Domande e approfondimenti di Fisica Tecnica

Nicola Genuin, mat. N° 186691

Nel presente documento si riportano le conoscenze fondamentali richieste dal corso di fisica tecnica svolto

dal prof. Prada A., riportando una revisione del testo “Tutte le domande per l’esame di FISICA TECNICA” del

prof. Baggio P., arricchita da alcuni approfondimenti.

Sommario

D1 Relazioni monomie per trasformazioni adiabatiche ............................................................................. 3

D2 Eguaglianza e diseguaglianza di Clausius, entropia ............................................................................... 6

D3 Scala termodinamica di temperatura .................................................................................................. 10

D4 Ciclo di Carnot inverso ......................................................................................................................... 13

D5 Variazioni di entropia, diagramma T-s ................................................................................................. 15

D6 Equazione di Clausius-Clapeyron ......................................................................................................... 18

D7 Relazioni di Maxwell ............................................................................................................................ 19

D8 Principio degli stati corrispondenti ...................................................................................................... 22

D9 Batteria di raffreddamento e deumidificazione .................................................................................. 24

D10 Deflusso adiabatico in un condotto ..................................................................................................... 25

D11 Saturazione adiabatica ........................................................................................................................ 27

D12 Psicrometria: grandezze fisiche ........................................................................................................... 29

D13 Ciclo di condizionamento invernale .................................................................................................... 30

D14 Ciclo di condizionamento estivo .......................................................................................................... 33

D15 Ciclo Otto ............................................................................................................................................. 35

D16 Ciclo Diesel ........................................................................................................................................... 37

D17 Ciclo Brayton-Joule .............................................................................................................................. 40

D18 Scambio termico tramite superficie cilindrica ..................................................................................... 42

D19 Scambio termico tramite superficie piana, con generazione .............................................................. 45

D20 Scambio termico tramite barra cilindrica, con generazione ............................................................... 47

D21 Sistema alettato ................................................................................................................................... 49

D22 Conduzione in 2D, reg. stazionario, sep. variabili ................................................................................ 52

D23 Conduzione in 2D, reg. stazionario, diff. finite .................................................................................... 55

D24 Conduzione in 2D, reg. variabile, sep. variabili.................................................................................... 57

D25 Conduzione in 2D, reg. variabile, diff. finite ........................................................................................ 59

D26 Convezione .......................................................................................................................................... 61

D27 Scambiatore di calore .......................................................................................................................... 63

D28 Coefficienti di scambio termico ........................................................................................................... 67

D29 Leggi di Kirchhoff ................................................................................................................................. 69

D30 Superfici grigie coassiali ....................................................................................................................... 71

D31 Verifica a condensazione interstiziale ................................................................................................. 72

D32 Verifica a condensazione superficiale ................................................................................................. 75

1

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D33 Trasmissione del calore attraverso una parete multistrato ................................................................ 77

D34 Radiazione mutua tra superfici grigie parallele ................................................................................... 79

A1 Gas ideali ............................................................................................................................................. 81

A2 Principio zero della termodinamica ..................................................................................................... 82

A3 Primo principio della termodinamica .................................................................................................. 83

A4 Secondo principio della termodinamica .............................................................................................. 86

A5 Ciclo di Carnot...................................................................................................................................... 88

A6 Relazioni di Maxwell ............................................................................................................................ 91

A7 Diagramma psicrometrico ................................................................................................................... 94

A8 Equazione del calore ............................................................................................................................ 95

A9 Legge di Fick ......................................................................................................................................... 99

A10 Equazioni differenziali ....................................................................................................................... 101

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D1 Relazioni monomie per trasformazioni adiabatiche

= )

Ricavare le relazioni monomie (ad esempio applicabili alle trasformazioni adiaba

tiche di un gas a comportamento ideale.

PROCESSO REVERSIBILE SENZA DEFLUSSO

Si può partire dall’equazione del primo principio della termodinamica:

= − = 0;

Trattandosi di una trasformazione adiabatica, ovvero senza scambio di calore con l’esterno, si ha

un sistema senza deflusso di massa (o sistema chiuso) scambia lavoro con l’ambiente attraverso delle

= ; = ,

variazioni di volume, quindi inoltre, l’energia interna può essere definita come dove

= ( ) è la capacità termica a volume costante del gas; si può quindi ottenere, dal I° PDT:

= − ⟹ = 0 − ⟹ + = 0

=

Dall’equazione di stato dei gas perfetti e considerando una sola mole di gas, si ottiene

=

l’uguaglianza , e si può così riscrivere:

+ = 0

e dividere per la temperatura e per la capacità termica a volume costante :

1 1

+ = 0

Si può ora considerare la relazione che lega la costante universale dei gas alle capacità termiche a volume e

= − = −

a pressione costante : dividendo per la capacità termica a volume costante si ottiene

1 = − 1, ,

dove rapporto fra le due capacità, prende il nome di coefficiente di dilatazione adiabatica, o

indice adiabatico, o semplicemente rapporto tra i calori specifici. È così possibile scrivere:

1 1

(

+ − 1) = 0

e integrare fra lo stato di equilibrio 1 e 2:

2 2

1 1

(

∫ + − 1) ∫ = 0

1 1

2 2

(

ln ( ) + − 1) ln ( ) = 0

1 1

Per le proprietà dei logaritmi:

−1

2 2

ln ( ) + ln ( ) =0

1 1

−1

2 2

ln [ ( ) ]=0

1 1

−1

2 2

ln[ ( ) ] 0

=

1 1 3

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−1

2 2

( ) =1

1 1

In conclusione:

2−1 1−1

=

2 1 −

=

Da qui, ancora per mezzo dell’equazione di stato dei gas perfetti, si può arrivare alle altre relazioni. Ad

=

esempio, ricavando , è possibile scrivere:

−1

( ) =

Considerando una costante, si semplifica ottenendo:

−1

( ) =

1

−1

=

−1

1−

=

1

Elevando alla si ha:

1

1−

=

( )

−

=

=

Resta infine da ricavare dall’equazione di stato dei gas perfetti solo la temperatura, , che permette di

riscrivere la prima relazione ottenuta come:

−1

=

Considerando anche stavolta come una costante, si ottiene la terza relazione:

=

Queste relazioni sono molto importanti nella tecnica, dato che i processi nei compressori e negli espansori

sono con grande approssimazione adiabatici e il comportamento dei gas tecnici prossimo a quello dei gas

ideali per pressioni non elevate. Queste formule presuppongono che i calori specifici e quindi il rapporto

non varino con la temperatura. Si nota che queste equazioni non sono equazioni di stato, ma descrivono il

,

legame fra due delle tre grandezze e durante un processo reversibile nel quale il sistema non scambia

calore con l’esterno.

PROCESSO REVERSIBILE CON DEFLUSSO

Il primo principio della termodinamica in caso di processo con deflusso di massa è esprimibile come:

ℎ = − ′ ℎ ′.

avendo introdotto il concetto di entalpia e lavoro utile Si tratta sempre di una trasformazione adiabatica,

′

= 0; =

quindi si avrà ancora il lavoro utile sarà frutto di una differenza di pressione (principio

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ℎ = .

alla base del funzionamento di un sistema con deflusso) e la variazione di entalpia sarà Si può

quindi riscrivere il I° PDT come:

+ = 0

=

Come visto in precedenza, si sfrutta l’equazione di stato dei gas perfetti, ottenendo , per scrivere:

+ = 0

Dividendo per la temperatura e per la capacità termica a pressione costante si ottiene:

1 1

+ = 0

1 −1

= − = 1 − = 1 − =

Dalla la relazione della costante universale dei gas si ottiene e:

1 − 1 1

+ = 0

Integrando:

2 2

1 − 1 1

∫ + ∫ = 0

1 1

−1

2 2

ln ( ) + ln ( ) = 0

1 1

Per le proprietà dei logaritmi:

−1

2 2

ln ( ) ]=0

[

1 1

−1

2 2

ln[ ( ) ]

0

1 1

=

−1

2 2

( ) =1

1 1

−1 −1

=

2 1

2 1 −

=

5

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D2 Eguaglianza e diseguaglianza di Clausius, entropia

A partire dal ciclo di Carnot, ricavare l’eguaglianza e la diseguaglianza di Clausius. A partire dai suddetti

risultati, giustificare inoltre l’introduzione della coordinata termodinamica entropia.

EGUAGLIANZA DI CLAUSIUS

Si consideri una macchina di Carnot che operi tra due sorgenti a temperatura differente, con e

1 2

rispettivamente le temperature della sorgente calda e della sorgente fredda, e e allo stesso modo il

1 2

calore scambiato dalla macchina con la sorgente calda e con la sorgente fredda. Per una qualunque macchina

reversibile, sia che produca lavoro, sia che venga impiegata per sottrarre calore alla sorgente più fredda

(macchina frigorifera) vale la seguente relazione:

1 2

+ =0

1 2

poiché:

| | | |

1 2

=

1 2

anche considerando i segni dei calori scambiati (uno assorbito e l’altro ceduto):

1 2

=−

1 2

Si consideri un ciclo chiuso, quindi reversibile, come quello rappresentato da una curva circolare, lo si divida

con un certo numero di adiabatiche e si consideri il ciclo rappresentato dalla spezzata formata da un

segmento di adiabatica e da un segmento di isoterma scelti in modo tale che il calore scambiato in ogni tratto

sia il medesimo di quello scambiato dal tratto di ciclo reale. Ognuno di questi sottocicli è un ciclo di Carnot,

quindi complessivamente si può scrivere:

∑ =0

=1

Facendo tendere all’infinito il numero reale di strisce in cui si divide il ciclo e quindi divenendo infinitesimi i

processi isotermi, ogni termine relativo ad ogni segmento si approssima al termine relativo al ciclo reale

compreso tra le stesse adiabatiche. Ammesso che ogni singolo ciclo sia reversibile o almeno internamente

reversibile ,si può quindi scrivere che per ogni ciclo:

∮( ) =

Questa relazione, che rappresenta il II° PDT e l’eguaglianza di Clausius, contiene una grandezza il cui integrale

ciclico è nullo: questa grandezza non può essere funzione di linea, cioè dipendere dalla modalità con la quale

evolve la trasformazione, come il lavoro o il calore scambiato. Proprio perché non dipende dal percorso della

trasformazione seguito per raggiungere un determinato stato, questa grandezza è una grandezza di stato. Si

consideri, infatti, il ciclo al quale viene sottoposto un gas contenuto in un dispositivo cilindro-pistone: se alla

fine del ciclo il pistone ritorna nella sua posizione iniziale, il gas occuperà lo stesso volume iniziale. La

variazione netta di volume calcolata sul ciclo è nulla. Questo si può esprimere matematicamente tramite

= 0,

l’integrale ciclico del volume, che, come per ogni altra grandezza di stato, è nullo. Ne consegue

∮

quindi che la quantità deve rappresentare una grandezza di stato espressa in forma differenziale, ovvero che,

nel caso della diseguaglianza di Clausius, che se si considera una trasformazione reversibile aperta, non

ciclica, tra uno stato 1 e uno stato 2, l’integrale calcolato tra i due stati non dipende dal percorso ma

∫ 6 Nicola Genuin, mat. N° 186691

,

solo dagli stati estremi, cioè costituisce un differenziale esatto di una nuova funzione di stato, detta

entropia:

= ( )

L’entropia ha un valore definito a meno di una costante additiva arbitraria per ogni stato di un sistema in

equilibrio, ed è una grandezza estensiva. Per ogni processo reversibile, si ha dunque:

=

La variazione di entropia di un sistema può essere calcolata ricorrendo all’integrazione, tra gli stati iniziale e

finale, dell’equazione:

= ( )

2 2

∫ = ∫ ( )

1 1 2

∆ = − = ∫ ( )

2 1

1

Si noti che, in realtà, si è definita la variazione di entropia e non l’entropia come grandezza assoluta: per

stabilire i valori assoluti dell’entropia si dovrà dare ricorso al terzo principio della termodinamica. Poiché nella

pratica interessano le variazioni di entropia, si può assegnato arbitrariamente il valore 0 si entropia a un

qualsiasi stato di riferimento, valutare ogni altro valore con l’equazione appena ricavata, che può essere

integrata conoscendo la relazione funzionale tra e durante la trasformazione. Questa relazione spesso

non è nota, per cui nella maggior parte dei casi il calcolo della variazione di entropia viene fatto utilizzando

dati in forma di tabulato. Ciò è possibile perché, essendo l’entropia una grandezza di stato, i cui valori cioè

∆

dipendono solo dallo stato del sistema, la variazione di entropia tra due