Appunti Dinamica delle strutture

METODO DELLA FORZANTE LINEARE NEL

PASSO - SDOF SOGGETTI AD ECCITAZIONI

SISMICHE

Fino ad ora, l’unico metodo che avevamo per calcolare la risposta alle eccitazioni sismiche era quello di integrare

numericamente l’integrale di Duhamel.

Di seguito vediamo che esiste in realtà un altro metodo se il sistema è lineare (condizione che valeva anche per

che è il metodo della forzante lineare nel passo.

l’integrale di Duhamel)

Se consideriamo una generica eccitazione sismica, possiamo notare che:

 non è un segnale ordinato (perché dovuto allo scuotimento al suolo);

 il segnale ha una durata, ampiezza e soprattutto contenuto in frequenza che sono variabili da sisma a

sisma; peraltro anche nella stessa zona, terremoti successivi non hanno lo stesso segnale, hanno

contenuti in frequenza paragonabili ma il segnale sismico non si può rappresentare con legge analitica.

Nella seguente foto, tratta dal Chopra, i segnali sono espressi in accelerazione al suolo ed osserviamo azioni

sismiche caratterizzate da diversa durata, ampiezza massima, accelerazione e contenuto in frequenza.

Si noti il sisma in basso, in Mexico City, della durata di 80 secondi: è un segnale molto più ordinato con un

periodo lungo perché Mexico City nasce dalla bonifica di una vecchia palude, dunque un terreno soffice (dinamica

, pertanto il terreno risponde all’azione sismica e la struttura sente quella che è già la risposta del

delle terre)

terreno.

Quello che ci proponiamo di fare in questo corso è, dato un accelerogramma, determinare la risposta strutturale

del sistema (SDOF od MDOF).

Ricordando l’eqz del moto di un sistema SDOF soggetto ad eccitazione sismica (nota già dalla prima lezione)

moto al suolo

una possibile risoluzione è, mediante convoluzione, quella di usare l’integrale di Duhamel per valutare la risposta

al segnale sismico, quindi integrazione numerica (es. metodo dei trapezi)

oppure, come detto inizialmente, si consideri il metodo della forzante lineare nel passo che consiste nel dividere

, … ,

l’azione che agisce in un certo intervallo di tempo in tanti intervallini solitamente di passo regolare

0

AZIONE passo di tempo tra

ed

+1

facendo uno zoom dell’intervallo, se questo è sufficientemente piccolo, possiamo commettere

un’approssimazione sulla forzante immaginando che tra ed essa vari linearmente. Chiaramente più

+1

l’intervallo è piccolo, più l’approssimazione sarà accettabile

questo dipende anche dalla forzante perché l’azione sismica è conosciuta solo in alcuni punti e non ne

conosciamo il reale andamento tra tali punti dunque si assume variabile linearmente tra i punti. Pertanto, data

una rappresentazione a tratti lineari, se usiamo questa strategia, di fatto non si commettono errori.

Avendo un’azione armonica, è chiaro che non possiamo discretizzarla in tratti lineari, ma l’approssimazione è

tanto migliore quanto più l’intervallo di riferimento è piccolo.

Data la linearità del sistema, immaginando di voler calcolare la risposta tra l’istante ed ri-inizializzando il

+1

tempo per semplicità in modo che sia più semplice imporre le condizioni iniziali, all’istante la risposta nel

passo si può ottenere come somma di tre contributi:

1. risposta a condizioni iniziali (derivanti dal fatto che il sistema sta già rispondendo all’azione di un carico

già iniziato) di spostamento e velocità corrispondenti alle condizioni finali del passo precedente

2. risposta ad un carico costante ovvero l’ordinata al tempo

∆

3. risposta ad una rampa ∆ ∆

̈ + ̇ + = +

essendo la legge di carico data dall’eqz differenziale ∆

∆ = −

dove +1

e è il tempo relativo all’interno dell’intervallo.

È chiaro che questo è possibile perché stiamo facendo l’ipotesi che il sistema risponda linearmente potendo così

ottenere la risposta come somma di 3 contributi: risposta in vibrazioni libere dovute al fatto che all’istante il

∆

.

sistema ha spostamento e velocità iniziali, risposta al carico costante ovvero ed alla rampa ovvero

∆

La risposta al carico costante ed alla rampa si risolvono in forma chiusa con un po’ di sforzo utilizzando l’integrale

di Duhamel, integrando per parti. Si possono risolvere, come fatto per il carico armonico, anche cercando

l’integrale particolare, quindi risolvendo l’eqz differenziale.

La risposta al gradino è già stata vista nel caso dell’oscillatore con attrito.

 La soluzione nel passo, nel caso semplice di assenza di smorzamento, quindi con eqz

∆

̈ + = +

∆

è data dalla risposta nell’intervallo con espressione

L’espressione della risposta in termini di velocità diventa:

e riassumendo per semplicità di implementazione, raccogliendo quindi i termini che sono funzione delle

condizioni iniziali al passo ovvero al tempo e delle espressioni di carico associati a e

+1

= + ̇ + +

+1 +1

̇ = ′ + ′̇ + ′ + ′

+1 +1

La risposta la determiniamo alla fine del passo, noi conosciamo ovviamente la risposta in tutto l’intervallino,

,

poiché in forma chiusa all’istante ma nell’ottica del metodo step by step ci interesseremo alle condizioni

finali del passo, corrispondenti alle condizioni iniziali del passo successivo, ovvero studieremo la risposta per

∆

ogni intervallino , che ci serve in termini di spostamento e velocità perché al passo successivo ci servono

spostamento e velocità inizio passo per scrivere la risposta alla fine del passo.

 Se scriviamo la risposta in presenza di smorzamento, quindi con eqz

∆

̈ + ̇ + = +

∆

anche in presenza di smorzamento viscoso la soluzione nel passo si può porre nella forma

= + ̇ + +

+1 +1

(R) ̇ = ′ + ′̇ + ′ + ′

+1 +1

essendo

(dal libro) l’espressione analitica della risposta nel generico step tra gli istanti e .

+1

La risposta l’abbiamo ad ogni istante all’interno dello step però la specializziamo a fine passo considerando

∆

invece di il tempo ovvero il passo di tempo.

implementazione in MATLAB allo scopo di valutare la risposta del sistema

soggetto a sisma attraverso il metodo della forzante lineare nel passo

Vediamo dunque di implementare in MATLAB (12/05/2021) la funzione vista

Per scrivere la risposta si considerino le costanti come segue

I parametri in ingresso sono

la sta per derivata

per applicare il metodo

si considera inoltre un array che definisce il moto al suolo ovvero l’accelerazione al suolo.

I parametri in uscita dalla funzione, ovvero che restituisce la funzione, sono ∆

a distanza

( = 0)

Incameriamo le condizioni iniziali array che raccogliamo

nel vettore di risposta

− ∆

spostamento e velocità iniziali al tempo zero sono quelli che passiamo alla funzione che caratterizza le costanti

Facciamo delle posizioni per termini che si presentano più volte, ad esempio

posizione ausiliaria

passo di tempo

Definiti i coefficienti con le posizioni ausiliarie, occorre individuare il carico ed al primo passo inizializziamo

quindi primo termine dell’array della forzante

Entriamo nel ciclo for e calcoliamo la risposta per tutti gli step (non possiamo usare la lettera perché restituirebbe

)

l’unità immaginaria, dunque verrà usata con array

Questa funzione, function iniziale, richiama con ciclo for la risposta (R), pertanto adesso la richiamiamo per calcolare la

risposta ad un terremoto per tantissimi sistemi SDOF che faremo variare al variare dello smorzamento e del periodo

naturale del sistema.

Per calcolare la risposta in un solo caso, abbiamo bisogno di definire un sistema SDOF ma soprattutto di un

accelerogramma.

Usiamo l’accelerogramma di El Centro (1940) riportato su tutti i libri perché è un accelerogramma rappresentativo di tanti

altri in termini di durata e contenuto in frequenza (oggi è molto semplice risalire a vari accelerogrammi su Internet)

diventato quindi di riferimento per molte applicazioni.

È definito come un file di testo.

È un array in cui 0,02

nella prima colonna vi sono i tempi ad intervalli regolari di

-

nella seconda colonna vi sono le accelerazioni in

- 2

31,16 .

l’intera durata dell’accelerogramma è di

Richiamiamo adesso questo file con la funzione load elcen.txt e lo introduciamo all’interno di un array che si chiama

“elcen”.

Nel workspace, se scriviamo

 elcen(:,1) vedremo solo i tempi, ricordando che : restituisce tutte le righe, e la prima colonna

 elcen(:,2) vedremo solo le accelerazioni, ricordando che : restituisce tutte le righe, e la seconda colonna

 10∆

elcen(10,2) restituisce l’accelerazione al tempo

10° tempo seconda

colonna

A questo punto definiamo l’input accelerometrico richiamando elcen.txt con intervallo di campionamento

= 0,02

dell’accelerogramma e restituiamo l’array delle accelerazioni in tutte le righe,

seconda colonna

= 0,02

perché quindi

sufficiente visti gli intervalli regolari

Passiamo la sola accelerazione poichè intervalli di tempo regolari.

Stiamo cercando quindi la risposta SDOF al terremoto di El Centro richiamando la funzione

risposta_tratti_lineari_earthquake

condizioni iniziali definiti

input

la funzione ci dà la risposta in

questi array

abbiamo ipotizzato ed ed imposto lo stato di quiete prima del terremoto.

Adesso dobbiamo rappresentare la risposta tramite un plot

colori

lanciando il programma ci accorgiamo che qualcosa non funziona quindi aggiungiamo alla fine

punti Poiché avanzava un numero nell&r