Econometria - la costruzione di modelli

F. Carlucci – Traccia per un corso di econometria

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4 Costruzione di modelli e proiezione

Indice del capitolo

• 4.1 Specificazione dei modelli ARMA ............................................................................... 2
• Le autocorrelazioni parziali .................................................................................. 2
• Stima delle autocorrelazioni ................................................................................. 3
• 4.2 Schemi AR(1), AR(2), MA(1) ed MA(2) ....................................................................... 5
• Schema AR(1) ........................................................................................................ 6
• Schema AR(2) ........................................................................................................ 6
• Schema MA(1) ........................................................................................................ 8
• Schema MA(2) ........................................................................................................ 8
• Il processo integrato I(d) ........................................................................................ 9
• Il modello ARIMA(p,d,q) ....................................................................................... 9
• 4.3 Esempi ........................................................................................................................ 10
• 4.4 I modelli ARIMA con stagionalità ............................................................................. 16
• 4.5 I modelli a funzione di trasferimento ....................................................................... 19
• 4.6 La proiezione con i modelli ARIMA ed a funzione di trasferimento ....................... 23
• 4.7 Livellamento esponenziale e schemi ARIMA ........................................................... 27
• 4.8 Bibliografia ................................................................................................................. 28

15/04/03;21.29 Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.1 Specificazione dei modelli ARMA

La costruzione del modello ARMA di una serie storica stazionaria sulla base di un campione di dati avviene seguendo tre fasi. Nella prima si specificano i valori di n 1 e del suo ordine, quindi si stimano i parametri del modello, e nella terza fase p q si analizzano i residui per verificare che tutto ciò che di sistematico poteva essere estratto dalla serie e rappresentato in forma ARMA sia stato considerato. Se questa verifica dà risultato negativo, si specifica un secondo modello e si ripete la procedura fino a che l’analisi dei residui non dia un esito soddisfacente.

Illustriamo in questo paragrafo la specificazione di un modello ARMA secondo la tecnica sviluppata da G.E.P. Box e G.M. Jenkins (1970), che ancora mantiene intatte le doti originarie di semplicità e di efficienza, se non di rigore.²

Le autocorrelazioni parziali

Tale tecnica si basa sullo studio delle configurazioni della funzione di autocorrelazione e della funzione di autocorrelazione parziale che ora passiamo a definire. Le equazioni di Yule-Walker (3.6.5) possono essere scritte nella forma matriciale:

( ) ( ) ( ) ϕρ ρ − ρ    1 1 ... p 1 1p1    
( ) ( ) ( ) ϕρ ρ − ρ1 1 ... p 2 2     p 2
⋅ = (4.1.1)
    
...... ... ... ... ...    
( ) ( ) ( ) ϕρ − ρ − ρ1 2 ... 1p p p         p p ϕ

dove indica il -esimo coefficiente di autoregressione del modello AR( ). p j p j p j =

Risolvendo il sistema (4.1.1) per , successivamente, si ottengono le p 1, 2, 3, ... ϕ , dette autocorrelazioni parziali; le prime due sono le seguenti p p:

( )ϕ = ρ 1 11 (4.1.2)
( ) ( ) ( )   ϕ = ρ − ρ − ρ2 22 1 / 1 1     22

²G.E.P. Box e G.M. Jenkins (1970) chiamano “identificazione” del modello questa fase che ¹da un punto di vista econometrico più generale costituisce una vera e propria specificazione. Riserviamo il termine identificazione alla questione sollevata nell’esempio 3.10 come oramai d’uso generale.

In effetti, ancora non è stata definita una teoria statistica che effettui questa ²specificazione in modo rigoroso ed efficiente, nonostante i molti sforzi fatti.

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che riportiamo a titolo di esempio e che il lettore può verificare per esercizio. Allora ϕ è il -esimo coefficiente di autoregressione del modello AR( ) costruito sulla p p p p base della data funzione di autocorrelazione.

Stima delle autocorrelazioni

La stima dei valori di queste funzioni non presenta eccessive difficoltà in quanto, partendo da un campione di ampiezza , si calcolano il valor medio { x } n t campionario:

n∑( )µ = ⋅ˆ 1/ n x t=1 t

le autocovarianze campionarie:

−τn∑( ) ( ) ( ) ( )γ τ = ⋅ − µ ⋅ − µˆ ˆ ˆ n x x 1/ (4.1.3) +τ t t=t 1

τ = per , e le stime delle autocorrelazione 0, 1, ..., m:

( ) ( ) ( ) τ = ρ τ = γ τ γˆ ˆ ˆ 0, 1, ..., m/ 0 (4.1.4)

viene solitamente scelto inferiore ad un terzo dell’ampiezza del dove m n campione al fine di non ottenere stime troppo imprecise. Gli stimatori definiti dalla (4.1.3) e (4.1.4) sono non distorti soltanto asintoticamente.

Se il processo aleatorio è supposto gaussiano, M.S. Bartlett (1946) ha ( ) τ >ρ τ = dimostrato che, sotto l’ipotesi che per ogni , m 0:

m∑( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ τ ⋅ρ τ −  ⋅ ρ τ ⋅ρ τ −ˆ ˆ s n s C ov 1/  τ=− +m s

τ <con , per cui la varianza dello stimatore (4.1.4) è m m:

m∑( ) ( ) ( ) ρ τ  ⋅ ρ τ2ˆ n Var 1/ (4.1.5)  τ=− m

( )ρ̂ τ approssimativamente normale per grande. Se nella con distribuzione di n ( )ρ τ (4.1.5) al posto di si sostituisce la sua stima, si ottiene:

 m∑( ) ( ) ( )ρ τ ⋅ + ⋅ ρ τ  2ˆ ˆ n Var 1/ 1 2 (4.1.6)    τ=1

che è la formula che in generale viene adoperata per calcolare l’errore standard di ( ) ( )( )ρ̂ τ ρ τ = ρ̂ τ, utile per verificare l’ipotesi nulla . Se le stime , H : 0 0

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( )τ = ρ̂ τ, sono costituite da valori piccoli, l’errore standard di può essere 1, 2, ..., m ulteriormente approssimato con .1/ n

³Per ulteriori approfondimenti si veda W.A. Fuller (1976).

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4.2 Schemi AR(1), AR(2), MA(1) ed MA(2)

Si è detto all’inizio di questo capitolo che l’ordine ( ) di un modello ARMA, p q stazionario viene specificato sulla base di funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale. I grafici teorici di queste funzioni, detti correlogrammi, sono riportati nella Figura 4.1 con l’ordine ( ) associato. Poiché risulta utile, p q esaminare come si determinano le conformazioni di questi correlogrammi in funzione dei modelli a loro relativi, illustriamo alcune di queste relazioni nei seguenti esempi.

Figura 4.1 – Configurazioni delle funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale relative ai processi AR(1) ed AR(2). Le analoghe configurazioni per i processi MA(1) ed ( ) ϕρ τ e .MA(2) si ottengono invertendo i grafici di ττ

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Schema AR(1)

( ) =γ Dividendo per la seconda delle (3.6.4) con ricaviamo che la funzione di 1 p 0 autocorrelazione soddisfa all’equazione alle differenze finite del primo ordine omogenea:

( ) ( ) τ =ρ τ = ϕ ⋅ρ τ − 1, 2, ...1 (4.2.1)1

( )ρ = , ha per soluzione che, ponendo come condizione iniziale 0 1:

( ) τ τ =ρ τ = ϕ 1, 2, ... (4.2.2)1

ϕ <L’ipotesi di stazionarietà stazionarietà, determinata nell’esempio 3.6, è che 1 1 ϕ >ed allora il correlogramma si smorza a zero esponenzialmente se (caso a 0 1 ϕ <della Figura 4.1) oppure ancora esponenzialmente ma oscillando di segno se 0 1 ( )ϕ = ρ(caso b). Si noti che .1 1

La funzione di autocorrelazione parziale è:

( )ρ τ =1 1ϕ =  (4.2.3)
ττ τ >0 1

come si determina facilmente sulla base della (4.1.1). Come esempio, facendo uso della seconda delle (4.1.1) si può calcolare:

( ) ( )   ϕ = ϕ − ρ − ρ =2 2 21 / 1 1 0    22 1

( )ρ = ϕ <2 2 per l’ipotesi di stazionarietà. essendo 1 1

Schema AR(2)

( ) =γ Dividendo per la seconda delle (3.6.4) con troviamo che la funzione di 1 p 0 autocorrelazione soddisfa all’equazione alle differenze finite del secondo ordine omogenea:

( ) ( ) ( ) τ =ρ τ = ϕ ⋅ρ τ − + ϕ ⋅ρ τ − 1, 2, ...1 2 (4.2.4)1 2

( ) ( ) ( )τ = ρ = ρ − = ρ −e considerando che e che per la Valutando questa per 1 0 1 1 1 parità della funzione di autocorrelazione, si ottiene:

( ) ( )ρ = ϕ − ϕ1 / 1 (4.2.5)1 2

ϕ ≠ τ =. Valutando la (4.2.4) per ed inserendo l’espressione (4.2.5) si ha, se 1 2 2 inoltre:

( ) ( )ρ = ϕ − ϕ + ϕ2 2 / 1 1 2 2

tramite la prima per cui siamo in grado di calcolare la varianza del processo { }x t delle (3.6.4).

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{ }( ) ( ) ( ) ( ) γ = γ ⋅ ϕ − ϕ + ϕ ⋅ ϕ − ϕ + ϕ + σ2 2 2 0 0 / 1 / 1  ε1 2 2 1 2 2

cioè:

( )− ϕ ⋅ σ 2 1

( ) εγ = 2 0

( ) ( ) ( )+ ϕ ⋅ − ϕ − ϕ ⋅ + ϕ − ϕ1 1 1 2 1 2 1 2

Poiché la varianza deve essere positiva e finita per l’ipotesi di stazionarietà, questa sussiste se:

ϕ > − 1 2
ϕ + ϕ < 1 (4.2.6)1 2
−ϕ + ϕ < 1 1 2

ϕ ϕe per cui il processo AR(2) sistema di disequazioni che definisce la regione di 1 2 ϕ <è stazionario. Si noti che dalle (4.2.6) segue , per cui, in conclusione, 1 2 ϕ < 1 2

Risolvendo l’equazione alle differenze (4.2.4) si incontrano due possibilità, a seconda del segno del discriminante dell’equazione caratteristica associata:

• Discriminante positivo o nullo: le radici dell’equazione caratteristica sono ( )ρ τ assume una reali ed in relazione al loro segno la funzione configurazione che si smorza verso lo zero in maniera monotona oppure oscillante di segno;
• Discriminante negativo: le radici dell’equazione caratteristica sono ii) ( )ρ τ complesse e la funzione tende a zero con una oscillazione sinusoidale;

e poiché la funzione di autocorrelazione parziale è:

( ) ( )ρ = ϕ − ϕ τ = 1 / 1 1 1 2
( ) ( ) ρ − ρ 2 2 1
ϕ = = ϕ τ= 2 ( )ττ 2− ρ 2 1 1
 τ>0 2


come il lettore può verificare a partire dalle (4.1.2) e dalla (4.1.1), combinando le ϕ eventualità i) ed ii) con i possibili valori della funzione , si ottengono i quattro ττ casi seguenti, anch’essi esposti nella Figura 4.1:

( ) ϕ > ϕ >ρ τ → esponenzialmente; , ;c) 0 0 0 1 1 2 2

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( ) ϕ < ϕ >ρ τ →d) oscillando di segno; , ;0 0 0 1 1 2 2

( ) ϕ < ϕ <ρ τe) sinusoidale smorzata; , ;0 0 1 1 2 2

( ) ϕ > ϕ <ρ τf) sinusoidale smorzata; , ;0 0 1 1 2 2

Schema MA(1)

τ >La funzione di autocorrelazione, data d