Dispensa riassuntiva appunti di Geometria

Indice

• 1. Matrici
  • 1.1. Introduzione ai sistemi lineari e matrici
  • 1.2. Definizione di matrice
    • 1.2.1. Esempi di matrici
  • 1.3. Operazioni con le matrici
    • 1.3.1. Somma
      • 1.3.1.1. Proprietà della somma
    • 1.3.2. Moltiplicazione per scalare
      • 1.3.2.1. Proprietà della moltiplicazione per scalare
    • 1.3.3. Trasposizione
    • 1.3.4. Combinazione lineare di matrici
    • 1.3.5. Prodotto righe per colonne
      • 1.3.5.1. Proprietà del prodotto righe per colonne
  • 1.4. Classificazione di matrici
    • 1.4.1. Matrice identità
    • 1.4.2. Matrici quadrate
      • 1.4.2.1. Matrice quadrata diagonale
      • 1.4.2.2. Matrice quadrata simmetrica
      • 1.4.2.3. Matrice quadrata antisimmetrica
      • 1.4.2.4. Matrice quadrata invertibile
        • 1.4.2.4.1. Proprietà della matrice quadrata invertibile
        • 1.4.2.4.2. Relazione tra matrice trasposta e matrice invertibile
    • 1.4.3. Matrici triangolari
      • 1.4.3.1. Matrice triangolare superiore
      • 1.4.3.2. Matrice triangolare inferiore
• 2. Determinante e rango
  • 2.1. Determinante di matrici e suo significato geometrico
  • 2.2. Determinante di matrici
    • 2.2.1. Matrice aggiunta
    • 2.2.2. Definizione di determinante di ordine superiore
  • 2.3. Regola di Sarrus
  • 2.4. Teorema di Laplace
  • 2.5. Proprietà del determinante
  • 2.6. Combinazione lineare
  • 2.7. Dipendenza lineare
  • 2.8. Indipendenza lineare
  • 2.9. Teorema di Binet
  • 2.10. Matrice inversa
    • 2.10.1. Rapporto tra invertibilità e determinante
    • 2.10.2. Inversa di una matrice invertibile
    • 2.10.3. Complemento algebrico di una matrice
    • 2.10.4. Gruppo lineare
    • 2.10.5. Prodotto tra matrici invertibili
  • 2.11. Matrici singolari e non singolari
  • 2.12. Rango di una matrice
    • 2.12.1. Minore di una matrice
    • 2.12.2. Definizione di rango
  • 2.13. Teorema degli orlati
    • 2.13.1. Minori orlati di un minore dato
    • 2.13.2. Teorema degli orlati
  • 2.14. Matrici a scala
    • 2.14.1. Rango di una matrice a scala
  • 2.15. Metodo di eliminazione di Gauss
    • 2.15.1. Calcolo del rango con l’algoritmo di Gauss
• 3. Sistemi lineari
  • 3.1. Matrice completa e incompleta di un sistema
  • 3.2. Teorema di Rouché-Capelli
  • 3.3. Tipologie di sistemi lineari
    • 3.3.1. Sistema lineare omogeneo
    • 3.3.2. Sistema lineare non omogeneo
  • 3.4. Calcolo della matrice inversa con il metodo di Gauss
  • 3.5. Teorema di Cramer
• 4. Spazi vettoriali
  • 4.1. Spazio dei vettori geometrici
    • 4.1.1. Spazio dei vettori geometrici applicati in un punto
    • 4.1.2. Spazio dei vettori geometrici liberi
  • 4.2. Definizione di spazio vettoriale
  • 4.3. Proprietà dello spazio vettoriale
  • 4.4. Esempi di spazi vettoriali
  • 4.5. Dipendenza e indipendenza lineare
    • 4.5.1. Combinazioni lineari
    • 4.5.2. Dipendenza lineare
    • 4.5.3. Indipendenza lineare
    • 4.5.4. Relazione tra combinazione lineare e dipendenza lineare
  • 4.6. Generatori
    • 4.6.1. Spazio vettoriale finitamente e non generato
  • 4.7. Basi
    • 4.7.1. Proprietà della base
    • 4.7.2. Coordinate di un vettore rispetto ad una base
  • 4.8. Sottospazio vettoriale
    • 4.8.1. Esempi di sottospazi vettoriali
    • 4.8.2. Sottospazio generato da un insieme di vettori
  • 4.9. Teorema di esistenza di una base
  • 4.10. Dimensione
    • 4.10.1. Spazio vettoriale di dimensione è isomorfo a
    • 4.10.2. Relazione tra n. vettori linearmente indipendenti e n. vettori in uno spazio finito
  • 4.11. Teorema del completamento di una base
  • 4.12. Basi di
  • 4.13. Sottospazi di
  • 4.14. Equazioni di un sottospazio di
  • 4.15. Sottospazi affini di uno spazio vettoriale
  • 4.16. Sottospazio intersezione
    • 4.16.1. Dimensione del sottospazio intersezione
  • 4.17. Sottospazio somma
    • 4.17.1. Dimensione del sottospazio somma
    • 4.17.2. Generatori del sottospazio somma
  • 4.18. Formula di Grassmann
  • 4.19. Sottospazi supplementari
    • 4.19.1. Esistenza di un supplementare
• 5. Applicazioni lineari
  • 5.1. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali
  • 5.2. Applicazioni lineari da a
  • 5.3. Esempi di applicazioni lineari
  • 5.4. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare
    • 5.4.1. Nucleo
    • 5.4.2. Immagine
  • 5.5. Applicazioni lineari iniettive e suriettive
  • 5.6. Proprietà delle applicazioni lineari
  • 5.7. Applicazioni lineari e matrici
    • 5.7.1. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici
  • 5.8. Rango di un’applicazione lineare
  • 5.9. Teorema della dimensione
  • 5.10. Composizione di applicazioni lineari
    • 5.10.1. Applicazioni lineari invertibili
  • 5.11. Isomorfismi
    • 5.11.1. Esempi di isomorfismi
    • 5.11.2. Un isomorfismo manda basi in basi
  • 5.12. Matrice associata
    • 5.12.1. Trasformazioni di coordinate
    • 5.12.2. Costruzione della matrice di cambio di base
    • 5.12.3. Matrici associate ad un’applicazione lineare rispetto a basi diverse
• 6. Prodotto scalare
  • 6.1. Prodotto scalare canonico
    • 6.1.1. Definizione
    • 6.1.2. Proprietà del prodotto scalare canonico
  • 6.2. Prodotto scalare su uno spazio vettoriale
  • 6.3. Segno di un prodotto scalare
  • 6.4. Spazi metrici
    • 6.4.1. Norma indotta dal prodotto scalare canonico
      • 6.4.1.1. Proprietà della norma
  • 6.5. Vettori ortogonali
    • 6.5.1. Iperpiano
    • 6.5.2. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro
    • 6.5.3. Angolo tra vettori
  • 6.6. Base ortogonale
  • 6.7. Base ortonormale
    • 6.7.1. Normalizzazione di una base ortogonale
  • 6.8. Coefficiente di Fourier
  • 6.9. Formula di Parseval e Teorema di Pitagora
  • 6.10. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
  • 6.11. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale
  • 6.12. Proiezione ortogonale su un sottospazio
    • 6.12.1. La proiezione ortogonale minimizza la distanza
  • 6.13. Cambiamenti di base ortonormali
  • 6.14. Matrici ortogonali
• 7. Endomorfismi
  • 7.1. Definizione di endomorfismo
  • 7.2. Matrici simili
  • 7.3. Endomorfismo diagonalizzabile
  • 7.4. Matrice diagonalizzabile
  • 7.5. Autovettori, autovalori e autospazi
    • 7.5.1. Definizione
    • 7.5.2. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili
  • 7.6. Polinomio caratteristico
    • 7.6.1. Il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta
  • 7.7. Criteri di diagonalizzabilità
    • 7.7.1. Primo criterio
    • 7.7.2. Secondo criterio
  • 7.8. Molteplicità geometrica e algebrica
    • 7.8.1. Relazione fra molteplicità algebrica e geometrica
  • 7.9. Endomorfismi simmetrici
    • 7.9.1. Forma quadratica
  • 7.10. Teorema spettrale
• 8. Geometria del piano
  • 8.1. Coordinate cartesiane in un piano
  • 8.2. Rette
    • 8.2.1. Equazioni parametriche di una retta
      • 8.2.1.1. Vettori direttori
    • 8.2.2. Equazione cartesiana di una retta
    • 8.2.3. Posizione reciproca di due rette
      • 8.2.3.1. Rette parallele
      • 8.2.3.2. Rette perpendicolari
      • 8.2.3.3. Angolo tra rette
        • 8.2.3.3.1. Angolo tra rette orientate
    • 8.2.4. Posizione di una retta nel piano
      • 8.2.4.1. Retta passante per un punto e parallela a una direzione
      • 8.2.4.2. Retta passante per due punti
      • 8.2.4.3. Retta passante per un punto e perpendicolare a una direzione
    • 8.2.5. Fasci di rette
      • 8.2.5.1. Fascio proprio
      • 8.2.5.2. Fascio improprio
      • 8.2.5.3. Fasci generati da due rette
  • 8.3. Distanze
    • 8.3.1. Distanza tra due punti
      • 8.3.1.1. Punto medio e asse di un segmento
    • 8.3.2. Distanza tra un punto e una retta
    • 8.3.3. Distanza tra due rette
  • 8.4. Circonferenza
  • 8.5. Baricentro del triangolo
  • 8.6. Cambiamenti di coordinate cartesiane
  • 8.7. Coniche
    • 8.7.1. Ellisse
      • 8.7.1.1. Eccentricità dell’ellisse
    • 8.7.2. Parabola
    • 8.7.3. Iperbole
    • 8.7.4. Coniche come luogo di zeri di polinomi di secondo grado
    • 8.7.5. Matrice associata a una conica
    • 8.7.6. Coniche degeneri e generali
    • 8.7.7. Coniche a centro
      • 8.7.7.1. Formule per il centro o l’asse di simmetria di una conica
    • 8.7.8. Conica generalizzata
    • 8.7.9. Teorema di classificazione isometrica delle coniche
• 9. Geometria dello spazio
  • 9.1. Riferimenti cartesiani nello spazio
  • 9.2. Prodotto vettoriale
    • 9.2.1. Definizione
    • 9.2.2. Proprietà del prodotto vettoriale
  • 9.3. Aree
    • 9.3.1. Area del parallelogramma
    • 9.3.2. Area del triangolo
  • 9.4. Rette nello spazio
    • 9.4.1. Equazioni parametriche
      • 9.4.1.1. Retta per un punto
      • 9.4.1.2. Retta per due punti
      • 9.4.1.3. Posizione reciproca di due rette nello spazio
        • 9.4.1.3.1. Rette parallele
        • 9.4.1.3.2. Rette coincidenti
        • 9.4.1.3.3. Rette incidenti
          • 9.4.1.3.3.1. Angolo tra due rette incidenti
      • 9.4.1.4. Rette perpendicolari
  • 9.5. Piani nello spazio
    • 9.5.1. Equazioni cartesiana del piano
      • 9.5.1.1. Piano per tre punti
      • 9.5.1.2. Posizione reciproca di due piani nello spazio
        • 9.5.1.2.1. Piani paralleli e non paralleli
    • 9.5.2. Piani perpendicolari
  • 9.6. Equazione cartesiana delle rette come intersezione tra due piani
  • 9.7. Posizione reciproca di una retta e un piano
    • 9.7.1. Piano per un punto, parallelo a due direzioni
    • 9.7.2. Piano per un punto, perpendicolare a una direzione
    • 9.7.3. Fascio di piani per una retta
    • 9.7.4. Retta parallela a un piano
    • 9.7.5. Retta per un punto perpendicolare a un piano
    • 9.7.6. Stella di rette
      • 9.7.6.1. Fascio di rette complanari per un punto
      • 9.7.6.2. Stella di rette per un punto
  • 9.8. Proiezione ortogonale di una retta su un piano
  • 9.9. Distanze
    • 9.9.1. Distanza punto-punto
    • 9.9.2. Distanza punto-retta
    • 9.9.3. Distanza punto-piano
    • 9.9.4. Distanza tra due rette parallele e distinte
    • 9.9.5. Distanza tra due piani paralleli
    • 9.9.6. Distanza tra due rette sghembe
  • 9.10. Simmetrico di un punto rispetto a un piano
  • 9.11. Sfera
    • 9.11.1. Sfera per quattro punti
    • 9.11.2. Piano tangente

Matrici

Introduzione ai sistemi lineari e matrici

Un insieme di equazioni lineari forma un sistema lineare. Un generico sistema lineare con n equazioni e in m incognite ha forma:

+ +...+ = 11 1 12 2 1 + +...+ = 21 1 22 2 2

Le operazioni che si possono fare sulle equazioni sono:

• Scambiare l’ordine delle equazioni;
• Moltiplicare un’equazione per uno scalare ≠ 0;
• Sommare ad un’equazione del sistema un’altra equazione.

L’utilizzo delle operazioni sopra riportate è definibile come Metodo di Gauss. L’obiettivo di queste tre operazioni è ridurre un sistema lineare ad un sistema triangolare superiore, che ha forma:

+ +...+ = 11 1 12 2 1, 0 + +...+ = 22 2 2, { ... 0 + 0 +...+ =

Risulterà più semplice risolvere il sistema con il metodo di Gauss, perché si potrà applicare la “risoluzione all’indietro”. Al sistema lineare possiamo associare una matrice.

Definizione di matrice

Una matrice ( righe e colonne) è una tabella di numeri reali disposti su righe e colonne:

⋯ 11 1⋮ ⋱ ⋮( ) ∈ ℝ ∀ = 1, ... , ∀ = 1, ..., ⋯ 1

Esempi di matrici

Alcuni esempi di matrici sono:

1 0, 7 1 4, ⁄7 8(√3 ) ( )( ) 5 4 9, 9 7 4 6 8 6 3

Operazioni con le matrici

Somma

∈ ℳ( × , ℝ) = ( ) , = ( ) ∈ ℳ( × , ℝ)

La matrice somma mantiene la stessa dimensione. Esempio: 1 4 0, 2 1 6( )+( )=( )3 5 10, 9 7 4

Proprietà della somma

Le proprietà della somma sono:

• Proprietà commutativa: + = +
• Proprietà associativa: ( (+ ) + = + + )
• Esistenza di un elemento neutro (matrice nulla): ( )0 =
• Esistenza di un elemento opposto (matrice nulla): (−) + = 0

Moltiplicazione per scalare

∈ℝ ∈ ℳ( × , ℝ) ⋯ 11 1⋮ ⋱ ⋮∙=( ) = ( ) ⋯ 1

Esempio: 0 2 0 105∙( )=( )35 207 41

Proprietà della moltiplicazione per scalare

Le proprietà della moltiplicazione per scalare sono:

• Proprietà associativa: ()() =
• Proprietà distributiva: ( + ) = +
• Esistenza di un elemento neutro: 1 ∙ =
• Esistenza di un elemento nullo: 0 ∙ = 0

Trasposizione

La trasposizione inverte, in una matrice, il ruolo di righe e colonne.

⋯ 11 1⋮ ⋱ ⋮( )= ⋯ 1, ⋯ 11 1⋮ ⋱ ⋮ ( ) = ⋯ 1

Se allora

Esempio: 1 71 3 6 = = 3 47 4 0 6 0

Osservazione: ( + ) = +

Dimostrazione: = ( ) = ( ) [( ]+ ) = + ( ) ( ) ( )+ = + = +

Combinazione lineare di matrici

Una combinazione lineare di matrici di coefficienti1 2 , , ... , ∈ ℳ( × , ℝ) è un’espressione di forma:

1 2 = + +... + ∈ ℳ( × , ℝ)

Prodotto righe per colonne

Sia una matrice riga e sia una matrice colonna. Il prodotto riga per colonna di è:

… = 11 111⋮= 1 ∙ = + +... + ∑ ∈ ℝ

In generale: ∈ ℳ( × , ℝ) ∈ ℳ( × , ℝ).

Sia e ∙ = , ∈ ℳ( × , ℝ)

Il prodotto riga per colonna è dove tale che:

= +... + = ∑ 1 1 =1

Esempio: 1 41 3 6= = 3 37 4 0 2 022 13∙ = ( )19 40

Proprietà del prodotto righe per colonne

Le proprietà del prodotto righe per colonne sono:

• Proprietà associativa: ( ∙ ) ∙ = ∙ ( ∙ )
• Proprietà distributiva: ( + ) ∙ = +
• Esistenza dell’elemento nullo: 0 ∙ = 0
• Esistenza dell’elemento neutro: ∙ =
• Prodotto per scalare: ∙ ( ∙ ) = ∙ ( ∙ )

In generale non vale la proprietà commutativa. ∙ = = ∙ Essa vale solo se le matrici sono quadrate:

Classificazione di matrici

Matrice identità

La matrice identità di ordine n è:

1 ⋯ 0( ) = ∈ ℳ( × , ℝ)⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

La sua caratteristica è avere tutti 1 nella diagonale principale e tutti zero al di fuori di essa.

Matrici quadrate

Nelle matrici quadrate il numero di righe è uguale al numero di colonne.

Matrice quadrata diagonale

Una matrice si dice diagonale se gli elementi al di fuori della diagonale principale sono tutti zero.

⋯ 011⋮ ⋱ ⋮[ ] = 0 ∀ ≠ 0 ⋯

Esempio: 1 0( )0 3

Matrice quadrata simmetrica

La matrice quadrata simmetrica ha una simmetria rispetto alla diagonale principale.

⋯ 11 1⋮ ⋱ ⋮[ ] = ∀, = 1, ..., ⋯ 1

Esempio: 1 2( )2 3

Matrice quadrata antisimmetrica

Una matrice è antisimmetrica se

⇌ = −Una matrice si dice antisimmetrica = − → = 0 ∀ = 1, ...,

Esempio: 0 2( )−2 0

Matrice quadrata invertibile

Una matrice si dice invertibile se esiste una matrice ℳ( × , ℝ) tale che:

∙ = = ∙ .

Una matrice invertibile ha un’unica inversa, che si denota con −1.

Esempio: −1 −2 11 2 ( )( ) = 3/2 −1/23 4

Proprietà della matrice quadrata invertibile

Se , , ∈ ℳ( × , ℝ) e ∙ = = ∙ allora =

Dimostrazione: ( ∙ ∙ = ∙ ∙ )