Econometria - i filtri lineari

I pesi

I pesi, , sono una successione di costanti e costituiscono la funzione di risposta all'impulso del sistema; sono generati dalla cosiddetta funzione generatrice dei pesi ∞( ) ∑= s (2.1.2)

H L h Ls= −∞s τ = ± ±

Utilizzando la (2.1.1) si ricava che, per ,0 , 1, 2 ,...[ ]{ }  ∞[ ] [ ] [ ]∑( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~γ τ = − µ − τ − µ = − − µ − τ − µ = E y t x t E h x t s x tyx y x s x x = −∞s (2.1.3)

∞∑ ( )= ⋅ γ τ −h ss xx= −∞se prendendo la trasformata di Fourier del primo e dell'ultimo membro∞ ∞ ∞( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑γ τ ⋅ − λτ = ⋅ γ τ − ⋅ − λτexp i h s exp iyx s xxτ = −∞ τ = −∞ = −∞s [ ]π = − τ λ ∈

− π πdalla quale, dividendo per e ponendo , si ottiene, per ,2 u s ,∞ ∞( ) ( ) ( ) ( )1 ∑ ∑λ = ⋅ γ τ − ⋅ − λτ ⋅ λ =g h s exp i exp i uπyx s xx2 τ = −∞ = −∞s (2.1.4) ∞ − ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1∑ ∑= ⋅ γ − ⋅ λ ⋅ − λ = λ ⋅ λh u exp i u exp i s H g πs xx xx 2= −∞ = +∞s u ( ) ( )γ λ λdove è stato sfruttato il fatto che è funzione pari e è la funzione dig{ ( )} xx xx~densità spettrale di . Lax t Pagina 2-2Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale∞ ∞ [ ]( ) ( ) ( )∑ ∑λ = ⋅ − λ = λ − ⋅ λ λ ∈ − π π (2.1.5)H h exp i s h cos s i sin s ,s s= −∞ = −∞s sè latrasformata di Fourier della funzione di risposta all'impulso, detta funzione di trasferimento del sistema lineare. Si osservi che può essere ottenuta dalla H(s) sostituendo al posto di s la variabile complessa λ. Pagina 2-3 Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale 2.2. La funzione di guadagno del sistema λ La H(λ) è una funzione complessa e il suo modulo, che traiamo dalla (2.1.4), è detto guadagno del sistema: |H(λ)| = 1 / √(λ^2 + λc^2) (2.2.1) dove λc è una costante reale. Per interpretare il guadagno ricaviamo per mezzo della (2.1.1) la funzione di uscita y(t): y(t) = ∫[−∞,∞] h(τ)u(t−τ)dτ e prendiamo la trasformata di Fourier dei due membri, iniziale e finale, dopo aver diviso.

per 2 ∞ ∞ ∞( ) ( ) ( )1 ∑ ∑ ∑λ = ⋅ γ τ + − ⋅ − τλ =g h h u v exp iπyy u v xx2 τ = −∞ = −∞ = −∞u v∞ ∞ ∞ ( ) { ( )}1 ∑ ∑ ∑= ⋅ γ τ ⋅ − τ − + =h h exp i u vπ u v xx2 τ = −∞ = −∞ = −∞u v (2.2.1)     ∞ ∞ ∞( ) ( ) ( ) ( )1∑ ∑ ∑= ⋅ λ ⋅ ⋅ − λ ⋅ γ τ ⋅ − τλ =h exp iu h exp iv exp i     πu v xx     2= −∞ = −∞ τ = −∞u v [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )= λ ⋅ λ ⋅ λ = λ ⋅ λ λ ∈ − π π2H H g H g ,xx xxτ = τ + −dove si è posto . Dalla (2.2.2) si nota che l’ampiezza della componente diu v

){ ( )}~λ λfrequenza in è moltiplicata per per produrre analoga componente inx t H( ){ ( )}~ λ; di qui il nome di guadagno per .y t H ( )λ 2Osservazione 2.1 – La (2.2.2) indica che alla moltiplicazione tra eH( )λ nel dominio frequenziale corrisponde la convoluzione (2.1.1) trag xx{ } { }e nel dominio temporale. La convoluzione (2.1.1) è ancheh xs tindicata con { } { }− µ = − µ (2.2.3)y h * xt y s t x Pagina 2-4Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale2.3. La funzione di coerenzaL’analogo frequenziale del coefficiente di correlazione è la funzione di coerenza[ ]( ) ( ) ( )λ λ + λ 1 / 22 2g c q [ ]( )λ = = λ ∈ − π πyx yx yx[ ] [ ]K ,( ) ( ) ( ) ( )λ ⋅ λ λ ⋅ λyx 1 / 2 1 / 2g g g gyy xx yy xx( )λ λdove è stata utilizzata la (1.8.2). La misura, per ogni , la relazione

lineareK yxtra le oscillazioni corrispondenti nei due processi. Il quadrato della coerenza corrisponde ad un coefficiente di determinazione tra λ le due oscillazioni: se è vicino ad 1 esse sono molto simili (a prescindere2K λ dalla loro rilevanza e dal loro sfasamento); se è vicino allo 0 sono dissimili.2K yxSi ha, ovviamente, [ ]( )≤ λ ≤ λ ∈ − π π20 K 1 ,yx Pagina 2-5Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale2.4. La funzione di fase ( )( )λ λIl guadagno può essere utilizzato nella rappresentazione polare diH H[ ] [ ]( ) ( ) ( )λ = λ ⋅ ⋅ ϕ λ λ ∈ − π π (2.4.1)H H exp i ,dove [ ]( )ℑ λ [ ]( ) Hϕ λ = λ ∈ − π π (2.4.2)arctg ,[ ]( )ℜ λHè la fase del sistema.Sostituendo la rappresentazione spettrale (1.6.1) nella (2.1.1) si ottiene ∞ ∞[ ] [ ]( ) ( )

( ) ( )π π∑ ∑∫ ∫~ ~ ~− µ = λ − ⋅ λ = λ ⋅ ⋅ − λ ⋅ λ = y h exp i t s d z exp i t h exp i s d zt y s s − π − π= −∞ = −∞s s[ ] [ ]( ) ( ) { ( ) } ( ) ( )π π∫ ∫~ ~= λ ⋅ λ ⋅ λ = = λ + ϕ λ λ ⋅ λ ⋅ λexp i t H d z exp i t / H d z− π − π (2.4.3)da cui si trae che il sistema lineare (2.1.1) trasforma le componenti di frequenza( )~λ λangolare ed ampiezza infinitesima , rappresentative del processod z{ ( )} ( ) ( )( ) ~~ ϕ λ λ λ λstazionario , in altre sfasate di e di ampiezza · .x t / H d z Pagina 2-6Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale2.5. Filtri lineariLa relazione (2.1.1) può essere interpretata come un filtro lineare che trasformauna combinazione lineare di corrente,

ritardate e posticipate (l'input del filtro) nella (l'output). Se mancano le posticipate il filtro è detto realizzabile; se la parte ritardata della combinazione lineare è uguale a quella posticipata, il filtro è simmetrico; se i pesi rimangono costanti nel tempo, il filtro è chiamato invariante nel tempo.

Se nella (2.1.1) la sommatoria è finita, il filtro è finito. In questo caso la (2.1.1) si scrive nella forma q [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ∑− μ = − − μ = ⋅ − μ ∈ − ∞ ∞ (2.5.1) y h x t s H L x t t ,t y s x x= −s p dove la funzione generatrice dei pesi assume la forma p( ) ∑= s (2.5.2) H L h Ls= −s q

Se il filtro è simmetrico la sua funzione di fase è costantemente nulla. Infatti in tale caso è e, per ogni ; la funzione di trasferimento del filtro è, con q p h h s−[ ] s sλ ∈ −π π ,

∞p p( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑λ = ⋅ − λ = λ − ⋅ λ = + ⋅ λ (2.5.3)

H h exp i s h cos s i sin s h 2 h cos ss s 0 s= − = −∞ =s p s s 1con parte immaginaria nulla essendo il seno una funzione dispari. La (2.4.2) èλquindi nulla per ogni . =La somma mobile centrata di ordine , con , costituisce un comunep h h −s sesempio di filtro simmetrico p [ ]( )∑− µ = − − µ (2.5.4)

y h x t st y s x= −s pLa sua funzione di trasferimento è data dalla (2.5.3) e la funzione di guadagno è ilsuo modulo, ancora ad essa uguale poiché reale.

Un filtro somma non simmetrico è quello a due termini, con la funzione dirisposta all’impulso seguente =1 s 0= =h 1 s 1s  0 altrove Pagina 2-7Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenzialeIn questo caso si ha che ( )= + = + (2.5.5)y x x 1 L x−t t t 1 tcon funzione di

Il testo formattato con i tag HTML sarebbe il seguente:

trasferimento [ ]( ) ( )λ = + − λ = + λ − ⋅ λ λ ∈ − π π (2.5.6)H 1 exp i 1 cos i sin ,funzione di guadagno [ ][ ]( ) ( ) ( ) λ ∈ − π πλ = + λ = λ1 / 2 (2.5.7),H 2 1 cos 2 cos / 2e funzione di fase − &la