Statistica Stocastica - Variabili Qualitative e quantitative

PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI

DEFINIZIONI DELL'IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DI KOLMOGÓROV

- ALGEBRA: DATO UN QUALUNQUE INSIEME DEI POSSIBILI ESITI Ω, SI DICE ALGEBRA AD ESSO ASSOCIATA UN QUALSIASI INSIEME A DI SUOI SOTTOINSIEMI CHE SODDISFI LE SEGUENTI CONDIZIONI:

1. ∅ ∈ A e Ω ∈ A
2. ∀ A₁, A₂ ∈ A ALLORA A₁ ∪ A₂ ∈ A

(si dice algebra, in generale se vale anche per n∪)

INTUIVOLMENTE: LA COPPIA (Ω, A) NON RISULTA UNIVOCAMENTE DETERMINATA DA Ω, NEL SENSO CHE SONO MOLTEPLICI LE ALGEBRE A ASSOCIABILI AI UNO STESSO INSIEME DI POSSIBILI ESITI.

RIASSUMENDO: DATO UN ESPERIMENTO CASUALE E INDIVIDUATO L'INSIEME DEGLI ESITI POSSIBILI Ω, ASSOCIANDO AD ESSO UN ALGEBRA A SI COSTRUISCE LO SPAZIO PROBABILIZZABILE (Ω, A).

- MISURA DI PROBABILITÀ: DATO LO SPAZIO PROBABILIZZABILE (Ω, A) DEFINIAMO "MISURA DI PROBABILITÀ" UNA QUALSIASI FUNZIONE D'INSIEME P, AVENTE DOMINIO A E CODOMINIO L'INSIEME DEI NUMERI REALI ℝ,

P: A → ℝ CHE SODDISFI I SEGUENTI 3 ASSIOMI:

1. NON NEGATIVITÀ: LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO È SEMPRE P(A) ≥ 0
2. SIGMA-ADDIVITÀ: SE {A_i}_i COSTITUISCE UNA FAMIGLIA INFINITA NUMERABILE DI INSIEMI MUTUALMENTE DISGIUNTI DELL'ALGEBRA A, LA PROBABILITÀ DELLA LORO UNIONE CORRISPONDE ALLA SOMMA DELLE LORO PROBABILITÀ:

P(∪_i A_i) = ∑ P(A_i)

3. ASSIOMA DELL'UNITÀ: LA PROBABILITÀ DELL'EVENTO CERTO Ω E UNO, CIOÈ

P(Ω) = 1

- PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE DI PROBABILITÀ P

1. LA PROBABILITÀ DEL COMPLEMENTARE DI A ∈ A È P(Ā) = 1 - P(A)

DIMOSTRAZIONE: ESSENDO P(Ω) = 1 ∈ A ED ESSENDO Ω = A ∪ Ā PER IL 2) ASSIOMA SI HA LA TESI.

2. LA PROBABILITÀ DELL'INSIEME VUOTO Ā ED NULLA: P(∅) = 0

DIMOSTRAZIONE: ESSENDO Ω = A ∪ Ā = Ω - P(Ω) = P(A ∪ Ā) = P(A) + P(Ā) → 1 = 1 - 0

3. LA PROBABILITÀ DI UN QUALSIASI EVENTO A ϵ È SEMPRE ≤ 1: P(A) ≤ 1 ∀ A ∈ A

DIMOSTRAZIONE: PER LA PROPRIETÀ P(Ā) = 1 -P(A) E PER L'ASSIOMA 1) P(Ā) ≥ 0, VALORE POSITIVO ⟺ P(A) MINORE O UGUALE A P(1) ⟺ P(A) ≤ 1 , CIOÈ: ∀ A ₁, A₂ ∃ A₃ , e.t.c , TUTTI ∈ A₃ INSERITO IN A E TUTTI GLI ELEMENTI DI A₃ CHE NON APPARTENGONO A₃ Ā, QUINDI 1 = ^An₁

5)

PROBABILITÀ CHE SI VERIFICHI A₂ MA NON A₁ (A₂ ∩ A₁) = A₂ - A₁

DIMOSTRAZIONE: (V. PROP. 2) E SI SPOSTA A. PRIMA DELL'UGUALE

6)

LA PROBABILITÀ DELL’UNIONE DI DUE EVENTI È DATA DALLA LORO SOMMA MENO L’INTERSEZ: P(A₁ ∪ A₂) = P(A₁) + P(A₂) - P(A₁ ∩ A₂) DIMOSTRAZIONE: (A₁ ∪ A₂) PUÒ ESSERE INTESO COME A ∪ (A₁ ∩ A₂)) QUINDI PER L'ASSIOMA 2) E LA PROPRIETÀ 5) P(A₁) + (A₂) + P(A₂) = P(A₁) + P(A₂) - P(A₁ ∩ A₂) P(RIPETENDO IL 6) SU 3 EVENTI SI GIUNGE A: LA PROBABILITÀ DELL'UNIONE DI 3 EVENTI È UGUALE ALLA SOMMA DELLE LORO PROBABILITÀ, MENO LE LORO INTERSEZIONI A 2, PIÙ LE LORO INTERSEZIONI A 3: P(A₁ ∪ A₂ ∩ A₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) - P(A₁ ∩ A₂) - P(A₁ ∩ A₃) - P(A₂ ∩ A₃) + P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) GENERALIZZANDO A K EVENTI SI OTTIENE LA 8)

8)

A₁, A₂ … A_K ∈ A SI HA: P( ∪ A₁) = 1≤ i j ≤k Σ P(A_i) - 1 ≤ i < j ≤k Σ P(A_i ∩ A_j) + … (-1)^k-1 P(A₁ ∩ A₂ ∩... ∩ A_k)

9)

DISEGUAGLIANZA DI BOOLE ∀ A₁, A₂, … A_K ∈ A SI HA: P( ∪ A₁) 1 ≤ i j ≤ k ⩽ ΣP(A_i)

- SPAZIO PROBABILIZZATO: DATO UN ESPERIMENTO CASUALE E È DEFINITO LO “SPAZIO PROBABILIZZABILE” (Ω, A, P). SI TRATTA DI INDIVIDUARE LA MISURA DI PROBABILITÀ P CHE SI INTENDE ADOTTARE IN MODO DA DEFINIRE UNIVOCAMENTE LA TERNA ORDINATA (Ω, A, P) DETTA “SPAZIO PROBABILIZZATO”.

- PROBABILITÀ CONDIZIONATA: LA MISURA DI PROBABILITÀ CHE SI CONSENTE DI DETERMINARE LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO A NEL CASO IN CUI SI POSSEGGA L’INFORMAZIONE CERTA CHE UN SECONDO EVENTO B SIA VERIFICATO SI DETTA “PROBABILITÀ CONDIZIONATA” FORMALMENTE: DATO UNO SPAZIO PROBABILIZZATO (Ω, A, P), FISSATO UN QUALSIASI EVENTO B ∈ A, DI PROBABILITÀ NON NULLA (P(B) ≠ 0), SI DEFINISCE L’E’ORABILITÀ CONDIZIONATA LA FUNZIONE O L’INSIEME: P( . | B): A → R t. c. ∀ A ∈ A; sia P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) P (A ∩ B) = P(B) . P(A | B) = P(A) . P(B | A) P(A ∩ B) QUINDI P(A) = P(A | B) = P (B | A) P(B) P(AΩ) = P(B) = P(A) D – B B C P(B) C (UR REQUERTE E’ CONOSCE LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA B, A, DATO B. CONOSCIUTA AL PROBABILITÀ CONDIZIONATA O₃ O₉ DATO A

p.2

- MOMENTI DI UNA V.C.:

DATA LA V.C. X E LA TRASFORMATA g(X) = Xⁿ CON n èN, SI DICO

NO "MOMENTI DI ORDINE n" I CORRISPONDENTI VALORI ATTESI DI g(X):

μ_xⁿ = E(Xⁿ) OSSERVIAMO CHE IL MOMENTO UNO

[...]= 1 IL MOMENTO UNO è μ1_x

SE CONSIDERIAMO LA V.C. Y= X-E[X] IL MOMENTO UNO è:

E[Y] =E[ X - E[ X ]]= E[ X ] - E[ X ] = 0

IL MOMENTO DUE è: E[ Y ⁿ] = E[( X -E[ X ]) ⁿ] = σ ²_x

CIASCUNA VARIABILE CASUALE è DOTATA DI UN PROPRIO INSIEME DI MOMENTI μ1_x,μ_2x,μ_3x, μ_3x,μ_n, ... E QUESTI, A PATTO CHE ESISTANO FINITI, CARATTERIZZA

NO LA V.C. IN MODO UNIVOCO, SE DUE V.C. R.SSEGUONO LO STESSO INSIEME DEI MOMENTI

TI ESSE HANNO UGUAL DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ.

- FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI DI UNA V.C.:

LA FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI DI UNA V.C. X SI INDICA CON m_x^t ED è IL VALORE ATTESO (EXPECTED VALUE)

DELLA TRASFORMATA g(x)= e^tx CON t è R CIOÈ m_x(t)= E[ e^tx], NATURALMENTE

PER DEFINIZIONE DI VALORE ATTESO DI UNA V .C., SARÀ:

m_x(t)=E[ e^tx]= Σ .e^tx.ρ _(ai)(x) SE X è UNA V.C. DISCRETA

=^+∞∫ e^tx .f(sub>(x0 dx) SE X è UNA V.C. CONTINUA

(AMM.NDO PER tεO m_x(0)= 1) A.PER E TO NON SEMPRE RISUL CONVERGIERÌ

SVILUPPANDO IN SERIE DI MAC-LAURIN, NELL’INTORNO DELL’ORIGINE, L’ESENZIALE

e^tx POSSIAMO ESPRIMERE m_x(t) COME SERIE POLIMONIALE DI E I CUI COEFFICIENTI COE:

SPONDONO AI MOMENTI DI X LIMITANDO AL CASO IN CUI X è UNA V.C. DISCRETA:

m_x(t)= E[ e^tx]= Σ .e^tx .ρ (x)= Σ[( 1+ tx + ^{t 2 χ 2 + t 3 χ 3 +                                                                                             2x₂ 6 x₃]…] ρ(χ)=}

=Σ PIA=Σ χ^rxρ(χ)=Σ r=0 ^trχμr_x

=Σ Σ(r.r0) t^r=Σχ^rxρ(χ)=Σ^trχμrx

SE CONSIDERIAMO LA DERIVATA DI ORDINE r Dl m_x(t) RISPETTO A t, ABBIAMO:

d^r m_x (t)

______=0 .+μ₁. t.^r+1.χ^μ1 χ+ ^r+2 χ^2χ +^{r+3 χ ₃} χ…

PER t= O(MAC-LAURIN)

___ d^r m_x (t)

μ^r_x

IN DEFINITIVA, IL MOMENTO DI ORDINE r (μ ^r_x) DELLA V.C.X

SI OTTIENE VALUTANDO IN t=0 LA FUNZIONE GENERATRICE m_x(t)

p.6