Dinamica delle Strutture

DINAMICA DELLE STRUTTURE

Si consideri un p.to materiale collegato ad un vincolo mediante una molla di rigidezza K, cui è applicata una forza f, in ambito statico, con riferìmento ad un sistema di questo tipo si è detto che vale:

f = K . x (1)

x è lo spostamento che il sistema esibisce nella direzione di applicazione della forza. Quella relazione su scritta, va sotto il nome di Legge di Hooke, che lega la forza allo spostamento.

Una tale Legge, vale solo se la forza è applicata staticamente, le cose cambiano se la forza è applicata con una certa variabilità temporale. Continuando a considerare un p.to materiale, non dotato di massa, si può immaginare che la stessa eq. precedente valga anche in campo dinamico, con la differenza che la forza f vari nel tempo, in virtù di uno spostamento che in primis dipende dal tempo, mentre la costante elastica K resta sempre dello stesso valore.

f(t) = (K . x(t)) (2)

Fin quí sembrerebbe tutto uguale al caso statico; in realtà si ha che tale forze considerì corpi, che sono dotati di Massa, quindi, con riferimento ad essi non è possibile schematizzarli con un p.to materiale; e non è quindi possibile avvalersi di quest'ultima equazione. A tal proposito si può volere de lo schematizzazione seguente (fig.162), in cui il carrello, a differenza de

suo omologo in (fig. 161), è dotato di massa m, e come prima, c’è anche la presenza di una molla di rigidezza K (costante). Al carrello è poi appli- cata una forza variabile nel tempo, f(t). Nel caso precedente, la forza f(t) veniva equilibrata soltanto dal prodotto K·X(t), che è una forza e che è definita come REATIVITÀ ELASTICA DEL SISTEMA. dunque la forza si potrebbe anche indicare con f_e(t). In questo secondo caso, invece, oltre a quest’ultima forza indicata, si deve considerare, che se siccome ci compri- mere con una forza il dato sistema, per il solo motivo di essere dotato di una massa, esso si opporrebbe al moto con quella che viene definita forza di Inerzia. Dunque nasce una f. di Inerzia che assieme con la f. di reattività elastica del sistema si oppone alla forza f(t):

f(t) = f_e(t) + f_i(t) EQ. di EQUIL. DINAMICO

• In genere la forza di Inerzia può scriversi come prodotto della massa per l’accelerazione assoluta, ossia quell’accelerazione che la massa subisca rispetto ad un sistema di riferimento fisso, anche detto sistema di rif. inerziale e la si indichi come ^..y(t):

f_i(t) = m · ^..y(t)

Considerando il sistema di riferimento iniziale, in cui è stato definito uno spostamento laterale verso x(t), del quale è anche possibile definire una sua derivata prima, ^.x(t), ovvero la velocità, ed anche una sua deriva- ta seconda ^..x(t), ovvero l’accelerazione, rispetto a tale sistema di riferimen- to, il quale, se può muoversi rispetto ad un altro sistema, e cioè tramite

x(t) = A · cos ω_o(t) (11)

Dunque una funzione armonica, in questo caso, la derivata seconda coincide a meno di qualche costante con la funzione stessa:

ẋ(t) = -A · ω_o · sin ω_ot (12)

ẍ(t) = - ω_o² A cos ω_ot

Entrando con le (12) nella (10):

- mA ω_o² cos ω_ot + K A cos ω_ot = 0

⇒ ω_o² = K/m EQ. CARATTERISTICA DEL SISTEMA O PROBLEMA (13)

In Dinamica, tutte le volte che c'è qualche equazione che permette di valutare la ω_o, prende sempre la denominazione di equazione caratteristica. Si definisce Pulsazione Naturale del sistema non smorzato:

ω_o = √^K/_m (14) [rad·s^-1]

Si parla di "pulsazione", ossia qualcosa che assieme con la variabile tempo, è l'argomento della funzione armonica in esame, e ne definisce la relativa variabilità nel tempo. Essendo espressa in rad·s^-1 si può anche chiamare frequenza angolare del sistema, al contrario, esprimendo tale frequenza in giri·s^-1 e non come una variazione angolare nell'unità di tempo, si ha:

f_o = ω_s/(2π) (15) [Hz]

Entrambe sono s^-1, ma in un caso, si tratta di angoli rad·s^-1, nell'altro

x(t)

C

definire con lo stesso modo anche la vel. negli altri punti: Questa volta, l'ampiezza del moto C, sarà pari a: ₀ = 0 in (28) ⇒ C = ̇₀/ω₀ con angolo di fase nullo φ = 0, con Ẋ ≠ 0 e ₀ = 0 in (29). Quelli appena visti, sono due casi “alternativi”, ovvero simmetrici, ma il caso più generale è di certo quello in cui ₀ ≠ 0 e Ẋ₀ ≠ 0 (fig. 166)

x(t)

t

P

P'

t

Dipende da φ

def. 2

def. 3

def. 3

def. 1

Da (fig. 166) si vede che ci sono sia velocità iniziale che spostamento iniziale dunque, C e φ saranno dati dalle (28) e (29) per intero, in più, l'angolo di fase ora dipende sia da X_o sia da Ẋ₀, esso indica di quanto quella sinusoide è spostata rispetto a zero, infatti, invece che partire dal massimo o da zero, in questo caso parte da un punto un po' prima del massimo, e questo è quanto descrive l'angolo di fase. Adesso bisogna anche definire il periodo, in particolare si possono dare 3 definizioni del periodo propio del sistema armonizzato in questo caso. La prima, definisce il periodo T_o come l'intervallo di tempo necessario, affinché il moto assuma le stesse caratteristiche, cioè, assumendo un punto P (fig. 166) esso sarà caratterizzato da uno spos

Si può definire lo smorzamento critico _(Co), quello per cui si verifica questo scenario, come:

^(C_o)2/_2m = K/m → C_o = ω_o → C_o = 2m·ω_o ⁽⁴³⁾

La ⁽⁴³⁾ è l'espressione della costante di smorzamento critica (C_o), e dunque il particolare valore che si dovrebbe attribuire alla costante C affinché il moto sia criticamente smorzato, pari al doppio della massa per la pulsazione del sistema non smorzato. Volendo si può anche scrivere come:

C_o = 2m·√K/m = 2 √K·m ⁽⁴⁴⁾

A questo punto si definisce il rapporto di smorzamento (ξ) come il rapporto tra la costante di smorzamento C che si attribuisce al dispositivo diviso la costante di smorzamento critica C_o:

ξ = C/C_o ⁽⁴⁵⁾

In generale si può scrivere che: (C = ξ·C_o) = 2 ξ ω_o m ⁽⁴⁶⁾

La ⁽⁴⁶⁾ si ottiene entrando nella ⁽⁴⁵⁾, esplicitata rispetto a C, con la ⁽⁴³⁾, ed è un modo per esprimere la costante C del sistema in funzione del rapporto di smorzamento (ξ). In sostanza, invece di specificare che quella costante avrà un certo valore numerico che dimensionalmente sarà una forza fratto una velocità, si può dire che essa è pari al prodotto del rapporto di smorzamento (es. 10% / 20% ecc...) per la costante di smorzamento critica che dipende dalle caratteristiche del sistema, cioè m e K (⁽⁴⁶⁾); riscrivendo la ⁽⁴²⁾:

s² + (c/m)s + (K/m) = 0 → s² + (2·ξ·ω_o)s + ω_o² = 0 ⁽⁴⁷⁾

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