Domande e risposte di Analisi 2

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA B

ANNAMARIA MONTANARI

Indice

1. Funzioni di più variabili reali 1

2. Calcolo di↵erenziale per funzioni di più variabili 2

3. Integrali curvilinei e campi vettoriali 3

4. Varietà e punti estremanti vincolati 4

5. Misura di Peano Jordan e integrale multiplo di Riemann 4

6. Equazioni di↵erenziali ordinarie 5

1. Funzioni di più variabili reali

(1) Come si definiscono le operazioni di somma e prodotto per uno scalare in

R n ?

(2) Quali sono le loro principali proprietà? R n

(3) Come si definiscono il prodotto interno e la norma Euclidea in ?

(4) Quali sono le loro principali proprietà?

(5) In cosa consiste la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz? Sapreste dimostrarla?

R n

(6) Come si definisce la distanza (o metrica) Euclidea in ?

(7) Quali sono le principali proprietà?

(8) Come si definiscono i dischi aperti? R n

(9) Che cosa si intende per interno di un sottoinsieme di e per sottoinsieme

R n

aperto di ? R n

(10) Che cosa si intende per sottoinsieme chiuso di ?

Date: 4 giugno 2018. 1

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA B 2

R n

⇢

(11) Che cosa si intende per frontiera di A ? R n

(12) Che cosa si intende per punto di accumulazione di un sottoinsieme di ?

R R

n m

⇢ !

(13) Cosa significa la scrittura lim f (x) = nel caso di f : A ?

x!x 0

(Precisare bene dove devono stare x e ).

0

(14) Enunciare il teorema di unicità del limite. Sapreste dimostrarlo?

(15) Come si definisce una funzione continua? R n

(16) Che cosa significa che un sottoinsieme di è limitato?

R n

(17) Che cosa significa che un sottoinsieme di è compatto?

R n

(18) Che cosa significa che un sottoinsieme di è connesso per archi?

(19) Che cosa dice il Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili?

(20) Che cosa dice il Teorema di Bolzano per funzioni di più variabili? Sapreste

dimostrarlo?

(21) Che cosa comportano i teoremi di Bolzano e Weierstrass nel caso di funzioni

a valori reali?

2. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

(22) Come si definisce la derivata direzionale di f rispetto al vettore non nullo v

nel punto x ? (Precisare bene tutte le condizioni su f , il suo dominio A e il

0

punto x )

0

(23) Come si definiscono le derivate parziali di f in x ?

0

(24) L’esistenza delle derivate parziali del primo ordine e delle derivate direzionali

implica la continuità della funzione?

(25) Che cosa si intende per funzione di↵erenziabile in un punto? Che cos’è il

di↵erenziale?

(26) Una funzione di↵erenziabile in x è continua in x ? Sapreste dimostrarlo?

0 0

(27) Che relazione c’è tra di↵erenziale, gradiente e derivata direzionale?

1

(28) Dare la definizione della classe C (A)

(29) Come si definisce la matrice Jacobiana per funzioni vettoriali?

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA B 3

(30) Come si generalizza la definizione di di↵erenziale al caso di funzioni a valori

R m

in ? R m k

(31) Che cosa vuol dire che una funzione a valori in è di classe C ?

(32) Conoscete un teorema di derivazione di funzioni composte?

(33) Conoscete il teorema del valor medio per funzioni più variabili? Sapreste

dimostrarlo?

(34) Come si definiscono le derivate parziali di ordine superiore al primo?

2

(35) Che cosa vuol dire che una funzione è di classe C ? Come si definisce la

matrice Hessiana di f ?

(36) Che cosa dice il teorema di Schwarz?

(37) In cosa consiste la formula di Taylor con resto secondo Lagrange per funzioni

2

di più variabili e di classe C ? Sapreste dimostrarla?

(38) In cosa consiste la formula di Taylor con resto secondo Peano per funzioni

2

di più variabili e di classe C ? Sapreste dimostrarla?

(39) Che cosa si intende per punto di massimo (minimo) relativo per una funzione

di più variabili?

(40) Che cos’è un punto critico e qual’è il legame tra punti critici ed estremanti

relativi? (Precisare bene tutte le ipotesi sulla funzione) Sapreste dimostrare

il Teorema di Fermat?

3. Integrali curvilinei e campi vettoriali

(41) Come si definisce una curva continua? 1

(42) Come si definisce una curva continua C a tratti?

(43) Come si definisce la lunghezza di una curva?

(44) Come si definisce l’integrale curvilineo di una funzione scalare?

(45) Come si definisce il baricentro geometrico di un insieme?

(46) Come si definisce l’integrale curvilineo di un campo vettoriale?

(47) Che cosa si intende per potenziale di un campo vettoriale e quando si dice

che un campo vettoriale è esatto?

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA B 4

(48) Che relazione c’è tra due potenziali dello stesso campo vettoriale?

(49) Che cosa vuol dire che un campo vettoriale è conservativo?

(50) Che relazione c’è tra la nozione di campo vettoriale esatto e quella di campo

vettoriale conservativo? Sapreste dimostrarla?

(51) Che cosa vuol dire che un campo vettoriale è chiuso e che relazione c’è tra

la nozione di campo vettoriale esatto e quella di campo vettoriale chiuso?

(52) Sotto quali condizioni si può dire che un campo vettoriale chiuso è esatto?

(53) Scrivere un esempio di un campo chiuso che non è esatto.

R n

(54) Che cosa vuol dire che un un sottoinsieme di stellato rispetto a qualche

suo punto?

(55) Che cosa dice il Teorema di Poincaré? Sapreste dimostrarlo?

4. Varietà e punti estremanti vincolati

R n k

(56) Come si definisce una p varietà di di classe C ? Sapreste fare un esempio?

1

(57) Il grafico di una funzione C è una varietà? Motivare la risposta.

R n

(58) Come si definisce lo spazio tangente ad una p varietà di in un punto?

Si può caratterizzare in termini del di↵erenziale dell’equazione locale della

varietà nel punto? R n

(59) Come si definisce lo spazio ortogonale ad una p varietà di in un punto? Si

può caratterizzare in termini del gradiente dell’equazione locale della varietà

nel punto?

(60) Come si definisce un punto di massimo (minimo) vincolato ad una varietà?

(61) Come si definisce un punto critico vincolato ad una varietà?

(62) Cosa dice il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange? Sapreste dimostrarlo?

5. Misura di Peano Jordan e integrale multiplo di Riemann

R n

(63) Che cosa si intende per misura interna di un insieme limitato di ?

R n

(64) Che cosa si intende per misura esterna di un insieme limitato di ?

(65) A che cosa è uguale la misura esterna di un intervallo n dimensionale?

(66) Come si definiscono gli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan?

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA B 5

(67) Quali sono le principali proprietà della classe degli insiemi misurabili e della

misura rispetto a unioni, intersezioni, di↵erenze?

(68) Conoscete una condizione sufficiente che assicuri che un insieme sia misura-

bile?

(69) Cosa significa che una funzione è continua quasi dappertutto?

(70) Come si definisce l’integrale di una funzione continua quasi dappertutto e

limitata?

(71) Quali sono le principali proprietà e regole di calcolo per gli integrali delle

funzioni continue quasi dappertutto e limitate?

(72) Conoscete un risultato che riconduce il calcolo della misura di un insieme al

calcolo di integrali in dimensione più bassa?

(73) Che cosa dice il teorema di riduzione?

(74) Che cos’è un cambiamento di variabile?

(75) Che cosa dice il teorema del cambiamento di variabile per integrali multipli?

(76) Come si definisce l’integrale generalizzato secondo Riemann?

(77) Cosa dice il teorema del confronto per funzioni continue quasi dappertutto e

non negative? R 2

(78) Sia D(0, 1) il disco unitario di centro l’origine e raggio 1 in . Per quali

R

R 1

2

p risulta dx < +1? Sapreste dimostrarlo?

p

2 kxk

D(0,1)⇢R R

R 1

2 dx < +1? Sapreste dimostrarlo?

(79) Per quali p risulta R p

2 kxk

\D(0,1)

R 2

x

(80) Sapreste calcolare e dx?

R

6. Equazioni differenziali ordinarie

(81) Che cosa si intende per soluzione di un equazione di↵erenziale ordinaria del

primo ordine?

(82) Che cosa si intende per soluzione di un problema di Cauchy per un’equazione

di↵erenziale ordinaria del primo ordine?

(83) Come si scrive l’integrale generale di un’equazione di↵erenziale del primo

ordine lineare omogenea a coefficienti continui?

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA B 6

(84) Come si scrive l’integrale generale di un’equazione di↵erenziale del primo

ordine lineare non omogenea a coefficienti continui?

(85) Che cos’è il wronskiano per un’equazione di↵erenziale ordinaria lineare omo-

genea del secondo ordine?

(86) Quali sono le proprietà del wronskiano?

(87) Come si scrive l’integrale generale di un’equazione di↵erenziale omogenea del

secondo ordine?

(88) Conoscete un metodo per scrivere l’integrale generale di un’equazione di↵e-

renziale non omogenea del secondo ordine?

(89) In cosa consiste il metodo della separazione delle variabili per equazioni

di↵erenziali del primo ordine?

(90) Conoscete un esempio di problema di Cauchy che ammette più di una solu-

zione? Motivare la risposta

(91) Che cos’è l’equazione integrale di Volterra?

(92) Che relazione c’è tra la soluzione dell’equazione integrale di Volterra e la

soluzione del problema di Cauchy? Sapreste dimostrarlo?

(93) Conoscete un risultato di esistenza ed unicità locale per le soluzione del

problema di Cauchy?

(94) In che modo si può ricondurre un’equazione di↵erenziale ordinaria di ordine

n ad un sistema di n equazioni di↵erenziali ordinarie del primo ordine?

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA A WORK IN PROGRESS 7

(109) Che cosa dice il teorema fondamentale del calcolo integrale? Sapreste

dimostrarlo?

(110) Che cosa si intende per primitiva di una funzione?

(111) Nota una primitiva di una funzione continua, come si può calcolare l’inte-

grale?

(112) Come segue il risultato precedente dal teorema fondamentale?

(113) In cosa consiste il teorema del cambiamento di variabile nell’integrale?

(114) In cosa consiste la formula di integrazione per parti?

(115) Che cosa s’intende per integrale generalizzato di una funzione su un intervallo

illimitato?

(116) Sapreste fare un esempio di un insieme illimitato con area finita?

8. Serie numeriche

(117) Che cosa significa che una serie è convergente?

(118) Che cosa significa che una serie è divergente?

(119) Qual’è la condizione necessaria per la convergenza di una serie? Sapreste

dimostrarla?

(120) Sapete discutere la convergenza di una serie geometrica?

(121) Qual’ è la principale proprietà delle serie a termini non negativi? Sapreste

dimostrarla?

(122) In cosa consiste il criterio del confronto?

(123) Sapete discutere la convergenza della serie armonica generalizzata?

(124) In cosa consiste il criterio della radice?

(125) In cosa consiste il criterio del rapporto?

(126) In cosa consiste il criterio degli infinitesimi?

(127) Che cosa vuol dire che una serie è assolutamente convergente?

(128) Che relazione c’è tra convergenza e assoluta convergenza di una serie nume-

rica?

(129) In cosa consiste il criterio di Leibniz? Sapreste dimostrarlo?

ALLE

RISPOSTE DOMANDE

SERIE NUMERICHE

④ Sn

lim

Una ☒

convergente

è se e

s

serie =

n oo

→

È

Sn an

Con = ,

⑦ limsn

Una divergente

è ta

serie se =

n a

>

-

È (

① Se )

him la

convergente

è

an deve

an 0

= successione

1

n = h -7 A infinitesima

essere

DIMOSTRAZIONE È

Sn

lim Sn an

s

= = ,

n > a

-

Sn Sn Sm Sme ÷

+ S

an an

an s

=

- =

= -1 -

him an o

→ o

an =

h →

n

→ oo

so {

¥ 1×1<1

se

⑦ .

È "

lim × 1

≥

×

+ so se

= ,

-1

h -

K ao

→ irregolare 1

✗ ≤

se

,

⑦ diverge

Termini negativi

una serie non converge

a o

DIMOSTRAZIONE

La delle parziali

successione somme

Sn Sn

Sn crescente

è monotona

≥

+ an -1

= e

- limite finito

il

esiste infinito

suo o

,

1220 tre N

ben

≤

o ≤ an so

È bn

E. +

+ so

=

an a

se =

È È

bn < < a

+

se + an

a ,

È

1230 %

Ling 1

>

+ p

< so se

1240 CRITERIO DELLA RADICE

limitati

] { }

sia =L Bu

an +

c-

≥ a

se

;

o so

n →

l è

1 convergente

<

• se ,

l divergente

è

1

>

se

• ,

l criterio inefficace

1

• se = ,

1250 CRITERIO DEL RAPPORTO

7 Rutto }

sia È e

:÷

> se

;

an c-

o =

:

l è convergente

1

se <

• ,

l divergente

è

> 1

se

• , inefficace

l criterio

1

se

• = ,

④ CRITERIO INFINITESIMI

DEGLI {

him }

Man

]

Sia =L RIU

≥ ◦ a

+

an ; c-

se h -70

l

Se è convergente

p > <

1

• +0

n ,

l '

se divergente

≤ 1 -1-0

• n

p e

,

È Ian

1270 (

Se )

assoluta

tank <

to +0

comm . hai

F- 1 convergenza

1280 Se assolutamente allora

serie

una converge converge ,

,

è il riemersa

vero

ma non

Il In

"

1)

F- s → -

^

h =

⑦ CRITERIO LIEBNIZ

DI È "

Sia C- 1)

≥ consideriamo

Un 0 an

; E "

C-1)

monotona <

decrescente →

è o +

se a

an an an

e 1

h =

DIMOSTRAZIONE

" S

"

SK Sa

È ( 1) an az

an ai

= +

= -

=

-

- , . _ .

,

52h dispari

indice

parziali

succ Somme a

+1 . ↑

San Sann

San

Santa ≥

azn è

armi

+

= -

-1 ,

TE .

↓

è ↓

Sam

Son San SI

a÷÷È è

- r

a

= -

- .

San

Santa San

ª÷÷ ≤

-

= San

si 52

Santi Sa

S ≤ ≤

≤ ≤ ≤

≤ ≤

. .

. . . .

.

> . ,

↑ lim

Santa Sz

da

è surf .

.

lim

↓ Sei

San da

inf .