Econometria - la costruzione di modelli

Analisi dell'autocorrelazione dei residui

Il coefficiente di correlazione viene calcolato utilizzando la formula:

∑ ( ) ( )−1= ⋅ − τ ⋅ρ τ2 2ˆQ n n (4.3.3)τ=1 −

Questo indice segue una distribuzione asintotica di chi quadrato con gradi di libertà klibertà, dove k è il numero dei parametri del modello, sotto l'ipotesi nulla che i residui costituiscano un rumore bianco. Nel caso in esame, i parametri del modello sono quattro, quindi il numero dei gradi di libertà è . La soglia critica del test del chi quadrato vale circa per e poiché è inferiore, possiamo accettare l'ipotesi di non correlazione (rumore bianco) dei residui. Tuttavia, l'autocorrelazione negativa al ritardo semiciclico che nella Figura 4.2 valeτ = −non è scomparsa nel correlogramma dei residui: essa è pari a , sussiste18 0.26τ =al ritardo ed è responsabile dell'alto valore di.

.Q14 perché la terza della (4.2.6) èIl modello (4.3.2), tuttavia, non è stazionario5 ϕ =violata; un modello stazionario è ottenuto eliminando che non risulta0.182significativo      − + = + ε41 0.95 L ln LOI 0.9489 1 0.53 L      (4.3.4)t t    ( ) ( ) ( )0.04 0.2063 0.09( ) ( )== =2R 0.944Q 55.06 33 SS 0.3023 770Questo modello possiede una funzione di autocovarianza dei residui peggiore diquella del (4.3.2), ma spiega meglio i dati in termini di devianza residuale. Il testdella non permette di considerare la serie dei residui come un rumore bianco: ilQvalore è infatti superiore al quantile con gradi di libertà che vale per55.06 33 47.52α = .0.05Poiché il modello (4.3.4) suggerisce di utilizzare l’operatore alle differenze prime− ), si può stimare il seguente modello ARIMA( )( 1 L 0,1,4La non stazionarietà del modello è stata

prodotta dal tentativo, non riuscito, della5 ϕ prossimo ad 1 in uno schema AR(2). In casi delprocedura di stimare un valore per 1 ϕ ϕgenere accade spesso che sussita una forte correlazione tra le stime e che risultano1 2ϕ ϕalterate e non stazionarie. Eliminando nel successivo modello (4.3.4) si verifica che è2 1molto vicino all'unità. Pagina 4-12Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

( )− = + ε41 L ln LOI 1 0.45 L(4.3.5)t t

( )0.09( ) ( )= ==2Q 56.80 35 SS 0.3232 83R 0.9460 { }( )− è espostonon dissimile dal (4.3.4). Il correlogramma della serie 1 L ln LOI tnella parte bassa della Figura 4.2 e mostra un andamento ciclico di periodoapprossimativamente pari a 32 mesi/ciclo. Questo andamento rimane per la granparte nel correlogramma dei residui del modello (4.3.5) ed è responsabile dell'altovalore per la ivi ritrovato.Q fa uso della differenza terzaUn ultimo modello stimato per il

logaritmo di LOI t( )   − − = + ε3 41 0.77 L 1 L ln LOI 1 0.39 L    (4.3.6)t t   ( ) ( )0.07 0.10( ) ( )== =2R 0.905Q 59.42 33 SS 0.5094 770e produce risultati peggiori dei precedenti; il motivo della costruzione dello schema(4.3.6), che riprenderemo nel seguito, risiede nel fatto che la differenza terzainfluisce sull’oscillazione ciclica meno della differenza prima, di modo che i residuipossono essere utilizzati con profitto nella costruzione di relazioni valide negli studidell’economia di breve periodo .6Esempio 4.2 – La serie storica del logaritmo naturale dell’indice generale deiè illustrata nella parte alta della Figura 2.2 eprezzi al consumo in Italia {P }tmostra una marcata tendenza crescente; questa ha il suo riscontro nelcorrelogramma della serie, disegnato nella parte alta della Figura 4.3.I modelli (4.3.4) e (4.3.6) sono stati utilizzati da F. Carlucci (1988) in un contesto analitico6di

breve periodo. Pagina 4-13

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

( )–ln P 1 L ln P

Figura 4.3 – Autocorrelogrammi delle serie (in alto) e (in basso).

t t

È necessario, pertanto, eliminare questo trend, supposto approssimativamente=lineare, con una differenza prima del tipo (4.2.7) per . La serie storicad 1differenziata (filtrata) è esposta ancora nella Figura 2.2 ed il suo correlogrammanella parte bassa della 4.3; la funzione di autocorrelazione è del tipo e) della Figura4.1 e suggerisce la specificazione di uno schema ARIMA( ) che, stimato, fornisce2,1,0il modello seguente i cui coefficienti di autoregressione soddisfano le condizioni distazionarietà (4.2.6)

( )– – = ε21 0.73 L 0.20 L 1 L ln P

t t

( ) ( )0.11 0.11( ) ( )= =2R 1.000Q 61.20 34 SS 0.0029 820 Pagina 4-14

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

L’indice mostra che i residui non sono stati

perfettamente “sbiancati”, cioè cheQesiste ancora della autocorrelazione non spiegata. L’eliminazione del coefficiente diautoregressione e la contemporanea aggiunta della costante produce il modello0.20ARIMA( )1,1,0   ( )− − = + ε1 0.47 L 1 L ln P 0.0066  (4.3.8)t t ( ) ( )0.10 0.0013( ) ( )= ==2Q 43.20 34 SS 0.0023 82R 1.0000migliore per devianza e con residui che passano il test del chi quadrato. Se sielimina lo schema autoregressivo e lo si sostituisce con uno a somma mobile, si)ottiene il modello ARIMA(0,1,2  ( )− = + + + ε21 L ln P 0.1265 1 0.43 L 0.35 L  (4.3.9)t t ( ) ( ) ( )0.0010 0.10 0.11( ) ( )== =2R 0.999Q 40.91 33 SS 0.0017 570 ancor più basso di quello delil cui correlogramma è associato ad un valore della Q −⋅ 5(4.3.8). Si osservi che la varianza campionaria dei residui vale per il3.53 10− −⋅ ⋅5 5modello (4.3.7), per il (4.3.8) e

per il (4.3.9).2.80 10 2.98 10 Pagina 4-15

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.4 I modelli ARIMA con stagionalità

Se nella serie storica sono presenti delle stagionalità, accade che, una volta costruito il modello ARIMA(p,d,q)(ϕ,θ), la serie dei residui è autocorrelata, anche fortemente, ai ritardi stagionali τ, se la serie è mensile, e τ=12, 24, 36, ..., se è trimestrale. Quando l'autocorrelazione è rilevante occorre filtrare preliminarmente la serie con una differenza τ-esima, dove τ è il periodo della stagionalità (nel caso mensile è s=12, in quello trimestrale è s=4, 8, 12, ...), ottenendosi, in linea generale, il modello:

s(ϕ,θ) = εL^wL

dove d=0

• − − µsw 1 L 1 L x (4.4.3)t t − s
• Sia che la serie sia stata differenziata con il filtro , sia nel caso contrario, i(1 L )εresidui del modello (4.4.2) possono presentare autocorrelazioni ai ritardi{ }t εstagionali; in questo caso Box e Jenkins consigliano di costruire su un nuovo{ }tτ =schema ARMA sulla base delle autocorrelazioni di ritardo , in, 2 , 3 , ...s s spratica considerando separatamente le dodici serie dei dati di gennaio, febbraio,ecc. per dati mensili, oppure le quattro serie dei valori del I trimestre, del II, ecc.per quelli trimestrali. Sotto l’ipotesi che il modello stagionale sia identico perciascuna delle dodici (quattro) serie, si ottiene( ) ( ) ( )− ϕ + − ϕ ε = − θ + − θ θs s s Ps s s s Qs1 L ... L 1 L ... L L v (4.4.4)1 1P t Q tche in forma compatta diventa( ) ( )ϕ ε = θs s s sL L v (4.4.5)t t( ) ( )ϕ θs s s s se i polinomi nell’operatore