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Econometria - la costruzione di modelli

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulla costruzione di modelli e proiezione. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la specificazione dei modelli ARMA, gli schemi AR(1), AR(2), MA(1) ed MA(2), i modelli ARIMA con stagionalità, i modelli a funzione di trasferimento, la proiezione con... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

L’indice mostra che i residui non sono stati perfettamente “sbiancati”, cioè che

Q

esiste ancora della autocorrelazione non spiegata. L’eliminazione del coefficiente di

autoregressione e la contemporanea aggiunta della costante produce il modello

0.20

ARIMA( )

1,1,0   ( )

− − = + ε

1 0.47 L 1 L ln P 0.0066

  (4.3.8)

t t

 

( ) ( )

0.10 0.0013

( ) ( )

= =

=

2

Q 43.20 34 SS 0.0023 82

R 1.000

0

migliore per devianza e con residui che passano il test del chi quadrato. Se si

elimina lo schema autoregressivo e lo si sostituisce con uno a somma mobile, si

)

ottiene il modello ARIMA(

0,1,2  

( )

− = + + + ε

2

1 L ln P 0.1265 1 0.43 L 0.35 L

  (4.3.9)

t t

 

( ) ( ) ( )

0.0010 0.10 0.11

( ) ( )

=

= =

2

R 0.999

Q 40.91 33 SS 0.0017 57

0 ancor più basso di quello del

il cui correlogramma è associato ad un valore della Q −

⋅ 5

(4.3.8). Si osservi che la varianza campionaria dei residui vale per il

3.53 10

− −

⋅ ⋅

5 5

modello (4.3.7), per il (4.3.8) e per il (4.3.9).

2.80 10 2.98 10 Pagina 4-15

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.4 I modelli ARIMA con stagionalità

Se nella serie storica sono presenti delle stagionalità, accade che, una volta

{ x }

t

costruito il modello ARIMA( )

, ,

p d q

( ) ( ) ( )

 

d

ϕ ⋅ − − µ = θ ε

L 1 L x L (4.4.1)

 

t t

( ) ( )

ϕ θ

e ancora dati dalle (3.6.1) e (3.6.16), la

con gli operatori polinomiali L L

ε

serie dei residui è autocorrelata, anche fortemente, ai ritardi stagionali

{ }

t

τ = τ =

, se la serie è mensile, e , se è trimestrale. Quando

12, 24, 36, ... 4, 8, 12, ...

l’autocorrelazione è rilevante occorre filtrare preliminarmente la serie con una

=

differenza -esima, dove è il periodo della stagionalità ( nel caso mensile e

s s s 12

= in quello trimestrale), ottenendosi, in linea generale, il modello

s 4 ( ) ( )

ϕ = θ ε

L w L (4.4.2)

t t

dove ( ) ( ) d

= − − − µ

s

w 1 L 1 L x (4.4.3)

t t − s

Sia che la serie sia stata differenziata con il filtro , sia nel caso contrario, i

(1 L )

ε

residui del modello (4.4.2) possono presentare autocorrelazioni ai ritardi

{ }

t ε

stagionali; in questo caso Box e Jenkins consigliano di costruire su un nuovo

{ }

t

τ =

schema ARMA sulla base delle autocorrelazioni di ritardo , in

, 2 , 3 , ...

s s s

pratica considerando separatamente le dodici serie dei dati di gennaio, febbraio,

ecc. per dati mensili, oppure le quattro serie dei valori del I trimestre, del II, ecc.

per quelli trimestrali. Sotto l’ipotesi che il modello stagionale sia identico per

ciascuna delle dodici (quattro) serie, si ottiene

( ) ( ) ( )

− ϕ + − ϕ ε = − θ + − θ θ

s s s Ps s s s Qs

1 L ... L 1 L ... L L v (4.4.4)

1 1

P t Q t

che in forma compatta diventa

( ) ( )

ϕ ε = θ

s s s s

L L v (4.4.5)

t t

( ) ( )

ϕ θ

s s s s s

e i polinomi nell’operatore riportati nella (4.4.4) e

definendo con L L L

indicando con un processo del tipo rumore bianco. Risolvendo la (4.4.5)

v

{ }

t

ε

rispetto alla e sostituendo l’espressione ricavata nella (4.4.2) si ottiene il modello

t

ARIMA con stagionalità

( ) ( )

( ) ( )

ϕ ⋅ ϕ = θ ⋅ θ

s s s s

L L w L L v (4.4.6)

t t

×

detto di ordine , dove l’unità indica che è stata operata una sola

p d q P Q

( , , ) ( ,1, ) s

− s

differenza come evidenziato nella (4.4.3).

L

(1 ) Pagina 4-16

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

Una serie economica fortemente stagionale è quella illustrata nella parte alta

della Figura 2.3 che rappresenta il logaritmo naturale dell’indice grezzo della

produzione industriale : il suo correlogramma è riportato nella Figura 4.4 (in

{lnPI }

t

alto) che contiene anche il correlogramma della serie filtrata con la differenza

prima dodicesima. {ln PI } {ln PI }

Figura 4.4 – Autocorrelogrammi delle serie (in alto) e (in basso).

t t

Eliminando la tendenza con la differenza prima e la stagionalità con quella

dodicesima si perviene al modello Pagina 4-17

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

( )

   

( )

+ − − = −

12 12

1 0.22 L 1 L 1 L ln PI 1 0.55 L v

    (4.4.7)

t t

   

( ) ( )

0.11 0.08

( ) ( )

= =

=

2

Q 34.60 34 SS 0.1110 70

R 0.950

0

× e con residui che passano bene il test di bianchezza.

di ordine (1,1, 0) (0,1,1)

12

Se la tendenza viene filtrata con una differenza terza invece che con una prima,

si perviene al modello

( )( )

     

− − − = + + −

12 3 2 5 12

1 0.26 L 1 L 1 L ln PI 1 0.30 L 0.41 L 1 0.48 L v

      (4.4.8)

t t

     

( ) ( ) ( ) ( )

0.12 0.11 0.11 0.10

( ) ( )

=

= =

2

R 0.921

Q 47.58 34 SS 0.2023 69

0

meno buono del precedente nonostante la maggiore complessità. Anche in questo

, la differenza terza è stata utilizzata per non

caso, come nel modello (4.3.6) per LOI t

influire troppo sulla ampiezza dell’oscillazione ciclica. Pagina 4-18

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.5 I modelli a funzione di trasferimento

Nei paragrafi precedenti si è visto come i modelli ARIMA si prestino a

rappresentare le caratteristiche tendenziali, stagionali ed in genere inerziali delle

serie storiche economiche. Vediamo ora come all’interno del medesimo approccio sia

possibile rappresentare le relazioni dinamiche lineari esistenti tra una endogena z

t

=

ed altre variabili , . Il modello suggerito da G.E.P. Box e G.M.

1, 2, ...,

j g

g x

jt

Jenkins (1970) è una estensione del (4.2.8)

( ) ( )

ω θ

L L

g

( ) ( )

d d

j

− = µ + − + ε

L z L x

1 1 j (4.5.1)

( )

( )

t jt t

δ φ

L L

=

1

j j

( ) ( )

ϕ θ

dove e sono dati dalle (3.6.1) e (3.6.16), e

L L ( ) r

ω = ω − ω + − ω

L L L

... (4.5.2)

j

0 1

j j j r j

j

( ) s

δ = − δ + − δ

L L L

1 ... (4.5.3)

j

1

j j s j

j

= 1, 2, ...,

per , sono ulteriori polinomi nell’operatore di ritardo . Con tale

j g L

modello, chiamato a funzione di trasferimento, l’impatto dinamico esercitato dalla

sulla è modellato tramite lo schema regressivo

generica variabile esplicativa x z

jt t

( )

( ) ( )

d

ω δ

che agisce sulle differenze e l’altro autoregressivo che

L x

1

L L

j jt

j j

( ) d

agisce sugli scarti .

L z

1 t non soltanto della

La (4.5.1) permette di rappresentare gli effetti sulla z

t

dinamica di altri aggregati economici, ma anche di impulsi particolari che durano

uno o più tempi, in conseguenza, ad esempio, di manovre di politica economica.

Sostanzialmente essi sono gli effetti rappresentati dalle cosiddette variabili di

comodo dell’econometria classica e che nell’analisi delle serie storiche sono dette

variabili di intervento . Le corrispondenti serie sono composte da zeri e da uno, con

7

i quali si identificano situazioni differenti qualitativamente che portano però a

variazioni quantitative delle caratteristiche della serie .

z

{ }

t

Esempio 4.3 – Un modello a funzione di trasferimento binario, cioè con una sola

della

variabile esplicativa, costruito tra l’indice della produzione industriale PI t

L’analisi delle variabili d’intervento è esposta in G.E.P. Box e T.C. Tiao (1975).

7 Pagina 4-19

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

Figura 2.3 e l’indicatore degli ordinativi interni esposto nella Figura 2.1 è il

LOI t

seguente 8

( )( ) ( )   

− − = − + + + − ε

12 3 3 2 5 12

L L L L L L

1 1 ln PI 0.25 1 ln LOI 1 0.33 0.38 1 0.27

   (4.5.4)

t t t

  

( ) ( ) ( ) ( )

0.08 0.11 0.11 0.10

che migliora il corrispondente modello ARIMA (univariato) dato dalla (4.4.8). In

questo si osserva la stessa struttura del modello a funzione di trasferimento, che

nella specificazione (4.5.4) è anche stagionale, con valori dei parametri simili

specialmente nello schema a somma mobile.

Per verificare se il modello a funzione di trasferimento (4.5.4) è

significativamente migliore di quello ARIMA (4.4.8) è possibile utilizzare il test

della di Fisher-Snedecor con e gradi di libertà

F k n k

1 2

( )

σ − σ

2 2 / k

1 2 1

=

F (4.5.5)

( )

σ −

22 / n k 2

è il numero dei parametri del modello a funzione di trasferimento e è

dove k k

2 1

quello dei parametri del modello ARIMA corrispondente, vale a dire specificato con

( ) ( ) σ σ

ϕ θ 22 2

gli stessi schemi e ; e sono le varianze campionarie dei residui

L L 1 σ 2

dei due modelli, rispettivamente. Sostituendo i valori di e dati nella (4.4.8) e

k

1 1

σ =

22

quelli di e indicati per la (4.5.4) nella (4.5.5) si ottiene una che

k F 1.53

2

consiglia di accettare l’ipotesi nulla di uguaglianza tra i due modelli .

9 ∇

Esempio 4.4 – Costruiamo ancora un modello a funzione di trasferimento per PI t

considerando come variabili esplicative sia che il livello degli ordinativi esteri

LOI t

nel settore dell’industria italiana.

LOE

t

L’equazione che si ottiene è la seguente

( ) ( ) ( ) ( )

  −

1

− = − + − + − − ε

3 3 3 3 3 12

1 L ln PI 0.12 1 L ln LOI 0.14 L 1 L ln LOE 1 0.58 L 1 L

  (4.5.6)

t t t t

 

( ) ( ) ( )

0.05 0.06 0.11

( ) ( )

=

= =

2

R 0.928

Q SS

39.71 34 0.1669 66

0

La specificazione di un modello a funzione di trasferimento avviene usualmente sulla base

8 z e ciascuna

dello studio delle correlazioni incrociate esistenti tra la variabile endogena t

=

x j 1, 2, ..., g

delle esplicative , .

ij

In effetti, migliorando la specificazione dei due modelli si ottiene che quello a funzione di

9

trasferimento spiega i dati con maggiore significatività rispetto allo schema ARIMA, come

illustrato in F. Carlucci (1998). Pagina 4-20

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

nettamente migliore della (4.5.4) sia per l’indice (si noti che i gradi di libertà

Q

sono passati da 32 a 34) che per devianza residuale. Nel confronto di questo

=

modello con il (4.4.8) effettuato con il test (4.5.5) si ottiene con 4 e 63

F 2.52

α =

gradi di libertà, esattamente pari alla soglia di significatività per .

0.05

Si osservi che in realtà lo schema ARMA sui residui nel modello (4.5.6) è molto

più semplice di quello nel (4.4.8): se, più correttamente, gli schemi fossero gli stessi,

il modello a funzione di trasferimento risulterebbe marcatamente migliore

dell’univariato e la sarebbe molto più alta. Analoga considerazione vale per

F

l’esempio precedente. ∇

Esempio 4.5 – Un modello a funzione di trasferimento bivariato tra l’indice dei

della Figura 2.2 e quello dei prezzi alla produzione è il

prezzi al consumo P PP

t t

seguente  

( ) ( )

− = + + + − − +

2 3

1 L ln P 0.00918 0.15 0.11 L 0.09 L 0.07 L 1 L ln PP

 

t t

 

( ) ( ) ( )

0.04 0.04 0.04 (0.03) (4.5.7)

  

+ + + + ε

2 12

1 0.34 L 0.35 L 1 0.31 L

   t

  

( ) ( ) ( )

0.10 0.11 0.10 ( )

=

Q 39.87 = =

2

R 0.999 SS 0.0013 57

0 pari a con 3 e 49 gradi di

che confrontato con il modello (4.3.9) produce una F 5.53

libertà; poiché il quantile della distribuzione è circa , il test suggerisce di

F 2.80

rifiutare l’ipotesi nulla di uguaglianza del modello a funzione di trasferimento con

l’ARIMA univariato. ∇

Esempio 4.6 – Il modello (4.5.7) può essere esteso nel seguente, che contempla

dei prezzi alla produzione, sia il livello

come variabili esplicative sia l’indice PP

t

degli ordinativi interni nel settore industriale, già esaminato in precedenza,

LOI t ( )

 

( )

− = + − + − +

8 10 12 3

1 L ln P 0.2595 0.13 L 0.006 L 0.018 L 1 L ln LOI

 

t t

 

( ) ( ) ( ) ( )

0.0030 0.006 0.007 0.008 (4.5.8)

( )

   

+ − − + + + ε

3 3 2

0.428 0.160 L 1 L ln PP 1 0.84 L 0.81 L

   

t t

   

( ) ( ) ( ) ( )

0.052 0.054 0.09 0.09

( )

=

Q 45.72 = =

2

R 0.999 SS 0.0006 57

0

dove si nota che il moltiplicatore totale rispetto alla variazione logaritmica dei

prezzi è , valore molto simile all’analogo contenuto nel modello

0.268 0.280

bivariato (4.5.7). Il confronto tra l’equazione (4.5.8) e la (4.3.9) comporta una F

pari a con 3 e 49 gradi di libertà per cui anche in questo caso il modello a

29.94 Pagina 4-21

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

funzione di trasferimento può essere considerato significativamente migliore di

quello ARIMA. Pagina 4-22

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.6 La proiezione con i modelli ARIMA ed a funzione di

trasferimento

Dal modello ARMA (3.5.5) possono essere tratti tre modi diversi per effettuare

+

proiezioni al tempo , ciascuno corrispondente ad una forma differente in cui si

n h

può scrivere la (3.5.5) stessa , ma il modo più conveniente dal punto di vista

10

applicativo è quello che fa uso della forma ad equazione alle differenze, che si trae

+

direttamente dalla (3.5.5) valutandola al tempo n h

= ϕ ⋅ + + ϕ ⋅ + + ε − θ ⋅ ε + − θ ⋅ ε

x x ... x k ... (4.6.1)

+ + − + − + + − + −

n h 1 n h 1 p n h p n h 1 n h 1 q n h q ′

[ ]

=

è dato dalla (3.5.6). La proiezione ottima è allora, con

dove k x x , x , ..., x

1 2 n

( )

( ) ( )

( )

= = ϕ ⋅ + +ϕ ⋅ + +

ˆ ...

E x x h E x E x k

x x x

+ + − + −

n h n 1 n h 1 p n h p (4.6.2)

( )

( )

+ −θ ⋅ ε + −θ ⋅ ε

0 ...

E x x

+ − + −

1 n h 1 q n h q

( )

dove le o sono note ed uguali ad , oppure sono calcolate iterativamente

E x x

x

i i

( ) ≤

tramite la stessa (4.6.2); e le o sono stimate (per ) o sono nulle perché

E u x i n

i < <

>

il valor medio delle sconosciute è zero (per ). Ad esempio, per si

u 1 h p , q

i n

i

ha il proiettore

( ) ( ) ( ) ( )

= = ϕ ⋅ − + +ϕ ⋅ +ϕ ⋅ + +ϕ ⋅ +

ˆ ˆ ˆ

1 ... 1 ... +

E x x x h x h x x x k

+ − + −

n h n 1 n h 1 n h n p n h p (4.6.3)

−θ ⋅ −θ ⋅

ˆ ˆ

+...

u u + −

h n q n h q ( )

= ˆ

per . Il procedimento di calcolo inizia determinando e poi prosegue

1, 2, ...

h 1

x

n

( ) ( )

ˆ ˆ

con , , …, fino ad ottenere la proiezione al tempo in avanti desiderato.

2 3

x x

n n

Se invece di aversi il modello ARMA (3.5.5) se ne ha uno del tipo (4.4.1)

contenente la tendenza, oppure un altro della forma (4.4.2) inglobante tendenza e

differenza stagionale, la procedura di proiezione è la stessa precedente che si

sviluppa dopo aver effettuato le moltiplicazioni dei fattori polinomiali che

compongono il modello. Analogo accorgimento è adoperato qualora siano presenti i

fattori polinomiali stagionali del modello generale (4.4.6).

La proiezione con il modello a funzione di trasferimento (4.5.1) può essere

effettuata sulla falsariga di quella esposta per l’ARIMA, utilizzando ancora la

forma ad equazione alle differenze che si trae dal modello (4.5.1) scritto nel modo

seguente

Si vedano G.E.P. Box e G.M. Jenkins (1970).

10 Pagina 4-23

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

g

( )( ) ( )( ) ( )

d d

α − = + η − + υ ε

L 1 L z k L 1 L x L

j (4.6.4)

t j jt t

=

j 1

dove g g

∏ ∏

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α = ϕ δ η = ω ϕ δ

,

L L L L L L L

j j j i

=

= i 1

j 1 ≠

i j

g g

∏ ∏

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

υ = θ δ = ϕ δ ⋅µ

e

L L L k L L

j j

= =

j 1 j 1

Si lascia al lettore, come semplice esercizio, costruire il proiettore relativo alla

(4.6.4), analogo al (4.6.3).

Esempio 4.7 – Effettuiamo la proiezione, sei mesi avanti, dei dati dell’indice

dal giugno 1980 al maggio 1981, a partire

generale della produzione industriale PI t

dal campione gennaio 1973 – dicembre 1979. Se si utilizza il modello ARIMA

stagionale (4.4.8), il proiettore (4.6.3) diventa, dopo le moltiplicazioni,

( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅ + − ⋅ + − ⋅ − +

ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x x x x x

6 0.26 5 3 0.26 2 0.26

− − −

n n n n n 6 n 7 n 9 (4.6.5)

+ ⋅ − ⋅ ε − ⋅ ε − ⋅ ε

ˆ ˆ ˆ

x

0.26 0.48 0.14 0.20

− − − −

n 10 n 6 n 8 n 11

=

dove , e produce le proiezioni riportate nella Tavola 4.1 con un errore

x ln PI

t t

quadratico medio pari a 9.60. Se si adopera, viceversa, il modello a funzione di

trasferimento (4.5.4) che rappresenta in funzione del livello degli ordinativi

PI t

interni, oltre che di se stesso, si ottengono le proiezioni esposte nella parte destra

della Tavola 4.1, con un errore quadratico medio uguale a 9.36.

Poiché il valor medio delle osservazioni nel periodo campionario è 138.23,

l’errore quadratico medio delle proiezioni fatte con il modello ARIMA risulta essere

il 6.94% di tale valore mentre lo stesso errore determinato con il modello a funzione

di trasferimento è il 6.77%, con una riduzione, quindi, molto limitata rispetto

all’altro .

11

Si osservi che questi errori di proiezione sono relativi ai livelli dell’indice della

11

produzione. Se si calcolassero gli errori relativamente alle variazioni di tale indice (che sono

quelle più comunemente considerate) si otterrebbero valori ben più bassi. Analogo

argomento vale per l’esempio successivo. Pagina 4-24

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

Modello a funzione di

Modello ARIMA

Valore trasferimento

Mese osservato Proiezione Errore Proiezione Errore

−0.6 −2.3

1 148.8 149.5 151.1

−4.3 −3.9

2 150.6 154.9 154.5

−19.4 −18.4

3 69.1 88.5 87.5

−7.5 −5.3

4 149.6 157.1 154.9

−10.8 −12.3

5 154.4 165.2 166.7

−7.6 −8.4

6 145.1 152.7 153.5

−9.3 −17.1

7 128.5 137.8 145.6 −8.2

8 137.4 134.1 3.3 145.6

9 140.2 122.6 17.6 134.4 5.8

−3.6 −5.9

10 151.7 155.3 157.6

−7.4 −2.9

11 142.0 149.4 144.9

−2.3 −2.6

12 141.4 143.7 144.0

Tavola 4.1 – Proiezioni fuori del campione dell’indice generale della produzione industriale

PI con in modello ARIMA (4.4.8) e con quello a funzione di trasferimento (4.5.4). ∇

Esempio 4.8 – Facciamo la proiezione, sei mesi in avanti, dei dati dell’indice

dal giugno 1980 al maggio 1981, a partire dal

generale dei prezzi al consumo P

t

campione gennaio 1973 – dicembre 1979. Se si utilizza il modello ARIMA (4.3.9) le

proiezioni sono quelle riportate nella parte sinistra della Tavola 4.2, mentre se si

adopera il modello a funzione di trasferimento (4.5.7) che rappresenta in

P

t

funzione dell’indice dei prezzi alla produzione , si ottengono le proiezioni esposte

PP

t

nella parte destra della tavola. Nel primo caso l’errore quadratico medio risulta

pari a 3.21 e nel secondo uguale a 2.38. Poiché il valor medio campionario delle

15/04/03;21.29 Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

osservazioni nel periodo campionario è 197.12, l’errore quadratico medio delle

proiezioni fatte con il modello ARIMA è l’1.63% di tale valore mentre lo stesso

errore determinato con il modello a funzione di trasferimento risulta essere pari

all’1.21%, con una riduzione, quindi significativa. Modello a funzione di

Modello ARIMA

Valore trasferimento

Mese osservato Proiezione Errore Proiezione Errore

−2.9 −3.8

1 179.6 182.5 183.4

−0.3

2 182.8 183.1 182.0 0.6

3 185.0 183.5 1.5 183.4 1.6

−0.8

4 188.7 188.4 0.3 189.5

5 191.9 189.6 2.3 190.2 1.7

6 195.9 190.4 5.5 191.8 4.1

7 198.3 195.7 2.6 196.7 1.6

8 202.0 197.3 4.7 200.4 1.6

9 205.9 201.7 4.2 203.3 2.7

10 208.8 205.3 3.5 206.2 2.6

−1.3

11 211.6 209.7 1.9 212.9

12 214.9 211.0 3.9 211.8 3.1

Tavola 4.2 – Proiezioni fuori del campione dell’indice generale della produzione industriale

P con in modello ARIMA (4.3.9) e con quello a funzione di trasferimento (4.5.7). Pagina 4-26


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulla costruzione di modelli e proiezione. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la specificazione dei modelli ARMA, gli schemi AR(1), AR(2), MA(1) ed MA(2), i modelli ARIMA con stagionalità, i modelli a funzione di trasferimento, la proiezione con i modelli ARIMA ed a funzione di trasferimento, il livellamento esponenziale e schemi ARIMA.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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