Analisi 1 (domande per orale)

Quesiti di analisi matematica

Insiemi e strutture numeriche

0. Dati due insiemi A e B, cosa significa che A è sottoinsieme di B?

Diremo che A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche un elemento di B.

1. Che cos'è una funzione?

Siano A e B insiemi. Una funzione f di dominio A a valori in B è un modo qualunque di associare a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

2. Cosa significa che una funzione è iniettiva (suriettiva)?

Siano A e B insiemi e f una funzione di dominio A a valori in B. Diremo che f è iniettiva se, presi due elementi qualunque a e a' in A tali che f(a)=f(a'), segue sempre che a=a'. Diremo che f è suriettiva (su B) se: f(A)=B.

3. Che cos'è l'immagine di una funzione?

Siano A e B insiemi e f una funzione di dominio A a valori in B. Chiameremo immagine di f: Ǝ {b ∈ B | a ∈ A: f(a)=b}.

4. Che cos'è una biiezione?

Siano A e B insiemi e f una funzione di dominio A a valori in B. Diremo che f è una biiezione tra A e B se è iniettiva e suriettiva (su B).

5. Cosa si intende per funzione inversa di una biiezione?

Siano A e B insiemi e f una biiezione tra A e B. Diremo funzione inversa di f la funzione f^-1: B→A tale che f^-1(b) è l'unico elemento di A soddisfacente f(f^-1(b))=b.

6. Cosa si intende per composizione di due funzioni?

Siano A, B, C insiemi, f e g funzioni con f:A→B, g:B→C. Definiamo composizione tra f e g la funzione g o f: A→C tale che (g o f)(a)=g(f(a)) ∀a ∈ A.

7. Sotto quali condizioni si può definire?

La condizione che deve essere soddisfatta è che per ogni a del dominio A di f l'elemento f(a) appartenga al dominio di g, in modo che sia definito g(f(a)). Bisogna che, se B è il dominio di g, f(A)⊆ B. Ciò equivale a poter scegliere B come codominio di f.

8. Cosa si intende per unione di due insiemi?

Siano A e B insiemi. Definiamo la loro unione A∪B come segue: A∪B={a ∈ A oppure a ∈ B}. L'espressione “oppure” va intesa in senso debole: non si escludono gli elementi a appartenenti sia ad A che a B.

9. Cosa si intende per intersezione di due insiemi?

Siano A e B insiemi. Definiamo l'intersezione A∩B come segue: A∩B={a ∈ A e a ∈ B}. In altre parole, A∩B è l'insieme costituito dagli oggetti che appartengono sia ad A che a B.

10. Cosa si intende per differenza di due insiemi?

Siano A e B insiemi. Chiameremo differenza tra A e B e indicheremo col simbolo A \ B l'insieme così definito: A \ B={x ∈ A | x ∉ B}. In altre parole, A \ B è l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B.

11. Cosa si intende per prodotto cartesiano di due insiemi?

Siano A e B insiemi. Chiamiamo prodotto cartesiano tra A e B e indichiamo col simbolo A × B l'insieme: A × B={(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}.

12. Quali sono gli assiomi algebrici di campo?

Dato un insieme R dotato di due operazioni + e *, chiamate rispettivamente, somma e prodotto, che godono delle seguenti proprietà:

• (AC1) Proprietà commutativa: ∀a,b ∈ R a+b=b+a e ab=ba
• (AC2) Proprietà associativa: ∀a,b,c ∈ R (a+b)+c=a+(b+c) e (ab)c=a(bc)
• (AC3) Proprietà distributiva a destra del prodotto rispetto alla somma: ∀a,b,c ∈ R (a+b)c=(ac)+(bc)
• (AC4) Esiste un elemento di R chiamato "zero" e indicato col simbolo 0, tale che ∀a ∈ R a+0=0+a=a
• (AC5) Esiste un elemento di R chiamato "uno" e indicato col simbolo 1, tale che ∀a ∈ R a*1=1*a=a
• (AC6) Per ogni a in R esiste un elemento -a in R tale che a+(-a)=(-a)+a=0
• (AC7) Per ogni a in R \ {0} esiste un elemento a^-1 in R tale che a*a^-1=a^-1*a=1

13. Ne conoscete qualche conseguenza importante?

• I. In R vale la proprietà distributiva a sinistra del prodotto rispetto alla somma: ∀a,b,c ∈ R c(a+b)=ca+cb
• II. Vale la proprietà di cancellazione per la somma: se a,b,c sono elementi di R tali che a+c=b+c, allora a=b
• III. Vale la seguente proprietà di cancellazione per il prodotto: se a,b,c, sono elementi di R tali che ac=bc e c≠0, allora a=b
• IV. Gli elementi 0 e 1 che godono delle proprietà indicate con AC4 e AC5 sono unici
• V. Per ogni a ∈ R a*0=0
• VI. Consideriamo l'"equazione algebrica di primo grado" ax=b in R, nell'incognita x, con a e b assegnati; allora se a≠0, tale equazione ha l'unica soluzione x= a^-1b
• VII. -(-a)=a; ∀a ∈ R \{0} si ha a^-1≠0 e (a^-1)^-1=a
• VIII. R (-a)+(-b)=-(a+b) e -(ab)=(-a)b ∀a,b ∈ R
• IX. Siano a e b in R; allora ab=0 se e solo se almeno uno tra a e b coincide con 0
• X. Siano a e b in R \{0}; allora ab≠0 e (ab)^-1=a^-1b^-1

14. Quali sono gli assiomi di ordine per R?

• (AO1) ∀a ∈ R, non vale a<a
• (AO2) ∀a,b ∈ R, se vale a<b, non vale b<a
• (AO3) ∀a,b,c ∈ R, se valgono a<b e b<c, vale anche a<c
• (AO4) ∀a,b ∈ R con a≠b, vale a<b oppure b<a (uno solo dei due in base a (AO2))
• (AO5) ∀a,b,c ∈ R, se vale a<b, vale anche a+c<b+c
• (AO6) ∀a,b,c ∈ R, se vale a<b e 0<c, vale anche ac<bc

15. Quali sono gli elementi di N, Z, Q?

• N numeri naturali. N⊆R se n∈N, -n∉N.
• Z numeri interi. Z:=N∪{0}∪{-n:n∈N}.
• Q numeri razionali. Q:={m/n :m∈Z,n∈Z,n≠0}.

16. Cosa si intende per minimo (massimo) di un sottoinsieme di R?

Siano A⊆R e M∈R. Diremo che M è il massimo di A se soddisfa le seguenti condizioni:

• I. M∈A
• II. ∀a∈A a≤M

In questo caso scriveremo M=maxA. Siano A⊆R e m∈R. Diremo che m è il minimo di A se soddisfa le seguenti condizioni:

• I. m∈A
• II. ∀a∈A m≤a

In questo caso scriveremo m=minA.

17. Cosa si intende per maggiorante (minorante) di un sottoinsieme di R?

Siano A⊆R e z∈R. Diremo che z è un maggiorante (minorante) di A se a≤z ∀a∈A (z≤a ∀a∈A).

18. Sapreste fare qualche esempio?

Se l'insieme A ammette massimo (minimo) M, M è un maggiorante (minorante) di A. Al contrario del massimo (minimo), i maggioranti (minoranti) di A, se esistono, non sono mai unici. È infatti evidente che se M è un maggiorante di A, ogni numero reale M' tale che M≤M' è a sua volta un maggiorante di A.

Per chiarire la situazione, consideriamo l'insieme A = { x ∈ R | x ≤ 0}; si vede subito che A ammette massimo e maxA=0. Indichiamo con C l'insieme dei maggioranti di A.

Si ha: C = { y ∈ R | y ≥ 0}. Infatti, sia c un maggiorante di A. Deve allora essere 0 ≤ c. Viceversa, se y ≥ 0, si ha, per ogni a in A, y ≥ 0 ≥ a e quindi y ≥ a.

Consideriamo invece l'insieme B = { x ∈ R | x < 0}. Osserviamo che B non ha massimo. Supponiamo infatti, che esista M∈R tale che M < 0 e a ≤ M per ogni a < 0. Qualunque sia M < 0, si ha però M¹<0 e da M¹<M² segue: M¹<M².

Quindi B non ha massimo. Tuttavia B possiede dei maggioranti. Di fatto, l'insieme dei maggioranti di B coincide con C. È infatti chiaro che se y ≥ 0, allora y è un maggiorante di B. Viceversa, col ragionamento precedente abbiamo visto che, se d < 0, d < 0, e dunque nessun numero minore di zero può essere maggiorante di B.

19. Cosa vuol dire che un sottoinsieme di R è superiormente (inferiormente) limitato?

Sia A⊆R. Diremo che A è superiormente limitato (inferiormente limitato) se possiede dei maggioranti (minoranti).

20. Cosa vuol dire che un sottoinsieme di R è limitato?

Sia A⊆R. Diremo che A è limitato se è sia superiormente che inferiormente limitato. Quindi se possiede sia maggioranti che minoranti.

21. In cosa consiste l'assioma dell'estremo superiore?

Sia A⊆R non vuoto e superiormente limitato. Allora l'insieme dei suoi maggioranti ammette minimo. In altre parole, esiste supA. Sia A⊆R non vuoto e inferiormente limitato. Allora l'insieme dei suoi minoranti ammette massimo. In altre parole, esiste infA.

Sia A⊆R superiormente limitato. Indichiamo con C l'insieme dei maggioranti di A (non vuoto). Se C ammette minimo e S=minC, diremo che S è l'estremo superiore di A e scriveremo S=supA.

Sia A⊆R inferiormente limitato. Indichiamo con D l'insieme dei minoranti di A (non vuoto). Se D ammette massimo e I=maxD, diremo che I è l'estremo inferiore di A e scriveremo I=infA.

22. Come si definisce il valore assoluto di un numero reale?

Sia a∈R. Definiamo valore assoluto o modulo di a il numero reale |a| seguente:

• { a se a ≥ 0
• −a se a < 0

23. Quali sono le sue principali proprietà?

Sia a∈R.

• I. ≥ 0
• II. |a| = a
• III. |a| è il massimo tra a e -a, cioè: { a se −a ≤ a, −a se a ≤ −a }

24. Come si definiscono le potenze a esponente naturale di un numero reale?

Siano a∈R e n∈N, poniamo n^a = a • a • ... • a (n volte).

25. Come si definiscono le potenze a esponente intero di un numero reale non nullo?

Sia a∈R e a≠0; poniamo allora:

• I. a^-n := 1/aⁿ

26. Come si definisce la radice n-esima di un numero reale non negativo?

Siano a∈R, con a ≥ 0, e n∈N. Indichiamo con il simbolo n^ξa e chiamiamo radice n-esima di a l'unico numero reale non negativo (cioè ≥ 0) tale che ξⁿ = a. Se n=2 usiamo anche la notazione radice quadrata.

27. Come si definiscono le potenze a esponente razionale di un numero reale positivo?

Siano a∈R, a ≥ 0 e b∈Q, b > 0, con m e n naturali. Poniamo per definizione m/n^a = (n^ξa)^m.

28. Quali sono le principali proprietà delle potenze?

Siano a e b elementi di R⁺, m e n numeri razionali. Allora:

• I. a^m aⁿ = a^m+n
• II. (a^m)ⁿ = a^m*n
• III. (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

29. In ciascuno dei casi precedenti sapreste spiegare le limitazioni poste sulla base per poter definire la potenza?

Essenzialmente: se teniamo fermo l'esponente e facciamo crescere la base (nell'ambito di R⁺), la potenza cresce. Se invece teniamo ferma la base e facciamo crescere l'esponente, la potenza cala o cresce a seconda che valga 0 < a <1 oppure a > 1.

30. Sapreste discutere l'equazione xⁿ = a, con n∈N e a∈R?

Siano a∈R e n∈N, consideriamo l'equazione xⁿ = a.

• I. Se n è dispari, l'equazione ha per ogni a∈R un'unica soluzione reale x = a^1/n
• II. Se n è pari e a > 0, l'equazione ha due soluzioni reali distinte: x = ±a^1/n
• III. Se n è pari e a = 0, l'equazione ha la sola soluzione 0
• IV. Se n è pari e a < 0, l'equazione non ha alcuna soluzione reale.

31. Sapreste discutere la generica equazione algebrica di secondo grado in R?

Data ax²+bx+c=0 con a, b, c reali e a≠0. Nello studio di questa equazione svolge un ruolo chiave il numero: Δ:=b²-4ac, detto anche discriminante dell'equazione.

• I. Se Δ > 0 allora ax²+bx+c=0 ha due soluzioni reali distinte: (-b ± √Δ)/2a
• II. Se Δ = 0 allora ax²+bx+c=0 ha due soluzioni reali coincidenti: -b/2a
• III. Se Δ < 0 allora ax²+bx+c=0 non ha soluzioni reali.

32. Come si definiscono le potenze a esponente reale dei numeri reali positivi?

Siano c∈R e a∈R⁺. Definiamo:

• I. a¹ = a
• II. Se a > 1, a^c := sup{a^b : b∈Q, b ≤ c}
• III. Se 0 < a < 1, a^c := inf{a^b : b∈Q, b ≥ c}

33. Quali sono le principali proprietà delle funzioni esponenziali?

Sia a∈R⁺. Consideriamo la seguente funzione f :R→R tale che f (x)=a^x ∀x∈R. Chiameremo tale funzione, funzione esponenziale di base a. Essa gode delle seguenti proprietà:

• I. Se a=1, f (x)=1 ∀x∈R;
• II. se a∈R⁺ \ {1}, l'immagine di f coincide con R⁺;
• III. se a>1, x e y appartengono a R e x < y, allora f (x) < f (y);
• IV. se 0<a<1, x e y appartengono a R e x < y, allora f (x) > f (y).

34. Quali sono le principali proprietà dei logaritmi?

Sia a∈R⁺. Definiamo log_a (funzione logaritmo in base a) la funzione inversa di f^a. Le principali proprietà di log sono: Siano a e b elementi di R⁺ \{1}. Allora:

• I. Il dominio di log_a è R⁺ e la sua immagine è R;
• II. Se a > 1 e x e y sono elementi di R⁺ tali che x < y, allora log_a(x) < log_a(y);
• III. Se 0 < a < 1 e x e y sono elementi di R⁺ tali che x < y, allora log_a(x) > log_a(y);
• IV. Se x e y sono elementi di R⁺, allora log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y);
• V. Se x∈R⁺ y∈R, allora log_a(x^y) = ylog_a(x);
• VI. ∀x ∈ R⁺ avremo: log_b(x)= log_a(x)/log_a(b);
• VII. log_a(1)=0 log_a(a)=1.

35. Sapreste tracciare i grafici qualitativi di esponenziali e logaritmi?

[Risposta teorica]

36. Sapreste tracciare i grafici qualitativi delle funzioni potenza?

[Risposta teorica]

Numeri complessi

37. Che cosa sono i numeri complessi? Specificare l'insieme di base e definire le operazioni.

Il cosiddetto campo dei numeri complessi C, è un'estensione di R. In esso ogni funzione polinomiale non costante possiede degli zeri. Consideriamo l'insieme R × R delle coppie ordinate di numeri reali e indichiamolo con il simbolo C.

Le operazioni di somma e prodotto vengono così definite in C: Siano v:=(a,b) e w:=(c,d) con a, b, c, d reali. Poniamo:

• v+w:=(a + c, b + d)
• vw=v*w:=(ac − bd, ad + bc)

38. Quali sono le loro principali proprietà algebriche?

L'insieme C dei numeri complessi con le operazioni di somma e prodotto precedentemente definite è un campo. L'elemento "zero", per cui vale la proprietà (AC4), è la coppia (0,0). L'elemento "uno", per cui vale la proprietà (AC5), è la coppia (1,0). In C valgono quindi tutti gli assiomi di campo.

39. In che senso i complessi sono un'estensione dei reali?

C è un ampliamento di R nel senso che dati a e b elementi di R è immediato verificare che, per ogni scelta di a e b in R, le operazioni di somma e prodotto coincidono esattamente con la somma e il prodotto in C. Ponendo, inoltre, i=(0,1) osserveremo che i²=(0,1)*(0,1)=(-1,0) oppure i² =-1.

40. Come si definisce il coniugato di un numero complesso?

Sia z∈C, z=a+ib. Poniamo: z^-:=a-ib. Diremo che z^- è il complesso coniugato di z.

41. Quali sono le principali proprietà del complesso coniugato?

Siano v e z elementi di C. Allora:

• z^- = z → z ∈ R
• I. z^- = z
• II. z^- z = z + z^-
• III. Re(z) = Im(z) = 0 ↔ z ∈ R
• IV. z • z^- = |z|²
• V. z + v = z^- + v^-, z • v = z^- • v^-
• VI. se v ≠ 0 → v^- ≠ 0

42. Cosa si intende per valore assoluto di un numero complesso?

Sia z∈C, poniamo: |z| = √(Re(z)² + Im(z)²) = √(a² + b²).

43. Quali ne sono le principali proprietà?

Siano z e v numeri complessi. Allora:

• I. max {|Re(z)|,|Im(z)|} ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|
• II. |zv| = |z|•|v|
• III. |z+v| ≤ |z| + |v|

44. Come si definisce la lunghezza di un arco di circonferenza?

Sia S:={z∈C: |z| = 1} e sia z∈S. Poniamo l(z):=sup{ | z_j − z_j-1 | : n ∈ N, z₀ = z_n, z_j = z_j-1, ∀j = 1, ..., n}.

45. Come si definiscono le funzioni sin e cos?

Sia x∈R, con 0 ≤ x < 2π. Sia poi z l'unico elemento in S tale che l(z) = x. Poniamo:

• cos(x) := Re(z)
• sin(x) := Im(z)

Estendiamo cos e sin a tutto R come funzioni periodiche di periodo 2π. Vale a dire: se x ∈ [0,2π[, poniamo:

• ∀k ∈ Z, cos(x+2kπ) :=cos(x),
• sin(x+2kπ) :=sin(x)

46. Quali sono le principali proprietà di sin e cos?

• I. ∀x ∈ R sin²(x)+cos²(x)=1;
• II. cos è una funzione pari; vale a dire cos(-x) = cos(x) ∀x ∈ R;
• III. sin è una funzione dispari; vale a dire sin(-x) = - sin(x) ∀x ∈ R;
• IV. cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) ∀x, y ∈ R;
• V. sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x) ∀x, y ∈ R;

47. Come si definisce e^ix con x∈R?

Sia x∈R. Poniamo e^ix := cos(x) + isin(x).

48. Dati n∈N e v∈C, quali sono le soluzioni dell'equazione zⁿ = v?

[Risposta teorica]