Analisi 1 (domande per orale)

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Ď(A),⊆ ∈ ∈ [−∞,+∞]. ∀I0 x→x 0intorno circolare di l esiste J intorno circolare di x tale che J∩A, con x x , si ha f(x) I∀x ∈ ≠ ∈0 017. Che cosa si intende per restrizione di una funzione?→Siano A, B, C insiemi, con A B e f : B C. Indicheremo con f la funzione di dominio A⊆ |Aa valori in C tale che f (a) =f(a) A. Diremo che f è la restrizione di f ad A.∀a ∈|A |A18. Che cosa si può dire sul limite di una restrizioneSiano A e B sottoinsiemi di R, con A B e sia f: B R. Allora:⊆ →x xϵ ϵ ! !Se Ḋ(A), si ha anche che Ḋ(B) A B R Ḋ(B) ≤Ḋ(A- ⊆ ⊆0 0 (x) (x)lim f lim f = lSotto la prima ipotesi, se esiste il , esiste anche il e i due limiti|A- x→x x→x0 0coincidono.19. Sotto quali condizioni dall'esistenza del limite della restrizione si può dedurre l'esistenzadel limite della funzione x ϵSiano A e B sottoinsiemi di R, con A B e sia

f: B R. Sia Ḋ(A) tale che esiste I⊆ → 0x x !i n t o r n o c i r c o l a r e d i p e r c u i s i h a ( I B ) \ { } A∩ ⊆0 0(x) (x)lim f = l con l ϵ[ − ∞, + ∞] lim f, esiste anche|Ax→x x→x0 0(x)lim f20. Che cosa si intende per ? (precisare bene sotto quali condizioni six→x ±0possono de nire)x xSiano A R, R. Diremo che x appartiene al derivato destro di A ( D (A)) se x appartiene a⊆ ∈ ∈0 00 + 0x xD(A∩] , +∞[). Diremo che x appartiene al derivato sinistro di A ( D (A)) se x appartiene a∈0 00 - 0x x →D(A∩]+∞, Siano A R, D (A), f: A R. Diremo che f ammette limite per x che tende[). ⊆ ∈0 0 + (x) (x)lim f = l lim fa x da destra se esiste Indicheremo tale limite con la scrittura|A∩ ]x , +∞[0 0x→x x→x +0 0x x→Siano A R, D (A), f: A R. Diremo che f ammette limite per x che tende a da sinistra⊆ ∈0 0-fi fi . ? ? ) (x) (x)lim f = l lim fse

esiste . Indicheremo tale limite con la scrittura .]−∞, x [ ∩A0x→x x→x −0 021. Quando esistono entrambi i limiti per x→x cosa si può dire sull'esistenza del limite?±0→Siano A R, x D (A)∩D (A), f: A R. Le seguenti condizioni sono equivalenti:⊆ ∈0 + -(x)lim fI. esiste ;x→x 0 (x) (x)lim f lim fII. esistono e e coincidono.x→x x→x0+ 0−22. Che cosa si intende con la scrittura f = o(g) (x→x )? (precisare bene sotto quali condizioni0si può de nire)Che f è trascurabile rispetto a g per x→ x .0→Siano A R, x f, g : A R. Diremo che f è un o piccolo di g per x tendente a xĎ(A),⊆ ∈0 0(x)flim =0e scriveremo f=o(g)(x→x ) se g(x) e l .≠ 0 ∀x ∈Α0 g(x)x→x 023. Quali sono le principali proprietà di questa relazione?Siano A R, x f, f , f , g, h, k funzioni di dominio A a valori in R. Siano g(x)≠0,Ď(A),⊆ ∈0 1

2k(x) ≠ 0 Allora: ∀x ∈ Α.Ι. f = o(g) (x→x0) e f = o(g) (x→x ), anche f + f =o(g) (x→x )1 2 0 1 2 0lim g(x) = lII. Se f = o(g) (x→x ) ed esiste (l∈ esiste anche[−∞, +∞]),0 x→x 0(x)lim f + g(x) = l x→x 0 g(x)lim = mIII. Siano f = o(g) (x→x ) e h = o(k) (x→x ); supponiamo che (∈ [−∞,0 0 k(x)x→x 0poniamo B:={ x A\ k(x) + h(x) Allora x inoltre lĎ(B);+∞]); ∈ {x }: ≠ 0}. ∈0 0funzione x→(g(x)+f(x))/(k(x)+h(x)), di dominio B, ammette limite uguale a m per x→x .024. Come si de nisce la continuità di una funzione in x ? Precisare dove deve stare x ?0 0→Siano A ℝ, x ∈ A, f : A ℝ. Diremo che f è continua in x se esiste > 0 tale che ⊆ ∈ ∀ε > 0 δ(ε)0 0I(x , si ha |f(x) – f(x )| < ∀x ∈ δ(ε))∩Α ε.0 0Diremo che f è continua in A in corrispondenza di ogni x ∈ A.∈025.

Che legame c'è tra continuità e limite? Siano A ⊆ R, x ∈ A, f : A → R. Allora: I. se x ∈ A \ D(A), f è continua in x ; II. se x ∈ A ∩ D(A), f è continua in x se e solo se limₓ→x f(x) = f(x). 6. Quali relazioni ci sono tra continuità e le operazioni algebriche standard? Siano A ⊆ R, x ∈ A, f : A → R, g : A → R. Sia x ∈ A e siano f e g continue in x. Allora: I. f + g è continua in x ; II. fg è continua in x ; III. se g(x) ≠ 0, f/g è continua in x. 7. Come si definisce la funzione "tangente"? Sia A:={x ∈ R : cos(x) ≠ 0}. Poiché tra 0 e 2π il coseno si annulla in π/2 e in 3π/2, A = (0, π/2) ∪ (π/2, 2π). Se x ∈ A, poniamo tan(x):=sin(x)/cos(x). 8. Quali sono i principali risultati sul limite di una funzione composta? Siano A e B sottoinsiemi di R,

f: A → R, g: B → R. con f(A) ⊆ B, D(A). Supponiamo che lim_x→→ f(x) = y, y ∈ D(B) e lim_y→→ g(y) = l. Allora vale che lim_x→→ (g o f)(x) = l.

Siano A e B sottoinsiemi di R, f: A → R, g: B → R. con f(A) ⊆ B, D(A). Supponiamo che lim_x→→ f(x) = y, y ∈ D(B) e lim_y→→ g(y) = l. Allora vale che lim_x→→ (g o f)(x) = l.

29. Che cosa si può dire sulla composizione di funzioni continue? Siano A e B sottoinsiemi di R, f: A → R, g: B → R. con f(A) ⊆ B, A. Supponiamo che f sia continua in x e g sia continua in f(x). Allora gof è continua in x.

30. Che cosa si intende per frontiera di un sottoinsieme di R? Siano A ⊆ R, b ∈ R. Diremo che b appartiene alla frontiera di A, e scriveremo b ∈ Fr(A), se ogni intorno circolare di b contiene sia elementi appartenenti ad A, sia elementi non appartenenti ad A.

31. Che cosa si intende per insieme chiuso? Sia A ⊆ R. Diremo che A è un insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera, ovvero se Fr(A) ⊆ A.

che A è chiuso se Fr(A) ⊆ ⊆ Α32. Cosa dice il teorema di Weierstrass →Siano A ⊆ R non vuoto, chiuso e limitato, f : A ⊆ R continua.⊆ massimoAllora f è limitata e possiede minimo e33. Che cos'è un intervalloSia A ⊆ R. Diremo che A è un intervallo se, comunque si prendano a e b elementi di A, con a ≤ b,⊆ ≤si ha [a, b] ⊆ A.⊆34. Che cosa dice il teorema di Bolzano?→Siano A un intervallo in R, f : A ⊆ R continua. Allora f(A) è un intervallo.Perciò data una funzione continua su un intervallo, se essa assume due valori a e b, ssatoarbitrariamente c [a, b], potremo dire che l'equazione f(x)= c possiede almeno una soluzione in A.∈35. Conoscete un teorema di continuità della funzione inversa?→Siano A un intervallo in R, f : A ⊆ R continua e strettamente monotona.Allora: I. f(A) è un intervallo;-1II. f è iniettiva e f (la funzione inversa) è strettamente monotona dello stesso

tipo di-1f; III. f è continua.fi ?

.

.

fi36. L'inversa di una funzione continua è sempre continua? Conoscete un controesempio?

L'inversa di una funzione iniettiva e continua non è necessariamente continua. Vediamo il seguente esempio: siano A := [0, 1] ∪ [2, 3], f : A → R così definita:

f(x) = { x se 0 ≤ x ≤ 1

x - 1 se 2 < x ≤ 3

Si verifica facilmente che f è continua. Si ha anche che f(A)=[0, 2], f è iniettiva e:

f^-1(y) = { y se 0 ≤ y ≤ 1

y + 1 se 1 < y ≤ 2

Ma f^-1 non è continua, in quanto lim_y→1+ f^-1(y) = 2 ≠ f^-1(1).

37. Come si definisce la funzione "arcoseno"?

Consideriamo la restrizione della funzione seno all'intervallo [-π/2, π/2]. Questa funzione è continua e crescente. La sua immagine è [-1, 1]. Inoltre, sin(-π/2) = -1 e sin(π/2) = 1. Quindi per il teorema di Bolzano,

[-1, 1] ⊆ sin([−π/2, Poniamo per de nizione arcsin := (sin ) .π/2]). |[ ]−π/2, π/2

Digitare l′equazione qui .

La funzione arcoseno è crescente è continua. Dato y∈ [-1, 1], èconveniente pensare a arcsin(y) come all'unica soluzione x appartenente a [−π/2, π/2]dell'equazione sin(x) = y. Si ha allora sin(arcsin(y))=y [-1, 1]. La condizione∀y ∈arcsin(sin(x))=x vale invece solo se x [−π/2,∈ π/2].

38. Come si de nisce la funzione "arcocoseno"?

Consideriamo la restrizione della funzione coseno all'intervallo [0, Questa funzione è continuaπ].e decrescente. La sua immagine è[−1, Inoltre, cos(0)=1 e cos(π)=-1. Quindi per il teorema di1]. -1Bolzano, [-1, 1]⊆cos([0, Poniamo per de nizione arccos := (cos ) . La funzioneπ]). |[0 ], πarcocoseno è decrescente è continua. Dato y∈ [-1, 1], è conveniente pensare a arccos(y)

come all'unica soluzione x appartenente a [0, π] dell'equazione cos(x) = y. Si ha allora cos(arccos(y))=y per y compreso tra -1 e 1. La condizione arccos(cos(x))=x vale invece solo se x è compreso tra 0 e π. Come si definisce la funzione "arcotangente"? Consideriamo la restrizione della funzione tangente all'intervallo ]-π/2, π/2[. Questa restrizione è crescente. Valgono inoltre lim +tan(x)= -∞, lim -tan(x)=+∞. Dunque, per il teorema di Bolzano, l'immagine è un intervallo che non è né inferiormente, né superiormente limitato. Ci si convince allora che tan(]-π/2, π/2[) = R. Poniamo allora arctan := (tan(]-π/2, π/2[)) . L'arcotangente è crescente e continua. Dato y ∈ R, arctan(y) è l'unica soluzione