Econometria - i filtri lineari
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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale
2.4. La funzione di fase ( )
( )
λ λ
Il guadagno può essere utilizzato nella rappresentazione polare di
H H
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
λ = λ ⋅ ⋅ ϕ λ λ ∈ − π π (2.4.1)
H H exp i ,
dove [ ]
( )
ℑ λ [ ]
( ) H
ϕ λ = λ ∈ − π π (2.4.2)
arctg ,
[ ]
( )
ℜ λ
H
è la fase del sistema.
Sostituendo la rappresentazione spettrale (1.6.1) nella (2.1.1) si ottiene
∞ ∞
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
π π
∑ ∑
∫ ∫
~ ~ ~
− µ = λ − ⋅ λ = λ ⋅ ⋅ − λ ⋅ λ =
y h exp i t s d z exp i t h exp i s d z
t y s s
− π − π
= −∞ = −∞
s s
[ ] [ ]
( ) ( ) { ( ) } ( ) ( )
π π
∫ ∫
~ ~
= λ ⋅ λ ⋅ λ = = λ + ϕ λ λ ⋅ λ ⋅ λ
exp i t H d z exp i t / H d z
− π − π (2.4.3)
da cui si trae che il sistema lineare (2.1.1) trasforma le componenti di frequenza
( )
~
λ λ
angolare ed ampiezza infinitesima , rappresentative del processo
d z
{ ( )
} ( ) ( )
( ) ~
~ ϕ λ λ λ λ
stazionario , in altre sfasate di e di ampiezza · .
x t / H d z Pagina 2-6
Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale
2.5. Filtri lineari
La relazione (2.1.1) può essere interpretata come un filtro lineare che trasforma
una combinazione lineare di corrente, ritardate e posticipate (l’input del filtro)
x
t
nella (l’output). Se mancano le posticipate il filtro è detto realizzabile; se la
y x
t t
parte ritardata della combinazione lineare è uguale a quella posticipata, il filtro è
simmetrico; se i pesi rimangono costanti nel tempo, il filtro è chiamato
h s
invariante nel tempo.
Se nella (2.1.1) la sommatoria è finita, il filtro è finito. In questo caso la (2.1.1)
si scrive nella forma q [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
∑
− µ = − − µ = ⋅ − µ ∈ − ∞ ∞ (2.5.1)
y h x t s H L x t t ,
t y s x x
= −
s p
dove la funzione generatrice dei pesi assume la forma
p
( ) ∑
= s (2.5.2)
H L h L
s
= −
s q
Se il filtro è simmetrico la sua funzione di fase è costantemente nulla. Infatti in
= =
tale caso è e , per ogni ; la funzione di trasferimento del filtro è , con
q p h h s
−
[ ] s s
λ ∈ − π π ,
, ∞
p p
( ) ( ) ( )
∑ ∑ ∑
λ = ⋅ − λ = λ − ⋅ λ = + ⋅ λ (2.5.3)
H h exp i s h cos s i sin s h 2 h cos s
s s 0 s
= − = −∞ =
s p s s 1
con parte immaginaria nulla essendo il seno una funzione dispari. La (2.4.2) è
λ
quindi nulla per ogni . =
La somma mobile centrata di ordine , con , costituisce un comune
p h h −
s s
esempio di filtro simmetrico p [ ]
( )
∑
− µ = − − µ (2.5.4)
y h x t s
t y s x
= −
s p
La sua funzione di trasferimento è data dalla (2.5.3) e la funzione di guadagno è il
suo modulo, ancora ad essa uguale poiché reale.
Un filtro somma non simmetrico è quello a due termini, con la funzione di
risposta all’impulso seguente =
1 s 0
= =
h 1 s 1
s
0 altrove Pagina 2-7
Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale
In questo caso si ha che ( )
= + = + (2.5.5)
y x x 1 L x
−
t t t 1 t
con funzione di trasferimento [ ]
( ) ( )
λ = + − λ = + λ − ⋅ λ λ ∈ − π π (2.5.6)
H 1 exp i 1 cos i sin ,
funzione di guadagno [ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) λ ∈ − π π
λ = + λ = λ
1 / 2 (2.5.7)
,
H 2 1 cos 2 cos / 2
e funzione di fase − λ [ ]
( ) sin λ ∈ − π π
ϕ λ = = − λ (2.5.8)
,
arctg / 2
+ λ
1 cos
Il filtro somma a due termini è detto passa-basso in quanto riduce (fortemente)
{ }
l’ampiezza delle oscillazioni in con frequenza alta. In altre parole riduce
x
t
marcatamente le accidentalità presenti nella serie storica e le livella. Il
livellamento della serie input è caratteristica comune di tutti i filtri a somma
mobile.
Un comune filtro passa-alto, cioè tale da ridurre l’ampiezza delle oscillazioni in
{ } con frequenza bassa, è quello alle differenze prime
x
t ( )
= − = − (2.5.9)
y x x 1 L x
−
t t t 1 t
che è realizzabile ma non simmetrico, come si vede dalla sua funzione di risposta
all’impulso =
1 s 0
= − =
h 1 s 1
s
0 altrove
La sua funzione di trasferimento è [ ]
( ) ( )
λ = − − λ = − λ + ⋅ λ λ ∈ − π π (2.5.10)
H 1 exp i 1 cos i sin ,
la funzione di guadagno [ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) λ ∈ − π π
λ = − λ = λ
1 / 2 (2.5.11)
,
H 2 1 cos 2 / 2
e la funzione di fase Pagina 2-8
Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale
( )
− π − λ − π ≤ λ <
/ 2 0
λ
( ) sin
ϕ λ = = (2.5.12)
arctg ( ) ( )
λ
2 π − λ ≤ λ < π
2
sin / 2 / 2 0
Il filtro alle differenze prime può essere iterato volte, dando luogo al filtro alle -
d d
esime differenze prime, ancora di tipo passa-alto
( )
= − d (2.5.13)
y 1 L x
t t
con funzione di trasferimento [ ]
[ ]
( ) ( ) λ ∈ − π π
λ = − − λ d (2.5.14)
,
H 1 exp i
funzione di guadagno [ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) λ ∈ − π π
λ = − λ = λ d
d / 2 (2.5.14)
d ,
H 2 1 cos 2 / 2
e funzione di fase ( )
− π − λ − π ≤ λ <
d / 2 0
λ
( ) sin
ϕ λ = ⋅ = (2.5.16)
d arctg ( ) ( )
λ π − λ ≤ λ < π
2
2 sin / 2 d / 2 0 Pagina 2-9
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.
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