.4) si ha estendendo il (1.2.1) con la disaggregazione delle spese autonome in

spesa pubblica ed investimenti privati , supposti funzione dell'incremento di

g i

reddito avutosi nel tempo precedente

= α + β < α < β < δ >

⎧

c y 0 , 0 1 , 0

−

t t 1

⎪ = γ + δ −

i ( y y )

⎨ (1.3.6)

− −

t t 1 t 2

⎪ = + +

y c i g

⎩ t t t t

dove è una variabile esogena.

g

Questo modello, che è una versione dinamica del (I-2.3.5) con l'omissione del

tasso di interesse, costituisce la riformulazione di Hicks (1950) del modello con cui

Samuelson (1939) spiegò l'interazione tra il moltiplicatore ed il principio

dell'acceleratore. In forma matriciale il sistema (1.3.6) è scritto − α

− β ⎤ ⎤

⎡ ⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡ c c c

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

− −

t t 1 t 2 ⎡ ⎤

g

⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ t

+ − γ =

+ δ

+ − δ

i i i

0 1 0 0 0 0 0 0 0

⎢ ⎥

⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ − −

t t 1 t 2 1

⎣ ⎦

⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ −

− − y y y

1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

⎦ ⎦

⎣ ⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣ − −

t t 1 t 2

oppure ancora, mediante l'operatore ,

L

− β − α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 0 0 0

L c t ⎡ ⎤

g

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− δ + δ + − γ =

t

2

0 1 0 0

L L i (1.3.7)

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

t 1

⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − −

1 1 1 1 0 0

y

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

t

nella forma generale (1.3.4). Pagina X-7

Modulo…

2.4 La forma generale finale

Una forma generale ridotta dei modelli dinamici deterministici può essere ottenuta

risolvendo rispetto ad , la (1.3.4), con l'uso dell'inversa della ,

(L)

y B

t −1

=− (1.4.1)

(L)⋅Γ(L)

y B x

t t

Nella (1.4.1) mancano del tutto le variabili endogene ritardate; se, tuttavia,

−1 può essere espressa mediante il determinante l’aggiunta di

consideriamo che (L)

B

−1 , la (1.4.1) può essere trasformata nell'altra

(L

)

B =−[agg (1.4.2)

[det (L)]⋅ (L)]⋅Γ(L)

B y B x

t t

forma generale finale del modello con forma strutturale (1.3.4).

che rappresenta la

Esempio 1.1 - Nel caso del modello (1.2.1) riscritta dalla forma matriciale (1.3.4) si

ha che − β

⎡ ⎤

L

0

=

B L

( ) ⎢ ⎥⎦

1 0 0

⎣

det (L)=1−βL

B β

⎡ ⎤

1 L

=

aggB ( L ) ⎢ ⎥⎦

1 1

⎣

per cui la forma finale scritta secondo la (1.4.2) è

β − α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

c 1 0 0

L i

t

− β = − =

t

(

1 )

L ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

−

y 1 1 1 0 1 0

⎣

⎣ ⎦

t

cioè, utilizzando le proprietà dell'operatore,

β α (1.4.3)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

c L i

t

− β = t

L

(

1 ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

α

y 1 1

⎣

⎣ ⎦

t

identica al sistema (1.2.3) scritto in termini matriciali. Questo, infatti, può essere

trasformato nel modo

− β − α − β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

c c

1 0 0 0 0 0

i i

− −

t t 1 =

+ + +

t t 1

⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

− β − − α

y y

0 1 0 1 1 0 0 1 0

⎣ −

t t 1

cioè nella forma generale

+ +Γ +Γ =

B y B y x x 0

0 t 1 t−1 0 t 1 t−1

=

con , e quindi in

B I

0 Pagina X-8

Modulo…

− β − β − α (1.4.4)

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

c

L

1 0 0

L i

t + =

t

⎢⎣ ⎥⎦

⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

− β − − α

y

L

0 1 1 1 0

⎣ t

identico alla (1.4.3). =

Osservazione 1.2 - La condizione è caratteristica delle forme

B I

0

ridotte. D'altro canto la (1.4.4) può essere scritta, in termini generali,

nella forma (1.3.4) con matrice diagonale. Questa condizione su

(L)

B

è caratteristica delle forme finali.

(L)

B

Il modello del Samuelson in forma finale

Per trovare direttamente la forma finale del modello (1.3.6) possiamo sostituire c

t

ed date dalle prime due equazioni del sistema nella terza, ottenendosi in primo

i

t

luogo la forma finale dell'equazione che esprime y

t

=α+γ+(β+δ)y −δy +g

y

t t−1 t−2 t

nella quale sono presenti due variabili endogene ritardate ed una esogena corrente.

Per determinare le altre due equazioni in forma finale sostituiamo la terza delle

(1.3.6) nelle altre due, ottenendosi

= α + β + +

⎧

c ( c i g )

− − −

t t 1 t 1 t 1

⎨ = γ + δ + + − + +

i ( c i g c i g )

⎩ (1.4.5)

− − − − − −

t t 1 t 1 t 1 t 2 t 2 t 2

−c nella seconda delle equazioni di questo sistema e

Per eliminare la quantità c

t−1 t−2

quindi ridurla a forma finale, osserviamo che dalla prima del sistema (1.3.6) si può

ottenere in funzione di , e che sostituendola nella seconda dello stesso sistema

y c

t−1 t

si ottiene δ (1.4.6)

= γ + −

i ( c c )

−

t t t 1

β

da cui ritardando di una unità temporale

β γβ

− = −

c c i

− − −

t 1 t 2 t 1 δ

δ

Sostituendo questa differenza nella seconda della (1.4.5) si ottiene la forma finale

dell'equazione che esprime gli investimenti privati

=γ(1−β)+(β+δ)i −δi +δ(g −g

i )

t t−1 t−2 t−1 t−2

nella quale sono presenti due variabili endogene ritardate e due esogene, anch'esse

ritardate. Pagina X-9

Modulo…

Infine, per eliminare la nella prima delle (1.4.5) e quindi ridurla in forma

i

t

finale, basta ritardare di una unità temporale la (1.4.6) e sostituire la così

i

t−1

trovata ottenendosi =α+βγ+(β+δ)c −δc +βg

c

t t−1 t−2 t−1

nella quale sono presenti due variabili endogene ritardate ed una esogena pure

ritardata. La forma finale complessiva del modello (1.3.6) è quindi

= α + β + δ + δ + β (1.4.7)

⎧

c ( ) c c g

− − −

1 2 1

t t t t

⎪ = γ − β + β + δ − δ + δ −

i (

1 ) ( )

i i ( g g )

⎨ − − − −

1 2 1 2

t t t t t

⎪ = α + γ + β + δ − δ +

y ( ) y y g

⎩ − −

1 2

t t t t

dove si nota che i coefficienti delle variabili endogene ritardate sono uguali ad ogni

tempo.

La stessa forma (1.4.7) può essere ottenuta facendo uso della (1.4.2). Infatti il

indicata nella (1.3.7) può essere trovato con la

determinante della matrice (L)

B

regola di Sarrus che utilizza la tabella

− β ⎤

⎡ 1 0 1 0

L ⎥

⎢ − δ + δ 2

0 1 0 1

L L ⎥

⎢ ⎥

⎢ − −

− −

1 1 1 1 1

⎦

⎣

per cui 2

det (L)=1−(β+δ)L+δL

B

mentre l'aggiunta di , utilizzando le proprietà dell'operatore , è

(L) L

B ⎡ ⎤

− δ + δ β β

2

1 L L L L

⎢ ⎥

= δ − δ − β δ − δ

2 2

( ) 1

aggB L L L L L L

⎢ ⎥

⎢ ⎥

1 1 1

⎣ ⎦

Allora la (1.4.2) è, in questo caso,

⎡ ⎤

− δ + δ β β − α

2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 0

c L L L L

t ⎡ ⎤

g

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− β − δ + δ = − δ − δ − β δ − δ − γ t

2 2 2

[

1 ( ) ] 1 0

L L i L L L L L ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

t 1

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−

1 1 1 1 0

y

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

t

vale a dire β α + βγ (1.4.8)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

L

c t ⎡ ⎤

g

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− β − δ + δ = δ − δ γ − β t

2 2

[

1 ( ) ] (

1 )

L L

L L i ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

t 1

⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

α + γ

1

y

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

t Pagina X-10

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulle equazioni simultanee. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la generalità sui modelli dinamici, la forma generale strutturale dei modelli dinamici, la forma generale finale, le endogene ritardate, le variabili esogene, le variabili predeterminate, la forma ridotta di un modello dinamico.