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4.14. EQUAZIONI DI UN SOTTOSPAZIO DI
⊂ = ≤
, . . ,
base di
1 )
= ( , . . ,
1
Rappresentazione parametrica:
{
= + ⋯ + | , , … , ∈ ℝ}
1 1 1 2
11 1
= +. . . +
1 1 1
⋮
)
= {( ∈ { }
⋮
= +. . . +
1 1
Rappresentazione cartesiana:
4
)
= {( ∈ … … … . }
Osservazione 1:
= (≤ ).
Sia un sottospazio vettoriale di ,
= ()
Allora con sistema lineare omogeneo.
Dimostrazione: ) { }
= ( , . . , , . . , .
con base di
1 1
Allora, è l’insieme di tutte le combinazioni lineari di questi vettori:
{
= + ⋯ + | , , … , ∈ ℝ}
1 1 1 2
In notazione matriciale:
⋮ … ⋮ 1
⋮
( ) ( )
= , = ∈ ↔ () = () =
se …
1
⋮ … ⋮
dove: ⋮ … ⋮ ⋮
( )
= …
1
⋮ … ⋮ ⋮
() = → ∃ , ≠ 0
Dato minore di di ordine con e tutti i suoi orlati in
= 0.
hanno − , , … ,
Gli orlati sono in tutto 1 −
…
11 1 1
⋮ … ⋮ ⋮
( ) = 0 ∀ = 1, . . , −
…
1
− , . . ,
Sono equazioni cartesiane lineari omogenee nelle variabili .
1
= 0
1
⋮
: { = 0
−
{
= () , . . , ℎ }
1
COROLLARIO:
Ogni sottospazio di è lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
Osservazione 2:
=
Se è un sottospazio di ,
− .
si dice codimensione di
4.15. SOTTOSPAZI AFFINI DI UNO SPAZIO VETTORIALE
Un sottospazio affine di uno spazio vettoriale è un sottoinsieme della forma:
{
= + = + | ∈ }
0 0
∈ , .
Dove è un sottospazio vettoriale di
0
In altre parole, un sottospazio affine è un traslato di uno spazio vettoriale.
.
In questo caso si dice parallelo a e si dice sottospazio di giacitura di
.
Definiamo la dimensione di come la dimensione di
Osservazione:
∙ = ∈ ℳ( × , ℝ), () =
Se È un sistema lineare con
{ )
∈ | ∙ = } ( =
è un sottospazio affine di , parallelo a 0
{ ∈ | ∙ = 0}
4.16. SOTTOSPAZIO INTERSEZIONE
, .
Sia uno spazio vettoriale e siano due sottospazi vettoriali di
Lo spazio intersezione è: {
∩ = ∈ | ∈ ∈ }
∩ .
è un sottospazio vettoriale di
Dimostrazione:
• {0} {0} {0}
∈ , ∈ → ∈ ∩
• , ∈ ∩ →
1 2
o , ∈ → + ∈
1 2 1 2
o , ∈ → + ∈
1 2 1 2
• ∈ℝ
∈∩ →
o ∈ ∈
poiché
o ∈ ∈
poiché
→ ∈ ∩
4.16.1. DIMENSIONE DEL SOTTOSPAZIO INTERSEZIONE
( ∩ ) ≤ {, }
4.17. SOTTOSPAZIO SOMMA
, .
Sia uno spazio vettoriale e siano due sottospazi vettoriali di
Lo spazio somma è: {
+ = + | ∈ , ∈ }
+ .
è un sottospazio vettoriale di
Dimostrazione:
• {0} ∈ + 0 = 0 + 0
• ( ) ( )
+ + + = + + + ∈ +
1 1 2 2 1 2 1 2
• ( + ) = + ∈ +
Osservazione:
La somma è diversa dall’unione di sottospazi vettoriali.
+ ≠∪
L’unione, contiene tutti i multipli degli spazi vettoriali, ma non le loro combinazioni
lineari.
Proposizione: ) ).
= ( , . . , = ( , . . ,
Sia e
1 1
).
+ = ( , . . , , , . . ,
Allora 1 1
Dimostrazione: + ∈+ )
+ = +. . . + + +. . . + ∈ ( , . . , , , . . ,
1 1 1 1 1 1
4.17.1. DIMENSIONE DEL SOTTOSPAZIO SOMMA
( + ) ≥ {, }
4.17.2. GENERATORI DEL SOTTOSPAZIO SOMMA
, .
Siano sottospazi vettoriali di
+ , .
è il più piccolo sottospazio vettoriale di che contiene
4.18. FORMULA DI GRASSMANN
,
Siano sottospazi vettoriali di di dimensione finita.
Allora: + = dim( + ) + dim ( ∩ )
Dimostrazione:
ℬ = { , … , } ∩
Sia una base di
1
( ∩ ) =
ℬ .
Completiamo a una base di e di
ℬ = { , … , , , … , } =
1 +1
ℬ = { , … , , , … , } =
1 +1
Vogliamo provare che:
{ , … , , , … , , , … , } è + :
una base di
1 +1 +1
• Generatori:
+ = { , … , , , … , , , … , }
1 +1 +1
• Linearmente indipendenti:
Supponiamo:
, … , , , … , , , … , = 0
1 1 1 +1 +1 +1 +1
∈∩ ∈ ∈
++ = 0
→ = − − ∈ → ∈ ∩
→ = +. . . + ∃ , … , ∈ ℝ
1 1 1
→ 0 = − = − − ⋯ − − −. . . −
+1 +1 1 1
{ , … , , , … , } .
sono una base di
1 +1
→ sono linearmente indipendenti
→ =. . . = = 0 =. . . = = 0
1 +1
→ + ⋯ + + + ⋯ + = 0
1 1 1 +1 +1
→ =. . . = = =. . . = = 0
1 +1
→ { , … , , , … , , , … , } Sono linearmente indipendenti
1 +1 +1
→ ( + ) = − + = + − ( ∩ )
4.19. SOTTOSPAZI SUPPLEMENTARI {0},
, , ∩ =
Se sono sottospazi di tali che
+ = dim ( + )
⨁
In questo caso, lo spazio somma di denota e si chiama somma diretta.
⨁ = , ,
Se inoltre, si dicono supplementari.
Proposizione: {0},
, , ∩ =
siano sottospazi vettoriali di tale che e siano
, ∈ , , ∈ .
1 2 1 2
Allora:
+ = + ↔ = =
1 2 1 1 1 2 1 2
Dimostrazione:
+ = + ↔ = =
1 2 1 1 1 2 1 2
{0} {0}
− ∈ ∩ = − ∈ ∩ =
e
1 2 1 2
→ = =
1 2 1 2
4.19.1. ESISTENZA DI UN SUPPLEMENTARE
,
Ogni sottospazio vettoriale di spazio vettoriale di dimensione finita, ha un
supplementare.
Dimostrazione:
, =
Sia un sottospazio vettoriale di e sia una base
{ }
ℬ = , … , .
una base di
1 { }
ℬ : , … , , , … ,
Completiamo a una base di 1 +1
)
= ( , … , → = −
E sia +1 )
+ = ( , … , , , … , =
1 +1
( ∩ ) = + − ( + ) = + − − = 0
5. APPLICAZIONI LINEARI
5.1. APPLICAZIONI LINEARI TRA SPAZI VETTORIALI
La classe di funzioni associate in maniera naturale alla struttura di spazio vettoriale è la
classe delle applicazioni lineari.
(, +,∙) (, +,∙)
Siano e due spazi vettoriali reali.
Denotiamo con e i rispettivi elementi neutri per la somma.
: →
Un’applicazione lineare da in è una funzione tale che:
❖ ) ) )
∀ , ∈ ( + = ( + (
1 2 1 2 1 2
❖ ∀ ∈ , ∀ ∈ ℝ () = ∙ ()
❖ )
( =
Osservazione 1:
: → ↔ ∀ , ∈ , ∀, ∈ ℝ
è lineare 1 2 ) ) )
( + = ( + (
1 2 1 2
Osservazione 2: { }
, ℬ = , . . , .
Siano due spazi vettoriali e sia una base di
1
, . . , ∈ : →
Da
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