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SINGLE INDEX MODEL
In generale, esiste un fattore comune (un "singolo indice") da cui dipende il movimento di tutti i titoli perché si apprende il rendimento di un singolo titolo con il rendimento del mercato. Questo fattore comune è il mercato.
Quando il mercato sale, la maggior parte dei titoli sale. Quando il mercato scende, la maggior parte dei titoli scende.
Il CAPM può essere visto come un modello composto da un singolo indice, ovvero un single index model.
Sono però possibili estensioni.
MODELLO MULTIFATTORIALE
Prescindiamo ora dall'analisi media-varianza. Estendiamo il modello così da inserire ulteriori fattori alla specificazione. Questo modello stima più parametri del CAPM (K + 1 anziché 2) per questo viene chiamato multifattoriale, anche se è comunque meglio non usare troppe variabili alla destra dell'equazione (anche perché magari è difficile trovarne). È meno parsimonioso ma può.
fornire stime più accurate di medie, varianze e covarianze dei rendimenti Questo tipo di modelli viene chiamato "multifattoriale" MODELLO FAMA-FRENCH Un particolare modello multifattoriale è quello di Fama e French. Il modello nasce da una osservazione empirica dove i rendimenti medi di imprese "piccole" (small anziché big) e di imprese con elevato rapporto book-market (value anziché growth, ossia il patrimonio netto contabile) tendono ad essere maggiori di quanto predetto dal CAPM. La letteratura teorica ed empirica suggerisce che: - i titoli value hanno meno flessibilità ad adattarsi a condizioni economiche sfavorevoli - i titoli value e small sono più sensibili a macro shocks Questo potrebbe spiegare un premio per il rischio per i titoli value e small. Il modello di Fama e French si articola in due fasi: FAMA-FRENCH: FASE 1 Si prende un paniere ampio di titoli, ordinandoli annualmente in base a: - size: Capitalizzazione delmercato
B/M: Rapporto book-market (cioè valore contabile su valore di mercato)
Rispetto a 1., si individuano due categorie: big e small a seconda che il titolo stia sopra o sotto la mediana.
Rispetto a 2., si individuano tre categorie: value, neutral e growth a seconda che il titolo si posizioni nel 30% più alto(value), nel 30% più basso (growth) o a metà strada (neutral), scegliere il 30% non ha una spiegazione logica, è così.
Combinando le categorie si creano sei portafogli value-weighted.
Di questi portafogli è possibile calcolare il rendimento in tempo reale (Fama e French lo aggiornano su base mensile http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html)
FAMA-FRENCH: FASE 2
Si costruiscono i fattori da inserire nell'equazione del modello=r -rr
Portafoglio SMB (Small minus Big): Coglie la differenza di rendimenti tra titoli small e titoli big. È SMB S Bun portafoglio a zero investimento, in quanto
Portafoglio HML (High minus Low in rapporto al book market): Coglie la differenza di HML H L rendimenti tra titoli value e growth. È un portafoglio a zero investimento, in quanto prevede una posizione lunga su value e corta su growth. Posso indebitarmi definito al tasso growth e scegliere di investire nei titoli value sperando di avere un rendimento positivo.
La distinzione in sei portafogli consente, in ciascuna dimensione, di epurare dall'effetto dell'altra
MODELLO A TRE FATTORI Il modello multifattoriale di Fama e French, nella sua versione base a tre fattori, è dato dalla equazione
Osservazioni: - l'intercetta αi dovrebbe essere pari a zero comenel tempo. Inoltre, i fattori possono variare a seconda del contesto e dell'obiettivo dell'analisi. Nel caso del CAPM, i coefficienti β sono i "beta" del titolo/portafoglio rispetto ai tre fattori di rischio e determinano se il portafoglio è aggressivo o meno aggressivo. Altri fattori come momentum, bassa volatilità, liquidità, ecc. potrebbero essere aggiunti. Nel link precedente è presente il modello a 5 fattori, ma non viene specificato quali siano questi fattori. In generale, nei modelli multifattoriali non esiste una teoria che suggerisca quali fattori utilizzare. Spesso vengono considerati fattori "fondamentali" basati sulle caratteristiche dell'impresa. Chen, Roll e Ross (1986) suggeriscono di utilizzare variabili come l'inflazione, la struttura a termine del tasso di interesse (differenza tra il tasso a lunga scadenza e il tasso a breve scadenza), il premio per il rischio (differenza tra il rendimento delle obbligazioni AAA e il rendimento delle obbligazioni BAA) e la produzione industriale. Questa è la logica alla base dell'Arbitrage Pricing Theory (APT; Ross, 1976), un modello molto diffuso che ha perso popolarità nel tempo. È importante notare che i fattori utilizzati possono variare a seconda del contesto e dell'obiettivo dell'analisi.
Ogni fondamento con la teoria. APT (Arbitrage Pricing Theory) spiega il rendimento di un titolo come funzione di alcune variabili macro che catturano il rischio sistematico dell'economia (ad esempio, il rendimento di un indice di borsa, le variazioni di PIL negli USA o il prezzo del petrolio). Le variabili sono scelte in base alla loro significatività statistica. È un modello puramente statistico: si basa cioè sui dati anziché su ragionamenti economici. Per questo non si può parlare di accettazione/rifiuto del modello: visto il modo in cui è costruito, troverà sempre conferma nei dati.
Finora abbiamo dato per scontato che il nostro modello descriva i dati nel modo più accurato possibile. La realtà è però molto più complicata. In pratica, raramente conosciamo il modello corretto ed abbiamo dati per stimarlo e potrebbero esistere modelli alternativi che si comportano meglio del nostro.
Vedremo qui alcuni
SIGNIFICATIVITÁ DELLA REGRESSIONE
Gli applicativi econometrici spesso riportano in automatico il risultato di un test sulla significatività (detta anche “bontá”) di tutti i parametri tranne la costante.
Il test confronta l’informazione che non è spiegata dal modello completo con l’informazione non spiegata dal modello con solo la costante.
Cioè, se il modello è:
y=❑ +❑ +❑ +…+❑ +ϵ
X1 X2 X3 XK
Gli applicativi riportano un test F per verificare l’ipotesi nulla:
H0: ❑1 = ❑2 = ❑3 =…= ❑K = 0
Quindi vogliamo dire se tutti i coefficienti stimati dalla regressione, tranne la costante, siano pari a 0.
Il test è spesso chiamato test ANOVA (ANalysis Of VAriance), perché in questo caso il test F confronta due varianze:
(RS S) / (K) / (N - K)
F = ---------------------------------
(RS S) / (N - 1)
j1 1Il test misura l'appropriatezza del modello. Se accettiamo l'ipotesi nulla, questo significa che il nostro modello non sta facendo meglio del modello con solo la costante. Cioè, le variabili nella nostra specificazione non migliorano affatto l'adattamento del modello!
Condurre il test non è la stessa cosa di condurre K - 1 test separati, uno per ogni coefficiente. Qui vogliamo stabilire se i coefficienti sono congiuntamente significativi.
La differenza è che con il test F riconosciamo che i coefficienti sono tutti correlati e lo stesso discorso si applica ad ogni verifica di ipotesi multiple.
Con questo tipo di statistica:
- ESS=0 quindi TSS=RSS2
- β=0
STATISTICA R
La scelta delle variabili da includere nella specificazione è tipicamente guidata dalla letteratura e/o dal buon senso. 2La qualità del modello è spesso stabilita tramite la statistica R2. Possiamo confrontare diversi modelli in termini di R2, preferendo il modello
Con la statistica più alta (cioè quello con l'errore più basso) la conclusione sarebbe però sempre la stessa.
Infatti, la statistica è sempre più grande nel modello con più variabili. Perché?
MODELLI ANNIDATI
Prendiamo il caso di due modelli annidati, +ϵy=❑ X1 1+❑ +ϵy=❑ x x1 1 2 2 ❑dove il secondo comprende il primo come caso particolare in cui = 0.
Aggiungere la variabile x2 al modello porta nuova informazione:
- Nel caso peggiore, se l'informazione è inutile, il modello non descrive meglio y e la statistica R non scende
- Nel caso migliore, se l'informazione è utile, il modello descrive meglio y e la statistica sale.
Questa situazione evidenzia un trade-off tra:
- Adattamento (avere un'accurata descrizione della variabile dipendente)
- Parsimonia (avere poche variabili esplicative)
La precisione va a scapito della parsimonia, e viceversa!
La parsimonia è comunque importante.
Ricordiamoci che ricorriamo ai modelli di regressione per sintetizzare la realtà. Se il modello usa molti coefficienti, che sintesi è? Idealmente, vorremmo avere un modello parsimonioso e con una buona precisione.ADATTAMENTO E PARSIMONIA
Immaginiamo di avere N = 10 osservazioni per y e x, generate casualmente, e di voler creare la regressione che meglio descrive la relazione tra queste variabili. Non sapendo quale sia il modello corretto, proviamo con un polinomio in x e ci fermiamo quando troviamo la statistica più alta:
R2 = 1 - (SSR/SST)
Vediamo i casi con p = 1, 2, 3, ..., 5:
y = β0 + β1x
y = β0 + β1x + β2x2
y = β0 + β1x + β2x2 + β3x3
y = β0 + β1x + β2x2 + β3x3 + β4x4
y = β0 + β1x + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5
Quale sarà l'ordine p del polinomio che porta al valore più alto di R2?
Vediamo i casi con p = 6, 7, ..., N:
y = β0 + β1x + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + β6x6
y = β0 + β1x + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + β6x6 + β7x7
...
y = β0 + β1x + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + β6x6 + β7x7 + ... + βNxN
Il modello migliore è però quello con p = 9, per cui stimiamo K = 10 coefficienti (tanti quante sono le osservazioni). In questo caso le stime coincidono con i valori osservati, ed infatti la statistica vale esattamente 1.
Il modello OLS non consente di andare oltre e...
ma potrebbe non generalizzare bene ai nuovi dati. Questo accade perché il modello si adatta troppo ai dati di addestramento, includendo anche il rumore e le fluttuazioni casuali. Di conseguenza, il modello diventa troppo complesso e non riesce a catturare i pattern sottostanti dei dati. L'overfitting può essere evitato utilizzando tecniche come la regolarizzazione, che penalizza i modelli troppo complessi. Inoltre, è importante utilizzare un numero adeguato di coefficienti rispetto al numero di osservazioni disponibili. In conclusione, l'overfitting è un problema comune nell'adattamento dei modelli e può compromettere la capacità di generalizzazione del modello. È importante trovare un equilibrio tra complessità del modello e capacità di generalizzazione.
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