Statistica Stocastica - Variabili Qualitative e quantitative

Probabilità e variabili casuali

Definizioni dell'impostazione assiomatica di Kolmogorov

Algebra

Dato un qualunque insieme dei possibili esiti Ω, si dice algebra ad esso associata un qualsiasi insieme A di suoi sottoinsiemi che soddisfi le seguenti condizioni:

• ∅ ∈ A e Ω ∈ A
• ∀ A₁, A₂,..., A_n ∈ A, allora ∪ A_i ∈ A

Intuitivo: la coppia (Ω, A) non risulta univocamente determinata da Ω, nel senso che sono molteplici le algebre A associabili allo stesso insieme di possibili esiti. Riassumendo: dato un esperimento casuale E, individuato l'insieme degli esiti possibili Ω, associando ad esso un algebra A si costruisce lo spazio probabilizzabile (Ω, A). Quando su R: R di A sempre noto come l'algebra B di E.

Misura di probabilità

Dato lo spazio probabilizzabile (Ω, A), definiamo "misura di probabilità" una qualsiasi funzione d'insieme P, avente dominio A e codominio l'insieme dei numeri reali R, P: A → R che soddisfi i seguenti 3 assiomi:

• "Non negatività": la probabilità di un evento è sempre ≥ 0: ∀ A ∈ A P(A) ≥ 0
• "Sigma-additività": se {A_i;} C [...] P(∪A_i) = ∑ P(A_i);
• "Assioma dell'unione": la probabilità dell'evento certo Ω è uno, cioè: P(Ω) = 1

Proprietà della funzione di probabilità

• La probabilità del complementare di A è 1-P(A). P (Ā) = 1-P (A) Dimostrazione: essendo Ω = A ∪ Ā ed essendo P(Ω) = 1 per il 2) assioma si ha la tesi.
• La probabilità dell'insieme vuoto Ø è nulla: P(Ø) = 0 Dimostrazione: essendo Ø = Ω^c e: Ω = Ø U Ω => P(Ø) + P(Ω) = P(Ω) => 1-P(Ω) = 1 => 0
• La probabilità di un qualsiasi evento A, è sempre ≤ 1: P(A) ≤ 1 ∀ A ∈ A Dimostrazione per la proprietà P (Ā) = 1-P (A) per l'ass. [...] positivo
• Se X è un sottoinsieme di A, implica che anche in A, allora P(A) e minore di uguale a P(A); cioè: ∀ A_i ∈ A e C; A