Econometria - i filtri lineari

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

2. FILTRI LINEARI

Indice del capitolo

2.1. Sistemi lineari................................................................................................... 2

2.2. La funzione di guadagno del sistema.............................................................. 4

2.3. La funzione di coerenza ................................................................................... 5

2.4. La funzione di fase ........................................................................................... 6

2.5. Filtri lineari ...................................................................................................... 7

2.6. Lo pseudospettro............................................................................................. 10

2.7. Il sistema multivariato .................................................................................. 11

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

2.1. Sistemi lineari { ( )

}

{ ( )

}

~ ~

Consideriamo due processi aleatori e , singolarmente e congiuntamente

y t x t

stazionari in senso debole, con valori medi

[ ] [ ] [ ]

( ) ( )

~ ~

= µ = µ ∈ − ∞ ∞

, ,

E y t E x t t ,

y x

( ) ( )

γ τ γ τ

funzioni di autocovarianza , , e funzione di covarianza incrociata

yy xx

( )

γ τ , che siano legati dal sistema lineare

yx ∞ ∞

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

∑ ∑

− µ = − − µ = ⋅ − µ = ⋅ − µ

s (2.1.1)

y h x t s h L x t H L x t

t y s x s x x

= −∞ = −∞

s s

[ ]

∈ − ∞ ∞

dove , è l’operatore di ritardo e è un polinomio in doppiamente

t , L H(L) L

infinito. [ ]

∈ − ∞ ∞

I pesi , , sono una successione di costanti e costituiscono la

h s ,

s

funzione di risposta all’impulso del sistema; sono generati dalla cosiddetta funzione

generatrice dei pesi ∞

( ) ∑

= s (2.1.2)

H L h L

s

= −∞

s τ = ± ±

Utilizzando la (2.1.1) si ricava che, per ,

0 , 1

, 2 ,...

[ ]

{ }  

∞

[ ] [ ] [ ]

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~

γ τ = − µ − τ − µ = − − µ − τ − µ =

 

E y t x t E h x t s x t

yx y x s x x

 

= −∞

s (2.1.3)

∞

∑ ( )

= ⋅ γ τ −

h s

s xx

= −∞

s

e prendendo la trasformata di Fourier del primo e dell’ultimo membro

∞ ∞ ∞

( ) ( ) ( ) ( )

∑ ∑ ∑

γ τ ⋅ − λτ = ⋅ γ τ − ⋅ − λτ

exp i h s exp i

yx s xx

τ = −∞ τ = −∞ = −∞

s [ ]

π = − τ λ ∈ − π π

dalla quale, dividendo per e ponendo , si ottiene, per ,

2 u s ,

∞ ∞

( ) ( ) ( ) ( )

1 ∑ ∑

λ = ⋅ γ τ − ⋅ − λτ ⋅ λ =

g h s exp i exp i u

π

yx s xx

2 τ = −∞ = −∞

s (2.1.4)

 

∞ − ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

∑ ∑

= ⋅ γ − ⋅ λ ⋅ − λ = λ ⋅ λ

h u exp i u exp i s H g

 

π

s xx xx

 

2

= −∞ = +∞

s u ( ) ( )

γ λ λ

dove è stato sfruttato il fatto che è funzione pari e è la funzione di

g

{ ( )

} xx xx

~

densità spettrale di . La

x t Pagina 2-2

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

∞ ∞ [ ]

( ) ( ) ( )

∑ ∑

λ = ⋅ − λ = λ − ⋅ λ λ ∈ − π π (2.1.5)

H h exp i s h cos s i sin s ,

s s

= −∞ = −∞

s s

è la trasformata di Fourier della funzione di risposta all’impulso, detta funzione di

( )

λ

trasferimento del sistema lineare. Si osservi che può essere ottenuta dalla

H

( ) ( )

− λ

sostituendo al posto di .

H L exp i L Pagina 2-3

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2.2. La funzione di guadagno del si