Domande d'esame con risposte Simulazione Numerica

Simulazione numerica orali: domande e risposte AA 2019-2020

Funzione degli spostamenti

Esercitazioni fatte bene, con cura. Mi parli della funzione degli spostamenti: che cos’è?

Poi, mi parli della compatibilità e completezza. Prima però mi deve spiegare bene un esempio di un elemento asta, che forma può assumere.

La funzione degli spostamenti, ci serve per correlare gli spostamenti nodali in modo tale da riuscire a capire quali sono gli spostamenti all’interno di ogni elemento di una discretizzazione al metodo degli elementi finiti. La forma della funzione degli spostamenti sarà: Vettore degli spostamenti {s} = Funzione degli spostamenti F. Potrebbe essere scritta in diverse formulazioni: tramite l’utilizzo delle funzioni di forma, utilizzando la matrice delle funzioni di forma N che sono delle funzioni di peso che vanno assegnate ad un nodo. Queste varranno 1, nei nodi a cui si riferiscono, e zero, in tutti gli altri nodi. Per ottenere le funzioni di spostamento, le funzioni di forma, dovranno essere moltiplicate per gli spostamenti q, ossia gli spostamenti nodali.

Compatibilità e completezza

La definizione iniziale è un po’ sbagliata: la funzione degli spostamenti, è una funzione che mi da cosa, in funzione di che cosa? I parametri di input sono gli spostamenti nodali e le funzioni di forma che, al loro interno, presentano le coordinate del punto del quale vogliamo conoscere lo spostamento, mentre, l’output è rappresentato dagli spostamenti dei punti interni dell’elemento. Quindi, noi otteniamo lo spostamento di un particolare punto all’interno dell’elemento, in funzione degli spostamenti dei nodi.

Mi parli della compatibilità e della completezza. Il metodo degli elementi finiti, ci porta ad una soluzione approssimata che, avrà sicuramente un margine di errore rispetto alla soluzione esatta. Per la soluzione che si determina, si dovrebbe ricercare la convergenza della soluzione. Come si fa ad ottenere la convergenza per quanto riguarda la funzione dello spostamento? Bisognerebbe rispettare delle condizioni: le 3 di compatibilità e le 2 di completezza.

Le condizioni di compatibilità sono tre: la funzione degli spostamenti deve essere continua all’interno di ogni elemento. Questo significa che, risulta essere rispettata, nel momento in cui la funzione degli spostamenti risulta essere di tipo polinomiale. Questa è una possibilità, nel senso che se è di questo tipo, risulta essere rispettata. La seconda condizione, è che per la funzione dello spostamento, gli spostamenti di un lato comune tra due elementi, dovranno dipendere soltanto dai nodi di quello stesso lato. Questa è la conseguenza ma, la condizione vera e propria, è che all’interfaccia, gli spostamenti devono essere gli stessi: ossia, non dovranno verificarsi compenetrazione o creazioni di vuoti.

Sì, mentre, la terza condizione, ci dice che le deformazioni all’interfaccia tra due elementi, dovranno essere delle deformazioni finite. Se però stiamo parlando di un elemento trave o di elemento guscio che coinvolge le derivate seconde, la mia funzione di spostamento, deve avere dei termini quadratici, cosicché, quando si deriva due volte, rimane una costante.

Questo ci porta alla conclusione che la funzione di spostamento, all’interfaccia tra due elementi adiacenti, deve essere continua, insieme alle sue derivate, almeno fino all’ordine N-1, dove N è l’ordine massimo delle derivate presenti nelle relazioni deformazioni-spostamenti. Questo significa che se le derivate delle relazioni deformazioni-spostamento, arrivano al secondo grado, la funzione dello spostamento, dovrebbe essere almeno di tipo lineare (continuo). Non è così. Deve avere anche la continuità della derivata della funzione. Quando è lineare, ad esempio epsilon x=du/dx, (voleva dire che la deformazione dipende dalla derivata prima dello spostamento) per cui abbiamo solamente 1 grado di derivazione, allora basta la continuità della funzione.

Per cui, nel caso di un’asta, basterebbe la continuità della funzione degli spostamenti dell’asta, mentre, nel caso di un elemento trave, per gli spostamenti flessionali, servirebbe anche la continuità della derivata prima.

Ok, mentre per la completezza, le condizioni sono due: La funzione degli spostamenti, dovrebbe poter rappresentare spostamenti rigidi all’interno dell’elemento. Questa condizione risulta essere verificata, nel momento in cui è presente almeno il termine noto nella funzione degli spostamenti. La seconda condizione invece, ci informa che deve poter rappresentare uno stato di deformazione costante, all’interno dell’elemento. Questa condizione risulterebbe essere verificata nel momento in cui, la funzione di spostamento è di grado almeno pari, all’ordine massimo delle derivate presenti nelle relazioni deformazioni-spostamenti.

Lei si ricorda (L’ho detto a lezione), perché è importante questa seconda condizione di completezza per la convergenza? (Avevo fatto un esempio) Al tendere a zero delle dimensioni dell’elemento, l’elemento, tende ad avere uno stato di deformazione quasi costante. A tale proposito, avevamo fatto un esempio di una trave 2D in flessione: se prendo un elemento alto quanto lo spessore, l’andamento sarà a farfalla mentre, se si pone nell’ultimo 10º di millimetro di una trave, lo stato di deformazione epsilon x sarà costante.

Segue l’esempio: Lezione della Esempio È¥ Per quanto riguarda la deformazione invece, dovremmo poter rappresentare stati di deformazione costanti all’interno dell’elemento. Non significa che dovremmo rappresentare solamente questi ma, almeno questi per la completezza. Nel caso di una trave incastrata ed un carico applicato alla sua estremità libera, andando a suddividere con un singolo elemento l’intero spessore, all’interno di questo elemento, avrei una variazione lineare della tensione, e quindi delle deformazioni.

Mentre, utilizzando degli elementi molto piccoli che tendono a zero, tenderò a ottenere uno stato di deformazione costante pari al massimo valore di deformazione che troverò sulla superficie superiore. Una volta soddisfatte le condizioni sia di completezza che di compatibilità, la funzione degli spostamenti convergerà al valore esatto. Conosceremo anche qual è la direzione di convergenza, ovvero convergerà dal basso. Per quanto riguarda la condizione di compatibilità, se questa non risulta essere soddisfatta, (ma lo è solamente quella di completezza), avremo quindi una funzione del tipo “completa ma incompatibile”, non si conoscerà la direzione di convergenza della funzione di spostamento, potrebbe farlo sia dall’alto e dal basso, fino al valore esatto ovviamente.

Metodo di Newton Rapson

Metodo di Newton Rapson: sia la parte grafica che scrivere le relazioni che occorrono. Intanto introduco questo metodo: è un metodo di risoluzione per analisi di tipo non lineare. Ci ritroviamo infatti in analisi per cui, la relazione dell’equilibrio è del tipo: )IH =p ldl1di .I ← dettare degli Rigolettodimatrice spasimanti. Per una tale funzione, la forza non potrà essere ricavata in forma chiusa ma, si dovranno utilizzare dei metodi di integrazione particolari. Esistono due metodi, quello incrementale e quello di Newton Rapson. Quello incrementale, procede per incrementi di carico pertanto, applica in modo incrementale il carico. Il metodo di Newton invece, procede in maniera interattiva applicando tutto il carico sin dall’inizio della nostra analisi.

Volendolo rappresentare:
✓ La curva deve partire da zero, e la F forza in rosso, dovrà essere poco sotto il valore massimo della curva. Supposto di aver applicato fin dall’inizio tutto il carico, ricaviamo con il metodo di Newton, la matrice di rigidezza Kt d=d zero. Come si ricava questa Kt? Si ricava derivando la K(d) nel punto considerato della curva.

Sì, ma qual è la formula per ricavare Kt? È una matrice di rigidezza che, a differenza di quella normale, tiene conto delle non linearità. Infatti, in assenza di non linearità, ritorna ad essere la K normale. La formula è la seguente: Deve fare la derivata di F rispetto a d, cioè la derivata di k(d)*d. Ok, E la derivata di un prodotto, per cui: dovete tkldl.dzd)LI dddlkldl - == termine termine' 'd ddel del1º 2º+x xderivato derivatoil il2º º1non non La cappa tangente, nelle condizioni iniziali, sarà tangente alla curva. Questa, la intersechiamo con il carico, ottenendo un punto di intersezione. Ovviamente, non sarà questa forza F realmente applicata fin dall’inizio.

Ci sarà infatti da considerare fin dall’inizio, la reazione della struttura, a tale applicazione di carico. La reazione della struttura, si calcola come: ( BÎ( ftp.G-dvFee Come lo rappresenta questa= reazione della struttura nel grafico? Sì traccia l’intersezione tra la€ forza applicata è la tangente, dal:# punto di intersezione si fa ascendere una retta verticale che incontrerà il punto a nella curva. Quello sarà il corrispondente valore in ordinate della reazione della struttura. Per cui, che cos’è che abbiamo ricavato da questa prima iterazione? Dobbiamo calcolare il delta d 1. Dove corrisponde nelle ascisse? A d1 poiché non ci sono altre ascisse ancora.

Vediamo il secondo passaggio: Calcoliamo la k tangente nel punto A (in rosso), prenderemo l’intersezione con il carico F applicato (retta verde con retta rossa), troverò il punto B è pertanto, in! ordinata, la effe e con 2. Si, voglioh anche il calcolo per delta d2. Lei sa perché adesso si utilizza F-Fe1? È la relazione relativa alla trigonometria di un triangolo rettangolo. stavolta, a che fare con un cateto F-Fe1, mentre prima, era tutto F.

Vabeh, Newton Rapson modificato? Il metodo Newton, necessita di una interazione per calcolare la matrice Kt d con 0, con 1 ecc, per ogni spostamento delta d, bisognerebbe ricalcolarla. Nel metodo Newton modificato, si assume che tale matrice di rigidezza sia pari sempre allo stesso valore. Quale valore? Al Kt d zero. Per questo motivo, si risparmia il tempo di calcolo dovuto al ricalcolo del K t ad ogni interazione, però, si ha un inconveniente: il tempo per arrivare a convergenza, ossia il numero di interazioni che vanno fatte, per trovare una soluzione accettabile di differenza tra F-Fe1, sarà molto maggiore rispetto al metodo di Newton standard.

Nel caso di un problema molto NON lineare, le conviene il metodo Newton tradizionale o modificato? e perché? Con il classico, ad ogni interazione, si sposta di parecchio mentre, con il modificato dovrebbe farne tantissime perché ogni volta, si sposterebbe di poco.

Metodo degli elementi di contorno

Andiamo alla terza domanda, tra i tre argomenti: Metodo degli elementi di contorno, metodo delle differenze finite, ed il programma therm2D. Mi dica il problema di Kelvin, del metodo degli elementi di contorno: Che cosa ha risolto Kelvin? Il metodo degli elementi di contorno, boundary element method, è un’alternativa al metodo degli elementi finiti, che permette di discretizzare soltanto il contorno di una determinata regione di superficie R, piuttosto che discretizzare l’intera superficie. Per questo motivo, risulta vantaggioso per quei problemi esterni (piuttosto che con interni), per la quale, discretizzando solo il contorno, si avrebbe un risparmio... si blocca.

Aldilà del problema del metodo degli elementi di contorno, del problema di Kelvin, cosa mi sa dire? Il problema di Kelvin, consente di ricavare una relazione che consente di determinare una soluzione singolare, nel caso di solito infinito, elastico, con forza applicata su una retta infinita. Siamo in stato a piano di tensione o di deformazione? Siamo in regime di stato piano di deformazione. Questa forza applicata nella retta infinita, in modo tale da essere individuabile, tramite l’angolo che forma con l’asse delle X theta. Per cui, il problema di Kelvin, consiste nel definire un punto all’interno di questo solido infinito elastico, da cui si vuole conoscere lo stato tensionale.

Io, avevo cercato di farglielo capire: se prendiamo un cubetto che ha due facce normali a questa retta (la retta passa da questo cubo, bucandolo). Se volessi simulare l’azione di questa forza, se afferrassi la retta come se fosse una bastone, dovrei..? Tirerebbe la retta, in qualsiasi direzione individuabile mediante l’angolo theta che forma con la componente della forza lungo X. Ok, cosa ci ha dato Kelvin? Ed in funzione di che cosa? Ha fornito la soluzione per ricavare gli spostamenti e le tensioni, di uno generico punto p, in funzione delle sue coordinate x e Y, delle componenti delle forze fx ed fy applicate nel punto P, ed in funzione della proprietà del materiale. Potremmo infatti vedere che, nelle relazioni degli spostamenti e delle tensioni, sono presenti sia il coefficiente di poisson che il parametro G, funzioni delle caratteristiche del materiale.

Se nel metodo diretto, dovessi calcolare un coefficiente di influenza, una generica forma del coefficiente di influenza lo saprebbe scrivere? Il coefficiente di influenza, è un integrale lungo l’intervallo ds J-esimo che sarebbe l’intervallo di grandezza di un singolo elementino, in cui risulta essere suddiviso il contorno, dove sono integrati gli spostamenti normali o tangenziali, in funzione delle forze normali o tangenziali, che si stanno considerando in quel momento. Non mi basta. Intanto, solo spostamenti? Oppure i coefficienti di influenza potrebbero essere anche integrali di tensione? Lei ha detto, spostamenti in funzione delle forze normali o tangenziali: abbiamo uno spostamento normale, sarà in funzione delle forze normali applicate.

La forza N i-esima Fs i-esima sarebbero, che sono le forze che applichiamo per determinare le 2 N-1 equazioni per risolvere il metodo diretto. No. Quest’ultima cosa giusta ma, il fatto che se lo spostamento è normale la forza dovrebbe essere pure normale errato. Potrebbe infatti avere l’integrale di uno spostamento tangenziale dovuto ad una forza normale. Questo perché la forza è applicata in un altro nodo, i-esimo. Quello normale e quello tangenziale, non centrano niente con il normale tangenziale dell’elemento jesimo in cui integriamo. E poi, stiamo parlando solamente di una sola forza. Stiamo comunque parlando del coefficiente di influenza.

Come mai conosciamo questo spostamento, questa funzione da integrare, che sia lo spostamento normale o tangenziale o le tensioni? Nello scrivere l’equilibrio per il teorema di reciprocità di Betty, imponiamo che le tensioni e le deformazioni siano costanti. Possiamo quindi portare, al di fuori del segno di integrazione le tensioni e scrivere: Sommatoria di tensione che moltiplica integrale di delta s J-esimo per U in funzione di Fn i (oppure Fs i). La domanda è proprio questa, come conosciamo la U di Fn i? Abbiamo 4N parametri noti nel problema diretto. 2N equazioni sono note perché, sono note dalle condizioni al contorno. Le altre equazioni invece, sono quelle da ricavare, e sono le 2N-1 soluzioni test. La risposta è: perché la soluzione l’abbiamo dal teorema di Kelvin. Noi sappiamo U primo di N, oppure U primo di S, oppure le sigma le conosciamo, perché sono le soluzioni del problema di Kelvin.

Analisi modali in ANSYS

Andiamo in ANSYS, mi parli delle analisi modali. L’analisi modale, è un’analisi che ci permette di ricavare le frequenze naturali la struttura di una struttura. In fase di progettazione, infatti, è molto importante conoscere le frequenze di risonanza, in quanto è fondamentale tenersi a distanza da queste ultime. Questo perché potrebbero provocare fastidiosi rumori nella struttura o addirittura il collasso. Per l’analisi modale, l’equazione di equilibrio per le oscillazioni libere, diventa: matrice delle masse che moltiplica componente di accelerazione U, più la matrice di rigidezza che moltiplica la componente di spostamento U, uguale zero. Possiamo vedere che, non è presente una forzante tempo variante, oppure una matrice di smorzamento moltiplicata per la componente di velocità U.

Quale limitazione a questo tipo di analisi? Non si possono effettuare analisi non lineari in quanto non tiene conto delle non linearità.

Mettiamo caso che io abbia preparato già il mio modello, come eseguo la parte di Solution? Quali parametri dovrò mettere? Nella sezione analysis type, si seleziona il tipo di analisi: modal. Successivamente, viene richiesto il numero di modi di vibrare del nostro componente. Se inserissimo 3, il programma, mi restituirebbe, delle 10 ad esempio, quella con frequenza più bassa, la penultima e poi la terzultima.

Riguardo ai risultati, ha senso guardare gli spostamenti e le tensioni? Siccome è una soluzione del tipo “autovalori ed auto vettori”, otteniamo solamente un rapporto tra gli spostamenti, ossia una forma del modo di vibrare. Se siamo in risonanza, la vibrazione aumenterà fino al collasso se non è presente nessuno smorzamento. Per cui, non ha senso per com’è impostata la soluzione matematica di partenza.

Workbench, si ricorda come si imposta l’analisi di Buckling? Nella sezione di scelta dell’analisi, dovremmo selezionare eighen bagling, che ci restituisce il valore del carico di bagling massimo della struttura. È molto simile.