Dinamica delle strutture

DINAMICA DELLE STRUTTURE

Il Problema è rappresentato attraverso un modello generale di Sistema Dinamico ad 1 G.D.L.

c = coeff. smorzamentoF = forza sistemak = costante elastica mollau = spostamentov = velocitàa = accelerazionem = massaii = • infierorei = inferiore

Il comportamento dinamico è retto da queste equazione del moto, una equazione differenziale del 2º ordine

m u_i(t) + c u_i(t) + k u(t) = f(t)

Incognita: u(t)Condizioni:u_iniz: u(0) = u_i(0)v_iniz: du/dt = v(0) = u_i(0)è possibile ricavare le soluzioni di queste equazione sotto per alcuni tipi di forzante e è data dalla somma della soluzione omogenea associata u_g e della soluzione particolare u_p dipendente delle forze esterne.

*CASO F=°₀: C=°₀

L equazione del moto diventa: m u_i(t) + k u(t) = 0Essa ha soluzione particolare u_p, nulla u_p=0La soluzione

u(t) = A cos(wt) + B sin(wt)

La Soluzione A e B dipendono dalle condizioni iniziali:A = u₀B = v₀ / wLa soluzione, sostituendo A e B,diventa

u(t) = u₀ cos(wt) + (v₀ / w) sin(wt)

ω = √(k/m) frequenza propriaT = 2π / w

Periodo proprio di oscillazione valutato come il tempo minimo affinché u(t+T) = u(t) ∀t

DINAMICA DELLE STRUTTURE

Il Problema è rappresentato attraverso un modello generale di sistema dinamico ad 1 G.D.L.:

• c = coeff. smorzamento
• F = forza esterna
• k = costante elastica molla
• u = spostamento
• v = velocità
• a = accelerazione
• im = interno
• mi = in maniera
• Ci = forza smotrante
• Ku = forza elastica di richiamo

Il comportamento dinamico è retto da questa equazione del moto; una equazione differenziale del 2º ordine:

m(t) + c(t) + ku(t) = f(t)

Incognita: u(t)

Condizioni iniziali: [u(0)=uo, (0)=ûo]

È possibile ricavare la soluzione di questa equazione sotto per alcuni tipi di forzante e sarà data dalla somma della soluzione omogenea associata U_g e della soluzione particolare U_p dipendente delle forze esterne.

*CASO C_i=0:

• Equazione del moto diventa: m(t) + ku(t) = 0
• Essa ha soluzione particolare U_p nulla U_p=0
• Essa ha soluzione omogenea: y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
• La soluzione:

  - mÛ(t) = -w^2 A cos(wt) - B*w^2 sin(ωt)

  Inserendo quatti termini û(t) ed u(t) ad û(t) ) null’equazione del moto:

  -ω²m[A cos(ωt) + B sin(ωt)] + k[A cos(ωt) + B sin(ωt)] = 0

La Soluzione A e B dipendono delle condizioni iniziali:

• A = u_o
• B = o / ω

La soluzione, sostituendo A e B, diventa:

u(t) = u_o cos(ωt) + o sin(ωt)

(grafico)

ω = _k/m FREQUENZA PROPRIA

T = PERIODO PROPRIO DI OSCILLAZIONI

CASO f=0, C ≠ 0

L'equazione del moto diventa: mü(t) + cu(t) + ku(t) = 0

Si ipotizza una soluzione del tipo:

• u(t) = G e^λt

ottengo:

• ü(t) = λ² G e^λt

obbligo

• ü(t) = λ² u(t)

Sostituisco nell'equazione del moto: m λ² u(t) + c λ u(t) + k u(t) = 0

Questa è vera se e solo se: m λ² + c λ + k = 0 EQUAZIONE CARATTERISTICA

Risolvi la stessa soluzione:

• λ_1,2 = ^{-c ± √(c2 - 4mk)}/_2m

Introduco lo smorzamento critico: C_cri = 2√km = 2mω

Indico con il rapporto tra lo C_cri e C:

• ξ = ^c/_Ccri = ^c/_2√km

La equazione dell'equazione caratteristica diventa tale:

• λ_{1, 2} = -ωξ ± ω√ξ² - 1

Ora posso avere:

1. SMORZAMENTO CRITICO ξ = 1 → λ₁ = λ₂ → soluzione → u(t) = (G₁ + G₂ t)e^-ωt
2. SOVRASMORZAMENTO
3. SOTTOSMORZAMENTO

GRAFICAMENTE: VEDIAMO 3 CASI:

β = ^c/_ccr

CASO: f = const c = 0

Nel caso di forzante costante la soluzione particolare è:

U_p = f/k

Ad essa si somma l'om