Econometria - le equazioni simultanee

Motivazioni economiche per l'esistenza di una relazione dinamica

D'altro canto, le motivazioni economiche che portano all'esistenza di una relazione dinamica sono molteplici: un esempio rilevante è costituito dai processi di aggiustamento, che coinvolgono necessariamente delle variabili ritardate; un altro è dato dalle regole adattive che vengono seguite quando si prendono delle decisioni; un altro ancora dalla presenza di variabili attese, che implicano tempi diversi da quello corrente; altri esempi possono essere facilmente considerati dal lettore. L'abbandono delle formalizzazioni statiche a vantaggio di quelle dinamiche ha posto il problema della corretta specificazione dello schema dei ritardi dei modelli che ha determinato una marcata trasformazione metodologica del processo di specificazione econometria. Il metodo tradizionale di formulare le equazioni basandosi esclusivamente sui riassunti della teoria economica si è dimostrato, infatti, inadeguato per le specificazioni dinamiche, le cui caratteristiche sono.didifficile definizione teorica. Mentre, infatti, la speculazione economica è necessaria all'individuazione dei fenomeni legati da nessi di causalità, non è altrettanto informativa circa la dinamica con cui questi si esplicano. Esistono, in effetti, teorie comportamentali basate su processi di ottimizzazione intertemporale dai quali conseguono dettagliate strutture dinamiche, ma essi sono fondati su ipotesi molto restrittive, tali da determinare, in molti casi, l'abbandono in sede empirica del metodo deduttivo a favore di quello induttivo. Sono, quindi, sorte in epoca recente scuole di pensiero econometrico che tendono a stimare differenti forme di equazioni e a considerare come "corretta" specificazione quella che fornisce risultati empirici migliori. Questa metodologia, del tutto agnostica, è stata definita "econometria dellibro da cucina" dal Blaug (1980, p.257) che ne ha così definito i caratteri:1...express a hypothesis in

terms of an equation, estimate a variety of forms for“that equation, select the best fit, discard the rest, and then adjust thetheoretical argument to rationalizate the hypothesis that is being tested...”Cookbook econometrics“ ”.1

Pagina X-2Modulo…Ribadiamo, tuttavia, che il modo migliore di effettuare un’analisi econometricaè, anche nel caso dinamico, quello tratteggiato nella paragrafo !?: lo sviluppo di unaanalisi composta da fasi di speculazione teorica integrate da altre di indagineempirica, tra di loro fortemente integrate.

Tornando ai caratteri della specificazione dinamica di un'equazione, possiamoaggiungere che questa consiste nell'identificare le relazioni esistenti tra una o piùvariabili esplicative, ritardate nel tempo, e la struttura correlativa dell'endogena;segue da questo fatto che la specificazione dinamica di un'equazione è strettamentelegata a quella stocastica. Pagina X-3Modulo…2.2

Generalità sui modelli dinamici

Fin dal modulo I è stata introdotta la differenza tra modelli statici, comprendenti solo variabili correnti e modelli dinamici, contenenti almeno una variabile ritardata, di una o più unità di tempo. L'equazione del consumo (I-2.1.5) rappresenta un modello dinamico in quanto è specificata sotto l'ipotesi che il consumo al tempo t sia funzione lineare del reddito al tempo precedente.

Sostituendo la (I-2.1.5) al posto della funzione del consumo statica del sistema (I-3.1.1) si ottiene il modello dinamico seguente, scritto in forma strutturale:

c_t = α + βc_t-1

nella quale sono presenti due variabili endogene, c_t e y_t, e una esogena, y_t-1; la variabile c_t tuttavia, è ora riferita a una svolta al tempo t, nella condizione di equilibrio, ed una volta al tempo t, nella funzione del consumo.

Con il modello (1.2.1)

È possibile effettuare un'analisi dinamica, che ad esempio può esser utilizzata per:

1. Studiare l'evoluzione temporale di sistemi economici;
2. Rappresentare mercati in disequilibrio;
3. Esaminare i processi, i modi e le velocità di aggiustamento;
4. Esaminare il passaggio del sistema in esame da una posizione di equilibrio a un'altra;
5. Determinare le condizioni di stabilità delle posizioni di equilibrio.

Se la posizione di equilibrio che viene raggiunta dal sistema rappresentato è una qualsiasi posizione di disequilibrio, tale posizione è detta globalmente stabile. Se invece essa viene raggiunta soltanto partendo da particolari posizioni di disequilibrio, la posizione di equilibrio è detta stabile.

Una posizione di equilibrio può mantenersi costante nel tempo, come quella determinata dalla (I-2.2.5) per il rapporto consumo/reddito; ma può anche essere funzione del tempo.

avendo essa stessa proprietà dinamiche che tuttavia rimangono inalterate con il passare del tempo: i sentieri di crescita di lungo periodo della forma (I-2.2.4), ovvero (I-2.2.6), costituiscono posizioni di equilibrio di questo dinamico tipo. L'equilibrio in questo caso è detto dinamico, in contrapposizione al caso statico precedente. Pagina X-4 Modulo…Forma ridotta di un modello dinamico Se nelle (1.2.1) sostituiamo il valore di ottenuto dalla prima equazione nella seconda, si perviene ad una forma ridotta del modello: c(t) = α + β α > β (1.2.1) ⎧ c(t) = α + β ⎨ ⎩ y(t) = 0, t < 0 y(t-1) + y(t-1), t ≥ 0 in cui le variabili endogene sono esplicitate in funzione delle variabili esogene (in generale sia correnti che ritardate, ma nel caso (1.2.2) costituite dalla sola variabile endogena ritardata) e delle variabili predeterminate. L'insieme delle variabili esogene ritardate è detto formato da t variabili esogene ritardate, in quanto si presuppone

Che al tempo siano conosciute sia tutte le variabili esogene che le indagine e ritardate. Si dice pertanto che un modello dinamico è dato in forma ridotta quando esprime le variabili endogene (correnti) in funzione di quelle predeterminate.

La forma finale:

Ma il modello (1.2.1) non possiede soltanto la forma ridotta (1.2.2): infatti, sostituendo la della seconda delle (1.2.1) nella prima e la della prima nella seconda, si ottiene:

⎧c = α + β + β (1.2.3)

⎨c = α + β + y

⎩t t 1 t 1 i

Che è ancora una forma ridotta del modello in quanto nei membri a destra compaiono soltanto variabili esogene (correnti e ritardate); in più ha tuttavia la caratteristica che le variabili endogene ritardate sono, in ogni equazione, dello stesso tipo della endogena corrente che si vuole esprimere. Nella (1.2.3) la c è se stessa ritardata espressa mediante le variabili esogene (la i) e (la y), e la y t-1 è se stessa ritardata.

ritardataper mezzo delle esogene (la ) e .itQuando in un modello dinamico scritto in forma ridotta compaiono, in ogniequazione, tra le variabili endogene ritardate soltanto quelle che sono dello stessotipo della endogena corrente che si vuole esprimere, si dice che il modello è scrittoforma finalein .

Osservazione 1.1 - Un modello in forma finale è anche in forma ridotta,ma non è necessariamente vero il viceversa. Pagina X-5Modulo…2.3 Forma generale strutturale dei modelli dinamici

Il modello dinamico (1.2.1) può essere scritto in forma matriciale nel seguente modo

[-β -α] [c] [c1] [0] [0] [0] [0] [i-1] [t] [t+1] [+] =

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [y] [y1] [1] [0] [0] [1] [0] [1] [0]

che in termini più compatti diventa

[B] [Γ] =

[B] [y] [y] [x] [0] [0] [t] [1] [t-1] [0] [t]=[c =[i, , econ y ,y ]'] [x]

,1]′t t t t t − β − α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 0= Γ= =B B, ,⎢ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎦0 1 0− −1 1 0 0 1 0⎣ ⎣ ⎣ritardi per il vettore delle endogene e di ritardiEstendendo la (1.3.2) al caso di p rper quello delle esogene, si ha la forma generale strutturale del modello dinamicodeterministico p r∑ ∑+ Γ =B y y 0− −j t ji t 1= =ji 0 0 Γdove le matrici sono tutte di ordine e le di ordine , essendo il numeroB g×g g×k gi jdelle variabili endogene e quello delle esogene.k , la (1.3.1) può essere scritta nella formaUtilizzando l'operatore L − α− β ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ c c1 0 0 0 0L it t t+ =+ ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣ ⎥⎦⎢ ⎥⎦ −− y y1 1 0 0 1 0 1 0⎣ t t ; quindidove le matrici hanno gli elementi funzioni di L+B +Γ = (1.3.3)B (L)y (L)y (L)x 00 t 1

t−1 0 tcon − β⎤ ⎤⎡ ⎡⎡ ⎤ − αL00 000L L= Γ= =B L( ), ,B ( )L ⎥ ⎥⎢ ⎢⎢ ⎥10 0− −0 00 0 0 0L L L⎣ ⎦⎦ ⎦⎣ ⎣ed ancora +Γ(L)x = (1.3.4)B(L)y 0t tΓ(L)=Γe . La (1.3.4) rappresenta la forma strutturaledove B(L)=B (L)+B (L) (L)0 1 0generale dei modelli dinamici deterministici se si pone Pagina X-6Modulo… (1.3.5)p r∑ ∑= Γ = Γ,B ( L ) B ( L ) ( L ) ( L )i j= =i 0 0jUn secondo esempio di modello dinamico che è utile rappresentare nella forma(1.3.4) si ha estendendo il (1.2.1) con la disaggregazione delle spese autonome inspesa pubblica ed investimenti privati , supposti funzione dell'incremento dig ireddito avutosi nel tempo precedente= α + β < α < β < δ >⎧c y 0 , 0 1 , 0−t t 1⎪ = γ + δ −i ( y y )⎨ (1.3.6)− −t t 1 t 2⎪ = + +y c i g⎩ t t t tdove &egra