Econometria - la costruzione di modelli

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4 COSTRUZIONE DI MODELLI E PROIEZIONE

Indice del capitolo

4.1 Specificazione dei modelli ARMA ............................................................................... 2

Le autocorrelazioni parziali.................................................................................. 2

Stima delle autocorrelazioni ................................................................................. 3

4.2 Schemi AR(1), AR(2), MA(1) ed MA(2) ....................................................................... 5

Schema AR(1) ........................................................................................................ 6

Schema AR(2) ........................................................................................................ 6

Schema MA(1)........................................................................................................ 8

Schema MA(2)........................................................................................................ 8

Il processo integrato I(d)........................................................................................ 9

Il modello ARIMA(p,d,q) ....................................................................................... 9

4.3 Esempi ........................................................................................................................ 10

4.4 I modelli ARIMA con stagionalità............................................................................. 16

4.5 I modelli a funzione di trasferimento ....................................................................... 19

4.6 La proiezione con i modelli ARIMA ed a funzione di trasferimento....................... 23

4.7 Livellamento esponenziale e schemi ARIMA ........................................................... 27

4.8 Bibliografia ................................................................................................................. 28

15/04/03;21.29 Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.1 Specificazione dei modelli ARMA

La costruzione del modello ARMA di una serie storica stazionaria sulla base di un

campione di dati avviene seguendo tre fasi. Nella prima si specificano i valori di

n 1

e del suo ordine, quindi si stimano i parametri del modello, e nella terza fase

p q

si analizzano i residui per verificare che tutto ciò che di sistematico poteva essere

estratto dalla serie e rappresentato in forma ARMA sia stato considerato. Se

questa verifica dà risultato negativo, si specifica un secondo modello e si ripete la

procedura fino a che l’analisi dei residui non dia un esito soddisfacente.

Illustriamo in questo paragrafo la specificazione di un modello ARMA secondo

la tecnica sviluppata da G.E.P. Box e G.M. Jenkins (1970), che ancora mantiene

intatte le doti originarie di semplicità e di efficienza, se non di rigore .

2

Le autocorrelazioni parziali

Tale tecnica si basa sullo studio delle configurazioni della funzione di

autocorrelazione e della funzione di autocorrelazione parziale che ora passiamo a

definire. Le equazioni di Yule-Walker (3.6.5) possono essere scritte nella forma

matriciale ( ) ( ) ( )

ϕ

ρ ρ − ρ

   

 

1 1 ... p 1 1

p

1

   

 

( ) ( ) ( )

ϕ

ρ ρ − ρ

1 1 ... p 2 2

   

 

p 2

⋅ = (4.1.1)

   

 

...

... ... ... ... ...

   

 

( ) ( ) ( )

ϕ

ρ − ρ − ρ

1 2 ... 1

p p p

 

   

 

   

pp

ϕ

dove indica il -esimo coefficiente di autoregressione del modello AR( ).

p

j

pj =

Risolvendo il sistema (4.1.1) per , successivamente, si ottengono le

p 1, 2, 3, ...

ϕ , dette autocorrelazioni parziali; le prime due sono le seguenti

pp ( )

ϕ = ρ 1

 11

 (4.1.2)

( ) ( ) ( )

   

ϕ = ρ − ρ − ρ

2 2

2 1 / 1 1

    

 22

G.E.P. Box e G.M. Jenkins (1970) chiamano “identificazione” del modello questa fase che

1

da un punto di vista econometrico più generale costituisce una vera e propria specificazione.

Riserviamo il termine identificazione alla questione sollevata nell’esempio 3.10 come

oramai d’uso generale.

In effetti, ancora non è stata definita una teoria statistica che effettui questa

2

specificazione in modo rigoroso ed efficiente, nonostante i molti sforzi fatti. Pagina 4-2

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

che riportiamo a titolo di esempio e che il lettore può verificare per esercizio. Allora

ϕ è il -esimo coefficiente di autoregressione del modello AR( ) costruito sulla

p p

pp

base della data funzione di autocorrelazione.

Stima delle autocorrelazioni

La stima dei valori di queste funzioni non presenta eccessive difficoltà in quanto,

partendo da un campione di ampiezza , si calcolano il valor medio

{ x } n

t

campionario n

∑

( )

µ = ⋅

ˆ 1/ n x

t

=

1

t

le autocovarianze campionarie −τ

n

∑

( ) ( ) ( ) ( )

γ τ = ⋅ − µ ⋅ − µ

ˆ ˆ ˆ

n x x

1/ (4.1.3)

+τ

t t

=

t 1

τ =

per , e le stime delle autocorrelazione

0, 1, ..., m ( ) ( ) ( ) τ =

ρ τ = γ τ γ

ˆ ˆ ˆ 0, 1, ..., m

/ 0 (4.1.4)

viene solitamente scelto inferiore ad un terzo dell’ampiezza del

dove m n

campione al fine di non ottenere stime troppo imprecise. Gli stimatori definiti dalla

(4.1.3) e (4.1.4) sono non distorti soltanto asintoticamente.

Se il processo aleatorio è supposto gaussiano, M.S. Bartlett (1946) ha

( ) τ >

ρ τ =

dimostrato che, sotto l’ipotesi che per ogni ,

m

0

m

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 ρ τ ⋅ρ τ −  ⋅ ρ τ ⋅ρ τ −

ˆ ˆ

s n s

C ov 1/

  τ=− +

m s

τ <

con , per cui la varianza dello stimatore (4.1.4) è

m m

∑

( ) ( ) ( )

 ρ τ  ⋅ ρ τ

2

ˆ n

Var 1/ (4.1.5)

  τ=− m

( )

ρ̂ τ approssimativamente normale per grande. Se nella

con distribuzione di n

( )

ρ τ

(4.1.5) al posto di si sostituisce la sua stima, si ottiene

 

m

∑

( ) ( ) ( )

ρ τ ⋅ + ⋅ ρ τ

  2

ˆ ˆ

n

Var 1/ 1 2 (4.1.6)

   

 

τ=

1

che è la formula che in generale viene adoperata per calcolare l’errore standard di

( ) ( )

( )

ρ̂ τ ρ τ = ρ̂ τ

, utile per verificare l’ipotesi nulla . Se le stime ,

H : 0

0 Pagina 4-3

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale ( )

τ = ρ̂ τ

, sono costituite da valori piccoli, l’errore standard di può essere

1, 2, ..., m

ulteriormente approssimato con .

1/ n 3

Per ulteriori approfondimenti si veda W.A. Fuller (1976).

3 Pagina 4-4

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.2 Schemi AR(1), AR(2), MA(1) ed MA(2)

Si è detto all’inizio di questo capitolo che l’ordine ( ) di un modello ARMA

,

p q

stazionario viene specificato sulla base di funzioni di autocorrelazione e di

autocorrelazione parziale. I grafici teorici di queste funzioni, detti correlogrammi,

sono riportati nella Figura 4.1 con l’ordine ( ) associato. Poiché risulta utile

,

p q

esaminare come si determinano le conformazioni di questi correlogrammi in

funzione dei modelli a loro relativi, illustriamo alcune di queste relazioni nei

seguenti esempi.

Figura 4.1 – Configurazioni delle funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale

relative ai processi AR(1) ed AR(2). Le analoghe configurazioni per i processi MA(1) ed

( ) ϕ

ρ τ e .

MA(2) si ottengono invertendo i grafici di ττ Pagina 4-5

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

Schema AR(1) ( ) =

γ

Dividendo per la seconda delle (3.6.4) con ricaviamo che la funzione di

1

p

0

autocorrelazione soddisfa all’equazione alle differenze finite del primo ordine

omogenea ( ) ( ) τ =

ρ τ = ϕ ⋅ρ τ − 1, 2, ...

1 (4.2.1)

1 ( )

ρ = , ha per soluzione

che, ponendo come condizione iniziale 0 1

( ) τ τ =

ρ τ = ϕ 1, 2, ... (4.2.2)

1 ϕ <

L’ipotesi di stazionarietà stazionarietà, determinata nell’esempio 3.6, è che 1

1

ϕ >

ed allora il correlogramma si smorza a zero esponenzialmente se (caso a

0

1 ϕ <

della Figura 4.1) oppure ancora esponenzialmente ma oscillando di segno se 0

1

( )

ϕ = ρ

(caso b). Si noti che .

1

1

La funzione di autocorrelazione parziale è

( )

ρ τ =

1 1

ϕ =  (4.2.3)

ττ τ >

0 1



come si determina facilmente sulla base della (4.1.1). Come esempio, facendo uso

della seconda delle (4.1.1) si può calcolare

( ) ( )

   

ϕ = ϕ − ρ − ρ =

2 2 2

1 / 1 1 0

   

22 1

( )

ρ = ϕ <

2 2 per l’ipotesi di stazionarietà.

essendo 1 1

1

Schema AR(2) ( ) =

γ

Dividendo per la seconda delle (3.6.4) con troviamo che la funzione di

1

p

0

autocorrelazione soddisfa all’equazione alle differenze finite del secondo ordine

omogenea ( ) ( ) ( ) τ =

ρ τ = ϕ ⋅ρ τ − + ϕ ⋅ρ τ − 1, 2, ...

1 2 (4.2.4)

1 2 ( ) ( ) ( )

τ = ρ = ρ − = ρ −

e considerando che e che per la

Valutando questa per 1 0 1 1 1

parità della funzione di autocorrelazione, si ottiene

( ) ( )

ρ = ϕ − ϕ

1 / 1 (4.2.5)

1 2

ϕ ≠ τ =

. Valutando la (4.2.4) per ed inserendo l’espressione (4.2.5) si ha,

se 1 2

2

inoltre, ( ) ( )

ρ = ϕ − ϕ + ϕ

2

2 / 1

1 2 2 tramite la prima

per cui siamo in grado di calcolare la varianza del processo { }

x

t

delle (3.6.4) Pagina 4-6

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

 

γ = γ ⋅ ϕ − ϕ + ϕ ⋅ ϕ − ϕ + ϕ + σ

2 2 2

0 0 / 1 / 1

  ε

1 2 2 1 2 2

cioè ( )

− ϕ ⋅ σ 2

1

( ) ε

γ = 2

0 ( ) ( ) ( )

+ ϕ ⋅ − ϕ − ϕ ⋅ + ϕ − ϕ

1 1 1

2 1 2 1 2

Poiché la varianza deve essere positiva e finita per l’ipotesi di stazionarietà, questa

sussiste se ϕ > −

 1

2

 ϕ + ϕ < 1

 (4.2.6)

1 2

 −ϕ + ϕ < 1

 1 2 ϕ ϕ

e per cui il processo AR(2)

sistema di disequazioni che definisce la regione di 1 2

ϕ <

è stazionario. Si noti che dalle (4.2.6) segue , per cui, in conclusione,

1

2

ϕ < 1

2

Risolvendo l’equazione alle differenze (4.2.4) si incontrano due possibilità, a

seconda del segno del discriminante dell’equazione caratteristica associata:

i) discriminante positivo o nullo: le radici dell’equazione caratteristica sono

( )

ρ τ assume una

reali ed in relazione al loro segno la funzione

configurazione che si smorza verso lo zero in maniera monòtona oppure

oscillante di segno;

discriminante negativo: le radici dell’equazione caratteristica sono

ii) ( )

ρ τ

complesse e la funzione tende a zero con una oscillazione

sinusoidale;

e poiché la funzione di autocorrelazione parziale è

( ) ( )

ρ = ϕ − ϕ τ =

 1 / 1 1

1 2

 ( ) ( )

 ρ − ρ 2

2 1



ϕ = = ϕ τ= 2

 ( )

ττ 2

− ρ 2

1 1



 τ>

0 2



come il lettore può verificare a partire dalle (4.1.2) e dalla (4.1.1), combinando le

ϕ

eventualità i) ed ii) con i possibili valori della funzione , si ottengono i quattro

ττ

casi seguenti, anch’essi esposti nella Figura 4.1:

( ) ϕ > ϕ >

ρ τ → esponenzialmente; , ;

c) 0 0

0 11 22 Pagina 4-7

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

( ) ϕ < ϕ >

ρ τ →

d) oscillando di segno; , ;

0 0

0 11 22

( ) ϕ < ϕ <

ρ τ

e) sinusoidale smorzata; , ;

0 0

11 22

( ) ϕ > ϕ <

ρ τ

f) sinusoidale smorzata; , ;

0 0

11 22

Schema MA(1) τ >

La funzione di autocorrelazione, data d