Domande e approfondimenti di Fisica Tecnica

DESCRIZIONE

Le equazioni differenziali possono descrivere, ad esempio, una situazione generale in cui una certa quantità

varia rispetto al tempo in una maniera che dipenda dal valore della quantità stessa in quel momento: ciò

corrisponde al fatto che nell’equazione compare sia la funzione incognita che la sua derivata rispetto dal

/.

tempo Nel caso più semplice compare solo la derivata:

= ()

e l’equazione può essere risolta tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale; le sue soluzioni

hanno cioè la forma:

() = + ()

0

,

dove è costante e è la primitiva di definita come:

0

() = ∫ ()

Si tratta tuttavia di relazioni di cui è raramente possibile avere una forma analitica della soluzione, o una sua

espressione in termini di funzioni elementari, ma vengono piuttosto studiate l’esistenza e l’unicità delle

soluzioni e il loro comportamento in contesti di particolare interesse (condizioni al contorno), solitamente in

relazione alla situazione di un sistema fisico descritto dall’equazione differenziale. L’insieme di tutte le

soluzioni di un’equazione differenziale è detto integrale generale dell’equazione differenziale data.

DEFINIZIONE : → ℝ

Data una funzione definita in un intervallo dell’insieme dei numeri reali, l’equazione differenziale

ad essa associata è un’equazione differenziale ordinaria (ODE, dall’acronimo Ordinary Differential Equation)

e si chiama “ordine” o “grado” dell’equazione il più alto ordine tra gli ordini delle derivate presenti

nell’equazione. La scrittura generale di un’equazione differenziale ordinaria di ordine per una funzione

() può avere la forma:

′

(), ())

(, (), … , = 0

′

, , … , .

dove sono le derivate di fino all’ordine Se è lineare, l’equazione è lineare. Per esempio,

l’equazione differenziale di primo grado:

=

() =

viene soddisfatta dalla funzione esponenziale , che è uguale alla propria derivata.

Nel caso in cui la funzione incognita dipenda da più variabili, le derivate sono derivate parziali e si ha

un’equazione differenziale alle derivate parziali (PDE, da Partial Differential Equation). Una PDE di ordine

):

( , … , ⊂ ℝ → ℝ

per la funzione ha la forma:

1 101

Nicola Genuin, mat. N° 186691

2 2

, … , , , ,…, , ,…, ,…, ,…, )=0

(

1

1 1 1 1 1 1 1

dove è un numero intero e la funzione è data. Esempi particolarmente importanti di equazioni (lineari)

alle derivate parziali sono l’equazione delle onde, del calore, di Poisson, del trasporto, di continuità, di

Helmotz.

Per esempio l’equazione:

(, ) =0

(, ) ,

afferma che la funzione è dipendente da e non avendo nessuna informazione sulla dipendenza da

ha soluzione generale:

(, ) = ()

.

dove è una funzione arbitraria di L’equazione ordinaria:

() =0

() =

ha invece soluzione con costante.

PROBLEMA DI CAUCHY

Le equazioni differenziali vengono analizzate conferendo un preciso valore ad alcune delle variabili in gioco,

− 1

in particolare la funzione incognita e le sue derivate (fino all’ordine per un’equazione di forma normale

)

di ordine in certi punti del dominio di definizione dell’equazione. Il problema differenziale che ne risulta è

detto “problema di Cauchy” e consiste solitamente nel porre delle condizioni iniziali o delle condizioni al

contorno per gli estremi del dominio in cui è definita l’equazione.

Nel caso l’equazione sia definita su una superficie, fornire condizioni al contorno consiste nel dare il valore

della funzione sulla frontiera o sulla sua derivata rispetto alla direzione normale alla frontiera. Tale

assegnazione viene detta condizioni al contorno di Cauchy, e corrisponde ad imporre sia le condizioni al

contorno di Dirichlet (i valori che la soluzione assumo sul bordo della superficie) che le condizioni al contorno

di Neumann (i valori della derivata della soluzione).

Per le equazioni ordinarie il teorema di esistenza ed unicità per un problema di Cauchy stabilisce che per un

problema (in sistema):

′ ′′ )

(, , , , … , = 0

() =

0

′ ()

=

1

…

−1 ()

=

−1 ()

esiste una sola funzione che soddisfa tutte le relazioni se è sufficientemente regolare, ad esempio se

( , … , ).

è differenziabile in un intorno di 0 −1

Il teorema di Cauchy-Kovalevskaya, che si applica sia per le equazioni alle derivate parziali che per quelle

ordinarie, stabilisce che se l’incognita e le condizioni iniziali di un’equazione differenziale sono localmente

funzioni analitiche allora una soluzione analitica esiste ed è unica.

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Data una generica equazione ordinaria:

′

(), ())

(, (), … , = 0

essa è lineare se:

=0 ∀,

Un’equazione ordinaria lineare si può scrivere come:

−1 ′

() () () ()

+ + ⋯ + + = ()

0 1 −1

Se sono fattori costanti l’equazione si risolve trovando una soluzione all’equazione omogenea associata,

() = 0:

ovvero per

−1 ′

() () () ()

+ + ⋯ + + = 0

0 1 −1

alla quale di somma una soluzione particolare dell’equazione completa, ottenibile ad esempio con il metodo

delle variazioni delle costanti. Per ogni equazione ordinaria lineare omogenea (anche a coefficienti non

() ()

costanti) vale inoltre il principio di sovrapposizione: se e sono soluzioni, allora lo è anche ogni

1 2

()

+ (),

loro combinazione lineare con e costanti .

1 1 2 2 1 2

Un’equazione differenziale alle derivate parziali può essere invece lineare, semilineare, quasilineare o

totalmente non lineare. L’equazione si dice lineare se ha la forma:

()

∑ = ℎ()

||≤

() ℎ, ℎ = 0

Per opportune funzioni ed dove è la derivata di ordine rispetto ad una o più variabili. Se

l’equazione si dice omogenea.

Si dice semilineare se ha la forma:

−1

()

∑ + ( , … , , , ) = 0

0

||≤

quasilineare se ha la forma:

−1 −1

∑ , … , , , ) + ( , … , , , ) = 0

(

0

||≤

e totalmente lineare se dipende non-linearmente dal più alto grado di derivazione.

Le equazioni che non sono lineari sono spesso molto difficili da affrontare, ed in molti casi si cercano metodi

per linearizzarle.

SOLUZIONI

Solitamente non è possibile trovare soluzioni esatte per le equazioni differenziali. Invece che trovare

un’espressione analitica di una funzione che soddisfi l’equazione si è spesso limitati a studiarne l’esistenza e

l’andamento qualitativo, oppure se ne determinano soluzioni approssimate servendosi di metodi di calcolo

numerico informatizzato. Vi sono comunque diversi casi in cui è possibile ricavare l’espressione analitica di

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Nicola Genuin, mat. N° 186691

funzioni che sono soluzione di un’equazione differenziale; per affrontare le equazioni ordinarie si può

ricorrere ad esempio all’utilizzo di un fattore di integrazione, del metodo delle differenze finite, del metodo

delle variazioni delle costanti, ecc. Per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, non vi è una teoria

generale per analizzarle, ma vi sono casi in cui è possibile trovare una soluzione unica che dipende in modo

continuo dai dati forniti dal problema; tra i metodi più utilizzati vi è il metodo delle caratteristiche, l’utilizzo

della funzione di Green, diverse trasformate integrali o il metodo della separazione delle variabili.

Per quanto riguarda il metodo della separazione delle variabili, si supponga che un’equazione differenziale

ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

= ()ℎ()

= (),

con cioè in origine:

() = ()ℎ(())

ℎ() ≠ 0,

Se si possono riordinare i termini e integrare:

∫ = ∫ ()

ℎ()

in modo che le variabili e siano separate ognuna in uno dei due membri. Una delle equazioni i più

′

= ,

significative a cui si applica il metodo è la cosiddetta crescita esponenziale.

ESEMPIO La crescita di una popolazione è spesso modellata da una equazione differenziale del tipo:

= (1 − )

,

dove è la popolazione in funzione del tempo è il suo tasso di crescita e è la capacità portante dell’ambiente.

Riordinando i termini per e si ottiene:

=

(1 − )

=

( − )

1 1

( + ) =

−

che va integrata:

1 1

∫( + ) = ∫

−

ottenendo:

ln || − ln| − | = +

da cui:

ln| − | − ln|| = − −

Dunque, per le proprietà dei logaritmi:

−

ln | | = − −

Si ha: 104 Nicola Genuin, mat. N&