Dinamica delle strutture

DINAMICA DELLE STRUTTURE

II. Problema 2: Rappresentato attraverso un modello generale di sistema dinamico ad 1 G.D.L.

C = coeff. smorzamentof = forza sistemak = costante elastica mollau = spostamentou̇ = velocitàü = accelerazionem = massaC.i. = forze inizialik.u = forza elastica di richiamo

Il comportamento dinamico è retto da questa equazione del moto, una equazione differenziale del 2^o ordine:m ü(t) + c u̇(t) + k u(t) = f(t)

È possibile ricavare la soluzione di questa equazione solo per alcuni tipi di forzante f e sarà data dalla somma della soluzione omogenea associata u_g e dalla soluzione particolare u_p dipendente dalle forze esterne.

*CASO 1* - f(t) = 0

L'equazione del moto diventa: m ü(t) + k u(t) = 0

Essa ha soluzione particolare u_p nulla. u_p = 0

La soluzione omogenea: u_g(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)u(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)

Imponendo quasi termini:u̇(t) ad u(0), m u̇(0) = 0, m u(0), m u(0)

La Soluzione A e B dipendono dalle condizioni iniziali:A = u₀B = ẋ₀ / ω

La soluzione, sostituendo A e B, diventa:u(t) = u₀ cos(ωt) + ẋ₀ / ω sin(ωt)

ω = √(k/m) frequenza propriaT = 2π / ω periodo proprio di oscillazione

CASO f = 0, c ≠ 0

Equazione del moto diventa:

m ü(t) + c u'(t) + ku(t) = 0

Si ipotizza una soluzione del tipo:

u(t) = G₁ e^{λ t}

ottengo

ü(t) = λ² G₁ e^{λ t}

u'(t) = λ G₁ e^{λ t}

ottengo

sostituo nell’equazione del moto:

m λ² G₁ e^{λ t} + c λ G₁ e^{λ t} + kG₁ e^{λ t} = 0

questa è vera se e solo se:

m λ² + c λ + k = 0      EQUAZIONE CARATTERISTICA

Cioè essa ha due soluzioni:

λ_1,2 = ^{-c ± √(c² - 4mk)} / _2m

Introdico lo smorzamento critico:

C_crit = 2√km = 2m w_n

Indico con β il rapporto tra lo         ^c_ccrit

Smorzismo misso critico

LA situazione dipende dal carattere della radice:

λ_1,2 = w_n E

ora posso avere:

1. SMORZAMENTO CRITICO β = 1

→ λ₁ = λ₂ → soluzione   u(t) = (G_n + G₂t) e^{w_t t}

La soluzione è critica in quanto G₃, a parità di condizioni iniziali tende più velocemente alla posizione stazionaria.

2. SOVRASMORZATO β > 1

→ λ_1,2 = w_t con      w_t = w_n √β² - 1

Svft

"Rappresenta un modo smorzato di oscillazione, l'ampiezza decresce esponenzialmente."

3. SOTTOAMORTAMENTO β < 1

λ_1,2 = w_d con      wd = wn √1 - β²

AVRADO soluzione:

u(t) =      |Asin ω_dt + Bsin(ωd t)|

"La soluzione rappresenta un’onda smorzata di pulsazione wd e fase φ esprimere (β) è"      l     all’ampiezza decresce esponenzialmente.

4. GRAFICAMENTE VEDIAMO 3 casi:

3 > β

β = 0                3 > o

β = ^c / _ccrit

Equazioni di congruenza

E_ij=1/2(u_i,j+u_j,i)

Legame costitutivo

S_ij=2μE_ij+λδ_ijΣ_kE_kk

E=Modulo Youngν=Modulo PoissonG=Modulo elast. tangenzialeλ,μ=Costanti di Lame

Scriviamo le 3 forme di energia presenti nel principio di Hamilton:

∫_t1^t2(T_cin+E_pot-E_me)dt=0

1) Energia potenziale

E_pot=1/2∫ΣS_ijε_ijdv

2) Energia cinetica

E_cin=1/2∫ρ[u_iu_i+2u_iu_i+u_iu_i]dvdove la sua variazione risulta:

δE_cin=∫ρ[u_iu_i+2u_iu_i+u_iu_i]dv

3) Energia non conservativa

E_nc=1/2∫[β_iu_i+β_iu_i]dv

dove β_i: forza specifica sul volume più forza specifica sul contorno Γ

Ora, possiamo scrivere ed esprimere il principio di Hamilton in:

∫_t1^t2(T_cin+E_pot-E_me)dt=0

SOLUZIONI ANALITICA PER MODULI STRUTTURALI

Consideriamo l’equazione del moto per la Trave di Eulero Bernoulli:

Equazione differenziale: EJ ∙ A’’_t,_xxxx + ρ ∙ A ∂²A_f = ρ

SEPARAZIONE DELLE VARIABILI

Supponiamo f = F(t), l’equazione differenziale diventa omogenea.

OMOGENEAEJ ∙ A’’’_t,_xxxx + ρ ∙ A’’ = 0

Queste equazioni possono sempre essere violate dalla separazione delle variabili, come un prodotto tra una funzione dato e una parte temporale:

• bx(t)
• cx(f)_t

La soluzione mode omo...

Paso avanti A = \frac{fx}{cx} = \frac{f}{f} = cx^w (indico ie valore costante con w²)

Parmetodo cambio due equazioni:

\(\int (---) d -- = c_{x} \cdot \frac{cx}{c_{t}}\)Se abbiamo \(c_{x}\) nuovo\(\longrightarrow c_{x}\)

La soluzione detta è ricondotta nell’equazione differenziale del moto delle vibrazioni libere in un sistema non smorzato ed isolato possiamo scriverla:

f(f) = A ∙ cos ωt (K) e comando... possiamo scriverla:

La soluzione della C si risolve...

C₁ c^sx * c^ia

Quindi l’equazione diventa:

φ(x) = C sin (αx) + D cos(αx) + E sin h (αx) + F cos h (αx)

C,D,E,F a nuove costantidi integrazione, a possiamo sempre sost... l’imp. e e condurre all