Domande di Teoria Analisi 2

Teoria: Analisi II

1. Definire il prodotto righe per colonne di due matrici

   Siano A e B due matrici di tipo (n,m) e (m,p) rispettivamente. Il prodotto righe per colonne di A e B è la matrice di tipo (n,p) il cui elemento di posto (i,k) è il prodotto riga i per la colonna k di B: (a₁₁, a₁₂, ..., a_1m), (b_1j, b_2j, ..., b_mj) elemento di posto (i,j) della matrice prodotto e quindi (AB)_ik = Σ a_ijb_jk.

2. Enunciare la caratterizzazione delle matrici invertibili

   Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. Si dice che B è un matrice inversa di A se A è detta invertibile. Esiste uno e un solo motrice inversa di A.

3. Dimostrare che una matrice A quadrata di ordine n è invertibile se e solo se det(A) ≠ 0.

   Ip: A è invertibile ⟹ A⁻¹ ∃ t.c. A⁻¹A = I.

   Det^A(A) ≠ 0 ⟶ det(AA⁻¹) = det(I) ⟶ Applique Binet quindi: det(A) = det(A⁻¹) = ...

4. Siano A e B matrici simmetriche di ordine n sullo stesso campo F, AB è simmetrica.

   Verifica che se le matrici A e B sono permutabili (proprietà commutativa),

   A e B sono simmetriche come AB, quindi: (AB)^T = AB ⟶ A^TB^T = AB.

5. Siano A e B matrici triangolari inferiori, quadrate di ordine n sullo stesso campo K. Verificare che AB è una matrice triangolare inferiore.

   AB è una matrice inferiore quindi d_ij = 0 ogni volta che i < j quindi:

   c_ij = Σ a_ikb_kj = 0 (sperimentale) = c_ij = ... 0.

6. Eseguo AT(lavoro deduttivo tutti i blocchi) che ho un solo sembrano solo nulli termini b_ij su... ... quindi C_ij = ... e e triangolare inferiore.

7. Siano A e B matrici su K di tipo n x y, m x n, rispettivamente con n ≠ m. Stabilire det(AB) = ...

   Sia A una matrice con 2 righe uguali ⟶ det(A) = 0.

   Suppongo che R_i = R_j ⟶ R_i - R_j BA. Det(B) = det(A) = ... 2 det(A): 0 ⟶ det(AB):. ...

1)

DARE LA DEFINIZIONE DI SOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE

Supponiamo che X₀ sia una soluzione particolare del sistema lineare Ax=b. Allora X₀ è soluzione del sistema omogeneo Ax=0.

Scritte l'equazione del sistema omogeneo associato

2)

ENUNCIARE IL TEOREMA DI CRAMER

Se A è una matrice a quadrato di n equazioni in n incognite, e (A)=n, il sistema ha una soluzione unica e compatibile.

3)

DIMOSTRARE CHE UNA MATRICE A QUADRATA DI ORDINE n È INVERTIBILE SE E SOLO SE (A)=n

IP: (A)=n

TESI: A È INVERTIBILE

Se A·B=I – colonne di I sono l.c. delle colonne di A – dunque (A)=n.

Anche le righe di I sono l.c. di A. Dunque esistono B t.c. (AB) A=I dimostro che B: B^-1 ha B e B(AB)=B B=I

Dunque B^-1(B A)=I = 1-B^-1.

4)

Siano A, B matrici di tipo m×n

TERNAMENTE SOTTO QUALI CONDIZIONI SU A IL SISTEMA LINEARE AX=B HA UN'UNICA SOLUZIONE?

IP: A=0; x- (y)^-1 y=4

Tesi: x¹ è sòlo a x_n=3

Ann= A(low,4)=A+04Ny-B+AB-B=3

Ho una soluzione se e sòlo se Δ=0 e se ee =re =

seželione

5)

SIA A UNA MATRICE DI RANGO n-12 ED ORDINE n SU UN CAMPO F. CALCOLARE adj(A)

6)

Siano A, B, C matrici di tipo np, m pr,p,r=m sullo stesso campo k, considero Ay=c con n,a,b,c. Spiego perché se il secondo sistema ha soluzioni, la prima ne ha.

• U={Hcat(n,p,k)|A b}c=C
• V=F{hcat(n,p,k)|A-c=f}

Dimostro esportero hcat specivendo bh=uchty Ato per v

U=A v, adjx C u oscciono Ab+A y = hcat(n,p,k), l = eb = (related to n)=

λB=ab (B)-T

23) Dare la definizione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale V.

Proprietà elementari: a, b, c, d sono vettori di V associato con scalari α e β hanno prodotto a⛁c = b⛁c <=> αa⛁b + c⛁d = (a⛁c)(b⛁d) ⛁ è simbolo di .

24) Enunciare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

Sia V uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare è una sezione. .

25) Dimostrare che il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica ha solo radici reali

λ e ℂ: p(λ) non è 0 non nullo perchè esiste la lambda oscilazione.

4) Dare la definizione di funzione differenziabile in un punto

5) Enunciare il teorema di Shwartz per le funzioni in più variabili

8) Dimostrare il teorema di derivazione delle funzioni composte (formula gradiente)

• Considero x₂, xₙ, 8 muti e n° variabile
• g: A⊆Rⁿ→Rᵐ x → g(x) = (g₁(x), g₂(x), ..., gₘ(x))
• g: B⊆Rᵐ→ℝⁿ z → (z₁, ..., zₘ) + g₁(z), ..., gₑ(z)

8) Dare la definizione di matrice jacobiana di 8

Matrice i cui elementi sono le derivate parziali delle due funzioni; La matrice jacobiana viene scritta come:

• 8 Differenziabile
• F'(c)(a) = 8(f)(x) = 5(g₈(c)-3(g₈(c))

6) Enunciare la condizione sufficiente al secondo ordine per l'ottimizzazione locale

Se g è due volte differenziabile con continuità in un intorno aperto di X*, Se ∇²g(x)=e ∇²g(t) è definito positiva, allora x è un punto di minimo locale in senso stretto di g