Econometria - i filtri lineari

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

2.4. La funzione di fase ( )

( )

λ λ

Il guadagno può essere utilizzato nella rappresentazione polare di

H H

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

λ = λ ⋅ ⋅ ϕ λ λ ∈ − π π (2.4.1)

H H exp i ,

dove [ ]

( )

ℑ λ [ ]

( ) H

ϕ λ = λ ∈ − π π (2.4.2)

arctg ,

[ ]

( )

ℜ λ

H

è la fase del sistema.

Sostituendo la rappresentazione spettrale (1.6.1) nella (2.1.1) si ottiene

 

∞ ∞

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

π π

∑ ∑

∫ ∫

~ ~ ~

− µ = λ − ⋅ λ = λ ⋅ ⋅ − λ ⋅ λ =

 

y h exp i t s d z exp i t h exp i s d z

t y s s

 

− π − π

= −∞ = −∞

s s

[ ] [ ]

( ) ( ) { ( ) } ( ) ( )

π π

∫ ∫

~ ~

= λ ⋅ λ ⋅ λ = = λ + ϕ λ λ ⋅ λ ⋅ λ

exp i t H d z exp i t / H d z

− π − π (2.4.3)

da cui si trae che il sistema lineare (2.1.1) trasforma le componenti di frequenza

( )

~

λ λ

angolare ed ampiezza infinitesima , rappresentative del processo

d z

{ ( )

} ( ) ( )

( ) ~

~ ϕ λ λ λ λ

stazionario , in altre sfasate di e di ampiezza · .

x t / H d z Pagina 2-6

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

2.5. Filtri lineari

La relazione (2.1.1) può essere interpretata come un filtro lineare che trasforma

una combinazione lineare di corrente, ritardate e posticipate (l’input del filtro)

x

t

nella (l’output). Se mancano le posticipate il filtro è detto realizzabile; se la

y x

t t

parte ritardata della combinazione lineare è uguale a quella posticipata, il filtro è

simmetrico; se i pesi rimangono costanti nel tempo, il filtro è chiamato

h s

invariante nel tempo.

Se nella (2.1.1) la sommatoria è finita, il filtro è finito. In questo caso la (2.1.1)

si scrive nella forma q [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

∑

− µ = − − µ = ⋅ − µ ∈ − ∞ ∞ (2.5.1)

y h x t s H L x t t ,

t y s x x

= −

s p

dove la funzione generatrice dei pesi assume la forma

p

( ) ∑

= s (2.5.2)

H L h L

s

= −

s q

Se il filtro è simmetrico la sua funzione di fase è costantemente nulla. Infatti in

= =

tale caso è e , per ogni ; la funzione di trasferimento del filtro è , con

q p h h s

−

[ ] s s

λ ∈ − π π ,

, ∞

p p

( ) ( ) ( )

∑ ∑ ∑

λ = ⋅ − λ = λ − ⋅ λ = + ⋅ λ (2.5.3)

H h exp i s h cos s i sin s h 2 h cos s

s s 0 s

= − = −∞ =

s p s s 1

con parte immaginaria nulla essendo il seno una funzione dispari. La (2.4.2) è

λ

quindi nulla per ogni . =

La somma mobile centrata di ordine , con , costituisce un comune

p h h −

s s

esempio di filtro simmetrico p [ ]

( )

∑

− µ = − − µ (2.5.4)

y h x t s

t y s x

= −

s p

La sua funzione di trasferimento è data dalla (2.5.3) e la funzione di guadagno è il

suo modulo, ancora ad essa uguale poiché reale.

Un filtro somma non simmetrico è quello a due termini, con la funzione di

risposta all’impulso seguente =



1 s 0



= =



h 1 s 1

s 

 0 altrove Pagina 2-7

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

In questo caso si ha che ( )

= + = + (2.5.5)

y x x 1 L x

−

t t t 1 t

con funzione di trasferimento [ ]

( ) ( )

λ = + − λ = + λ − ⋅ λ λ ∈ − π π (2.5.6)

H 1 exp i 1 cos i sin ,

funzione di guadagno [ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) λ ∈ − π π

λ = + λ = λ

1 / 2 (2.5.7)

,

H 2 1 cos 2 cos / 2

e funzione di fase − λ [ ]

( ) sin λ ∈ − π π

ϕ λ = = − λ (2.5.8)

,

arctg / 2

+ λ

1 cos

Il filtro somma a due termini è detto passa-basso in quanto riduce (fortemente)

{ }

l’ampiezza delle oscillazioni in con frequenza alta. In altre parole riduce

x

t

marcatamente le accidentalità presenti nella serie storica e le livella. Il

livellamento della serie input è caratteristica comune di tutti i filtri a somma

mobile.

Un comune filtro passa-alto, cioè tale da ridurre l’ampiezza delle oscillazioni in

{ } con frequenza bassa, è quello alle differenze prime

x

t ( )

= − = − (2.5.9)

y x x 1 L x

−

t t t 1 t

che è realizzabile ma non simmetrico, come si vede dalla sua funzione di risposta

all’impulso =

 1 s 0



= − =



h 1 s 1

s 

 0 altrove

La sua funzione di trasferimento è [ ]

( ) ( )

λ = − − λ = − λ + ⋅ λ λ ∈ − π π (2.5.10)

H 1 exp i 1 cos i sin ,

la funzione di guadagno [ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) λ ∈ − π π

λ = − λ = λ

1 / 2 (2.5.11)

,

H 2 1 cos 2 / 2

e la funzione di fase Pagina 2-8

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

( )

− π − λ − π ≤ λ <

 / 2 0

λ 

( ) sin

ϕ λ = =  (2.5.12)

arctg ( ) ( )

λ 

2 π − λ ≤ λ < π

2

sin / 2 / 2 0

Il filtro alle differenze prime può essere iterato volte, dando luogo al filtro alle -

d d

esime differenze prime, ancora di tipo passa-alto

( )

= − d (2.5.13)

y 1 L x

t t

con funzione di trasferimento [ ]

[ ]

( ) ( ) λ ∈ − π π

λ = − − λ d (2.5.14)

,

H 1 exp i

funzione di guadagno [ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) λ ∈ − π π

λ = − λ = λ d

d / 2 (2.5.14)

d ,

H 2 1 cos 2 / 2

e funzione di fase ( )

− π − λ − π ≤ λ <

 d / 2 0

λ 

( ) sin

ϕ λ = ⋅ =  (2.5.16)

d arctg ( ) ( )

λ  π − λ ≤ λ < π

2

2 sin / 2 d / 2 0 Pagina 2-9