Dominanza stocastica

Variabili casuali continue

Ora passiamo a v.c. continue. Dunque utilizziamo le F_x(x) = P(X ≤ x), definita su tutto l'asse reale nel lancio di un dado. La funzione di ripartizione è sempre non negativa e non decrescente, continua, con:

lim F_x = 0    lim F_x = 1
a < b
F_x(b) - F_x(a) = P(a < X ≤ b)
F_x(x + dx) - F_x(x) = P(x < X ≤ x + dx)

Se dx è "piccolo" e F_x è derivabile, questo diventa F'_x(x) = f_x(x), la densità di probabilità.

∫_a^b f_x(x) dx = [F_x(x)]^b_a = F_x(b) - F_x(a)

∫_-∞^+∞ f_x(x) dx = 1

Nel caso del discreto P(X = x) = 0 ⇒ evento impossibile. Nel continuo P(X = x) = 0 ⇒ l'area di un segmento è 0. C'è dunque un salto caratteristico.

Caratteristiche delle funzioni di probabilità continue

Ora passiamo a v.c. continue. Dunque utilizziamo le funzioni di continua, definite su tutto l'asse reale nel lancio di un dado. La funzione di ripartizione è sempre non negativa e non decrescente:

lim F(x) = 0
lim F(x) = 1
a ≤ b

F_X(b) - F_X(a) = P(a < X ≤ b)

F_X(x + dx) - F_X(x) = P(x < X ≤ x + dx)

Se dx è piccolo e F_X è derivabile, questo è approssimato col differenziale F'(x)dx, da cui:

F_X'(x) = f_X(x), la densità di probabilità.

∫_a^b f_X(x)dx = [F_X(x)]_e^b = F_X(b) - F_X(a)

∫_-∞^∞ f_X(x)dx = 1

Nel discreto P(X = x) = 0 → evento impossibile. Nel continuo P(X = x) = 0 → l'area di un segmento è 0. Infatti, il punto è una finzione matematica (paradosso di Zenone: la freccia non è mai ferma perché non esiste un istante).

Dunque P(X = x) = _{h →0⁺} lim _{F x}(x + h) - _{h →0^-} lim _{F x}(x + h)

f_X(x) dx ≃ p(x < X < x + dx)

F_X(x) dx ≃ F_X(x + dx) - F_X(x)

Valori attesi e varianza

E[X] = ∫_-∞^+∞ x f_X(x) dx

V[X] = E[(X - E[X])²] = Σ p_i(x_i - E[x])² = E[X²] - E²[X] = ∫_-∞^+∞ (x - E[x])² f_X(x) dx

Nel caso continuo: V[αX + β] = α²V[x]

υ(X) = ∫_-∞^+∞ υ(x) f_X(x) dx

Dominanza stocastica

(III criterio di scelta dell'operatore razionale) La variabile casuale X domina stocasticamente Y quando F_X(x) ≤ F_Y(x) ∀ x e per almeno un valore di x vale la disuguaglianza in senso stretto.

Un operatore razionale regola le probabilità di avere valori bassi e più basse: X ⪰ Y ⇒ υ(x) > υ(Y) ∀ υ(x)

υ(X)=E[υ(x)] = ∫υ(x) f_X(x) dx ≠ f_X(x*')=F_X*(x)

u(Y) = ∫_a^b u(x)^' F_Y(x)^(') dx

u(X) - u(Y) = ∫_a^b u(x)^' [F_X(x) - F_Y(x)] dx == ∫_a^b [u(x)[F_X(x) - F_Y(x)]]¹₀ dx

== u(x)[F_X(x) - F_Y(x)]^b_a = ∫_a^b F_X(x)F_Y(x) d[μ(x)] dx

Dominanza e funzionalità

μ quanto F_X e F_Y calcolati in b danno 1-1 e calcolati in a danno 0-0. X ⪰ Y ⇒ E[X] ⪰ E[Y] ∀ u(x) → per ogni funzione di utilità funch crescente.

Assumiamo u(x) lineare: u(x) = x

u(X) = ∫_-∞^+∞ u(x) f_X(x) dx = ∫_-∞^+∞ x f_X(x) dx = E[X]

Ax(x) = ∫_-∞^x F_X(t) dt

Scelte razionali e rischio

X ⪯ Y ⇒ X ⪯ Y X >> Y ⇒ E[X] > E[Y] X >> Y ⇒ u(X) > u(Y)     ∀ u(x) crescente e concava verso il basso. Ogni individuo razionale avverso il rischio sceglie le X.

X = 100 Y = { (0, \(\frac{1}{2}\)) , (200, \(\frac{1}{2}\)) }

Scarto medio assoluto

È 0 quando ci si allontana dalle estreme! Non c'è dominanza stocastica perché ci intersecano. Dal punto di vista del valore medio sono indifferente. Esaminiamo allora le dominanze stocastiche del 2° ordine:

A_X(x) = x - 100      a 200 si estinguono

[0, 200]   A_Y(x) = \(\frac{1}{2}\) x> 200   100 + x - 200 = x - 100

Dominanza stocastica del 2° ordine della X sulle Y. Dato il contrario, avverso il rischio, sceglierà dunque i 100 euro certi.

Dominanza stocastica del terzo ordine

B_X(x) = ∫ A_X(x) dx

X ⪯ y ⟹ μ(x) > μ(y) ∀ u | u' > 0

x ≺≺ y ⟹ μ(x) > μ(y) ∀ u | u' > 0, u''

x ≲ y ⟹ μ(x) > μ(y) ∀ u | u' > 0, u'' 0...

Media e varianza

IV criterio: media/varianza. Se scegli E[X] = E[Y], √[X] < √[Y] ⟹ X
V[X] = V[Y], ∀E[X] > E[Y] ⟹ X varianza media e varianza come assi, le V.C. come punti sul piano.

Scelte multicriteria

Non possiamo forse vi mantenere univoca una scelta (problema delle scelte multicriteria). Z si preferisce e X e Y su non soffiama se e meglio X o T. Si introducono le frontiere delle opportunità e le frontiere efficienti. Questa è le facto "oggettiva" del criterio: c'è un punto su come l'inprosse trattiene guardano le distribuzioni di probabilità.

Gli operatori possono scegliere tra norme con he: Le curve di indifferenza e l'insieme dei punti t.c. le scelte tra 2 somme e indifferente (da el cariponto, trade off rischio/redundert). L' c. di noi una formosa vereeation. Siamo in grado di riempire il piano di curve, le curve preferite e quelle più alte.

E(X) = E[U(X)] = Σ pi μ(xi)