Domande d'esame con risposte Simulazione Numerica

R.point -1 3con 2.22 :gauss =

Per cui, una matrice 2 × 2 di gauss poi Ins, andrebbero bene per funzioni integrante di Massimo 3° grado. Per questo motivo, andrebbero bene (due sono i punti di integrazione), per elementi a quattro nodi, che presentano un grado della funzione integranda di secondo grado. Per elementi ad otto nodi, occorrono almeno tre punti. Con tre punti di integrazione, potremmo integrare funzioni fino al quinto grado.

F-point integrare potremmo fino 23-1=53 con :gauss ' !al grado 5 ora.

Cosa sono i borlow points? Punti particolari in cui, l’errore che si commette per la valutazione delle tensioni, eguaglia l’ordine di grandezza dell’errore che si commette nella valutazione degli spostamenti. Sono anche chiamati punti super convergenti. Le loro coordinate corrispondono alle coordinate dei punti di Gauss però, avendo cura di sottrarre una unità dalle il numero di gauss points utilizzati. Ma utilizzati per cosa? Ogni volta ve lo.

dimenticate. Dei punti utilizzati per l'integrazione della funzione integranda che è contenuta all'interno dell'espressione della matrice di rigidezza. Doveva dirmelo direttamente: Per quell'elemento, si vede quanti punti di integrazione (gauss points) servono per integrare quella matrice di rigidezza, di quell'elemento. Si scende di uno, e quello sarà il numero di gauss points che spuntano, sono quelle che individuano le coordinate di dove si verifica questa superconvergenza. Mi parli delle metodo delle differenze finite, di come viene utilizzato. Il metodo delle differenze finite, costituisce un approccio in cui, la derivata di una funzione, calcolata in un punto, Per la quale bisognerebbe essere a conoscenza Dell'infinità di valori presenti nell'intorno del punto nella quale si vuole calcolare questa derivata, potrebbe essere calcolata conoscendone un numero finito. Questo è possibile, andando a sostituire alle derivatepresenti nell'equazione differenziale che governa il fenomeno fisico, un loro valore approssimato. Per ottenere le espressioni approssimate, seguiamo i seguenti passaggi: 1. Discretizziamo la struttura in nodi "i" equidistanziati. 2. Valutiamo la funzione in F(i+1) e F(i-1) utilizzando l'approccio dell'espansione in serie di Taylor. 3. Otteniamo delle relazioni che possiamo combinare in modo lineare, sommandole o sottraendole, per ricavare i valori approssimati della derivata prima e seconda. 4. L'approssimazione ottenuta è di secondo grado. Anche nel caso in cui ricaviamo il valore approssimato della derivata seconda, l'errore è proporzionale ad h quadro. Questo perché ogni volta dividiamo per H, che nel caso della derivata prima è di primo grado, mentre nel caso della derivata seconda è di secondo grado, e così via.

Questo modo, l'infinitesima che lasciamo fuori scenderà sempre di un livello. Per cui alla fine, in tutte le approssimazioni, anche nelle derivate terze, si verificherà un errore proporzionale ad h quadro. Una volta ricamate queste persone approssimate, come applico il metodo?

Prendiamo l'equazione differenziale che governa il nostro problema (LAPLACE nel caso di problema termico). Svolga comunque questo esempio che le detto:

1 32O 4 tcy.tk )"y

Supposto ciò, come partiamo? Che equazioni scrivo?

2%1-4%1Yin' -d' -= è %-%;

per 0cyi. i + >,

Per i -7 -2421-41Y, CY O+ =,#

Ansys apdl: buckling elemento trave 4

Metodo di Newton, sia la parte grafica che numerica. (Faccia il grafico grande)

Permette lo svolgimento di analisi non lineari, ossia quei problemi in cui la matrice di rigidezza K non risulta essere costante, ma dipende da "d". Ciò, si potrebbe verificare in tre condizioni:

Condizione in cui siamo in presenza a due elementi

posti in contatto, condizioni di non linearità geometrica, Boh. Questo metodo, definisce una k tangente che sarebbe la tangente alla curva in un punto d specificato, data dal rapporto dF/dd. Ogni delta d iesimo Che dobbiamo calcolare, è dato dal k tangente valutato nel punto d-1, ossia quello valutato in precedenza, per F. NON SENTESI . . . Per un problema poco non lineare, quale metodo si utilizza? Quello modificato, perché anche se impiegherebbe più tempo per raggiungere la convergenza, non dovremo ogni volta calcolare la k tangente. Se invece il problema fosse stato molto non lineare, questo metodo implicherebbe troppo tempo per giungere alla convergenza... detto così "mmmmehem..m.." provi a scrivere e disegnare. Graficamente, quanti passaggi implicherebbe con il metodo tradizionale e con quello modificato. nel modificato, la tangente si mantiene sempre la stessa e non varia. ÷:c 'MODIFICATO TRADIZIONALE Mi parli della valutazione

dell'errore nel metodo degli elementi finiti. La valutazione dell'errore viene fatta mediante un parametro che prende il nome di Energy Norm. Questo è una quantità scalare integrale. Noi facciamo la premessa. Sì, possiamo valutare l'errore solamente in maniera locale, quindi vuol dire calcolare la differenza tra il valore epsilon (se epsilon è la deformazione), meno epsilon indicata come epsilon "cappello": questa sarebbe la epsilon corretta. In ogni caso, questo metodo, restituendo errori locali, fornisce errori che tendono ad infinito in prossimità della singolarità. Quindi, piuttosto che ricorrere ad un criterio "Locale", di questo tipo, possiamo ricorrere ad un criterio più globale, del tipo dell'energy norm. Ansys come valuta l'errore? Ansys calcola la normale dell'energia percentuale per ogni elemento, ed ottiene la totale, sommando quella di ogni elemento calcolato. Al denominatore,

Si trova “u+e”. Inoltre, l’errore lo valuta “a posteriori”, Per cui, prima si effettua l’analisi e poi si visualizza il percent error. Il valore di sigma e di epsilon capello, lo calcola andando a definire la media tra le tensioni o le deformazioni, che si verificano, dati quattro elementi ad esempio, collegati ad un nodo, calcola le azioni i-esime che agiscono sul nodo, e ne fa una media. Ansys valutava l’errore mediante un altra stima, l’ho solo accennata molto brevemente, in cosa consisteva questa stima? Una era basata sull’energy Norm, l’altra? Avevo aperto l’help.. niente.

#Tieniti pure i tuoi segreti

Elementi di contorno: mi faccio un esempio di quale forma potrebbe avere il coefficiente di influenza. Integriamo lungo l’elemento delta s J che è stato creato, integriamo u Che sarebbe lo spostamento normale sempre riferito all’elemento, da una forza che agisce sull’elemento iesimo (elemento differente) lfinldsfaiii.

un;APDL Come abbiamo gestito il load step? 5Tutte le proprietà della matrice di rigidezza.È quadrata, di ordine N x N, Dove N, il numero massimo di gradi di libertà dell’elemento o, se facciamo riferimento alla matrice globale, dell’intera struttura.Inoltre, risulta essere simmetrica rispetto alla diagonale principale e si potrebbedimostrarlo con il teorema di reciprocità di Betti, in cui, si noterebbe come glielementi kij=kji .Inoltre, la diagonale principale presenterà solamente termini positivi: questoperché, utilizzeremo la matrice di rigidezza, per l’equilibrio del singolo elementoo della struttura globale.K mette infatti in correlazione le forze applicate ai nodi con gli spostamentinodali. Nella diagonale, avremo quei termini che collegheranno le forze delnodo i, con gli spostamenti dello stesso nodo i.Per questo motivo, forze e spostamenti, non possono che avere lo stesso segno: èper questo che nella diagonale principale,avremo solamente elementi positivi. (Meno per meno = più comunque). Al di fuori della diagonale invece, il segno potrebbe essere anche negativo. La matrice di rigidezza, risulta anche non invertibile: non potremmo, dall'equazione di equilibrio che correla forze e spostamenti, ricavare in modo inverso, gli spostamenti. Perché non è invertibile? È presente un motivo matematico che ha dietro una motivazione fisica. La motivazione fisica è inerente alle condizioni al contorno, nel senso che non vincolando la struttura, questa sarà libera di muoversi nello spazio. La motivazione matematica, è che il determinante della matrice è uguale a zero. Un'altra proprietà della matrice di rigidezza, è quella che dipende dalle proprietà del materiale: figura infatti il modulo di Young E. Dipende anche dalle caratteristiche geometriche dell'elemento considerato: è presente infatti la superficie e la

La lunghezza del lato dell'elemento è molto importante. Anche la larghezza di semi banda, dalla quale dipende il peso computazionale, è fondamentale.

Quando abbiamo introdotto la larghezza di semi banda, avevamo detto che la matrice di rigidezza è caratterizzata dall'essere...? Riguarda il numero di zeri che sono presenti.

I termini della matrice di rigidezza sono raccolti sulla diagonale principale. Sono in maniera obbligatoria raccolti lì?

No, sfruttando una adeguata numerazione dei nodi, potremmo ottenere una larghezza di semi banda idonea, che ci consentirà di avere i termini non nulli raccolti nella diagonale principale.

No, ma potremmo numerare molto male e quindi avere una larghezza di semibanda uguale alla larghezza della matrice n.

In ogni riga della matrice di rigidezza, abbiamo molti termini...?

Uguali a zero, questo perché (Forza e spostamento, si riferiscono a dei nodi appartenenti a elementi diversi) gli elementi che non hanno nessun nodo.

in comune, avranno il corrispettivo termine kij all'interno della matrice di rigidezza nullo, in quanto la forza che agisce al nodo i, non determina nessuno spostamento.

Noi abbiamo dato una formuletta per calcolare la larghezza di semi banda. Considerare la massima differenza della numerazione di due nodi appartenenti allo stesso elemento, +1, tutto moltiplicato per i gradi di libertà del nodo.

Esiste poi un altro metodo, che consiste nell'andare a determinare il numero massimo di componenti alla destra ed alla sinistra della diagonale, e sommare una unità.

La larghezza di semi banda, come è correlata all'